2023-2024學年湖北省荊州市高考數學模擬密押卷 含解析

2023-2024學年湖北省荊州市高考數學模擬密押卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數/。）=屆11%-03%的圖像的一條對稱軸為直線》=^，且■/'a）"（x2）=-4,則上+%|的最小值

6

為（）

712%

A.一B.0c.-D.——

333

2.下列函數中，值域為尺的偶函數是（）

xx

A.y-x2+1B.y=e-e~c.y=ig\x\D-y=

3.近年來，隨著4G網絡的普及和智能手機的更新換代，各種方便的。即相繼出世，其功能也是五花八門.某大學為

了調查在校大學生使用a即的主要用途，隨機抽取了56290名大學生進行調查，各主要用途與對應人數的結果統(tǒng)計如

圖所示，現有如下說法：

①可以估計使用。即主要聽音樂的大學生人數多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學生人數；

②可以估計不足10%的大學生使用。勿主要玩游戲；

③可以估計使用。加主要找人聊天的大學生超過總數的

4

其中正確的個數為（）

[445。I行禮區(qū)、新聞.曉訊

[-.----□玩游我

「2川I磐直妝、出片

「儲曲）I聽行樂

A.0B.1C.2D.3

4.已知點片是拋物線C：%2=2py的焦點，點工為拋物線C的對稱軸與其準線的交點，過B作拋物線c的切線，

切點為A,若點A恰好在以耳，耳為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）

A.近二立B.V2-1C.逅MlD.V2+1

22

5.已知函數/(x)=lnx—2ar,g(x\=^L2x,若方程/（x）=g（x）恰有三個不相等的實根，則。的取值范圍

Inx

為（）

A.(0,e]B.

C.(e,+oo)0,-

e

6.過拋物線y2=4x的焦點P的直線交該拋物線于4,B兩點,。為坐標原點.若=3,則直線A3的斜率為（）

A.±72B.-V2C.2A/2D.±272

7.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車，它是中國境內一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55

千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100?"〃瓦現對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調查.畫

出頻率分布直方圖（如圖），根據直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90）的車輛數和行駛速度超過

的頻率分別為（）

A.300,0.25B.300,0.35C.60,0.25D.60,0.35

8.已知函數/（x）=F+6的一條切線為y=a（x+l）,則。匕的最小值為（）

1112

A.----B.----C.——D.——

2e4eee

J

9.已知耳，尸2是雙曲線c：j-y2=l（〃〉0）的兩個焦點，過點片且垂直于X軸的直線與C相交于兩點，若

a

|AB|=V2,則AABF2的內切圓半徑為（）

A.立B.BC.迪D.正

3333

10.設拋物線y2=4x上一點尸到y(tǒng)軸的距離為4,至u直線/:3x+4y+12=0的距離為4，則4+4的最小值為

()

A.2B.—C.—D.3

33

11.已知x=0是函數/（x）=M^-tanx）的極大值點，則a的取值范圍是

A.（―℃,—1）B.（-0°,1]

C.[0,+oo）D.[1,-K?）

12.某公園新購進3盆錦紫蘇、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，現將這6盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊,

任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共（）種

A.96B.120C.48D.72

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設定義域為R的函數〃尤）滿足了'（x）＞/（x）,則不等式1）的解集為.

14.設集合A={-1,a},B=1,2（其中e是自然對數的底數），且AC3W0,則滿足條件的實數a的個數為.

15.已知tan[夕+z]=3,貝！Jtan8=,cos[26—1]=,

16.某校初三年級共有500名女生，為了了解初三女生1分鐘“仰臥起坐”項目訓練情況，統(tǒng)計了所有女生1分鐘“仰臥

起坐”測試數據（單位：個），并繪制了如下頻率分布直方圖，貝!11分鐘至少能做到30個仰臥起坐的初三女生有

個.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

V2V21

17.（12分）設橢圓C：二+2=1（?！等f〉0）的右焦點為尸，右頂點為4,已知橢圓離心率為J,過點E且與x軸

垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.

（I）求橢圓C的方程；

（II）設過點a的直線/與橢圓c交于點3（3不在》軸上），垂直于/的直線與/交于點"，與y軸交于點〃，若

BF±HF,且NMQ4WNM4O,求直線/斜率的取值范圍.

1

x=-m

2

18.(12分)已知在平面直角坐標系龍。y中，直線/的參數方程為〈為參數)，以坐標原點為極點，X軸

y=----m

2

‘2岳2萬'

非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為"-2"cos6-2=0,點A的極坐標為E司

(1)求直線/的極坐標方程;

(2)若直線/與曲線。交于3,C兩點，求ABC的面積.

19.(12分)如圖，直三棱柱ABC—A4c中，D,E分別是A3,6用的中點，AA、=AC=CB.AB=近.

2

(1)證明：BC1平面4。。；

(2)求二面角。一A?！狤的余弦值.

20.(12分)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABC。為矩形，平面ABE尸，平面ABC。，EF//AB,ZBAF=90°,AD

=2,A3=4F=2EB=2,點P在棱。尸上.

(1)若「是。歹的中點，求異面直線3E與CP所成角的余弦值；

(2)若二面角O-AP-C的正弦值為逅，求尸產的長度.

3

21.(12分)已知橢圓C:9d+y2=加2(根〉0),直線/不過原點。且不平行于坐標軸，/與。有兩個交點A,B,線

段AB的中點為

(I)證明：直線的斜率與/的斜率的乘積為定值；

rrj

(II)若/過點(],加)，延長線段與C交于點P,四邊形Q4PB能否為平行四邊形？若能，求此時/的斜率，若

不能，說明理由.

22.(10分)己知A4BC的內角A,瓦C的對邊分別為“，4c.設變出+%￡=金曰_+4行

sinCsinBsinBsinC

(1)求tanA的值；

(2)若&sinB=3sinC，￡5加?=2叵，求。的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

運用輔助角公式，化簡函數/(九)的解析式，由對稱軸的方程，求得。的值，得出函數/(%)的解析式，集合正弦函數

的最值，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，函數/(x)=asinx—6cosx=Ja?+3sin(x+6)(。為輔助角)，

*皿5萬口兀、a3

由于函數的對稱軸的方程為x=且/(丁)二7+7，

6622

即E+；=J/+3,解得4=1,所以F(x)=2sin(x—K),

223

又由/&)?/(9)=T,所以函數必須取得最大值和最小值，

_57r7i一

所以可設％=2K兀7----,k[eZ,x=2k?兀,k?eZ,

626

所以卜]+々|=24]?+2左2乃+飛-,左eZ,

rs

當仁=履=。時，卜+々|的最小值T，故選D.

【點睛】

本題主要考查了正弦函數的圖象與性質，其中解答中利用三角恒等變換的公式，化簡函數的解析式，合理利用正弦函

數的對稱性與最值是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.

2、C

【解析】

試題分析：A中，函數為偶函數，但y21,不滿足條件；B中，函數為奇函數，不滿足條件；C中，函數為偶函數且

ywR,滿足條件；D中，函數為偶函數，但＞20,不滿足條件，故選C.

考點：1、函數的奇偶性；2、函數的值域.

3、C

【解析】

根據利用。即主要聽音樂的人數和使用。加主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數作大小比較，可判斷①的正誤；計算使用

。加主要玩游戲的大學生所占的比例，可判斷②的正誤；計算使用勾中主要找人聊天的大學生所占的比例，可判斷③

的正誤.綜合得出結論.

【詳解】

使用a即主要聽音樂的人數為5380,使用。加主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數為4450,所以①正確；

Q130

使用WP主要玩游戲的人數為8130,而調查的總人數為56290,-------?0.14,故超過10%的大學生使用。即主

56290

要玩游戲，所以②錯誤；

使用。即主要找人聊天的大學生人數為16540,因為皎^＞工，所以③正確.

562904

故選：C.

【點睛】

本題考查統(tǒng)計中相關命題真假的判斷，計算出相應的頻數與頻率是關鍵，考查數據處理能力，屬于基礎題.

4、D

【解析】

根據拋物線的性質，設出直線方程，代入拋物線方程，求得上的值，設出雙曲線方程，求得2“=|AF2|-|AFi

I=(V2-DP，利用雙曲線的離心率公式求得e.

【詳解】

直線F2A的直線方程為：y—kx——,Fi(0,—),尸2(0,~~),

222

代入拋物線C：好=2外方程，整理得：x2-Ipkx+p2^,

AA=4A:2p2-4p2=0,解得：k=±l,

22

.?.A(p,K),設雙曲線方程為：二—二=1,

2a2b2

IAFiI=p,IAF2I=個p?+p?=0p,

2a=IAF2I-IAFiI=(V2-DP>

2c=p9

/.離心率e————i=——A/2+1,

a72-1

故選：D.

【點睛】

本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質，考查轉化思想，考查計算能力，屬于中檔題.

5、B

【解析】

由題意可將方程轉化為叱-2a=出-2,令《％)=皿，xe(O,l)(1,+8),進而將方程轉化為

xInxx

[?(%)+2][r(x)-2a]=0,即()=-2或r(x)=2a,再利用，(x)的單調性與最值即可得到結論.

【詳解】

由題意知方程/(x)=g(力在(0,1)1(1,-+W)上恰有三個不相等的實根，

_4左

即In九一lax=------2x①.

Inx9

Inx4/7Y

因為x>0,①式兩邊同除以x,得-----2a=-----2.

xInx

所以方程-InV-2〃-4丁/7Y二+2=0有三個不等的正實根.

xInx

記—,xe(O,l)(1,”)，則上述方程轉化為f(x)—2a-西+2=0.

即[f(x)+2][(x)-2a]=0,所以Z(x)=-2或r(x)=2a.

因為?無)=上手，當尤?0,1)(l,e)時，t'(x)>0,所以/(%)在(0,1),(l,e)上單調遞增，且％.0時，

0-^0.

當x￡(e,+oo)時，/(%)<0,1X)在(e,+8)上單調遞減，且兄—”時，0.

所以當x=e時，/(力取最大值L當心)=—2,有一根.

e

所以《％)=2。恰有兩個不相等的實根，所以0<。<L.

2e

故選：B.

【點睛】

本題考查了函數與方程的關系，考查函數的單調性與最值，轉化的數學思想，屬于中檔題.

6、D

【解析】

根據拋物線的定義，結合|AF|=3,求出A的坐標，然后求出AE的斜率即可.

【詳解】

解：拋物線的焦點廠(L0),準線方程為x=-1,

設A(x,y),貝！]IAF|=x+l=3,故x=2,此時y=±2j^,即A(2,±2，^).

則直線AF的斜率k=竺亞=±2A/2.

2-1

故選：D.

【點睛】

本題考查了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題.

7、B

【解析】

由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的頻率即可得到車輛數，同時利用頻率分布直方圖能

求行駛速度超過90km/h的頻率.

【詳解】

由頻率分布直方圖得：

在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90）的頻率為Q06x5=0.3,

在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90）的車輛數為：0.3x1000=300，

行駛速度超過90k”/〃的頻率為：（0.05+002）x5=0.35.

故選：B.

【點睛】

本題考查頻數、頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

8、A

【解析】

求導得到/5）=靖，根據切線方程得到b=alna,故"=/lna，設g（尤六三卜］,求導得到函數在0,”上

IJ

c口

單調遞減，在e2,+oo上單調遞增，故8（力加=ge2,計算得到答案.

I）\7

【詳解】

x

f(x)=e+b,貝!J/'(x)=",取e%=a，(a>0),故x()=lna,f^x0)=a+b.

故a+b=a(lna+1),故b=alna,ab=a2lna?

設g(%)=%21nx,g'(x)=2xlnx+x=x(21nx+l),取g'(x)=0,解得毛

（、口1

故函數在上單調遞減，在2

0,e—5e-5,+s上單調遞增，故g（x）1nhi=ge

2e

I）I）/

故選：A.

【點睛】

本題考查函數的切線問題，利用導數求最值，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.

9、B

【解析】

首先由|A5|=行求得雙曲線的方程，進而求得三角形的面積，再由三角形的面積等于周長乘以內切圓的半徑即可求

解.

【詳解】

由題意6=1將％=代入雙曲線C的方程，得'=±4則2=四,“=點,0=追,由

aa

\AF2\-\AFl\=\BF2\-\BFl\=2a=2y/2,^^ABF2的周長為

\AF2\+\BF2\+\AB\=2a+\AF1\+2a+\BFl\+\AB\=4a+2\AB\=672,

設AABK的內切圓的半徑為廣，則工x6四廠=、2抬\應,廠=且,

223

本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查三角形的內心的概念，考查了轉化的思想，屬于中檔題.

10、A

【解析】

分析：題設的直線與拋物線是相離的，4+4可以化成4+1+4-1，其中4+1是點p到準線的距離，也就是p到

焦點的距離，這樣我們從幾何意義得到4+1+4的最小值，從而得到4+4的最小值.

y2=

詳解：由①得到3/+16y+48=0,A=256-12x48<0,故①無解，

[3x+4y+12=0

所以直線3x+4y+12=0與拋物線是相離的.

由4+人=4+1+4-1，

而4+1為p到準線x=—1的距離,故4+1為P到焦點b(1,0)的距離，

11x3+0x4+121

從而4+1+%的最小值為F到直線3尤+4y+12=0的距離J一廠_丁1=3,

"A/32+42

故4+4的最小值為2,故選A.

點睛：拋物線中與線段的長度相關的最值問題，可利用拋物線的幾何性質把動線段的長度轉化為到準線或焦點的距離

來求解.

11、B

【解析】

方法一：令gO)=or-tanx,則/(x)=此g(x),g'(x)=a——二，

cosX

當〃01,萬)時，g(JT)<0,g(%)單調遞減，

7T

Axe(——,0)時，g(x)>g(0)=0,f(x)=x-g(x)<0,且「(尤)=xg'(x)+g(x)>。，

2

TT

廣。)>0,即/(X)在(一耳,0)上單調遞增，

兀

xe(0,—)時，g(x)<g(0)=0,f(x)=x-g(x)<0,且/(x)=xg'(x)+g(x)<0,

2

7T

.?.廣(x)<0,即f(x)在(0,耳)上單調遞減，.?.xnO是函數/(尤)的極大值點，滿足題意；

711

當。>1時,存在re(0,5)使得cosr=區(qū)，即g⑺=0,

177

又g3=a-一J在(0,7)上單調遞減，...xee/)時，g(x)>g(O)=O,所以/(尤)=*超。)>。，

cosx2

這與X=0是函數的極大值點矛盾.

綜上，a<l.故選B.

方法二：依據極值的定義，要使％=0是函數/(尤)的極大值點，須在x=0的左側附近，/(%)<0,即方-tanx>0；

在％=0的右側附近，f(x)<0,即ox—tanx<0.易知，。=1時，V=四與y=tan尤相切于原點，所以根據'

與丁=1311尤的圖象關系，可得aWl,故選B.

12、B

【解析】

間接法求解，兩盆錦紫蘇不相鄰，被另3盆隔開有看看，扣除郁金香在兩邊有2M出，即可求出結論.

【詳解】

使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有國種，

然后將3盆錦紫蘇放入到4個位置中有A：種，

根據分步乘法計數原理有用團，扣除郁金香在兩邊，

排2盆虞美人、1盆郁金香有2尺種，

再將3盆錦紫蘇放入到3個位置中有用,

根據分步計數原理有2月國，

所以共有用團-2&制=120種.

故選:B.

【點睛】

本題考查排列應用問題、分步乘法計數原理，不相鄰問題插空法是解題的關鍵，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、(1,+℃)

【解析】

根據條件構造函數F(x)=△?,求函數的導數，利用函數的單調性即可得到結論.

ex

【詳解】

設廠(x)=旦0,

ex

則F，G)J—”

ex

r(x)>/(x),

：.F'(x)>0,即函數尸(x)在定義域上單調遞增.

???/〃力<“21)

于(——,—■——,即F(x)<F(2x-l)

?*-x<2x-l,即x>l

二不等式ex-xf(x)</(2x-l)的解為(1,+s)

故答案為：(1,內)

【點睛】

本題主要考查函數單調性的判斷和應用，根據條件構造函數是解決本題的關鍵.

14、1

【解析】

可看出“W。，這樣根據4'、5。0即可得出。=2,從而得出滿足條件的實數。的個數為L

【詳解】

解：AfB豐0,

."=2或〃一,

Cl—t-

在同一平面直角坐標系中畫出函數V=x與尸院的圖象,

〃無解，則滿足條件的實數〃的個數為1?

故答案為：1.

【點睛】

考查列舉法的定義，交集的定義及運算，以及知道方程無解，屬于基礎題.

人一C

15、I￥

【解析】

利用兩角和的正切公式結合tan，+：=3可得出tan。的方程，即可求出tan。的值，然后利用二倍角的正、余弦公

式結合弦化切思想求出cos2。和sin2。的值，進而利用兩角差的余弦公式求出cos2，-?的值.

【詳解】

tan0+1

tan18+巳J=3n=3。ntan0八=—1

1一tan。29

222

八八2八.2八cos0-sin01-tan03

cos2,=cos6/-sin，=--------------=----------=一

cos26^+sin201+tan205

.”c.八八2sin6^cos<92tan84

sin2,=2sin<9cos，=——--------；-=——-----=—

sin0+cos3tan0+15

7

二.cos126一(=(cos20+sin26)=—&.

故答案為：—；7版

210

【點睛】

本題主要考查三角函數值的計算，考查兩角和的正切公式、兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦

化切思想的應用，難度不大.

16、325

【解析】

根據數據先求出九=0.02,再求出1分鐘至少能做到30個仰臥起坐的初三女生人數即可.

【詳解】

解：(0.015+x+0.035+x+0.01)-10=1,

x=0.02.

則1分鐘至少能做到30個仰臥起坐的初三女生人數為[1-(0.015+0.02)-10]-500=325.

故答案為:325.

【點睛】

本題主要考查頻率分布直方圖，屬于基礎題.

三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

【解析】

2b之c

(I)由題意可得里=3,e=—,a2^b2+c2,解得即可求出橢圓的C的方程;

aa

(II)由已知設直線/的方程為產《(x-2)，(際0),聯立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用根

與系數的關系求得B的坐標，再寫出所在直線方程，求出H的坐標，由解得yH.由方程組消去y,解

得為，由NMQ4WNM4O,得到xM21,轉化為關于k的不等式，求得k的范圍.

【詳解】

(I)因為過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為3,

2b1

所以且=3,

a

11

因為橢圓離心率e為不，所以c一=彳，

2a2

又〃=廿+，

解得a=2,c—ltb=6,

22

所以橢圓C的方程為L+匕=1；

43

（II）設直線/的斜率為左億。0）,則丁=4（％-2）,設8（4,力），

y=攵(％-2)

2

由/y_得(4K+3)尤2—16汰2^+16汰2—12=0,

[43

解得尤=2,或X=咚、，由題意得％

4左2+34左2+3

u*T2k

從而為=*'

由（I）知，F（l,0）,設〃（0,%）,

所以切=（-1,%）,“=（]—Q-4P,￡]），

因為3尸，彼，所以B戶-HF=0,

所以W+禺"解得

19一4"2

所以直線的方程為丫=-+

k12k

y=左(％-2)

2042+9

設/國，坨），由,2消去兒解得X"=

19-4k12(42+1)'

y=——x+

'k12k

在AM4O中，ZMOA<ZMAO\MA\<\MO\,

222

即(與-2)+yMxM+yM,

20k2+9,

所以與'I'即可臼

解得小4或T

所以直線/的斜率的取值范圍為-8,-,+8.

7

【點睛】

本題考查在直線與橢圓的位置關系中由已知條件求直線的斜率取值范圍問題，還考查了由離心率求橢圓的標準方程,

屬于難題.

18、(1)6>=y(pe7?)(2)

【解析】

(1)先消去參數根，化為直角坐標方程>=氐，再利用丁=Q5由。,％=。(：056求解.

F一2「cos8-2=0

(2)直線與曲線方程聯立｛5，得P2—夕一2=0,求得弦長

、一§

忸q=|q—聞=］屹+夕2)2—4pg和點A浮到直線/的距離d=2誓sin(q￡—再求，45C的

面積.

【詳解】

(1)由已知消去加得y=則夕sin。=JWpcos。，

TTJT

所以6=1,所以直線/的極坐標方程為。=§(夕eR).

「2一2「cos8-2=0

(2)由<JI,得夕~一夕一2=0,

、一§

設3,C兩點對應的極分別為01，02，則夕1+夕2=1，P\P［=-2,

所以忸。|=|夕1_夕21=，(21+夕2)2-4夕10=3，

又點A［3￡,2?［到直線/的距離［=2些sin(22—工］=行

I33J3I33J

所以SABC=^\BC\d=

【點睛】

本題主要考查參數方程、直角坐標方程及極坐標方程的轉化和直線與曲線的位置關系，還考查了數形結合的思想和運

算求解的能力，屬于中檔題.

19、(1)證明見解析⑵旦

3

【解析】

(1)連接AG交4。于點歹，由三角形中位線定理得BG//D/，由此能證明3￡//平面4CD.

(2)以C為坐標原點，C4的方向為x軸正方向，CB的方向為，軸正方向，CG的方向為z軸正方向，建立空間直

角坐標系孫z.分別求出平面的法向量和平面ACE的法向量，利用向量法能求出二面角。-4C-E的余

弦值.

【詳解】

證明：證明：連接AC交4c于點口，

則r為AG的中點.又。是AB的中點，

連接則尸.

因為。尸u平面A。。，Bq/平面4。。，

所以3￡//平面A。。.

(2)由懼=AC=C3=*A5=0,可得：AB=2,即AC?+=.2

所以AC_L3C

又因為ABC-451cl直棱柱，所以以點C為坐標原點，分別以直線C4、CB、CQ為工軸、y軸、z軸，建立空間直

角坐標系，則C(0,0,0)、4(3,0,3))、D與，號,0、E0,0,￡),

CA=(V2,0,V2),CD=—,—,0,CE=0,V2,—

I22JI27

設平面4。的法向量為"=(x,y,z),貝！|〃.C￡)=0且止區(qū)=。，可解得丁=一工=2,令％=1,得平面人。。的

一個法向量為n=(1,-1,-1),

同理可得平面ACE的一個法向量為加=(2,1，-2),

貝！Icos<n,m>-

3

所以二面角D-A.C-E的余弦值為1.

3

本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

20、(1)漢I0.(2)0.

15

【解析】

(1)以A為原點，A3為x軸，AZ)為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標系，則BE=(-1，0,2),CP=(-2,

-1,1),計算夾角得到答案.

2%

(2)設EP=/IED，0<2<1,計算尸(0,22,2-22),計算平面APC的法向量“=(1,-1,---------),平面AOf

2-22

的法向量機=(1,0,0),根據夾角公式計算得到答案.

【詳解】

(1)'：BAF=90°,：.AF±AB,

又?..平面A8E尸_L平面ABCD,且平面A3E歹n平面ABCD=AB,

尸工平面A5CZ),又四邊形A5CD為矩形，

；?以A為原點，A3為x軸，為y軸，A尸為z軸，建立空間直角坐標系，

,：AD=2,AB=AF=2EF=2,尸是。尸的中點，

：.B(2,0,0),E(1,0,2),C(2,2,0),P(0,1,1),

BE=(T，0,2),CP=(-2,-1,1),

設異面直線BE與CP所成角的平面角為e,

BECP\42A/30

則COSO-------?=—F=一斤='

BE\\CFyV5-V615

二異面直線BE與CP所成角的余弦值為2叵.

15

(2)A(0,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2),D(0,2,0),

設P(a,b,c),FP=AFD>0<2<l,即(a,b,c-2)=2(0,2,-2),

解得a=0,b=21,c=2-27,：.P(0,2A,2-2A),

AP=(0,2A,2-24),AC=(2,2,0),

設平面APC的法向量〃=（x,y,z）,

n-AP=22y+(2-22)z=0,24)

則"7,取x=L得”=(1,

n-AC=2x+2y=02-24

平面AOP的法向量加=（1,0,0）,

?.?二面角D-AP-C的正弦值為逅,

/.\cos<m,ri>\

解得人;，(0,1,1),

PF的長度|PF|二J(0-0)2+(1—0)2+(1—2)2=y/2.

z

X

【點睛】

本題考查了異面直線夾角，根據二面角求長度，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.

21、（I）詳見解析；（II）能，4-幣或4+幣.

【解析】

試題分析：（1）設直線/：y=H+b（左力。//0）,直線方程與橢圓方程聯立，根據韋達定理求根與系數的關系，并

表示直線的斜率，再表示［.：:；

9

（2）第一步由（1）得。河的方程為丁=-7%.設點尸的橫坐標為修，直線與橢圓方程聯立求點尸的坐標，第

k

二步再整理點一的坐標，如果能構成平行四邊形，只需一-二.，，如果有值，并且滿足左＞0,k/3的條件就說

明存在，否則不存在.

試題解析：解：⑴設直線/：y=H+人（左wO,bw。），AU，%）,B（x2,y2）,

y=kx+bcc

工由,(^2+9)x2+2kbx+b2-m2=0

9x9+y9=m99

x+x9kb779b

%M二=Q,yK/f-k^M+b=-z?

M2k~+9MMk2+9

直線OM的斜率=