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文檔簡介
2024年浙江省高考數(shù)學(xué)模擬試題(新高考適用)
一、單選題
1.命題“玉eR,尤2<1”的否定是()
A.VxeR,x2..1B.V%eR,x2,,1C.V尤eR,f>lD.V%eR,x2<1
2.已知復(fù)數(shù)Z1=2+i,Z2=l—ai(aeR),且z「馬為純虛數(shù),則立=()
Z2
A.y/3B.75C.1D.76
3.已知正項等比數(shù)列{為}的前〃項和為S“,若Se=6,貝U8S3+S9的最小值為()
A.18B.24^/2C.30D.33
4.在ABC中,BC=a>CA=b,則AB等于()
A.a—bB.b-aC.a+bD.-a—b
5.一個容量為10的樣本,其數(shù)據(jù)依次為:9,2,5,10,16,7,18,23,20,3,則
該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為()
A.15B.16C.17D.18
JT
6.已知函數(shù)〃x)=asin(ox),a>0,了(無)向右平移§個單位長度后的圖象與原函數(shù)圖
象重合,f(x)的極大值與極小值的差大于15,則。的最小值為()
A.6B.7.5C.12D.18
7.設(shè)函數(shù)/(司=小幺在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,則〃的取值范圍是()
A.(-co,2]B.(-<%>,4]C.[2,+oo)D.[4,+oo)
8.已知拋物線C:y?=4x與過焦點/的一條直線相交于A,B兩點,過點P且垂直于
弦的直線交拋物線的準線/于點則下列結(jié)論正確的是()
A.準線/的方程是x=-2B.以AB為直徑的圓與丁軸相切
\AB\
C.的最小值為2D.一的面積最小值為2
二、多選題
9.已知S“工分別是數(shù)列{%},也}的前n項和,
1
A.an=2-B.S2=4
10.已知函數(shù)/(x)=JIcos,則(
/w的一個對稱中心為兀,。
B./(九)的圖象向右平移9個單位長度后得到的函數(shù)是偶函數(shù)
O
57r7
C.7⑴在區(qū)間—上單調(diào)遞減
OO
D.若/CO在區(qū)間(。,加)上與y=l有且只有6個交點,則根e(2兀,一
11.如圖所示,在平行六面體-ABCD中,。為正方形45co的中心,
AA=AC=AB,M,N分別為線段AAAB的中點,下列結(jié)論正確的是()
。G
GCy平面0MN
B.平面AC。平面QWN
C.直線MN與平面所成的角為45
OM1D.D
、填空題
12.小明所在的公司上午9:00上班,小明上班通常選擇自駕、公交或地鐵這三種方式.
若小明選擇自駕,則從家里到達公司所用的時間(單位:分鐘)服從正態(tài)分布M(38,25);
若小明選擇地鐵,則從家里到達公司所用的時間(單位:分鐘)服從正態(tài)分布例(45,9);
若小明選擇公交,則從家里到達公司所用的時間(單位:分鐘)服從正態(tài)分布2(36,16).
若小明上午8:12從家里出發(fā),貝U選擇_____上班遲到的可能性最小.(填“自駕”“公交”
或“地鐵”)
試卷第2頁,共6頁
參考數(shù)據(jù):若X,則尸(〃-〃+。)。68.3%,
P(//-2cr<X<〃+2b)a95.4%,P(//-3cr<X<4+3b卜99.7%
13.已知曲線c:x2+(>一根y=2和G:y=x+2,G:y=|%|+2,若。與G恰有一個公共
點,則實數(shù);若。與G恰有兩個公共點,則實數(shù)機的取值范圍是.
14.已知戶(知兒)是圓C:(尤-+V=1上任意一點,則近)的取值范圍為.
40+1
四、解答題
15.某校對高二年級選學(xué)生物的學(xué)生的某次測試成績進行了統(tǒng)計,隨機抽取了80名學(xué)
生的成績作為樣本,根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻率分布統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:
分組頻數(shù)頻率
[60,70)160.2
[70,80)50n
[80,90)10P
[90,100]40.05
合計801
w頻率
(1)求表中〃,P的值和頻率分布直方圖中a的
(2汝口果用分層抽樣的方法,從樣本成績在[60,70)和[90,100]的學(xué)生中共抽取5人,再從
這5人中選2人,求這2人的成績在[60,70)的概率.
,、21,
16.已知數(shù)列{%}的前"項積為勾,且7+一=L
an
⑴證明:也}是等差數(shù)列;
(2)從{"}中依次取出第1項,第2項,第4項……第2片項,按原來順序組成一個新數(shù)
列{1},求數(shù)列>(G-1)}的前〃項和.
試卷第4頁,共6頁
17.如圖,在三棱臺ABC-A耳G中,NBAC=90。,AA1平面ABC,AB=AC=24弓=2,
且。為BC中點.
(1)證明:3。工平面44。;
(2)若AA=6,求此時平面ABC和平面\CD所成角的余弦值.
18.已知橢圓C:5+/=l(a>6>0)的焦距為2,且經(jīng)過點
⑴求橢圓C的方程;
⑵經(jīng)過橢圓右焦點b且斜率為左(心0)的動直線/與橢圓交于A、3兩點,試問x軸上是
否存在異于點尸的定點T,使得直線7A和7B關(guān)于x軸對稱?若存在,求出T點坐標,
若不存在,說明理由.
b
a
19.已知點門(見也)滿足〃用=rPn+\,bn+i匚方(〃eZj,且6(1,T),過點《、P2
的直線為I.
(1)證明:對于任意的〃eZ+,點匕均在直線/上;
k
(2)求對所有〃eZ+,均有(1+%)。+%)(1+%)27n『=的最大實數(shù)/的值.
試卷第6頁,共6頁
參考答案:
1.A
【分析】將特稱量詞改為全稱量詞,再否定結(jié)論即可得解..
【詳解】因為命題“IXER,/<1”是存在量詞命題,
所以其否定是全稱量詞命題,即
故選:A.
2.C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則化簡4?引,由純虛數(shù)的概念求出。,由復(fù)數(shù)的除法運算
以及復(fù)數(shù)的模長公式可得結(jié)果.
【詳解】復(fù)數(shù)Z]=2+i,Z2=ji,則為Z=(2+i)(l+*=(2—a)+(2a+l)i,
[a—2=0
依題意得,c,C,解得。=2,即z?=l_2i,
[2。+1*0
4_2+i(2+i)(l+2i)5i.
-------------------------------__—1
z2l-2i(l-2i)(l+2i)一5一’
所以五=L
故選:C.
3.C
【分析】設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為4,則4>。,由已知可得出$3=號,可得出
6(1+43:/),化簡得出8s3+w=6(i+q3)+K-6,利用基本不等式可求得8s3+Sg
91+/i+q
的最小值.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為4,則q>0,
則=q(1+4+q?+d+q,+q,)=4(1+q+/乂]+/)-S3(1+/)=6,
所以,邑=15,
11
貝1s9=ax{\+q+q++/)=q(l+q+/)(l+q3+.)二邑(1+,3+,6)=_(——,;),
答案第1頁,共12頁
所以,8s3+S9?業(yè)JU+7+里
1+q1+g1+ql+q
[(i+q3)—20+0+1
6(l+^3-l)2=6+1?
=6+々+
1+夕31+q31+q31+q3
=6(l+<?3)+j!^y-6>2^6(l+^)-j1^--6=36-6=30,
,、54
當且僅當6(l+g3)=L(q>0)時,即當q=蚯時,等號成立,
因此,8邑+Sg的最小值為30.
故選:C.
4.D
【分析】利用平面向量加法的三角形法則結(jié)合相反向量的定義可得結(jié)果.
【詳解】由已知可得BA=BC+cA=a+b,^AB=-BA=-a-b-
故選:D.
5.D
【分析】將這些數(shù)從小到大重新排列后結(jié)合百分位數(shù)的定義計算即可得.
【詳解】將這些數(shù)從小到大重新排列后為:2,3,5,7,9,10,16,18,20,23,
10x0.75=7.5,則取從小到大排列后的第8個數(shù),
即該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為18.
故選:D.
6.C
【分析】寫出平移后解析式,由它與原函數(shù)相同,結(jié)合周期性得。的表達式,再由極大值與
極小值的差大于15得”的范圍,從而可得結(jié)論.
【詳解】平移后函數(shù)式為〉=儂皿。(尤-§=asin(以-卷),它與原函數(shù)一樣,則
^^=2k兀,kwZ,a=6k,keZ,
3
/(x)是正弦型函數(shù),極大值與極小值的差是2a,由題意2a>15,。>7.5,
所以。的最小值是12.
故選:C.
7.D
答案第2頁,共12頁
【分析】根據(jù)題意,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,列出不等式,代入計算,即可得到結(jié)果.
【詳解】函數(shù)片3、在R上單調(diào)遞增,而函數(shù)〃尤)=亦川在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,
所以y=|2x-4在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞減,所以晟22,解得a1.
故選:D.
8.C
【分析】根據(jù)拋物線方程,結(jié)合準線定義即可判斷A;當直線A3斜率不存在時,計算可得
此時以"為直徑的圓不與y軸相切,即可判斷B;對于CD:分直線A3斜率存在以及不存
在兩種情況分別討論,即可求解.
【詳解】對于A:由拋物線的方程可知其焦點為(1,0),故準線/的方程為:x=-l,故A錯
誤.
對于B:當直線A3的斜率不存在時,即A8直線方程:x=l,易得|A3|=2p=4,
則以48為直徑的圓半徑為2,此時不與y軸相切,故B錯誤.
14^
((\_
"
Illi\AB
對于C:①當直線AB的斜率不存在時,易得|AB|=2p=4,|MF|=2,二佑=2;
②當直線A3的斜率存在時,設(shè)直線A3的方程為,=左(%-1)小工0),3(孫為),
由『二》;。,得嚴/-2(后2+2卜+左2=0,
得△=16(/+1)>。,占+々=2([:2),2=1,
.?.網(wǎng)=行上一引=正反匡回二二=坐已,
uKK
X——1(X
易知直線產(chǎn)用的方程為y=由_11V得M-1],
答案第3頁,共12頁
4因
\MF\=22+>2,
\AB\
綜上所得,謁的最小值為2,故C正確.
對于D:當直線A3的斜率不存在時,易得|AB|=2p=4,|MF|=2,
所以SABE=;|A斗慳司=4;
當直線A3的斜率存在時,S=^\AB\-\MF\=^x
故當匕->0時,5成£取得最小值,且此時最小值為4,故D錯誤.
故選:C.
【分析】選項A,根據(jù)條件得到“22時,凡=2"\再檢驗為是否滿足,即可判斷出選項A
的正誤;選項B,根據(jù)條件可直接求出邑=4,即可判斷出結(jié)果;選項C,通過放縮
n2+n>n+^->0,即可得出結(jié)果;選項D,根據(jù)條件,利用裂項相消法即可求出結(jié)果.
2
【詳解】對于選項A,因為S,i=%(〃22)①,所以S“=a向②,
②-①可得a?=an+l-an,即an+l=2an,(n>2),
又q=2,所以a1=Sj=出=2,
2n-2
所以當"22時,an=a2q"~=2x2=2"”,
又4=1,不滿足4=2"\
答案第4頁,共12頁
2,n=l
故為=“,所以選項A錯誤;
2,n>2
對于選項B,令〃=2,得4=%=2,故52=%+。2=4,故選項B正確;
對于選項C,因為或="~=~,由于/+〃>〃+7>。恒成立,
nx(n+l)n+n2
2
故勿―所以選項C正確;
2〃+1
71111
對于選項D,因為么=:)"=―(n=77,
log2an+x-log2an+2nx(n+l)nn+1
所以4+%++4。=(1一;]+[:-:]+==所以選項D正確.
故選:BCD.
10.AC
【分析】對A,代入驗證即可;對B,根據(jù)平移的原則即可判斷;對C,利用整體法即可判
斷其單調(diào)性;對D,找到第7個點的橫坐標,則得到優(yōu)的范圍.
【詳解】對A,由了0cos—2x—|=0,故A正確;
48)
對B,/⑺的圖象向右平移券個單位長度后得
O
故B錯誤;
,、”「5兀7兀1,rs5?!?兀-
對C,當x£—-,——時,則2x+—-e--,3兀,
_88J4\_2_
5兀7兀
由余弦函數(shù)單調(diào)性知,/(九)在區(qū)間—上單調(diào)遞減,故C正確;
OO
對于D,由/'6)=1,得cos(2x+型]=交,解得x=&+fai或x=二+航,kwZ,
(4)242
/(x)在區(qū)間(0,租)上與y=l有且只有6個交點,
其橫坐標從小到大依次為:y,g,斗,尋,,,斗,
424242
而第7個交點的橫坐標為13耳兀,,S羋ir〈根〈1耳3兀,故D錯誤.
424
故選:AC.
11.BCD
【分析】A選項,判斷4A和平面OMN關(guān)系可得答案;
答案第5頁,共12頁
B選項,注意到MN平面Ac。,ON,平面ACD,即可判斷選項正誤;
C選項,注意到AO_L平面4臺。,MNAB,則MN與平面人3。所成的角即為A3與平面
所成的角;
D選項,題目數(shù)據(jù)及勾股定理逆定理可得AC,AA,后由MOAC,D.DAA可判斷選
項正誤.
【詳解】對于A,若GCy平面OMN,因為GC44,則/平面OWN,或AAu平
面OAW,而AA和平面OMN相交,故A錯;
對于B,因為M,N分別為線段AAAB的中點,所以MNABC0MNZ平面ACRC。u
平面AC。,所以MN/平面A。。,因為O,N分別為線段BD,AB的中點,所以O(shè)N
4。,。"<2平面4。。4。匚平面4。。,所以O(shè)N,平面AC2MNCON=N,MNU平面
OMN,ONu平面QWN,所以平面AC£>,,平面QWN,故B正確;
對于C,由于AC1BD,且AA=AC,故ACJL4。,而其。BD=O,故A。,平面,
而MNAB,故MN與平面所成的角即為48與平面所成的角,又A8與A。夾
角為45,即直線MN與平面48。所成的角為45,故C正確;
對于D,設(shè)AA=AC=AB=a,則4。=缶,顯然+A。?=AC?,A,C1A,由MO
AC,所以MO^AA,而DQAA,所以。M,2。,故D正確.
故選:BCD.
【分析】由題意可知從家里到達公司所用的時間不超過48分鐘,小明就不會遲到,由此計
算三種方式下P(X>48)的值,比較大小,即可得結(jié)論.
答案第6頁,共12頁
【詳解】由題意可知從家里到達公司所用的時間不超過48分鐘,小明就不會遲到;
1-954%
若選擇自駕,則P(X>48)=P(X>〃+2b)n---;
1_(ZQ4%
若選擇地鐵,則P(X>48)=P(X>〃+b)。---;
1-997%
若選擇公交,貝|P(X>48)=P(X>〃+3b)。---,
h1—68.3%1-95.4%1-99.7%
而————>——z——>——-——,
222
故選擇公交上班遲到的可能性最小,
故答案為:公交
13.0或4(2-亞,2+&)U{4}
【分析】若c與G恰有一個公共點,結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析求解;若c與c?恰有兩
個公共點,結(jié)合對稱性可知C與C?在(0,+8)內(nèi)只有1個交點,且C不過(0,2),聯(lián)立方程
可得關(guān)于尤方程2三+2(2-根)工+(2-m)2-2=0只有一個正根,且根不為0,結(jié)合二次函數(shù)
零點分布分析求解.
【詳解】由題意可知:曲線C:Y+(y)2=2表示圓心為。(0,機),半徑為0的圓,
若c與G:x-v+2=o恰有一個公共點,則口力=百,解得m=0或加=4;
因為C與CZ均關(guān)于y軸對稱,注意到孰與y軸的交點為(0,2),
若C與C?恰有兩個公共點,等價于。與C?在(0,+e)內(nèi)只有1個交點,且C不過(0,2),
此時。2:y=工+2,
y=x+2
聯(lián)立方程<2/$消去y得2爐+2(2-根)%+(2)2-2=0,
x+yy-m)=2
即關(guān)于x方程2爐+2(2-加)x+(2-加了一2=0只有一個正根,且根不為0,
A=4(2-m)2-8[(2-m)2-2]=0[A=4(2-m)2-8P(2-m)2-21>0
則加一2或2L」,
—>0[(2-m)2-2<0
神軍得機=4或2一0vv2+,
所以實數(shù)m的取值范圍是(2-0,2+夜)U{4}.
答案第7頁,共12頁
故答案為:0或4;(2-^/2,2+72)U{4}.
14.因「41
【分析】設(shè)發(fā)=",變形可得人(%+1)-%-1=。,利用”的幾何意義轉(zhuǎn)化為直線與圓
的位置關(guān)系即可求解.
【詳解】設(shè)發(fā)=",變形可得左5+1)-%—1=0,
玉)十1
則”的幾何意義為直線上(彳+1)-y-1=0的斜率,
X0十1
戶(知幾)是圓C:(x-l)2+y2=i上任意一點,圓心(1,0),半徑為1,
2fc-l4
則與"wl,mo<k<~,
收+13
即』y0七+1的取值范圍為P04,~-.
毛+1L3J
「41
故答案為:0,§.
15.(1)/1=0.625,P=0.125,?=0.0625;
【分析】(1)根據(jù)給定的頻率分布表,利用頻率的意義求出〃,P,再利用頻率分布直方圖求
出。作答.
(2)利用分層抽樣求出5人中,每個分數(shù)段的人數(shù),再利用列舉法求出概率作答.
【詳解】⑴依題意,?=—=0.625,^=—=0.125,4=0.625+10=0.0625.
8080
(2)樣本成績在[60,70)和[90,100]的學(xué)生的人數(shù)之比為16:4=4:1,
因此抽取5人中成績在[60,70)的有4人,記這4人為a,b,c,d,成績在[90,100]的有1人,
記為E,
從這5人中任選2人,有ab,ac,ad,aE,bc,bd,bE,cd,cE,dE,共10個結(jié)果,
其中這2人成績均在[60,70)內(nèi)有ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6個,
所以這2人成績均在[60,70)內(nèi)的概率為A=|.
16.(1)證明見解析
(2)(n-l)-2"+1+2
答案第8頁,共12頁
21b2b,
【分析】(1)由三+—=1,?!?廣,代入可得廠+$=1,化簡即可證明結(jié)論;
ba
??bnbn
(2)由等差數(shù)列的通項公式可得從而得到數(shù)列{%}的通項公式,利用錯位相減即可求
得結(jié)果.
b
【詳解】(1)因為數(shù)列{凡}的前〃項積為2,所以%=廣("22,〃€4),
21?2b,
又因為7+一=1,所以7+;2=1A,
b“a?bnbn
化簡可得b?-么-=2(〃22,〃eN*),
21,
當〃=i時,—+—=1,解得:4=3,
瓦「
所以也}是等差數(shù)列,首項為3,公差為2.
(2)由(1)可得么=3+2(九-1)=2"+1,
所以%=%=2.2"T+1=2"+1,故〃(c“-1)=〃?2',令數(shù)列{〃(g-1)}的前"項和為7;,
貝!=1X2+2X2?+3X23++小2”①
27;,=1X22+2X23+3X24++(M-1)-2"+M-2"+1@
①-②可得:-7;=1x2+1x22+1x23+.+1X2"-M-2"+1
化簡可得:T?=2+(n-V)-2n+l,
所以數(shù)列{〃&T)}的前〃項和北=2+(”-1).2前
17.(1)證明見解析
⑵粵
【分析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理即可得證;
(2)依題意建立空間直角坐標系,分別求得平面AC。和平面A3C的法向量,再利用空間
向量法即可得解.
【詳解】(1)因為平面A8C,8CU平面ABC,所以AALBC.
又因為A8=AC,。為2C中點,所以AD13C,
答案第9頁,共12頁
又AAAD=A,且AA,4。u平面4A。,
所以3C,平面A】A。;
(2)依題意,以A為坐標原點,AB,AC,A4,所在直線分別為x軸,)軸,z軸建立如圖所
示的空間直角坐標系A(chǔ)-邙,
則4(0,0,0),8(2,0,0),。(0,2,0),4僅,0,6),。(1,1,0),
所以麗=(1,1,-@,4=(0,2,_石),
設(shè)平面AC。的一個法向量為〃=(&%,zj,則4。力=。,4。"=0,
%—=0
所以《可取M=l,貝5=(后君,2卜
2yl_后1=0
又易知平面A3C的一個法向量為m=(0,0,1),
設(shè)平面ABC和平面AC。所成角為凡
E八II|加力|2JI6
貝I]cos6=cos>m,〃制=,,=---=---
11同網(wǎng)lx>/3z+3+45
故平面ABC和平面所成角的余弦值為手.
尤2
18.⑴」2匕V=1
43
⑵存在;7(4,0)
【分析】(1)將帶入橢圓的方程求解即可;
(2)將直線Z4和關(guān)于x軸對稱轉(zhuǎn)化為七「+原7=0,然后聯(lián)立直線和橢圓的方程求解即
可.
答案第10頁,共12頁
22
【詳解】⑴橢圓C:t+2=l(a>6>0)的焦距為2,故c=l,
ab
過點尸+且/=〃+°2,
聯(lián)立解得:a=2,b=V3.
橢圓右焦點為“1,0),
故過橢圓右焦點F且斜率為k(kw0)的動直線I為:y=1),
22
和橢圓:+5=1聯(lián)立得:(4左2+3)尤2-8右元+43-12=。,
A=64--4(4左②+3)(4公-12)=144(F+1)>0,
設(shè)4(%,%),3(工
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