專題03 半角模型（原卷版）

專題03半角模型【模型說明】應(yīng)用：①利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形；②利用翻折構(gòu)造全等三角形。【例題精講】例1．（三角形中的半角模型）問題情境在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點M，N，點D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如圖1，當(dāng)DM＝DN時，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系為；歸納證明（3）如圖2，當(dāng)DM≠DN時，在NC的延長線上取點E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展應(yīng)用（4）△AMN的周長與△ABC的周長的比為．例2．（四邊形中的半角模型）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．實際應(yīng)用：如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達(dá)，經(jīng)測量得，BE＝10米，DF＝15米，試求兩涼亭之間的距離EF．例3．（培優(yōu)綜合）如圖1所示，已知點在上，和都是等腰直角三角形，點為的中點.（1）求證：為等腰直角三角形；（2）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，（1）中的“為等腰直角三角形”是否仍然成立？請說明理由；（3）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖3所示，（1）中的“為等腰直角三角形”成立嗎？請說明理由.【變式訓(xùn)練1】如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22【變式訓(xùn)練2】如圖，是邊長為2的等邊三角形，是頂角為120°的等腰三角形，以點為頂點作，點、分別在、上．（1）如圖①，當(dāng)時，則的周長為______；（2）如圖②，求證：．【課后作業(yè)】1.在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關(guān)系．（1）如圖1，當(dāng)點M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時；（2）如圖2，點M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時，猜想（I）問的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結(jié)論；若不成立請說明理由．（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．2．如圖．在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF∠BAD，求證：EF＝BE﹣FD．3．如圖①，四邊形ABCD為正方形，點E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=45°，易證：AE+CF=EF（不用證明）．（1）如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，點E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB與∠BCD互補，點E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=α，請直接寫出AE，CF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明．4．已知：正方形中，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于點．當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證．（1）當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖2），線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明．（2）當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段和之間又有怎樣的