2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練-圖形與坐標(biāo)的性質(zhì) (二)

備考2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練專題28圖形與坐標(biāo)的性質(zhì)

一、選擇題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中箭頭方向排列，如④，0),a,o),

a,1),(2,2),(2,1),(1,0),<3,0),…，根據(jù)規(guī)律探索可得，第31個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.a,5;B.a,4；c.a,39D.a,2)

2.如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中“一”方向排列，如(1,0),(2,0)，

(2,1),(3,1),(3,O),(3,-1),...?根據(jù)技個(gè)規(guī)律探索可得，第100個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為()

C.(14,1)D.(14,2)

3.我們把1,1,2,3,5,8,13,21,…這組數(shù)稱為斐波那契數(shù)列，為了進(jìn)一步研究,依次以這列

數(shù)為半徑作90。圓弧P$2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋線，然后順次連結(jié)P1P2,P2P3,

P3P4,…得到螺旋折線(如圖)，已知點(diǎn)P1(0,1),P2(-1,0),P3(0,-1),則該折線上的點(diǎn)P9

的坐標(biāo)為()

A.(-6,24)B.(-6,25)C.(-5,24)D.(-5,25)

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中“一”方向排列，如(1,0),(2,0),

(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),(4,0),……，根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索可得第2023個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是()

/(5,4)

1

?(43)1(5,3)

?(3,2)L4,2)!(5,2)

/!tI

f2J)j(3“(4,l)(5」)

>

(L0)*(￡0)(3*0)*4*0)(5*0)*X

A.(63,5)B.(63,6)C.(64,5)D.(64,6)

二'填空題

5.教材在第七章復(fù)習(xí)題的“拓廣探索”中，曾讓同學(xué)們探索發(fā)現(xiàn)：在平面直角坐標(biāo)系中，線段中點(diǎn)的

橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo))分別等于對(duì)應(yīng)線段的兩個(gè)端點(diǎn)的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo))和的一半，例如：點(diǎn)力(1,3),

點(diǎn)B(7,1),則線段的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,2),請(qǐng)利用以上結(jié)論解決問題：在平面直角坐標(biāo)系中,

點(diǎn)E(a+3,a),F(b,a+b+1)若線段EF的中點(diǎn)G恰好在％軸上，且到y(tǒng)軸的距離是3,則

a—b=.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(1,2),X2(2,0),&(3，-2),X4(4,0)……根據(jù)這個(gè)規(guī)律,

探究可得點(diǎn)人2023的坐標(biāo)是.

2-

1/

-V—1~II_1~

2\3,456'、7,89?

-2-

-3-

7.教材上曾讓同學(xué)們探索過線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)4Qi，yQ、B(X2,y2),

所連線段4B的中點(diǎn)是M,則M的坐標(biāo)為("幺，安Z),如：點(diǎn)4(1,2)、點(diǎn)B(3,6),則線段

AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(半，竽)，即M(2,4).利用以上結(jié)論解決問題：平面直角坐標(biāo)系中，若

E^a-l,a),F(b,a-b),線段EF的中點(diǎn)G恰好位于y軸上，且到x軸的距離是1,則4a+b的

值等于.

8.如圖，線段AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(-1,5),5(3,3),線段CD兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為C(5,3)、

D(3,-1)數(shù)學(xué)課外興趣小組研究這兩線段發(fā)現(xiàn)：其中一條線段繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度可得到另一

條線段，請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo).

9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線/：y=x,作4(1,0)關(guān)于y=尤的對(duì)稱點(diǎn)Bi,將點(diǎn)B向右

水平平移2個(gè)單位得到點(diǎn)也；再作出關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)&,將點(diǎn)&向右水平平移2個(gè)單位得到點(diǎn)

A3；....請(qǐng)繼續(xù)操作并探究：點(diǎn)43的坐標(biāo)是，點(diǎn)外014的坐標(biāo)是.

10.如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣.從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩

個(gè)數(shù)字提取出來組成有序數(shù)對(duì)：(3,5)；(7,10)；(13,17)；(21,26)；(31,37)….如果單獨(dú)把每

個(gè)數(shù)對(duì)中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來研究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.請(qǐng)寫出第n個(gè)數(shù)

三、理論探究題

11.定義:在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)a(a,b),B(c,d),若點(diǎn)7(久，y)滿足久==竽,

那么稱點(diǎn)T是點(diǎn)/和B的衍生點(diǎn).例如：M(—2,5),N(8,-2),則點(diǎn)T(2,1)是點(diǎn)M和N的衍生

點(diǎn).已知點(diǎn)￡)(3,0),點(diǎn)E(m,m+2),點(diǎn)7(久，y)是點(diǎn)。和E的衍生點(diǎn).

(1)若點(diǎn)E(4,6),則點(diǎn)T的坐標(biāo)為

(2)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)T的坐標(biāo)(用小表示)；

(3)若直線ET交工軸于點(diǎn)當(dāng)ZDHT=9O。時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

12.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)PQ,y),若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(ay+久，ax+y),其中a為常數(shù)，對(duì)

稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“a級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，例如：點(diǎn)P(l,4)的“2級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”Q(2x4+1,1x2+4),即Q(9,6).

(1)已知點(diǎn)4(2,-1)的：“3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為B,求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)PQ,y)關(guān)于“2級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為(0,3),求P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)(2zn,TH-1)關(guān)于-4級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)在第三象限，求TH的范圍。

13.如圖，直線y=/cc+6與％軸分別交于E,凡點(diǎn)E坐標(biāo)為(—8,0),點(diǎn)4的坐標(biāo)為(―6,0),

(1)求k的值；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在第二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)過程中，試寫出三角形0P4的面積s與％的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自

變量%的取值范圍；

(3)探究：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，三角形0PA的面積為卷，并說明理由.

O

14.閱讀：在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理，求這兩點(diǎn)間

的距離；在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)4(-3,5),B(l,2),求4,B兩點(diǎn)間的距離.過點(diǎn)/作久軸的

垂線，過點(diǎn)B作y軸的垂線，相交于點(diǎn)C,連接ZB..?.4C=|5—2|=3,BC=|1-(-3)|=4,在

Rt△ABC中，由勾股定理得：AB-J24c2+BC?=J32+4?=5，右M(久1,yi)，N(x：2，乃)，從而

得到兩點(diǎn)間的距離公式MN=/(久1-%2)2+(yi-丫2)2.解決下列問題:

一r

圖1圖2

(1)若P(2,4),Q(—3,—8),則PQ兩點(diǎn)間的距離PQ=；

(2)如圖2：點(diǎn)0(3,3),點(diǎn)E(5,-1),則DE=，若OH1DE,則0H=.

15.在8義8的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知A(2,4),B(4,2).C是第一

象限內(nèi)的一個(gè)格點(diǎn)，由點(diǎn)C與線段AB組成一個(gè)以AB為底，且腰長為無理數(shù)的等腰三角形.

(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)是,AABC的面積是；

(2)將AABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180。得到△AiBiCi,連接ABi、BAi,畫出四邊形AB1A1B,并判斷四

邊形ABjAiB是何種特殊四邊形▲；

(3)請(qǐng)?zhí)骄浚涸趚軸上是否存在這樣的點(diǎn)P,使四邊形ABOP的面積等于AABC面積的2倍？若

存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不必寫出解答過程)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)N(x,y)的坐標(biāo)滿足2x-y=2,則我們稱點(diǎn)N為“健康點(diǎn)”；若點(diǎn)

Q(x,y)的坐標(biāo)滿足x+2y=6,則我們稱Q為“快樂點(diǎn)”.

八〉

r-4--

3

2

1

J---->->■

—4—3-2—1O134%

II

“二4

(1)若點(diǎn)4(a,2)是“健康點(diǎn)”，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

(2)在(1)的條件下，若點(diǎn)B是x軸上的“健康點(diǎn)”，點(diǎn)C是y軸上的“快樂點(diǎn)”，如果P為x軸

上一點(diǎn)，且ABPC與AZBC面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4(0,2),B(3,0),過點(diǎn)B作直線/IIy軸，點(diǎn)P是直線1上的動(dòng)

點(diǎn)，以4P為邊在4P右上側(cè)作等腰直角△%「(?，使乙4PQ=90。.

圖1圖2圖3

(1)如圖1當(dāng)點(diǎn)P落在點(diǎn)B時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是；

(2)學(xué)生甲認(rèn)為點(diǎn)Q的坐標(biāo)一定跟點(diǎn)P有關(guān)，于是進(jìn)行了如下探究：

如圖2,小聰同學(xué)畫草圖時(shí)，讓點(diǎn)P落在Pi、P2、「3不同的特殊位置時(shí)(Pi在尢軸上、P2^與左

軸平行、當(dāng)Q落在久軸上時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P3)，畫出了幾個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Q1、＜22、Q3三個(gè)不同的位置，發(fā)現(xiàn)Q1、

Q2、Q3在同一條直線上，請(qǐng)你根據(jù)學(xué)生甲的猜測(cè)及題目條件，求出點(diǎn)Q所在直線的解析式；

(3)在(2)中，雖然求出了點(diǎn)Q所在直線的解析式，但是小明同學(xué)認(rèn)為幾個(gè)特殊點(diǎn)確定解析式

是一種猜測(cè)，當(dāng)點(diǎn)P在/上運(yùn)動(dòng)時(shí)，所有的Q點(diǎn)都在一條直線上嗎？就解設(shè)了點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(%,y),

希望用一般推理的方式求出久和y滿足的關(guān)系式，請(qǐng)你幫助小明給出解答.

18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于P,Q兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值之和等于

點(diǎn)Q的橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值之和，則稱P,Q兩點(diǎn)為“等和點(diǎn)”.下圖中的P,Q兩點(diǎn)即為“等和點(diǎn)”.

(1)已知點(diǎn)4的坐標(biāo)為(一2,4),

①在點(diǎn)S(0,2),7(1,5),/(2,-4)中，與點(diǎn)4為“等和點(diǎn)”的是(只填字母)；

②若點(diǎn)B在第一象限的角平分線上，且4B兩點(diǎn)為“等和點(diǎn)”，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

(2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,-3),連接CD,點(diǎn)M為線段CD上一點(diǎn)，過

點(diǎn)、N(n,0)作久軸的垂線/,若垂線Z上存在點(diǎn)M的“等和點(diǎn)”，求n的取值范圍.

19.我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于不同的兩點(diǎn)PQi，yQ、Q3,、2)，如果滿足丫1一久1=丫2-

%2,那么稱P、Q兩點(diǎn)互為“等差點(diǎn)

(1)請(qǐng)判斷在點(diǎn)力(2,—1)、B(l,4)、C(一2,—1)中，有哪些點(diǎn)與點(diǎn)D(—1,2)互為“等差

點(diǎn)”？

(2)已知點(diǎn)E在直線y=尤—2上，點(diǎn)F在雙曲線y=(k為常數(shù)，且k1)上，且E、F

兩點(diǎn)互為“等差點(diǎn)請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)(用含k的代數(shù)式表示)；

(3)已知拋物線yi=a/+6久+2(a,b為常數(shù)且a。。、b。0)的頂點(diǎn)為G點(diǎn)，與左軸交于M、N

兩點(diǎn)，GM1GN,P、Q兩點(diǎn)分別在拋物線yi=a/+bx+2和直線為=/一3上，如果P、Q兩點(diǎn)

互為“等差點(diǎn)”，且P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程a/+竽久+g=0的兩根，求3a—b的值.

20.八年級(jí)一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，他們將等腰Rt^ABC(NBAC=90。,

AB=AC)放在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行探究，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧。

(1)如圖1所示：若A(1,0),B(0,3),探究得到C點(diǎn)坐標(biāo)是(,)

(2)如圖2所示：若A(0,2),B(—3,0),探究C點(diǎn)坐標(biāo)

(3)如圖3所示：若A(2,3),B(0,0),探究C點(diǎn)坐標(biāo)

21.綜合與實(shí)踐.

我們?cè)诘谑隆度热切巍分袑W(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定，在一些探究題中經(jīng)常用以上知

識(shí)轉(zhuǎn)化角和邊，進(jìn)而解決問題.例如：我們?cè)诮鉀Q：“如圖1,在AABC中，入4cB=90。，AC=BC,

線段DE經(jīng)過點(diǎn)C,且4。IDE于點(diǎn)。，BEIDE于點(diǎn)及求證：AD=CE,只要證明△ADC三△CEB,

即可得到解決；

(2)類比應(yīng)用

如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，AaBC中，ZACB=90°,4C=BC,點(diǎn)/的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)C的

坐標(biāo)為(1,0),求點(diǎn)8的坐標(biāo).

(3)拓展提升

如圖3,AZBC在平面直角坐標(biāo)系中，乙4cB=90。，AC=BC,點(diǎn)/的坐標(biāo)為(2,1),點(diǎn)C的坐標(biāo)

為(4,2),則點(diǎn)3坐標(biāo)為

22.綜合與實(shí)踐：

(1)問題背景：

已知4(1,2),B(3,0),C(l,一1),。(一3,-3).在平面直角坐標(biāo)系中描出這幾個(gè)點(diǎn)，并分

別找到線段和C。中點(diǎn)Pi、P2,然后寫出它們的坐標(biāo)，則Pi▲,P2A.

(2)探究發(fā)現(xiàn):

結(jié)合上述計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)若線段的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(5，月)，(%2,y2),則線段的中點(diǎn)

坐標(biāo)為.

(3)拓展應(yīng)用：

利用上述規(guī)律解決下列問題：已知三點(diǎn)E(—l,2),F(3,1),G(l,4),第四個(gè)點(diǎn)”(x,y)與點(diǎn)E、

點(diǎn)F、點(diǎn)G中的一個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的線段的中點(diǎn)與另外兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的線段的中點(diǎn)重合，求點(diǎn)H的坐標(biāo).

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A{a,0),B(0,b),且|a+4|+孑一8b+16=0.

(1)求a,b的值；

(2)如圖1,C為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連CA,過點(diǎn)C作CD1C4使CO=C4連BD求證：NCBD=

(3)如圖2,若有一等腰RtABMN,ABMN=90°,連4N,取AN中點(diǎn)P,連PM、P。.試探究PM

和P0的關(guān)系.

24.閱讀材料回答問題

在平面直角坐標(biāo)系中，定義，點(diǎn)尸沿著水平和豎直方向運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)。的最短路徑的長度為尸，Q

兩點(diǎn)之間的“橫縱距離”.如圖所示，點(diǎn)/的坐標(biāo)為(2,3),則/,。兩點(diǎn)的“橫縱距離”為5.

5

4

3

-5-4-3-2-1Q12345

解決問題

(1)已知點(diǎn)8的坐標(biāo)為(—3,-1),則8,O兩點(diǎn)的“橫縱距離”為;A,8兩點(diǎn)的“橫

縱距離”為；

(2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2),寫出兩個(gè)與點(diǎn)C的“橫縱距離”為3的點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)拓展延伸

已知D,O兩點(diǎn)的“橫縱距離”為5；D,C兩點(diǎn)的“橫縱距離”為3.請(qǐng)寫出滿足條件的點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的

取值范圍.

25.對(duì)于點(diǎn)P和圖形小，若點(diǎn)P關(guān)于圖形加上任意的一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,所有點(diǎn)Q組成的圖形為

M,則稱圖形M為點(diǎn)P關(guān)于圖形小的“對(duì)稱圖形”.在平面直角坐標(biāo)系久Oy中，已知點(diǎn)2(-1,-2),

B(2,-2),C(2,1),D(-1,1).

(1)①在點(diǎn)E(—2,-4),F(0,-4),G(3,—3)中，是點(diǎn)。關(guān)于線段ZB的“對(duì)稱圖形”上的

點(diǎn)有▲,

②畫出點(diǎn)0關(guān)于四邊形力BCD的“對(duì)稱圖形”；

(2)點(diǎn)T(t,0)是久軸上的一動(dòng)點(diǎn).

①若點(diǎn)T關(guān)于四邊形2BCD的“對(duì)稱圖形”與0關(guān)于四邊形/BCD的“對(duì)稱圖形”有公共點(diǎn)，求t的

取值范圍；

②直線y=￡-t與久軸交于點(diǎn)T,與y軸交于點(diǎn)線段TH上存在點(diǎn)K,使得點(diǎn)K是點(diǎn)T關(guān)于

四邊形ABCD的“對(duì)稱圖形”上的點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍.

26.在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，對(duì)于任意三點(diǎn)4B,C的“矩面積”給出如下定義：“水平底”a：任意

兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的最大值，“鉛垂高*:任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的最大值，貝廣矩面積"S=a/i.、例如：三點(diǎn)

的坐標(biāo)分別為4(1,2),5(-2,一1),C(2,-3),貝『‘水平底"a=4,“鉛垂高”=5,“矩面積"S=

ah—20.

A

(1)若4(一1,2),B(3,-1),P(0,n)的“矩面積”為20,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）若4（一1,2）,B（3,1）,C（一3,-2）,則“水平底％=，“鉛垂高"八=

“矩面積"S=:

27.【閱讀理解】

在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，已知點(diǎn)R,S為平面內(nèi)不重合的兩點(diǎn).給出如下定義：將點(diǎn)R繞點(diǎn)S

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到點(diǎn)R',點(diǎn)R'關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為R",則稱點(diǎn)R"為點(diǎn)R關(guān)于點(diǎn)S的“旋對(duì)點(diǎn)”.

【遷移應(yīng)用】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+4與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)B.平面內(nèi)

(2)點(diǎn)Q為直線y=%+4上一動(dòng)點(diǎn).

①若點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)M的“旋對(duì)點(diǎn)”為點(diǎn)Q",試探究直線QQ"經(jīng)過某一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

②在①的條件下，設(shè)直線QQ"所經(jīng)過的定點(diǎn)為H,取QM的中點(diǎn)N,連接NH,求2NH+QH的

最小值.

28.定義:在平面直角坐標(biāo)系久。y中，已知點(diǎn)Mi，M2,M3，且MiM211y軸，M2M3II久軸，這三個(gè)

點(diǎn)中任意兩個(gè)點(diǎn)之間的距離的最小值稱為點(diǎn)Mi，M2,M3的“近距”?例如：點(diǎn)MI(1,2),M2(l,-

1）,%（-3,-1）的“近距”是3.

(1)已知，4(3,1),B(3,7),C(x,7).

①若A,B,C的“近距”是4,則x的值為；

②點(diǎn)A,B,C的“近距”的最大值為；

(2)已知點(diǎn)。(8,0),E(0,一4),點(diǎn)P(m,九)為線段DE上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)F(L0),G(l,n),P(m,n)

的“近距”最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

29.閱讀材料:在數(shù)軸上，點(diǎn)4,B分別表示實(shí)數(shù)a,b,A,B兩點(diǎn)之間的距離表示為ZB,則=|a-

b\.若a2b,貝U|a—=a—b,若a<b,則|a—b\—b—a.

-b\=b-a,類似的，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)

4的坐標(biāo)為(孫，方)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(工B，VB)，

如圖2,若4B||工軸，則=\xA—xB\=xB—xA.

如圖3,右ABIIy軸，則%4=Xfj,AB=\y^—yg\=y—■

如圖4,例如4(1,2),B(3,5),ACIBC,則C(3,2).

請(qǐng)根據(jù)以上閱讀材料，解決下面的問題：

(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,4),連接AB,請(qǐng)

直接寫出線段AB的長度及直線AB與x軸的位置關(guān)系；

(2)如圖5,AAOB中，若A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,4),(6,2),求AAOB的面積；

(3)如圖6,在(2)的條件下，若直線MN經(jīng)過點(diǎn)C(2,0)且垂直x軸，那么在直線MN上是

否存在點(diǎn)P(除A點(diǎn)外)，使得△OBP的面積等于AAOB的面積，若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)、若不存

在，請(qǐng)說明理由。

四'實(shí)踐探究題

30.五子棋的比賽規(guī)則是：只要同色5子連成一條直線為勝利.如圖是兩人玩的一盤棋，若白棋①的

位置是（1,-5）,黑棋②的位置是（2,-4）.解答下列問題：

（2）如果現(xiàn)在輪到黑棋走，黑棋放在______________________位置就獲得勝利了；

（3）如果現(xiàn)在輪到白棋走，白棋放在位置就獲得勝利了.

（4）在（2）的條件下，黑棋獲勝了.

①設(shè)此時(shí)黑色5子連成直線的表達(dá)式是y=ax+b,則方程ax+b=0的解

是.

②若黑色5子連成直線的表達(dá)式中y<0,則x的取值范圍是.

31.將一些相同規(guī)格的長方形紙按圖①所示方法粘合起來，粘合部分的寬相等.某學(xué)校數(shù)學(xué)綜合與實(shí)

踐小組從函數(shù)角度進(jìn)行了如下探究：

圖①

［觀察測(cè)量］數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐小組通過觀察測(cè)量，得到如表:

長方形紙X（張）12345

總長度y（厘米）1525354555

y（厘米）

55_~r-r-r_T-7--~-i一-ii

IIIIlIIII

DU

AcllilIllll

40

G毫IIIIIIIII

jJ--r-r-r-T-T--r-T-|--i

Gz~\IIIIIIIII

□U

cUIIIIIIIII

ZJ__卜_卜_1■_十_十_十_"1_-|--1

r\f\IIIIIIIII

ZU--J--4--4--+-+-4-4-H--I

_IIIIIIIII

1IJ+

1cIIIIIIIII

IQ

_IIIIIIIII

5J■一

123456789%（張）

圖②

（1）［探究發(fā)現(xiàn)］①建立平面直角坐標(biāo)系，如圖②，橫軸表示長方形紙張數(shù)石縱軸表示粘合后的總

長度y,描出以表格中數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的各點(diǎn)

②觀察上述各點(diǎn)的分布規(guī)律，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上，求出這條直

線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，如過不在同一條直線上，說明理由.

（2）［結(jié)論應(yīng)用］應(yīng)用上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律讓算

①當(dāng)x=20時(shí)，粘合后的紙條總長度y為_________厘米.

②粘合后內(nèi)紙條總長度y為505厘米時(shí)，需使用長方形紙張.

32.閱讀理解

半角模型：半角模型是指有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角兩邊相等，通過

翻折或旋轉(zhuǎn)，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進(jìn)一步構(gòu)造全等三角形，使條件弱化，這樣可

把握問題的本質(zhì).

G

圖1圖2

（1）【問題背景】

如圖1,在四邊形4BCD中，AB=AD,/.BAD=120°,ZB=Z4DC=9O。，E、F分別是BC、CD

上的點(diǎn)，乙E71F=60。，試探究圖1中線段BE、EF、FC之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）【初步探索】

小亮同學(xué)認(rèn)為解決此問題可以用如下方法：延長FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接4G,先證明

LABE=hADG,再證明△AEFmAAGF,則可得到線段BE、EF、之間的數(shù)量關(guān)系

是.

（3）【探索延伸】

如圖2,在四邊形4BCD中，AB=AD,ZB+ND=18O。，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，Z.EAF=

l^BAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由.

（4）【結(jié)論運(yùn)用】

如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（。處）北偏西30。的4處，艦艇乙在指揮中心南

偏東70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海

里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50。的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心

觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且兩艦艇之間的夾角ZEOF為70。，則此時(shí)兩艦艇之間的距離

為海里.

答案解析部分

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】25或一11

6.【答案】(2023,-2)

7.【答案】0

8.【答案】(1,1)或(4,4)

9.【答案】(3,2)；(2013,2014)

10.【答案】(d+n+l,n2+2n+2)

n.【答案】(1)弓，2)

(2)解：(竽，怨巧

(3)解：(|,|)

12.【答案】(1)解：?.?點(diǎn)A(2)-1)的“3級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為B,

點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3X(-1)+2=-1,縱坐標(biāo)為3x2-l=5,

.,.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,5)；

(2)解：由題意可知,第不；,

解得｛；:21，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-1)；

(3)解：由題意可得點(diǎn)(2m,m-1)的.4級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)為(-4m+4+2m,-4x2m+m?l),

??,點(diǎn)(2m,m-1)的-4級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)在第三象限，

.(—4m+4+2m<0

*4x2m+m—1<0

解得：m>2.

13.【答案】(1)解：???點(diǎn)E(—8,0)在直線y=k%+6上，

***0=-8k+6,

X

(2)角牛：???k=],

二直線的解析式為：y=*久+6,

Q、3

■:P點(diǎn)在y=[%+6上，設(shè)P(%,4%+6)，

OPA以0A為底的邊上的高是I江+6|,

當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，?。?6|=.為+6,

,點(diǎn)a的坐標(biāo)為(一6,0),

OA-6.

6殺+6)9

：?S==尸+18?

-2-

???P點(diǎn)在第二象限,

???一8<%<0

(3)解：設(shè)點(diǎn)P(7H,n)時(shí)，其面積s=g,

則娶=等，

Zo

解得I九I=9,

則n=卷或n=—卷.

則m=-呈或-學(xué)

故P(一竽，白或(一學(xué)，哈;

所以，點(diǎn)P(-學(xué)，色)或(—學(xué)，—苓)時(shí)，三角形0P4的面積為營

乙。乙。U

14.【答案】(1)13

(2)2遍；竽

15.【答案】(1)(1,1)；4

(2)解：四邊形ABiAiB如下圖所示,

矩形；

(3)解：存在這樣的點(diǎn)P,使四邊形ABOP的面積等于AABC面積的2倍，(-1,0).

16.【答案】(1)(2,2)

(2)解：點(diǎn)B是x軸上的“健康點(diǎn)”，點(diǎn)C是y軸上的“快樂點(diǎn)”，

則2x—0=2,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0);

點(diǎn)C是y軸上的“快樂點(diǎn)”，則0+2y=6,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3)；

1115

SXABC=2x3—]Xlx3—x1x2—)xlx2=彳

S工PBC=2xBPx3,即2=2xBPx3,

解得，BP=|,

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為4，0)或(―|,0)

17.【答案】(1)(5,3)

(2)解：當(dāng)點(diǎn)Q在于直線/上時(shí)，如圖，

P2Q2-AP2-OB=3,

二點(diǎn)Q2的坐標(biāo)是(3,5),

由(1)知點(diǎn)Qi的坐標(biāo)是(5,3),

設(shè)點(diǎn)Q所在直線的解析式為y=kx+b,

財(cái)猊？屋，解得｛￡=-/

13k+b=5ib=8

*.點(diǎn)Q所在直線的解析式為y=-％+8；

(3)解：如圖，作PM_LOZ于M,QN上MP于N,

???四邊形OBPM是矩形，

vPA=PQ,^APQ=90°,

C.2LAPM+乙QPN=90°,乙QPN+乙PQN=90°,

???/LAPM=乙PQN,

在和4QPN中，

(LAMP=Z.PNQ

^APM=乙PQN,

AP=PQ

???△PAM=△QPN,

??.QN=PM,AM=PN,

???點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(%,y),

：.MN=x,PN=x-3,PB=y-QN=y-PM=y-3,AM=2-OM=2-PB=2-Qy-3),

9：AM=PN,

2—(y—3)—%—3,

整理得y=—%+8.

18.【答案】(1)T,W；(3,3)

(2)解：設(shè)MQ,y),過點(diǎn)M作MEI久軸于點(diǎn)E,

則|y|=ME,

?.?0C=|3|=3,。。=|一3|=3,

??.OC=OD.

???乙COD=90°,

/.ZOCD=ZODC=45°,

??.ME=EC,

|x|+\y\=OE+ME=OE+EC=OC=3.

???點(diǎn)M的“等和點(diǎn)”滿足橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值之和為3.

:.—3443.

19.【答案】(1)解：/與。：

B與D：4—1=2—(—1))

C與D：一1一(一2)2—(—1),

.??點(diǎn)B與點(diǎn)D互為“等差點(diǎn)”.

⑵解：?-,yi-x1=y2-x2,

?_fc2-l

―2—久1=-------%2，

x2

2

整理，得久22—2x2—k+1-0,

解得％2=1+k或％2=1-鼠

???9的坐標(biāo)為(1+鼠上一1)或(1一匕-1-/C).

(3)解：由題意知GM=GN,且GM1GN,

??.△GMN為等腰直角三角形，

1

???\yG\=^MN,

.4ac—b2._1J-2—4ac

,?I4a1=2―\a\一'

化簡得扶—4ac=4,

...b2=8a+4①，

???P,Q互為“等差點(diǎn)”，

=丫2—12，

■?b

???ax^+bx、+2—%i=尹2—3—%2，

即CLX^+(b—l)%i=(?-1)%2—5(J),

又???p,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)

是a/+竽+:=0的兩根，

2—3b+47p3b—4

???ax^=————X1—29+x2=----2a~9

代入②得-3§+4K]—.1+(ft—I.1=(4—1)尤2—5，

整理，得(?一1)(尢1+%2)='!，

?,只7(-嗡1)號(hào)

整理，得3b2-106+6a+8=0,

把①代入，得3(8a+4)-10b+6a+8=0,

即30a—10b=-20,

3(2—b=-2.

20.【答案】(1)4；1

(2)解：過點(diǎn)C作CDLx軸于點(diǎn)D

：.ACAD+^ACD=90°

??,Z-BAC=90°

^CAD+^OAB=90°

???Z-ACD=Z-OAB

,??％軸1y軸，CDly軸

:.Z-AOB=Z.CDA

ZACD=Z.OAB

乙40B=乙CDA

、AB=CA

???△/OB=△CDA

OA=CD="=2

AD=OB=\xA\=3

.?.OD=AD-AO=3-2=1

C(2,-1)

(3)解：過點(diǎn)4作AF,久軸于點(diǎn)F

過點(diǎn)C作CO1AF于點(diǎn)D

/.CAD=Z.AFB

^CAD+ACD=90°

ACAD+Z.OAF=90°

/.ACD=Z.OAF

在AAFB和ACDA中

Z-ACD=/.BAF

^AFB=^CDA

1.AB=CA

■■.AAFBSACDA

??.AF=CD=y』=3

AD=BF=\xA\=2

??.BF+CD=2+3=5

AF-AD=3-2=1

???C(5,1)

21.【答案】(1)證明：??,乙4CB=90。,

AzXCZ)+z5C￡^90o,

???ZD_LDE于D,BE_LDE于點(diǎn)E,

「乙ADC=cCEB=90。，

???NBCE+4CBE=90。，

?LCD=〃：BE,

(^ADC=乙CEB

在△ADC和△CEB中，\z.ACD=/-CBE,

、AC=CB

A△ADC^△CEBCAAS),

：-AD=CE.DC=BE;

(2)解：過B作BD，x軸于D,如圖2所示:

，。2=2,0C=2,

VzXCO+zCX0^90°,^.ACO+^BCD^90°,

：.Z.CAO=^BCD,

NAOC=乙CDB=90°

在△Z。。和△CDB中，乙CAO=LBCD

AC=CB

^?AAOC=ACDBCAAS),

???DB=OC=LCO=4。=2,

JOD=OC+CD=3,

??.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1);

(3)(3，4).

22.【答案】(1)解：如圖所示，A、B、C、D為所求，點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為(2,1)，點(diǎn)02的坐標(biāo)為(一1，-2)，

?、/V

⑵（空，中）

（3）解：VF（-1,2）,F13,19,G（1,49,

線段EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,線段EG的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）,線段FG的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2,

（x+1_.

當(dāng)線段HG的中點(diǎn)與線段EF的中點(diǎn)重合時(shí)，則T

y+4_3

（丁-2

.（x=1

.?.點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1,-1）；

同理當(dāng)線段HF的中點(diǎn)與線段EG的中點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-3,5）;

當(dāng)線段HE的中點(diǎn)與線段FG的中點(diǎn)坐標(biāo)重合時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（5,3）,

綜上所述，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1,一1）或（―3,5）或（5,3）

23.【答案】（1）解：V|a+4|+b2-8b+16=0,

.\|a+4|+（b-4）2=0,

V|a+4|>0,（b-4）2>0,

/.a+4=0,b-4=0,

???a=-4,b=4.

（2）解：證明：如圖1中，作DELBC于E.

圖1

VAC1CD,DE1OB,

???乙ACD=乙DEC=^AOC=90°,

???乙CAO+Z.ACO=90°,/-ACO+乙ECD=90°,

:.Z-CAO=Z-ECD,

???CA=CD,

：^AOC=^CED{AAS},

??.DE=OC,EC=OA,

由(1)得4(—4,0),B(0,4),

??.OA=OB=4,

??.EC—OB9

BE—OC—DE,

/.△BDE是等腰直角三角形，

???乙CBD=45°.

(3)解：PM和P。的關(guān)系是MP=OP,MPLOP.

延長MP到Q,使得PQ=PM,連接ZQ,OQ,OM,延長MN交4。于C.

???PA=PN,^APQ=乙NPM,PQ=PM,

:.AMPN三二QPA(SAS),

AQ=MN,4MNP=4QAP,

???MN||AQ,

???4MCA=Z.QAO,

???在四邊形MCOB中，ZMCO+ZMBO=180°,

???乙MCO+ZMCX=180°,

???乙MBO=^MCA=^OAQ,

???△MNB是等腰直角三角形,

:.MN=BM=AQ,

又??.OA=OB,4OBM=Z.OAQ,

??.△MB0aQ40(SZS),

MO=QO,Z-MOB=Z-QOA,

???乙MOQ=L.BOA=90°,

MOQ是等腰直角三角形，

MP=PQ,

MP=OP,MP1OP.

24.【答案】(1)4；9

(2)設(shè)與點(diǎn)C的“橫縱距離”為3的點(diǎn)的坐標(biāo)為(尤，y),

則I久—0|+|y—2|=3,

當(dāng)尢=1時(shí)，|y-2|=2,解得y=0或y=4,

???與點(diǎn)C的“橫縱距離”為3的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),(1,4)；(答案不唯一)

(3)設(shè)。(尤，y),

.D,O兩點(diǎn)的“橫縱距離”為5,D,C兩點(diǎn)的“橫縱距離”為3,

???因+1丫1=5,|x-0|+|y-2|=3,

-,?kl=5-\y\,

\x\>0,

5-|y|>0,

5<y<5.

將因=5一|y|代入|久一0|+|y—2|=3,得5一|y|+|y-2|=3,

整理得|y|-|y—2|=2,

當(dāng)一5<y<0時(shí)，一y-(2-y)=-2。2,無解，不合題意；

當(dāng)0<y<2時(shí)，y-(2-y)=2y-2=2,解得y=2,不合題意；

當(dāng)2Wy<5時(shí)，y—(y—2)=2,符合題意；

.??點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍2WyW5.

25.【答案】(1)①點(diǎn)E,點(diǎn)F

②點(diǎn)。關(guān)于四邊形的“對(duì)稱圖形”為四邊形JNMI.

(2)①動(dòng)點(diǎn)T關(guān)于四邊形4BCD的“對(duì)稱圖形”為四邊形SR，U,如圖所示.利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得

到點(diǎn)S(4—t,2),U(—2—32),V(—2—t,—4),/?(4—t,—4).四邊形SRVU隨t的變化左右

移動(dòng)，當(dāng)四邊形/NM/與四邊形SRH7有公共點(diǎn)時(shí)，應(yīng)滿足：

(4-t>-2

I-2-t44'

*,*-6<t<6

②)2<t<4或-2Wt<—1.

26.【答案】(1)解：由題意：a=3—(―1)=4,

①當(dāng)n22時(shí)，a=n—(―l)=n+L

則4(n+1)=20,可得n=4,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,4):

②當(dāng)n<—1時(shí)，a=2—n,

則4(2—n)=20,可得t=—3,故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,-3);

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,4)或(0,-3)

(2)6；4；24

27.【答案】(1)解：如圖，M"即為所求，

???M〃(-1,5)；

(2)解：①如圖，??,點(diǎn)Q為直線y=%+4上一動(dòng)點(diǎn).

設(shè)Q(m,771+4),過Q作％軸的平行線，過M作y軸的平行線，兩直線交于點(diǎn)G,

則NG=90。，延長Q〃Q'與GM交于點(diǎn)“，貝此"=90。,

???乙G==LQMQ'=90。,

?"GMQ+乙GQM=90°=乙GMQ+乙HMQ',

：.￡.GQM=Z.HMQ,

*：MQ=MQ,

??△MGQ=△QHM，而M(—5,1),

GQ=MH=m+5,GM=HQ=m+3,

?U>Q(m—2,—m—4),

結(jié)合新定義可得；Q"(2—m,-m-4),而Q(m,m+4),

，QQ”的中點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,0),

二直線QQ"經(jīng)過定點(diǎn)(1,0)；

@V(2，，(2—m,—771—4),

.(x=2—m

*'(y=-m—49

/.y=%-6,即Q〃在直線y=x-6上運(yùn)動(dòng)，

如圖，連接NQ",Q"H',作H(l,0)關(guān)于直線y=%-6的對(duì)稱點(diǎn)H',則Q"H'=Q"H,

由N,H分別為QM,QQ”的中點(diǎn)，則QH=Q"H,MQ”=2NH,

：.當(dāng)M,Q",H'三點(diǎn)共線時(shí)，2NH+QH=MQ"+Q"H=MH,此時(shí)最小；

記y=;c—6與久軸的交點(diǎn)為K,則K(6,0),直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-6),連接H,K,

/.△HTK,AHTK,都是等腰直角三角形，而KH=6—1=5,

AH1(6,一5),

■"-MH'=J(—5—6)2+(1+5尸=V157.

即2NH+QH的最小值為校政.

28.【答案】(1)—1或7；6

(2)解：如圖所示：

1

?,SADOE=w°D，°E—16

??,點(diǎn)P(m,n)為線段DE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

■1

??SADOP=]X8x(一幾)=