正弦定理(1)教學(xué)設(shè)計(jì)

正弦定理(1)教學(xué)設(shè)計(jì)第第頁共10頁正弦定理(1)教學(xué)設(shè)計(jì)【教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修5第一章第一節(jié)【課時(shí)安排】第1課時(shí)【教學(xué)對(duì)象】高一（下）學(xué)生【教材分析】正弦定理揭示了三角形的邊與角的數(shù)量關(guān)系，是計(jì)算斜三角形邊長或角度的重要工具之一。達(dá)到定理的言語連鎖水平并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用并不難，但為了讓學(xué)生掌握定理探索的一般思路和定理的本質(zhì)，本節(jié)課的教學(xué)定位是：既教定理的理解運(yùn)用，又教定理發(fā)現(xiàn)的探索思路；既強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)該定理涉及的數(shù)學(xué)思想方法，又滲透定理體現(xiàn)的數(shù)學(xué)美?！緦W(xué)情分析】★認(rèn)知基礎(chǔ)：①已學(xué)過“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”的定性描述，具有尋找定量結(jié)論的心理期望；②已學(xué)過銳角三角函數(shù)及解直角三角形，利于接受由特殊到一般的過渡；③任意角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式為定理的證明和應(yīng)用打下了基礎(chǔ)；★認(rèn)知障礙：①猜想的證明；②定理證明思路的切入點(diǎn)?！窘虒W(xué)目標(biāo)】★知識(shí)與技能①了解正弦定理的應(yīng)用背景，探索與證明正弦定理；②理解正弦定理的“結(jié)構(gòu)不變性”和表達(dá)這一不變性的“字母可變性”。③了解解三角形的概念，初步學(xué)會(huì)“正用”正弦定理解決三角形中“已知兩角一邊求其他”和“已知兩邊及其中一邊對(duì)角求其他”的問題?！镞^程與方法①經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、猜想并證明正弦定理的過程，領(lǐng)悟定理發(fā)現(xiàn)的探索思路，學(xué)習(xí)由特殊到一般的思維方式；②通過嘗試定理的證明，領(lǐng)悟分類討論和化歸的數(shù)學(xué)思想。★情感態(tài)度價(jià)值觀①感受正弦定理的統(tǒng)一美、對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美；②體會(huì)正弦定理的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，形成崇尚數(shù)學(xué)的精神。【教學(xué)重點(diǎn)】正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及理解【教學(xué)難點(diǎn)】正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明【教學(xué)關(guān)鍵】探索時(shí)由特殊延伸到一般尋找三角形的邊角數(shù)量關(guān)系；證明時(shí)將一般情形化歸為已得證的特殊情形考慮?！窘虒W(xué)方法】以問題驅(qū)動(dòng)法為主【教學(xué)手段】板書、計(jì)算機(jī)、PPT、幾何畫板設(shè)計(jì)意圖：將學(xué)生置于天文學(xué)應(yīng)用背景中，由設(shè)計(jì)意圖：將學(xué)生置于天文學(xué)應(yīng)用背景中，由“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”的定性結(jié)論已無法滿足量化需求來創(chuàng)設(shè)障礙，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)新知的動(dòng)力,亦反映了生活問題—數(shù)學(xué)問題—數(shù)學(xué)形式化的發(fā)展軌跡。背景引入設(shè)置障礙背景引入設(shè)置障礙牛刀小試新知探究猜想證明新知探究猜想證明設(shè)計(jì)意圖：從特殊入手，通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“過去的經(jīng)驗(yàn)”進(jìn)行聯(lián)系整合發(fā)現(xiàn)直角三角形中的正弦公式，從而搭建思維階梯，使學(xué)生能順階而上，逐步擊破。設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：通過解決開頭實(shí)際背景中的地月距離問題，利于學(xué)生初步體會(huì)定理的應(yīng)用價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，亦符合學(xué)生期望；再根據(jù)桑代克的練習(xí)律與效果律設(shè)計(jì)練習(xí)，初步嘗試定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，達(dá)到鞏固新知的目的。應(yīng)用定理應(yīng)用定理反饋鞏固設(shè)計(jì)意圖：小結(jié)意在讓學(xué)生理清定理探索的一般思路及探索過程涉及到的思維方式、數(shù)學(xué)思想方法，并上升到理解定理本質(zhì)的層次；作業(yè)意在讓學(xué)生鞏固提高，拓寬思維和知識(shí)面，了解正弦定理更完整的結(jié)論。設(shè)計(jì)意圖：小結(jié)意在讓學(xué)生理清定理探索的一般思路及探索過程涉及到的思維方式、數(shù)學(xué)思想方法，并上升到理解定理本質(zhì)的層次；作業(yè)意在讓學(xué)生鞏固提高，拓寬思維和知識(shí)面，了解正弦定理更完整的結(jié)論。課堂小結(jié)布置作業(yè)牛刀小試【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】牛刀小試（一）背景引入，設(shè)置障礙（1）趣味引入：?jiǎn)栴}1：月亮離地球有多遠(yuǎn)？由2015年12月初的“嫦娥四號(hào)將實(shí)現(xiàn)世界首次月球背面軟著陸”的新聞，以及嫦娥奔月、“嫦娥一號(hào)”等探月的圖片吸引學(xué)生注意力，提出問題1，激發(fā)好奇心；并引出法國天文學(xué)家拉朗德和其學(xué)生拉卡伊在17世紀(jì)中下旬首次計(jì)算出了地月距離的背景：選取了幾乎位于同一子午線的柏林和好望角A、B和月球上的一地點(diǎn)C，當(dāng)時(shí)的技術(shù)手段只能測(cè)出AB兩地間的直線距離和∠A、∠B的大小，但他們使用了一個(gè)十分便捷的運(yùn)算工具，就分別把地球上這兩個(gè)地點(diǎn)到月球的距離求出來了。揭示本節(jié)課的任務(wù)就是要挖掘出這個(gè)“便捷的工具”。設(shè)計(jì)意圖：選取“計(jì)算地月距離”的天文學(xué)應(yīng)用背景引入，不僅因?yàn)楫?dāng)時(shí)兩位天文學(xué)家正是利用正弦定理代入角三角形聯(lián)系起來，因此，對(duì)于猜想的證明，該法應(yīng)該是學(xué)生從認(rèn)知規(guī)律上比較容易嘗試成功的方法，符合學(xué)生的認(rèn)知水平發(fā)展。分組讓學(xué)生分別嘗試證明銳角、鈍角三角形的情況，可提高學(xué)生課堂的參與度，確保學(xué)生的主體地位。由于此方法與教科書所涉及的方法大同小異，是面向全體學(xué)生的證明過程，且為了讓學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)證明的邏輯演繹過程，采用學(xué)生表述、教師板演，以更好地讓大多數(shù)學(xué)生理解掌握。（8）得到定理:說明定理揭示了三角形中所蘊(yùn)含的十分巧妙的邊角數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生再次共同感受定理的數(shù)學(xué)美：如此獨(dú)特的美妙關(guān)系，也只有我們數(shù)學(xué)語言能如此簡(jiǎn)練地描述出來。（三）應(yīng)用定理，反饋鞏固（1）了解應(yīng)用：?jiǎn)栴}6：正弦定理能解決哪些數(shù)學(xué)問題？舉兩個(gè)簡(jiǎn)單例子啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“知三求一”的特點(diǎn)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，便可初步得出定理的應(yīng)用范圍：（1）已知三角形兩個(gè)角和一條邊，求其它邊和角；（2）已知三角形兩條邊和其中一邊的對(duì)角，求其它邊和角。實(shí)際應(yīng)用：?jiǎn)栴}7：你能用正弦定理得到地月距離的求解思路了嗎？回顧引入環(huán)節(jié)的地月距離問題，教師與學(xué)生共同探討解題思路，尋找隱含條件，在定理表達(dá)式中標(biāo)記出已知條件和隱含條件，直觀體現(xiàn)“知三求一”：由三角形內(nèi)角和定理可求角C；由正弦定理可表示出AC、BC?！窘鉀Q思路】在△ABC中，已知∠A和∠B的大小、AB的長，則由三角形內(nèi)角和定理可得∠C=180°-∠A-∠B，故由正弦定理得，即，.只要代入具體數(shù)據(jù)，地月距離便迎刃而解，至于具體數(shù)據(jù)是多少、怎么測(cè)的，鼓勵(lì)學(xué)生課后上網(wǎng)查找資料拓展知識(shí)面。該距離問題的求解過程就是正弦定理的應(yīng)用；一個(gè)簡(jiǎn)單的定理居然會(huì)在天文學(xué)中會(huì)被用到，其實(shí)它在許多領(lǐng)域測(cè)量距離或高度的問題中也很有幫助，下節(jié)課就可以見分曉。這節(jié)課先試著解決簡(jiǎn)單的純數(shù)學(xué)問題。（3）了解解三角形的概念：把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形。（4）練習(xí)解三角形：（學(xué)生先練習(xí)，后講解，檢驗(yàn)是否符合“大邊對(duì)大角”）根據(jù)已知條件求三角形的其他邊和角。①在△ABC中，已知A=60°，B=45°，c=20cm；②在△ABC中，已知a=15cm，b=10cm，B=30°.【學(xué)情預(yù)設(shè)】①，，由正弦定理得，，故，。②由正弦定理得，，故,故，從而有，∴，∴。設(shè)計(jì)意圖：由于本節(jié)課只是《正弦定理》的第一課時(shí)，定理的應(yīng)用還不是重點(diǎn)，所以該環(huán)節(jié)不做過多復(fù)雜的實(shí)際計(jì)算，只是讓學(xué)生解決開頭實(shí)際背景中的地月距離問題，既體現(xiàn)問題設(shè)置的有效性，又符合學(xué)生運(yùn)用新知解決問題的心理期望。由學(xué)生運(yùn)用所學(xué)新知識(shí)表述思路、解決問題，初步體會(huì)定理的應(yīng)用價(jià)值，并簡(jiǎn)單引入其他領(lǐng)域的應(yīng)用，為下節(jié)課的開展設(shè)置懸念，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；而兩道帶有簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的純數(shù)學(xué)解三角形問題則可讓學(xué)生初步嘗試正弦定理的兩類簡(jiǎn)單應(yīng)用。（四）課堂小結(jié)和作業(yè)布置（1）課堂小結(jié)：借助流程圖與學(xué)生共同總結(jié)梳理本節(jié)課的定理發(fā)現(xiàn)思路：為了探究三角形的邊角數(shù)量關(guān)系，從特殊的直角三角形入手，經(jīng)歷觀察——實(shí)驗(yàn)——猜想——證明——得到正弦定理——應(yīng)用定理；并引導(dǎo)學(xué)生上升到理解定理本質(zhì)的層次，即理解其“結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性”。同時(shí)揭示本節(jié)課涉及的特殊到一般的發(fā)現(xiàn)思路、分類討論和化歸的數(shù)學(xué)思想。并留下懸念：正弦定理還有更令人驚嘆的結(jié)論！即它的比值是一個(gè)可以由三角形自身確定的常量，是什么呢？結(jié)合課后題就會(huì)有重大發(fā)現(xiàn)。設(shè)計(jì)意圖：借助框圖梳理思路，包括定理的發(fā)現(xiàn)與探索過程、定理的證明、涉及的數(shù)學(xué)思想方法等，并讓學(xué)生掌握定理學(xué)習(xí)的本質(zhì)，潛移默化地讓學(xué)生感受到有時(shí)過程比結(jié)果更重要。（2）作業(yè)布置：必做：①習(xí)題1.1之A組第1、2題；②完成鈍角三角形中的正弦定理的證明過程；③平面向量是溝通角度和長度的重要工具，請(qǐng)嘗試平面向量的相關(guān)知識(shí)證明定理。思考：任意△ABC中定理表達(dá)式的值會(huì)等于什么？結(jié)合習(xí)題1.1之B組第1題。設(shè)計(jì)意圖：必做作業(yè)是定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，學(xué)生可能會(huì)碰到有兩解的問題，且在這一點(diǎn)上容易出錯(cuò)，為下節(jié)課學(xué)習(xí)定理應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)作鋪墊。而讓學(xué)生嘗試運(yùn)用平面向量再次證明定理，既可鞏固學(xué)生對(duì)平面向量的理解，又可拓寬學(xué)生的證明思路。思考作業(yè)是對(duì)定理比值問題的發(fā)現(xiàn)與解決，可讓學(xué)生進(jìn)一步了解正弦定理的完美，發(fā)現(xiàn)任意三角形與其外接圓直徑的數(shù)量關(guān)系?！景鍟O(shè)計(jì)】附：本教學(xué)設(shè)計(jì)的創(chuàng)新之處①以7個(gè)問題為線索，問題驅(qū)動(dòng)，環(huán)環(huán)緊扣，層層深入。讓學(xué)生通過經(jīng)歷定理探索的一般思路，學(xué)的不僅僅是正弦定理一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而是日后學(xué)習(xí)千千萬萬個(gè)定理的一般思維方式，達(dá)到知一曉三，亦能提升“做數(shù)學(xué)”的條理性和嚴(yán)謹(jǐn)性。②讓學(xué)生了解正弦定理的真實(shí)應(yīng)用背景，拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)文化知識(shí)面；比起創(chuàng)設(shè)虛擬情境來得真實(shí)和震撼，能讓學(xué)生感受到小小定理的強(qiáng)大科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，亦讓數(shù)學(xué)課堂不再是冰冷的數(shù)字和單調(diào)枯燥的純數(shù)學(xué)問題。③引導(dǎo)學(xué)生將研究對(duì)象由特殊延伸到