正弦定理和余弦定理詳解

正弦定理和余弦定理詳解頁(yè)高考風(fēng)向1.考查正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)；2.利用正、余弦定理判斷三角形的形狀和解三角形；3.在解答題中對(duì)正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角函數(shù)中恒等變換、誘導(dǎo)公式等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查．學(xué)習(xí)要領(lǐng)1.理解正弦定理、余弦定理的意義和作用；2.通過(guò)正弦、余弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，和三角函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合．基礎(chǔ)知識(shí)梳理1．正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，解決不同的三角形問(wèn)題．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以變形：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).3．S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R、r.4．在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解[難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源]1．在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△ABC中，A>B?a>b?sinA>sinB；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC；在銳角三角形中，cosA<sinB,cosA<sinC·2．根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換．解析：∵三邊中最大，∴其所對(duì)角最大，根據(jù)余弦定理：，∵，∴故中的最大角是.總結(jié)升華：1.中，若知道三邊的長(zhǎng)度或三邊的關(guān)系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理時(shí)，要注意公式中的邊角位置關(guān)系.舉一反三：【變式1】已知中,,,求角.【答案】根據(jù)余弦定理：，∵，∴【變式2】在中，角所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別為，若，求的各角的大?。敬鸢浮吭O(shè)，，，根據(jù)余弦定理得：，∵，∴；同理可得；∴【變式3】在中，若，求角.【答案】∵，∴∵，∴類型三：正、余弦定理的綜合應(yīng)用例4．在中，已知，，，求及.思路點(diǎn)撥:畫出示意圖，由其中的邊角位置關(guān)系可以先用余弦定理求邊，然后繼續(xù)用余弦定理或正弦定理求角.解析：⑴由余弦定理得：===∴⑵求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理）∵，∴（法二：正弦定理）∵又∵，∴＜，即＜＜∴總結(jié)升華：畫出示意圖，數(shù)形結(jié)合，正確選用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.舉一反三：【變式1】在中，已知,,.求和.【答案】由余弦定理得：，∴由正弦定理得：，因?yàn)闉殁g角，則為銳角，∴.∴.【變式2】在中，已知角所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別為，若，，，求角和【答案】根據(jù)余弦定理可得：∵，∴；∴由正弦定理得：.其他應(yīng)用題詳解一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)km B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm解析利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，∴AB＝eq\r(3)a.答案B2．張曉華同學(xué)騎電動(dòng)自行車以24km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處望見(jiàn)電視塔S在電動(dòng)車的北偏東30°方向上，15min后到點(diǎn)B處望見(jiàn)電視塔在電動(dòng)車的北偏東75°方向上，則電動(dòng)車在點(diǎn)B時(shí)與電視塔S的距離是()A．2eq\r(2)km B．3eq\r(2)kmC．3eq\r(3)km D．2eq\r(3)km解析如圖，由條件知AB＝24×eq\f(15,60)＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以BS＝eq\f(AB,sin45°)sin30°＝3eq\r(2).答案B3．輪船A和輪船B在中午12時(shí)離開海港C，兩艘輪船航行方向的夾角為120°，輪船A的航行速度是25海里/小時(shí)，輪船B的航行速度是15海里/小時(shí)，下午2時(shí)兩船之間的距離是()A．35海里 B．35eq\r(2)海里C．35eq\r(3)海里 D．70海里解析設(shè)輪船A、B航行到下午2時(shí)時(shí)所在的位置分別是E，F(xiàn)，則依題意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，EF＝eq\r(CE2＋CF2－2CE·CFcos120°)＝eq\r(502＋302－2×50×30cos120°)＝70.答案D4．(2014·濟(jì)南調(diào)研)為測(cè)量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓的樓頂處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，測(cè)得塔基B的俯角為45°，那么塔AB的高度是()A．20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))m B．20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),2)))mC．20(1＋eq\r(3))m D．30m解析如圖所示，由已知可知，四邊形CBMD為正方形，CB＝20m，所以BM＝20m．又在Rt△AMD中，DM＝20m，∠ADM＝30°，∴AM＝DMtan30°＝eq\f(20,3)eq\r(3)(m)．∴AB＝AM＋MB＝eq\f(20,3)eq\r(3)＋20＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))(m)．答案A5．(2013·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,4)，AB＝eq\r(2)，BC＝3，則sin∠BAC＝()A.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(\r(10),5)C.eq\f(3\r(10),10) D.eq\f(\r(5),5)解析由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝(eq\r(2))2＋32－2×eq\r(2)×3×eq\f(\r(2),2)＝5，所以AC＝eq\r(5)，再由正弦定理：sin∠BAC＝eq\f(sin∠ABC,AC)·BC＝eq\f(3×\f(\r(2),2),\r(5))＝eq\f(3\r(10),10).答案C6．(2014·滁州調(diào)研)線段AB外有一點(diǎn)C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽車以80km/h的速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50km/h的速度由B向C行駛，則運(yùn)動(dòng)開始多少h后，兩車的距離最小()A.eq\f(69,43) B．1C.eq\f(70,43) D．2解析如圖所示，設(shè)th后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD＝80t，BE＝50t.因?yàn)锳B＝200，所以BD＝200－80t，問(wèn)題就是求DE最小時(shí)t的值．由余弦定理，得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.當(dāng)t＝eq\f(70,43)時(shí)，DE最小．答案C二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．已知A，B兩地的距離為10km，B，C兩地的距離為20km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120°，則A、C兩地的距離為________km.解析如右圖所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10eq\r(7)(km)．答案10eq\r(7)8．如下圖，一艘船上午9：30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8eq\r(2)nmile.此船的航速是________nmile/h.解析設(shè)航速為vnmile/h在△ABS中，AB＝eq\f(1,2)v，BS＝8eq\r(2)，∠BSA＝45°，由正弦定理得：eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(\f(1,2)v,sin45°)，∴v＝32(nmile/h)．答案329．如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10米到位置D，測(cè)得∠BDC＝45°，則塔AB的高是________米．解析在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(CD,sin30°)，BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝10eq\r(2)(米)．在Rt△ABC中，tan60°＝eq\f(AB,BC)，AB＝BCtan60°＝10eq\r(6)(米)．答案10eq\r(6)三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)10．(2014·臺(tái)州模擬)某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處于坡度15°的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10eq\r(6)米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上．若國(guó)歌長(zhǎng)度約為50秒，升旗手應(yīng)以多大的速度勻速升旗？解在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10eq\r(6)，由正弦定理，得BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝20eq\r(3).在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝30(米)，所以升旗速度v＝eq\f(AB,t)＝eq\f(30,50)＝0.6(米/秒)．11.如圖，A、B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20eq\r(3)海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？解由題意，知AB＝5(3＋eq\r(3))海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，于是DB＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝eq\f(5\r(3)\r(3)＋1,\f(\r(3)＋1,2))＝10eq\r(3)(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20eq\r(3)(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900.得CD＝30(海里)，故需要的時(shí)間t＝eq\f(30,30)＝1(小時(shí))，即救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)．12.(2013·江蘇卷)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130m/min，山路AC長(zhǎng)為1260m，經(jīng)測(cè)量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5).(1)求索道AB的長(zhǎng)；(2)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解(1)在△ABC中，因?yàn)閏osA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\f(5,13)，sinC＝eq\f(4,5).從而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(