第5講角含半角模型（原卷版）-中考數(shù)學幾何模型12講

中考數(shù)學幾何模型5：角含半角模型st模型1：截長補短模型模型2：共頂點模型模型3：對角互補模型模型:4：中點模型模型5：角含半角模型模型6：弦圖模型模型7：軸對稱最值模型模型8：費馬點最值模型模型9：隱圓模型模型10：胡不歸最值模型模型11：阿氏圓最值模型模型12：主從聯(lián)動模型名師點睛撥開云霧開門見山角含半角模型，顧名思義即一個角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種：旋轉目標三角形法和翻折目標三角形法。類型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D，E在BC上，且∠DAE=45°，則：BD2+CE2=DE2.圖示（1）作法1：將△ABD旋轉90°作法2：分別翻折△ABD,△ACE（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D在BC上，點E在BC延長線上，且∠DAE=45°，則：BD2+CE2=DE2.圖示（2）（3）如圖，將等腰直角三角形變成任意等腰三角形時，亦可以進行兩種方法的操作處理..任意等腰三角形類型二：正方形中角含半角模型（1）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，連接EF，過點A作AG⊥于EF于點G，則：EF=BE+DF，AG=AD.圖示（1）作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉90°（2）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊CB，DC的延長線上，∠EAF=45°，連接EF，則：EF=DF-BE.圖示（2）作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉90°（3）如圖，將正方形變成一組鄰邊相等，對角互補的四邊形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=∠BAD，連接EF，則：EF=BE+DF.圖示（3）作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉∠BAD的大小典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，則CF的長為．變式練習>>>1．如圖四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E為CD上一點，且∠BAE＝45°．若CD＝4，則△ABE的面積為（）A． B． C． D．例題2.在正方形ABCD中，連接BD．（1）如圖1，AE⊥BD于E．直接寫出∠BAE的度數(shù)．（2）如圖1，在（1）的條件下，將△AEB以A旋轉中心，沿逆時針方向旋轉30°后得到△AB′E′，AB′與BD交于M，AE′的延長線與BD交于N．①依題意補全圖1；②用等式表示線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關系，并證明．（3）如圖2，E、F是邊BC、CD上的點，△CEF周長是正方形ABCD周長的一半，AE、AF分別與BD交于M、N，寫出判斷線段BM、DN、MN之間數(shù)量關系的思路．（不必寫出完整推理過程）變式練習>>>2.（1）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形ABCD中，點M、N分別是邊BC、CD上的點，∠MAN＝45°，若將△DAN繞點A順時針旋轉90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周長為6，則正方形ABCD的邊長為3．（2）【類比延伸】如圖（2），四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，點M、N分別在邊BC、CD上的點，∠MAN＝60°，請判斷線段BM，DN，MN之間的數(shù)量關系，并說明理由．（3）【拓展應用】如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，點M，N分別在邊BC，CD上，連接AM，MN，△ABM是等邊三角形，AM⊥AD，DN＝5（﹣1），請直接寫出MN的長．例題3.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K，N分別是AB，BC上的點，若△BKN的周長為AB的2倍，求∠KDN的度數(shù).變式練習>>>3.如圖，正方形被兩條與邊平行的線段EF，GH分割成四個小矩形，P是EF與GH的交點，若矩形PFCH的面積恰是矩形AGPE面積的2倍，試確定∠HAF的大小并證明你的結論.例題4.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠MAN＝∠BAD．（1）如圖1，將∠MAN繞著A點旋轉，它的兩邊分別交邊BC、CD于M、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出結論，不用證明；（2）如圖2，將∠MAN繞著A點旋轉，它的兩邊分別交邊BC、CD的延長線于M、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論；（3）如圖3，將∠MAN繞著A點旋轉，它的兩邊分別交邊BC、CD的反向延長線于M、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出結論，不用證明．達標檢測領悟提升強化落實1.請閱讀下列材料：問題：正方形ABCD中，M，N分別是直線CB、DC上的動點，∠MAN＝45°，當∠MAN交邊CB、DC于點M、N（如圖①）時，線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？小聰同學的思路是：延長CB至E使BE＝DN，并連接AE，構造全等三角形經(jīng)過推理使問題得到解決．請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：（1）直接寫出上面問題中，線段BM，DN和MN之間的數(shù)量關系；（2）當∠MAN分別交邊CB，DC的延長線于點M/N時（如圖②），線段BM，DN和MN之間的又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并加以證明；（3）在圖①中，若正方形的邊長為16cm，DN＝4cm，請利用（1）中的結論，試求MN的長．2.（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．試探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關系．（1）小王同學探究此問題的方法是：延長EB到點G，使BG＝DF，連結AG，先證明△ABG≌△ADF，再證明△AEG≌△AEF，可得出結論，他的結論應是．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關系，并證明．3.小曼和他的同學組成了“愛琢磨”學習小組，有一次，他們碰到這樣一道題：“已知正方形ABCD，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，則EG＝FH．”為了解決這個問題，經(jīng)過思考，大家給出了以下兩個方案：方案一：過點A作AM∥HF交BC于點M，過點B作BN∥EG交CD于點N；方案二：過點A作AM∥HF交BC于點M，過點A作AN∥EG交CD于點N．…（1）對小曼遇到的問題，請在甲、乙兩個方案中任選一個加以證明（如圖（1））．（2）如果把條件中的“正方形”改為“長方形”，并設AB＝2，BC＝3（如圖（2）），是探究EG、FH之間有怎樣的數(shù)量關系，并證明你的結論．（3）如果把條件中的“EG⊥FH”改為“EG與FH的夾角為45°”，并假設正方形ABCD的邊長為1，