湖南省長(zhǎng)沙市芙蓉區(qū)鐵路第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末預(yù)測(cè)試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市芙蓉區(qū)鐵路第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則在方向上的投影為（）A．1 B．2 C．3 D．42．若，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（)A． B． C． D．3．右圖中，小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，圖中粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．4．若直線x＋（1＋m）y－2＝0與直線mx＋2y＋4＝0平行，則m的值是（）A．1 B．－2 C．1或－2 D．5．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，將終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A． B． C． D．6．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上是單調(diào)遞減的是A． B． C． D．7．若，則下列不等式中不正確的是（）A． B． C． D．8．在中，分別為角的對(duì)邊)，則的形狀是()A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形9．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》第六章“均輸”中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問(wèn)各得幾何.”（注：“均輸”即按比例分配，此處是指五人所得成等差數(shù)列；“錢”是古代的一種計(jì)量單位），則分得最少的一個(gè)得到()A．錢 B．錢 C．錢 D．1錢10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，令，記數(shù)列的前項(xiàng)為，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知實(shí)數(shù)滿足條件，則的最大值是________.12．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________．13．在200m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°,60°，則塔高為14．為了研究問(wèn)題方便,有時(shí)將余弦定理寫成:,利用這個(gè)結(jié)構(gòu)解決如下問(wèn)題:若三個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足,，，則_______.15．設(shè)，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是．16．設(shè)，且，則的取值范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn).已知∠BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱錐P-ABC的體積；（2）異面直線BC與AD所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.18．在平面上有一點(diǎn)列、、、、，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖像上，且點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形；（1）求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的表達(dá)式；（2）若對(duì)每個(gè)自然數(shù)，以、、為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求的取值范圍；（3）設(shè)，若?。?）中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問(wèn)數(shù)列的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是多少？試說(shuō)明理由；19．已知函數(shù)(1)求的最小正周期；(2)求的單調(diào)增區(qū)間；(3)若求函數(shù)的值域．20．等差數(shù)列中，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．如圖，是平行四邊形，平面，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)正弦定理，將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化化簡(jiǎn)，結(jié)合兩角和差的正弦公式可求，根據(jù)在方向上的投影為，代入數(shù)值，即可求解．【詳解】因?yàn)椋?，即，即，因?yàn)?，所以，所以，所以在方向上的投影為：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和平面向量投影的應(yīng)用，根據(jù)正弦定理結(jié)合兩角和差的正弦公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．2、B【解析】

由題意利用兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．【詳解】函數(shù)，令，求得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，，．再根據(jù)，，可得增區(qū)間為，，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和的余弦公式的應(yīng)用，考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

由三視圖可知，該幾何體為棱長(zhǎng)為2的正方體截去一個(gè)三棱錐，由正方體的體積減去三棱錐的體積求解．【詳解】根據(jù)三視圖，可知原幾何體如下圖所示，該幾何體為棱長(zhǎng)為的正方體截去一個(gè)三棱錐，則該幾何體的體積為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體三視圖的應(yīng)用問(wèn)題以及幾何體體積的求法，關(guān)鍵是根據(jù)三視圖還原原來(lái)的空間幾何體，是中檔題．4、A【解析】

分類討論直線的斜率情況，然后根據(jù)兩直線平行的充要條件求解即可得到所求．【詳解】①當(dāng)時(shí)，兩直線分別為和，此時(shí)兩直線相交，不合題意．②當(dāng)時(shí)，兩直線的斜率都存在，由直線平行可得，解得．綜上可得．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的等價(jià)條件，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)直線斜率存在性的討論．也可利用以下結(jié)論求解：若，則且或且．5、B【解析】

先建立角和旋轉(zhuǎn)之后得所到的角之間的聯(lián)系，再根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式進(jìn)行計(jì)算可得．【詳解】設(shè)旋轉(zhuǎn)之后的角為，由題得，，，又因?yàn)?，所以得，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．6、B【解析】

可先確定奇偶性，再確定單調(diào)性．【詳解】由題意A、B、C三個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，D不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，排除D，A中在上不單調(diào)，C中在是遞增，只有B中函數(shù)在上遞減．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，解題時(shí)可分別確定函數(shù)的這兩個(gè)性質(zhì)．7、C【解析】

，可得，則根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一分析選項(xiàng)，A：，，所以成立；B：，則，根據(jù)基本不等式以及等號(hào)成立的條件則可判斷；C：且，根據(jù)可乘性可知結(jié)果；D：，根據(jù)乘方性可判斷結(jié)果.【詳解】A：由題意，不等式，可得，則，，所以成立，所以A是正確的；B：由，則，所以，因?yàn)?，所以等?hào)不成立，所以成立，所以B是正確的；C：由且，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，所以C不正確；D：由，可得，所以D是正確的，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，不等式等號(hào)成立的條件，熟記不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)正弦定理得到，化簡(jiǎn)得到，得到，得到答案.【詳解】，則，即，即，，故，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理判斷三角形形狀，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.9、B【解析】

設(shè)所成等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得出答案．【詳解】由題意五人所分錢成等差數(shù)列，設(shè)得錢最多的為，則公差.所以，則.又，即則，分得最少的一個(gè)得到.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10、B【解析】

由數(shù)列的前項(xiàng)和求通項(xiàng)，再由數(shù)列的周期性及等比數(shù)列的前項(xiàng)和求解．【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，得；當(dāng)，且時(shí)，，不滿足上式，∴，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，為整數(shù)，則，所以；故對(duì)于任意正整數(shù)，均有：因?yàn)?，所以．因?yàn)闉榕紨?shù)，所以，而，所以.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的函數(shù)概念與表示、余弦函數(shù)的性質(zhì)、正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵是當(dāng)時(shí)，，和的推導(dǎo)，本題屬于難題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、8【解析】

畫(huà)出滿足約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】實(shí)數(shù),滿足條件的可行域如下圖所示:將目標(biāo)函數(shù)變形為:,則要求的最大值,即使直線的截距最大,由圖可知,直線過(guò)點(diǎn)時(shí)截距最大,,故答案為:8.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用,解題關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義.12、【解析】

利用共線向量等價(jià)條件列等式求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】，，且，，因此，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用共線向量來(lái)求參數(shù)，解題時(shí)要充分利用共線向量坐標(biāo)表示列等式求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

試題分析：根據(jù)題意，設(shè)塔高為x，則可知，a表示的為塔與山之間的距離，可以解得塔高為．考點(diǎn)：解三角形的運(yùn)用點(diǎn)評(píng)：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題．14、【解析】

設(shè)的角、、的對(duì)邊分別為、、，在內(nèi)取點(diǎn)，使得，設(shè)，，，利用余弦定理得出的三邊長(zhǎng)，由此計(jì)算出的面積，再利用可得出的值.【詳解】設(shè)的角、、的對(duì)邊分別為、、，在內(nèi)取點(diǎn)，使得，設(shè)，，，由余弦定理得，，同理可得，，，則，的面積為，另一方面，解得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，問(wèn)題的關(guān)鍵在于將題中的等式轉(zhuǎn)化為余弦定理，并轉(zhuǎn)化為三角形的面積來(lái)進(jìn)行計(jì)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題.15、5【解析】試題分析：易得.設(shè)，則消去得：，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，，所以，.法二、因?yàn)閮芍本€的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.【考點(diǎn)定位】1、直線與圓；2、重要不等式.16、【解析】

通過(guò)可求得x的取值范圍，接著利用反正弦函數(shù)的定義可得的取值范圍.【詳解】，，即.由反正弦函數(shù)的定義可得，即的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的定義域和值域，反正弦函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1），三棱錐P-ABC的體積為.（2）取PB的中點(diǎn)E，連接DE、AE，則ED∥BC，所以∠ADE（或其補(bǔ)角）是異面直線BC與AD所成的角.在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2，，所以∠ADE=.因此，異面直線BC與AD所成的角的大小是.18、（1）；（2）；（3）最大，詳見(jiàn)解析；【解析】

(1)易得的橫坐標(biāo)為代入函數(shù)即可得縱坐標(biāo).(2)易得數(shù)列為遞減的數(shù)列,若要組成三角形則,再代入表達(dá)式求解不等式即可.(3)由可知求即可.【詳解】(1)由點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形有.故.(2)因?yàn)?故為減函數(shù),故,又以、、為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形,故即.解得或,又,故.(3)由取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù),且,故.故,由題當(dāng)時(shí)數(shù)列取最大項(xiàng).故且,計(jì)算得當(dāng)時(shí)取最大值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合題型,需要根據(jù)題意找到函數(shù)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系,同時(shí)也要列出對(duì)應(yīng)的不等式再化簡(jiǎn)求解.屬于中等題型.19、（1）（2）；（3）.【解析】

（1）先化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式，再求函數(shù)的最小正周期；（2）解不等式，即得函數(shù)的增區(qū)間；（3）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域.【詳解】（1）由題得，所以函數(shù)的最小正周期為.（2）令,所以,所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（3），所以函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查三角函數(shù)的值域，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解析】

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.因?yàn)樗?解得a1＝1，d＝.所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝.(2)bn＝＝，所以Sn＝21、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）證明平面平面，然后利用平面與平面平行的性