湖南省長沙市芙蓉區(qū)鐵路第一中學2023-2024學年高一下數(shù)學期末預測試題含解析

湖南省長沙市芙蓉區(qū)鐵路第一中學2023-2024學年高一下數(shù)學期末預測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則在方向上的投影為（）A．1 B．2 C．3 D．42．若，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（)A． B． C． D．3．右圖中，小方格是邊長為1的正方形，圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．4．若直線x＋（1＋m）y－2＝0與直線mx＋2y＋4＝0平行，則m的值是（）A．1 B．－2 C．1或－2 D．5．已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，將終邊按逆時針方向旋轉后，終邊經過點，則（）A． B． C． D．6．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上是單調遞減的是A． B． C． D．7．若，則下列不等式中不正確的是（）A． B． C． D．8．在中，分別為角的對邊)，則的形狀是()A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形9．我國古代數(shù)學名著《九章算術》第六章“均輸”中有這樣一個問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何.”（注：“均輸”即按比例分配，此處是指五人所得成等差數(shù)列；“錢”是古代的一種計量單位），則分得最少的一個得到()A．錢 B．錢 C．錢 D．1錢10．已知數(shù)列的前項和為，令，記數(shù)列的前項為，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知實數(shù)滿足條件，則的最大值是________.12．已知，，若，則實數(shù)的值為__________．13．在200m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°,60°，則塔高為14．為了研究問題方便,有時將余弦定理寫成:,利用這個結構解決如下問題:若三個正實數(shù)，滿足,，，則_______.15．設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是．16．設，且，則的取值范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點.已知∠BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱錐P-ABC的體積；（2）異面直線BC與AD所成的角的大?。ńY果用反三角函數(shù)值表示）.18．在平面上有一點列、、、、，對每個正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖像上，且點、點與點構成一個以為頂角頂點的等腰三角形；（1）求點的縱坐標的表達式；（2）若對每個自然數(shù)，以、、為邊長能構成一個三角形，求的取值范圍；（3）設，若取（2）中確定的范圍內的最小整數(shù)，問數(shù)列的最大項的項數(shù)是多少？試說明理由；19．已知函數(shù)(1)求的最小正周期；(2)求的單調增區(qū)間；(3)若求函數(shù)的值域．20．等差數(shù)列中，.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.21．如圖，是平行四邊形，平面，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

根據正弦定理，將已知條件進行轉化化簡，結合兩角和差的正弦公式可求，根據在方向上的投影為，代入數(shù)值，即可求解．【詳解】因為，所以，即，即，因為，所以，所以，所以在方向上的投影為：．故選：A．【點睛】本題主要考查正弦定理和平面向量投影的應用，根據正弦定理結合兩角和差的正弦公式是解決本題的關鍵，屬于中檔題．2、B【解析】

由題意利用兩角和的余弦公式化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調性，得出結論．【詳解】函數(shù)，令，求得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，，．再根據，，可得增區(qū)間為，，故選．【點睛】本題主要考查兩角和的余弦公式的應用，考查余弦函數(shù)的單調性，屬于基礎題．3、D【解析】

由三視圖可知，該幾何體為棱長為2的正方體截去一個三棱錐，由正方體的體積減去三棱錐的體積求解．【詳解】根據三視圖，可知原幾何體如下圖所示，該幾何體為棱長為的正方體截去一個三棱錐，則該幾何體的體積為．故選：D．【點睛】本題考查了幾何體三視圖的應用問題以及幾何體體積的求法，關鍵是根據三視圖還原原來的空間幾何體，是中檔題．4、A【解析】

分類討論直線的斜率情況，然后根據兩直線平行的充要條件求解即可得到所求．【詳解】①當時，兩直線分別為和，此時兩直線相交，不合題意．②當時，兩直線的斜率都存在，由直線平行可得，解得．綜上可得．故選A．【點睛】本題考查兩直線平行的等價條件，解題的關鍵是將問題轉化為對直線斜率存在性的討論．也可利用以下結論求解：若，則且或且．5、B【解析】

先建立角和旋轉之后得所到的角之間的聯(lián)系，再根據誘導公式和二倍角公式進行計算可得．【詳解】設旋轉之后的角為，由題得，，，又因為，所以得，故選B．【點睛】本題考查任意角的三角函數(shù)和三角函數(shù)的性質，是基礎題．6、B【解析】

可先確定奇偶性，再確定單調性．【詳解】由題意A、B、C三個函數(shù)都是偶函數(shù)，D不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，排除D，A中在上不單調，C中在是遞增，只有B中函數(shù)在上遞減．故選B．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調性，解題時可分別確定函數(shù)的這兩個性質．7、C【解析】

，可得，則根據不等式的性質逐一分析選項，A：，，所以成立；B：，則，根據基本不等式以及等號成立的條件則可判斷；C：且，根據可乘性可知結果；D：，根據乘方性可判斷結果.【詳解】A：由題意，不等式，可得，則，，所以成立，所以A是正確的；B：由，則，所以，因為，所以等號不成立，所以成立，所以B是正確的；C：由且，根據不等式的性質，可得，所以C不正確；D：由，可得，所以D是正確的，故選：C.【點睛】本題考查不等式的性質，不等式等號成立的條件，熟記不等式的性質是解題的關鍵，屬于基礎題.8、A【解析】

根據正弦定理得到，化簡得到，得到，得到答案.【詳解】，則，即，即，，故，.故選：.【點睛】本題考查了正弦定理判斷三角形形狀，意在考查學生的計算能力和轉化能力.9、B【解析】

設所成等差數(shù)列的首項為，公差為，利用等差數(shù)列前項和公式及通項公式列出方程組，求出首項和公差，進而得出答案．【詳解】由題意五人所分錢成等差數(shù)列，設得錢最多的為，則公差.所以，則.又，即則，分得最少的一個得到.故選：B【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．10、B【解析】

由數(shù)列的前項和求通項，再由數(shù)列的周期性及等比數(shù)列的前項和求解．【詳解】因為，當時，得；當，且時，，不滿足上式，∴，所以，當時，；當是偶數(shù)時，為整數(shù)，則，所以；故對于任意正整數(shù)，均有：因為，所以．因為為偶數(shù)，所以，而，所以.故選：B．【點睛】本題考查數(shù)列的函數(shù)概念與表示、余弦函數(shù)的性質、正弦函數(shù)的誘導公式以及數(shù)列求和，解題的關鍵是當時，，和的推導，本題屬于難題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、8【解析】

畫出滿足約束條件的可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】實數(shù),滿足條件的可行域如下圖所示:將目標函數(shù)變形為:,則要求的最大值,即使直線的截距最大,由圖可知,直線過點時截距最大,,故答案為:8.【點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應用,解題關鍵是明確目標函數(shù)的幾何意義.12、【解析】

利用共線向量等價條件列等式求出實數(shù)的值.【詳解】，，且，，因此，，故答案為.【點睛】本題考查利用共線向量來求參數(shù)，解題時要充分利用共線向量坐標表示列等式求解，考查計算能力，屬于基礎題.13、【解析】

試題分析：根據題意，設塔高為x，則可知，a表示的為塔與山之間的距離，可以解得塔高為．考點：解三角形的運用點評：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的運用，屬于中檔題．14、【解析】

設的角、、的對邊分別為、、，在內取點，使得，設，，，利用余弦定理得出的三邊長，由此計算出的面積，再利用可得出的值.【詳解】設的角、、的對邊分別為、、，在內取點，使得，設，，，由余弦定理得，，同理可得，，，則，的面積為，另一方面，解得，故答案為.【點睛】本題考查余弦定理的應用，問題的關鍵在于將題中的等式轉化為余弦定理，并轉化為三角形的面積來進行計算，考查化歸與轉化思想以及數(shù)形結合思想，屬于中等題.15、5【解析】試題分析：易得.設，則消去得：，所以點P在以AB為直徑的圓上，，所以，.法二、因為兩直線的斜率互為負倒數(shù)，所以，點P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.【考點定位】1、直線與圓；2、重要不等式.16、【解析】

通過可求得x的取值范圍，接著利用反正弦函數(shù)的定義可得的取值范圍.【詳解】，，即.由反正弦函數(shù)的定義可得，即的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題主要考查余弦函數(shù)的定義域和值域，反正弦函數(shù)的定義，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1），三棱錐P-ABC的體積為.（2）取PB的中點E，連接DE、AE，則ED∥BC，所以∠ADE（或其補角）是異面直線BC與AD所成的角.在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2，，所以∠ADE=.因此，異面直線BC與AD所成的角的大小是.18、（1）；（2）；（3）最大，詳見解析；【解析】

(1)易得的橫坐標為代入函數(shù)即可得縱坐標.(2)易得數(shù)列為遞減的數(shù)列,若要組成三角形則,再代入表達式求解不等式即可.(3)由可知求即可.【詳解】(1)由點、點與點構成一個以為頂角頂點的等腰三角形有.故.(2)因為,故為減函數(shù),故,又以、、為邊長能構成一個三角形,故即.解得或,又,故.(3)由取(2)中確定的范圍內的最小整數(shù),且,故.故,由題當時數(shù)列取最大項.故且,計算得當時取最大值.【點睛】本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合題型,需要根據題意找到函數(shù)橫縱坐標的關系,同時也要列出對應的不等式再化簡求解.屬于中等題型.19、（1）（2）；（3）.【解析】

（1）先化簡函數(shù)f(x)的解析式，再求函數(shù)的最小正周期；（2）解不等式，即得函數(shù)的增區(qū)間；（3）根據三角函數(shù)的性質求函數(shù)的值域.【詳解】（1）由題得，所以函數(shù)的最小正周期為.（2）令,所以,所以函數(shù)的單調增區(qū)間為.（3），所以函數(shù)的值域為.【點睛】本題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的圖像和性質，考查三角函數(shù)的值域，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.20、（1）（2）【解析】

(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.因為所以.解得a1＝1，d＝.所以{an}的通項公式為an＝.(2)bn＝＝，所以Sn＝21、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）證明平面平面，然后利用平面與平面平行的性