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文檔簡介
課件園PAGE第一章集合與常用邏輯用語第1課時集合的概念1.已知集合A={1,3},B={1,2,m},若AB,則實數(shù)m=________.答案:3解析:∵AB,∴集合A中的元素必在集合B中,則3∈B,得m=3.2.已知A={x|-3<x<5},B={x|x>a},若AB,則實數(shù)a的取值范圍是________.答案:a≤-3解析:A={x|-3<x<5},B={x|x>a},AB,則a≤-3.3.若{x|x2≤a,a∈R},則實數(shù)a的取值范圍為________.答案:[0,+∞)解析:由條件知集合非空,則a≥0.4.已知A={x|x2-2x-3≤0},若實數(shù)a∈A,則a的取值范圍是________.答案:[-1,3]解析:由條件知a2-2a-3≤0,從而a∈[-1,3].5.A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+1=0,a∈A},則BA時,a=________.答案:1或2解析:驗證a=1時B=滿足條件;驗證a=2時B={1}也滿足條件.6.若自然數(shù)n使得作加法n+(n+1)+(n+2)運算均不產(chǎn)生進位現(xiàn)象,則稱n為“給力數(shù)”,例如:32是“給力數(shù)”,因為32+33+34不產(chǎn)生進位現(xiàn)象;23不是“給力數(shù)”,因為23+24+25產(chǎn)生進位現(xiàn)象.設(shè)小于1000的所有“給力數(shù)”的各個數(shù)位上的數(shù)字組成集合A,則集合A中的數(shù)字之和為________.答案:6解析:“給力數(shù)”的個位取值:0、1、2,“給力數(shù)”的其他數(shù)位取值:0、1、2、3,所以A={0,1,2,3}.所以集合A中的數(shù)字之和為6.7.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}.若A中只有一個元素,則a=________.答案:0或1解析:當a=0時,此時方程有一個根;當a≠0時,則Δ=4-4a=0,得a=1.8.已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若AB,則實數(shù)a的取值范圍是(c,+∞),其中c=________.答案:4解析:A={x|0<x≤4},B={-∞,a},AB,故c=4.9.已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N,求(m-n)2013的值.解:由M=N知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n=1,,log2n=m,))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n=m,,log2n=1,))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n=1,,m=0,))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m=2,,n=2,))故(m-n)2013=-1或0.10.對于集合A、B,我們把集合{(a,b)|a∈A,b∈B}記作A×B.例如:A={1,2},B={3,4},則有A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},B×A={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},B×B={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}.據(jù)此,試解答下列問題:(1)已知C={a},D={1,2,3},求C×D及D×C;(2)已知A×B={(1,2),(2,2)},求集合A、B;(3)若A有3個元素,B有4個元素,試確定A×B有幾個元素.解:(1)C×D={(a,1),(a,2),(a,3)},D×C={(1,a),(2,a),(3,a)}.(2)A={1,2},B={2}.(3)12個.11.已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)<x≤2)))).若AB,求實數(shù)a的取值范圍.解:A中不等式的解集應分三種情況討論:①若a=0,則A=R;②若a<0,則A=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)≤x<-\f(1,a)))));③若a>0,則A=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(-\f(1,a)<x≤\f(4,a))))).當a=0時,若AB,此種情況不存在.當a<0時,若AB,如圖,則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)>-\f(1,2),,-\f(1,a)≤2,))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<-8,,a≤-\f(1,2),))∴a<-8.當a>0時,若AB,如圖,則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-\f(1,a)≥-\f(1,2),,\f(4,a)≤2,))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥2,,a≥2,))∴a≥2.綜上,實數(shù)a的取值范圍是a<-8或a≥2.第2課時集合的基本運算1.已知集合M={3,2a},N={a,b},若M∩N={2},則M∪N=________答案:{1,2,3}解析:由題易知a=1,b=2,M∪N={1,2,3}.2.已知集合P={-1,m},Q=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(-1<x<\f(3,4))))),若P∩Q≠,則整數(shù)m=________.答案:0解析:m∈Q,即-1<m<eq\f(3,4),而m∈Z,∴m=0.3.已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={-1,0,1},B={-2,-1,0},則A∩?UB=________.答案:{1}解析:因為?UB={1,2},所以A∩?UB={1}.4.設(shè)集合P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈Z|x2≤9},則P∩M=________.答案:{0,1,2}解析:P={0,1,2},M={-3,-2,-1,0,1,2,3},P∩M={0,1,2}.5.已知集合A={1,3,eq\r(m)},B={1,m},A∪B=A,則m=________.答案:0或3解析:∵A∪B=A,∴BA.又A={1,3,eq\r(m)},B={1,m},∴m=3或m=eq\r(m).由m=eq\r(m)得m=0或m=1.但m=1不符合集合中元素的互異性,故舍去,故m=0或m=3.6.已知全集U=R,集合A=(-∞,0),B={-1,-3,a},若(?UA)∩B≠,則實數(shù)a的取值范圍是________.答案:[0,+∞)解析:∵A=(-∞,0),∴?UA=[0,+∞).∵(?UA)∩B≠,∴a≥0.7.已知集合A={y|y=eq\r(-x2+2x)},B={x||x-m|<2013},若A∩B=A,則m的取值范圍是________.答案:(-2012,2013)解析:集合A表示函數(shù)y=eq\r(-x2+2x)的值域,由t=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,可得0≤y≤1,故A=[0,1].集合B是不等式|x-m|<2013的解集,解得m-2013<x<m+2013,所以B=(m-2013,m+2013).因為A∩B=A,所以AB.如圖,由數(shù)軸可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m-2013<0,,m+2013>1,))解得-2012<m<2013.8.給定集合A,若對于任意a、b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,則稱集合A為閉集合,給出如下三個結(jié)論:①集合A={-4,-2,0,2,4}為閉集合;②集合A={n|n=3k,k∈Z}為閉集合;③若集合A1、A2為閉集合,則A1∪A2為閉集合.其中正確的結(jié)論是________.(填序號)答案:②解析:①中,-4+(-2)=-6A,所以不正確;②中設(shè)n1、n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1、k2∈Z,則n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正確;③令A1={-4,0,4},A2={-2,0,2},則A1、A2為閉集合,但A1∪A2不是閉集合,所以③不正確.9.設(shè)集合U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},?UA={5},求實數(shù)a的值.解:此時只可能是a2+2a-3=5,易得a=2或-4.當a=2時,A={2,3}符合題意.當a=-4時,A={9,3}不符合題意,舍去.故a=2.10.已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},集合B={x|m-2≤x≤m+2,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求實數(shù)m的值;(2)若A?RB,求實數(shù)m的取值范圍.解:由已知得集合A={x|-1≤x≤3}.(1)∵A∩B=[0,3],∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(m-2=0,,m+2≥3,)))∴m=2.(2)?RB={x|x<m-2或x>m+2}.∵A?RB,∴m-2>3或m+2<-1,∴m>5或m<-3.11.設(shè)全集I=R,已知集合M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6=0}.(1)求(?IM)∩N;(2)記集合A=(?IM)∩N,已知集合B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若B∪A=A,求實數(shù)a的取值范圍.解:(1)∵M={x|(x+3)2≤0}={-3},N={x|x2+x-6=0}={-3,2},∴?IM={x|x∈R且x≠-3},∴(?IM)∩N={2}.(2)A=(?IM)∩N={2},∵A∪B=A,∴BA,∴B=或B={2}.當B=時,a-1>5-a,∴a>3;當B={2}時,可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a-1=2,,5-a=2,))解得a=3;綜上所述,所求a的取值范圍為{a|a≥3}.第3課時簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞1.“x>0”是“x≠0”答案:充分而不必要解析:對于“x>0”“x≠0”;反之不一定成立,因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要條件.2.已知命題p:n∈N,2n>1000,則綈p為__________.答案:n∈N,2n≤10003.命題“x∈R,使得xsinx-1≤0”的否定是____________.答案:x∈R,使得xsinx-1>0解析:直接改寫,原命題的否定為“x∈R,使得xsinx-1>0”.4.已知a、b、c是非零實數(shù),則“a、b、c成等比數(shù)列”是“b=eq\r(ac)”的________(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分又不必要”)條件.答案:必要不充分解析:若非零實數(shù)a、b、c成等比數(shù)列,則b2=ac,即b=±eq\r(ac),∴非零實數(shù)a、b、c成等比數(shù)列是b=eq\r(ac)的必要不充分條件.5.已知命題p:若實數(shù)x、y滿足x2+y2=0,則x、y全為零.命題q:若a>b,則eq\f(1,a)<eq\f(1,b).給出下列四個復合命題:①p且q;②p或q;③非p;④非q.其中真命題是________.(填序號)答案:②④解析:命題p為真命題.若a=2>b=-1,而eq\f(1,a)=eq\f(1,2)>eq\f(1,b)=-1,命題q為假命題.由真值表可知,p或q、非q為真命題.6.已知a、b、c、d為實數(shù),且c>d.則“a>b”是“a-c>b-d”的________條件.答案:必要而不充分解析:顯然充分性不成立.又若a-c>b-d和c>d都成立,則同向不等式相加得a>b,即由“a-c>b-d”“a>b”.7.“a≥eq\f(1,8)”是“對x是正實數(shù),2x+eq\f(a,x)≥c”的充要條件,則實數(shù)c=________.答案:1解析:若c<0,則a≥0,不符合題意;若c>0,eq\f(a,x)≥c-2x,根據(jù)x是正數(shù),有a≥cx-2x2,∵y=cx-2x2在x是正數(shù)時,值域是y≤-2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,4)))eq\s\up12(2)+c×eq\f(c,4)=eq\f(c2,8),則a≥eq\f(c2,8),于是eq\f(c2,8)=eq\f(1,8)c=1.8.存在實數(shù)x,使得x2-4bx+3b<0成立,則b的取值范圍是________.答案:(-∞,0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4),+∞))解析:由題意知只需滿足相應方程x2-4bx+3b=0的判別式Δ>0,則4b2-3b>0,解得b<0或b>eq\f(3,4).9.寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷其真假.(1)全等三角形一定相似;(2)末位數(shù)字是零的自然數(shù)能被5整除.解:(1)逆命題:兩個三角形相似,則它們?nèi)龋瑸榧倜};否命題:兩個三角形不全等,則它們不相似,為假命題;逆否命題:兩個三角形不相似,則它們不全等,為真命題.(2)逆命題:能被5整除的自然數(shù)末位數(shù)字是零,為假命題;否命題:末位數(shù)字不是零的自然數(shù)不能被5整除,為假命題;逆否命題:不能被5整除的自然數(shù)末位數(shù)字不是零,為真命題.10.設(shè)條件p:2x2-3x+1≤0,條件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.解:條件p為:eq\f(1,2)≤x≤1,條件q為:a≤x≤a+1.p對應的集合A=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>1或x<\f(1,2))))),q對應的集合B={x|x>a+1或x<a}.∵p是q的必要不充分條件,∴BA,∴a+1>1且a≤eq\f(1,2)或a+1≥1且a<eq\f(1,2).∴0≤a≤eq\f(1,2).故a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2))).11.已知集合A={x|x2-3x+2≤0},集合B為函數(shù)y=x2-2x+a的值域,集合C={x|x2-ax-4≤0},命題p:A∩B≠;命題q:AC.(1)若命題p為假命題,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若命題p∧q為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.解:(1)A=[1,2],B=[a-1,+∞),若p為假命題,則A∩B=,故a-1>2,即a>3.故a的取值范圍為(3,+∞).(2)若命題p∧q為真命題,則p和q都為真命題.命題p為真,則a≤3.命題q為真,即轉(zhuǎn)化為當x∈[1,2]時,f(x)=x2-ax-4≤0恒成立.(解法1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(1)=1-a-4≤0,,f(2)=4-2a-4≤0,))解得a≥0.(解法2)當x∈[1,2]時,a≥x-eq\f(4,x)恒成立,而x-eq\f(4,x)在[1,2]上單調(diào)遞增,故a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(4,x)))eq\s\do7(max)=0.綜上,a的取值范圍為[0,3].
第二章函數(shù)與導數(shù)第1課時函數(shù)及其表示1.下列對應f是從集合A到集合B的函數(shù)有________個.①A=N,B=N*,f:x→y=|x-2|;②A={1,2,3},B=R,f(1)=f(2)=3,f(3)=4;③A=[-1,1],B={0},f:x→y=0.答案:22.已知函數(shù)y=f(x),集合A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|x=a,y∈R},其中a為常數(shù),則集合A∩B的元素有________個.答案:0或1解析:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,則當a∈D時,A∩B中恰有1個元素;當aD時,A∩B中沒有元素.3.若f(eq\r(x)+1)=x+1,則f(x)=___________.答案:x2-2x+2(x≥1)解析:令t=eq\r(x)+1,則x=(t-1)2,所以f(t)=(t-1)2+1.4.已知函數(shù)φ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函數(shù),g(x)是x的反比例函數(shù),且φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))=16,φ(1)=8,則φ(x)=________.答案:3x+eq\f(5,x)(x≠0)解析:由題可設(shè)φ(x)=ax+eq\f(b,x),代入φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))=16,φ(1)=8,得a=3,b=5.5.已知函數(shù)f(x)=3x-1,g(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2-1,x≥0,,2-x,x<0.))若x≥eq\f(1,3),則g(f(x))=________.答案:9x2-6x解析:當x≥eq\f(1,3)時,feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))≥0,所以g(f(x))=(3x-1)2-1=9x2-6x.6.工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,次品率p與日產(chǎn)量x(萬件)間的關(guān)系為p=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,6-x),0<x≤c,,\f(2,3),x>c))(c為常數(shù),且0<c<6).已知每生產(chǎn)1件合格產(chǎn)品盈利3元,每出現(xiàn)1件次品虧損1.5元.若將日盈利y(萬元)表示為日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)關(guān)系,其關(guān)系式為________________.答案:y=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3(9x-2x2),2(6-x)),0<x≤c,0,x>c))解析:當x>c時,p=eq\f(2,3),所以y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(2,3)))·x·3-eq\f(2,3)·x·eq\f(3,2)=0;當0<x≤c時,p=eq\f(1,6-x),所以y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,6-x)))·x·3-eq\f(1,6-x)·x·eq\f(3,2)=eq\f(3(9x-2x2),2(6-x)).7.已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1-x,1+x)))=eq\f(1-x2,1+x2),則f(x)的解析式為____________.答案:f(x)=eq\f(2x,x2+1)8.已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x)(x≥0),,-x2-4x(x<0).))若f(x)≤3,則x的取值范圍是________.答案:[-1,9]∪(-∞,-3]解析:f(x)≤3等價于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0,,\r(x)≤3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0,,-x2-4x≤3,))解得0≤x≤9或-1≤x<0或x≤-3,即-1≤x≤9或x≤-3.9.(1)已知f(x)是二次函數(shù),且方程f(x)+3x=0有兩根0和1.若f(x+4)=f(-x),求f(x);(2)設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù),滿足f(0)=1,且對任意實數(shù)a、b,有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x).解:(1)設(shè)f(x)+3x=ax(x-1)(a≠0),即f(x)=ax2-(a+3)x,由f(x+4)=f(-x),得f(x)的圖象關(guān)于x=2對稱,所以eq\f(a+3,2a)=2,解得a=1,所以f(x)=x2-4x.(2)令a=b=x,則f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1),即f(0)=f(x)-x2-x.由于f(0)=1,所以f(x)=x2+x+1.10.已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2+1,x≥0,,1,x<0,))g(x)=x+2.(1)若f(g(a))=g(f(-1),求a的值;(2)解不等式f(1-x2)>f(2x).解:(1)由條件,g(f(-1))=3,g(a)=a+2,所以f(g(a))=g(f(-1))即為f(a+2)=3.當a+2≥0,即a≥-2時,(a+2)2+1=3,所以a=-2+eq\r(2);當a+2<0,即a<-2時,顯然不成立,所以a=-2+eq\r(2).(2)由f(1-x2)>f(2x),知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1-x2>0,,1-x2>2x,))解得-1<x<eq\r(2)-1.所以不等式的解集為(-1,eq\r(2)-1).11.是否存在正整數(shù)a、b,使f(x)=eq\f(x2,ax-2),且滿足f(b)=b及f(-b)<-eq\f(1,b)?若存在,求出a、b的值;若不存在,說明理由.解:假設(shè)存在正整數(shù)a、b滿足題意.∵f(x)=eq\f(x2,ax-2),f(b)=b,∴eq\f(b2,ab-2)=b,即(a-1)b=2.∵a、b∈N*,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a=3,,b=1)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a=2,,b=2.)))當a=3,b=1時,f(x)=eq\f(x2,3x-2),此時-b=-1,∴f(-b)=f(-1)=-eq\f(1,5)>-1=-eq\f(1,b),因此a=3,b=1不符合題意,舍去;當a=2,b=2時,f(x)=eq\f(x2,2x-2),此時-b=-2,∴f(-b)=f(-2)=-eq\f(2,3)<-eq\f(1,2)=-eq\f(1,b),符合題意.∴存在a=2,b=2滿足條件使f(x)=eq\f(x2,2x-2).第2課時函數(shù)的定義域和值域1.設(shè)集合A={x|eq\a\vs4\al(y=\f(1,1+\f(1,x)))},則A=________.答案:{x|x≠-1且x≠0}解析:由x≠0,且1+eq\f(1,x)≠0可得答案.2.函數(shù)f(x)=eq\r(1-2log6x)的定義域為_______________.答案:(0,eq\r(6)]解析:根據(jù)二次根式和對數(shù)函數(shù)有意義的條件,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0,,1-2log6x≥0))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0,,log6x≤\f(1,2)))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0,,x≤6\s\up6(\f(1,2))=\r(6)))0<x≤eq\r(6).3.若集合M={y|y=2-x},N={y|y=eq\r(x-1)},則M∩N=_______________.答案:{y|y>0}解析:M=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y=\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)))))={y|y>0},N={y|y≥0},∴M∩N={y|y>0}∩{y|y≥0}={y|y>0}.4.函數(shù)y=eq\r(x)-x(x≥1)的值域為________.答案:(-∞,0]解析:y=-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)-\f(1,2)))eq\s\up12(2)+eq\f(1,4),因為x≥1,所以y≤0.5.若函數(shù)y=eq\f(1,2)x2-2x+4的定義域、值域都是閉區(qū)間[2,2b],則b=________.答案:2解析:y=eq\f(1,2)x2-2x+4=eq\f(1,2)(x-2)2+2,顯然f(2b)=2b,結(jié)合b>1,得b=2.6.函數(shù)y=eq\f(x2,x2-x+1)的最大值為________.答案:eq\f(4,3)解析:若x=0,則y=0;若x≠0,則y=eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))\s\up12(2)-\f(1,x)+1)=eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)-\f(1,2)))\s\up12(2)+\f(3,4))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(4,3))).7.若函數(shù)f(x)=eq\r(2x2-2ax+a-1)的定義域為R,則實數(shù)a的取值范圍是________.答案:0≤a≤1解析:2x2-2ax+a-1≥0,即x2-2ax+a≥0恒成立,∴Δ≤0,∴0≤a≤1.8.若函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x,x<0,,-2-x,x>0,))則函數(shù)y=f(f(x))的值域是________.答案:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,-\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))解析:x<0時,f(x)=2x∈(0,1),eq\f(1,2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2x)<1,f(f(x))=-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,-\f(1,2))),同理可得x>0時,f(f(x))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1)),綜上所述,函數(shù)y=f(f(x))的值域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,-\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1)).9.(1)求函數(shù)f(x)=eq\f(ln(x+1),\r(-x2-3x+4))+(5x-4)0的定義域.(2)已知函數(shù)f(x)的定義域是[0,1],求函數(shù)y=f(x2)+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(4,3)))的定義域.解:(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,\f(4,5)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5),1)).(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0≤x2≤1,,0≤x+\f(4,3)≤1,)))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(-1≤x≤1,,-\f(4,3)≤x≤-\f(1,3),)))所以-1≤x≤-eq\f(1,3),即函數(shù)f(x)的定義域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-1,-\f(1,3))).10.已知a>1,函數(shù)f(x)=eq\f(ax+1,x+1)(x∈[1,3]),g(x)=x+eq\f(9,x+1)+4(x∈[0,3]).(1)求f(x)與g(x)的值域;(2)若x1∈[1,3],x2∈[0,3],使得f(x1)=g(x2)成立,試求a的取值范圍.解:(1)f(x)=eq\f(a(x+1)+(1-a),x+1)=a+eq\f(1-a,x+1).因為a>1,所以f(x)在[1,3]上是增函數(shù),所以函數(shù)f(x)的值域為[eq\f(1,2)(a+1),eq\f(1,4)(3a+1)].由g(x)=(x+1)+eq\f(9,x+1)+3≥2eq\r((x+1)·\f(9,x+1))+3=9,當且僅當(x+1)=eq\f(9,x+1),即x=2∈[0,3]時,取等號,即g(x)的最小值為9.又g(0)=13,g(3)=eq\f(37,4),所以g(x)的最大值為13.所以函數(shù)g(x)的值域為[9,13].(2)由題意知,eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)(a+1),\f(1,4)(3a+1)))[9,13],即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)(a+1)≥9,,\f(1,4)(3a+1)≤13,))解得a=17.因為a>1,所以a=17符合.11.設(shè)函數(shù)f(x)=eq\r(1-x2)+eq\r(1+x)+eq\r(1-x).(1)設(shè)t=eq\r(1+x)+eq\r(1-x),求t的取值范圍,并把f(x)表示為t的函數(shù)h(t);(2)求函數(shù)f(x)的最值.解:(1)∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1+x≥0,,1-x≥0,)))∴-1≤x≤1,∴t2=(eq\r(1+x)+eq\r(1-x))2=2+2eq\r(1-x2)∈[2,4],∴t∈[eq\r(2),2].由eq\r(1-x2)=eq\f(1,2)t2-1,∴h(t)=eq\f(1,2)t2+t-1,t∈[eq\r(2),2].(2)由h(t)=eq\f(1,2)t2+t-1=eq\f(1,2)(t+1)2-eq\f(3,2)∈[eq\r(2),3],∴f(x)的最大值為3,最小值為eq\r(2).第3課時函數(shù)的單調(diào)性1.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)的是________.(填序號)①y=eq\r(x);②y=eq\f(1,x);③y=2x-1;④y=|x|.答案:①③④2.函數(shù)y=x-eq\f(1,x)的單調(diào)增區(qū)間為________.答案:(-∞,0),(0,+∞)3.已知f(x)=x2+x,則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2+\f(1,a2)))________(填“≤”或“≥”)f(2).答案:≥解析:∵f(x)的對稱軸方程為x=-eq\f(1,2),∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),+∞))上為增函數(shù).又a2+eq\f(1,a2)≥2,∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2+\f(1,a2)))≥f(2).4.函數(shù)f(x)=2x+log2x,x∈[1,2]的值域是________.答案:[2,5]解析:因為f(x)=2x+log2x在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù),所以f(x)∈[2,5].5.若函數(shù)f(x)=x2+ax與g(x)=eq\f(a,x-1)在區(qū)間(1,2)上都是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是________.答案:[-2,0)解析:若f(x)在(1,2)上是增函數(shù),則a≥-2;若g(x)在(1,2)上是增函數(shù),則a<0.6.函數(shù)f(x)=ln(4+3x-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是_________.答案:eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),4))解析:函數(shù)f(x)的定義域是(-1,4).令u(x)=-x2+3x+4=-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(3,2)))eq\s\up12(2)+eq\f(25,4)的減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),4)).∵e>1,∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),4)).7.已知定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).若f(1)<f(lnx),則x的取值范圍是________.答案:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,e)))∪(e,+∞)解析:|lnx|>1,所以lnx<-1或lnx>1,所以0<x<eq\f(1,e)或x>e.8.已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax,x<0,,(a-3)x+4a,x≥0))滿足對任意的x1≠x2,都有eq\f(f(x1)-f(x2),x1-x2)<0成立,則a的取值范圍是________.答案:eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,4)))解析:對任意的x1≠x2,都有eq\f(f(x1)-f(x2),x1-x2)<0成立,說明函數(shù)f(x)是減函數(shù),∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1,,a-3<0,,a0≥(a-3)×0+4a,))此不等式組的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,4))).9.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R).(1)若f(-1)=0,且對任意實數(shù)x均有f(x)≥0,求實數(shù)a、b的值;(2)在(1)的條件下,當x∈[-2,2]時,g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)k的取值范圍.解:(1)a=1,b=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+2x+1,所以g(x)=x2+(2-k)x+1,因為g(x)在[-2,2]上是單調(diào)函數(shù),所以[-2,2]eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(k-2,2)))或[-2,2]eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k-2,2),+∞)),解得k≤-2或k≥6.10.設(shè)函數(shù)f(x)=eq\r(x2+1)-ax.(1)當a≥1時,證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)減函數(shù);(2)當x∈[0,2]時,f(x)≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.(1)證明:設(shè)x1、x2∈[0,+∞),且x1<x2,由f(x1)-f(x2)=(eq\r(xeq\o\al(2,1)+1)-ax1)-(eq\r(xeq\o\al(2,2)+1)-ax2)=eq\f(xeq\o\al(2,1)-xeq\o\al(2,2),\r(xeq\o\al(2,1)+1)+\r(xeq\o\al(2,2)+1))-a(x1-x2)=(x1-x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1+x2,\r(xeq\o\al(2,1)+1)+\r(xeq\o\al(2,2)+1))-a)).∵0≤x1<x2,∴eq\f(x1+x2,\r(xeq\o\al(2,1)+1)+\r(xeq\o\al(2,2)+1))∈(0,1).而a≥1,∴eq\f(x1+x2,\r(xeq\o\al(2,1)+1)+\r(xeq\o\al(2,2)+1))-a<0.又x1-x2<0,∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在[0,+∞)上是單調(diào)減函數(shù).(2)解:當x=0時,f(x)=1>0,此時a∈R.當x∈(0,2]時,由f(x)≥0恒成立,得a≤eq\f(\r(x2+1),x).而eq\f(\r(x2+1),x)=eq\r(1+\f(1,x2))≥eq\f(\r(5),2),∴a≤eq\f(\r(5),2).綜上,滿足條件的實數(shù)a的范圍是a≤eq\f(\r(5),2).11.已知函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),且對一切x>0,y>0都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))=f(x)-f(y),當x>1時,有f(x)>0.(1)求f(1)的值;(2)判斷f(x)的單調(diào)性并證明;(3)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))<2.解:(1)令x=y(tǒng),則f(1)=f(x)-f(x)=0.(2)設(shè)0<x1<x2,則f(x2)-f(x1)=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x1))).∵0<x1<x2,∴eq\f(x2,x1)>1,∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x1)))>0,即f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在定義域(0,+∞)上是增函數(shù).(3)∵f(6)=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(36,6)))=f(36)-f(6),∴f(36)=2,原不等式等價于f(x2+3x)<f(36).由(2)知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x+3>0,,\f(1,x)>0,,x2+3x<36,)))解得0<x<eq\f(3\r(17)-3,2).第4課時函數(shù)的奇偶性及周期性1.已知奇函數(shù)f(x)的定義域為(-2a,a2-3),則a=________.答案:3解析:(-2a)+(a2-3)=0,且-2a<0.2.已知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),當x>0時,f(x)=lgx,則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))))=_________.答案:-lg2解析:因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))=lgeq\f(1,100)=-2,所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))))=f(-2)=-f(2)=-lg2.3.若函數(shù)f(x)=eq\f(x,(2x+1)(x-a))是奇函數(shù),則實數(shù)a=________.答案:eq\f(1,2)解析:由f(-x)=-f(x)恒成立可得a=eq\f(1,2).4.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),若f(1.5)=1,則f(2014.5)=________.答案:-1解析:由f(x+1)=-f(x),知f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期為2的函數(shù),所以f(2014.5)=f(0.5)=f(-1.5)=-f(1.5)=-1.5.設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間[-1,1]上,f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax+1,-1≤x<0,,\f(bx+2,x+1),0≤x≤1,))其中a、b∈R.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))),則a+3b=________.答案:-10解析:因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))),函數(shù)f(x)的周期為2,所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)-2))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2))),根據(jù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax+1,-1≤x<0,,\f(bx+2,x+1),0≤x≤1,))得到3a+2b=-2.又f(1)=f(-1),得到-a+1=eq\f(b+2,2),即2a+b=0,結(jié)合上面的式子解得a=2,b=-4,所以a+3b=-10.6.已知奇函數(shù)f(x)是定義在(-1,1)上的增函數(shù),若f(a-2)+f(a2-4)<0,則a的取值范圍是________.答案:(eq\r(3),2)解析:由已知得f(a-2)<-f(a2-4),因f(x)是奇函數(shù),故-f(a2-4)=f(4-a2),于是f(a-2)<f(4-a2).又f(x)是定義在(-1,1)上的增函數(shù),從而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a-2<4-a2,,-1<a-2<1,,-1<a2-4<1))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-3<a<2,,1<a<3,,-\r(5)<a<-\r(3)或\r(3)<a<\r(5)))eq\r(3)<a<2.7.已知函數(shù)f(x)=x2-cosx,x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),\f(π,2))),則滿足f(x0)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))時x0的取值范圍是_________.答案:eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),-\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3),\f(π,2)))解析:feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在區(qū)間上是偶函數(shù),且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上是單調(diào)遞增函數(shù),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x0|>\f(π,3),,-\f(π,2)≤x0≤\f(π,2),))即x0的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),-\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3),\f(π,2))).8.設(shè)函數(shù)f(x)=eq\f((x+1)2+sinx,x2+1)的最大值為M,最小值為m,則M+m=_________.答案:2解析:f(x)=1+eq\f(2x+sinx,x2+1),令g(x)=eq\f(2x+sinx,x2+1),則g(x)是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,由于f(x)的圖象是由g(x)的圖象向上平移1個單位而得,所以f(x)的圖象關(guān)于(0,1)對稱,所以M+m=2.9.設(shè)f(x)=eq\f(-2x+a,2x+1+b)(a、b為實常數(shù)).(1)證明:當a=b=1時,f(x)不是奇函數(shù);(2)設(shè)f(x)是奇函數(shù),求a與b的值.(1)證明:f(x)=eq\f(-2x+1,2x+1+1),f(1)=eq\f(-2+1,22+1)=-eq\f(1,5),f(-1)=eq\f(-\f(1,2)+1,2)=eq\f(1,4),所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函數(shù).(2)解:f(x)是奇函數(shù)時,f(-x)=-f(x),即eq\f(-2-x+a,2-x+1+b)=-eq\f(-2x+a,2x+1+b)對任意實數(shù)x成立.化簡整理得(2a-b)·22x+(2ab-4)·2x+(2a-b)=0,這是關(guān)于x的恒等式,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a-b=0,,2ab-4=0,))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=-1,,b=-2,))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=1,,b=2.))10.設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是定義域為R的奇函數(shù).(1)求k的值;(2)若f(1)<0,試判斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0對任意實數(shù)x恒成立的t的取值范圍.解:(1)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(0)=0,∴1-(k-1)=0,∴k=2.(2)f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),由于f(1)<0,∴a-eq\f(1,a)<0,∴0<a<1.∴f(x)在R上是減函數(shù).不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0等價于f(x2+tx)<f(x-4).∴x2+tx>x-4,即x2+(t-1)x+4>0恒成立.∴Δ=(t-1)2-16<0,解得-3<t<5.11.設(shè)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)=2x-x2.(1)求當x<0時,f(x)的解析式;(2)請問是否存在這樣的正數(shù)a、b,當x∈[a,b]時,g(x)=f(x),且g(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,b),\f(1,a)))?若存在,求出a、b的值;若不存在,請說明理由.解:(1)當x<0時,-x>0,于是f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.因為y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=-(-2x-x2)=2x+x2,即f(x)=2x+x2(x<0).(2)假設(shè)存在,則由題意知g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,x∈[a,b],a>0,所以eq\f(1,a)≤1,a≥1,從而函數(shù)g(x)在[a,b]上單調(diào)遞減.于是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2a-a2=\f(1,a),,2b-b2=\f(1,b),)))所以a、b是方程2x-x2=eq\f(1,x)的兩個不等正根,方程變形為x3-2x2+1=0,即(x-1)(x2-x-1)=0,方程的根為x=1或x=eq\f(1±\r(5),2).因為0<a<b,所以a=1,b=eq\f(1+\r(5),2).第5課時函數(shù)的圖象1.函數(shù)f(x)=eq\f(2x+1,x-1)圖象的對稱中心的坐標是________.答案:(1,2)解析:f(x)=2+eq\f(3,x-1).2.函數(shù)f(x)=(2-a2)x+a的圖象在區(qū)間[0,1]上恒在x軸上方,則實數(shù)a的取值范圍是________.答案:(0,2)解析:由題意,只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(0)>0,,f(1)>0,))即可.3.設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在R上,則函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖象關(guān)于直線________對稱.答案:x=1解析:由y=f(1-x)=f[-(x-1)],知y=f(1-x)的圖象是由y=f(-x)的圖象向右平移1個單位而得,而函數(shù)y=f(x-1)的圖象是由y=f(x)的圖象向右平移1個單位而得,函數(shù)y=f(-x)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱,所以函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.4.函數(shù)f(x)=|x2-ax+a|(a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.答案:eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(a,2),0))和eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2),+∞))5.不等式lg(-x)<x+1的解集是________.答案:(-1,0)6.任取x1、x2∈(a,b),且x1≠x2,若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1+x2,2)))>eq\f(1,2)[f(x1)+f(x2)],則稱f(x)是(a,b)上的凸函數(shù).在下列圖象中,是凸函數(shù)圖象的是________.(填序號)答案:④7.已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當x∈[-1,1]時f(x)=x2,那么函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=|lgx|的圖象的交點共有________個.答案:10解析:根據(jù)f(x)的性質(zhì)及f(x)在[-1,1]上的解析式可作圖如下:可驗證當x=10時,y=|lg10|=1;當0<x<10時,|lgx|<1;x>10時,|lgx|>1.因此結(jié)合圖象及數(shù)據(jù)特點y=f(x)與y=|lgx|的圖象交點共有10個.8.已知a>0,且a≠1,f(x)=x2-ax,當x∈(-1,1)時,均有f(x)<eq\f(1,2),則實數(shù)a的取值范圍是________.答案:eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))∪(1,2]解析:由題知,當x∈(-1,1)時,f(x)=x2-ax<eq\f(1,2),即x2-eq\f(1,2)<ax.在同一坐標系中分別作出二次函數(shù)y=x2-eq\f(1,2),指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象,如圖,當x∈(-1,1)時,要使指數(shù)函數(shù)的圖象均在二次函數(shù)圖象的上方,只需eq\f(1,2)≤a≤2且a≠1.故實數(shù)a的取值范圍是eq\f(1,2)≤a<1或1<a≤2.9.作出下列函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1)y=|3x-1|;(2)y=|x-2|(x+1).解:(1)y=|3x-1|=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x-1,x≥0,,1-3x,x<0,))圖象如下,其單調(diào)增區(qū)間是(0,+∞),單調(diào)減區(qū)間是(-∞,0).(2)由y=|x-2|(x+1)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2)))\s\up12(2)+\f(9,4),x<2,,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2)))\s\up12(2)-\f(9,4),x≥2,))圖象如下,其單調(diào)增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,2)))和(2,+∞),單調(diào)減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),2)).10.已知定理:“若a、b為常數(shù),g(x)滿足g(a+x)+g(a-x)=2b,則函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于點(a,b)中心對稱”.已知函數(shù)f(x)=-1+eq\f(1,a-x).(1)試證明函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,-1)中心對稱;(2)當x∈[a-2,a-1]時,求證:f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),0)).證明:(1)∵f(a+x)+f(a-x)=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-1+\f(1,a-(a+x))))+eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-1+\f(1,a-(a-x))))=-2,∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,-1)中心對稱.(2)由f(x)=-1+eq\f(1,a-x)=-1-eq\f(1,x-a),知f(x)在(-∞,a)和(a,+∞)上均為增函數(shù),∴f(x)在[a-2,a-1]上單調(diào)遞增,從而f(x)∈[f(a-2),f(a-1)],即f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),0)).11.已知a、b是實數(shù),函數(shù)f(x)=ax+b|x-1|(x∈R).(1)若a、b∈(-2,2),且函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)存在最大值,試在平面直角坐標系xOy內(nèi),求出動點(a,b)運動區(qū)域的面積;(2)若b>0,且關(guān)于x的不等式f(x)<0的解集中的整數(shù)恰有2個,試求eq\f(a,b)的取值范圍.解:(1)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((a-b)x+b,x≤1,,(a+b)x-b,x>1,))結(jié)合f(x)的圖象知,f(x)在(0,+∞)內(nèi)存在最大值的充要條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a-b≥0,,a+b≤0,))且兩個等號不同時成立.當a、b∈(-2,2)時,點(a,b)運動區(qū)域的面積為4.(2)f(x)<0b|x-1|<-ax,即|x-1|<-eq\f(a,b)x.在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)p(x)=|x-1|和q(x)=-eq\f(a,b)x的圖象,由圖可知,-eq\f(2,3)≤eq\f(a,b)<-eq\f(1,2).第6課時二次函數(shù)1.函數(shù)y=2x2-8x+2在區(qū)間[-1,3]上的值域為________.答案:[-6,12]解析:y=2(x-2)2-6.x=2時,y最小為-6;x=-1時,y最大為12.2.設(shè)f(x)=x2+ax+3,不等式f(x)≥a對x∈R恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為________.答案:-6≤a≤2解析:依題意,x2+ax+3-a≥0對x∈R恒成立,故函數(shù)的圖象恒在x軸的上方或與x軸最多只有一個公共點,從而Δ=a2-4(3-a)≤0.3.二次函數(shù)f(x)=2x2+5,若實數(shù)p≠q,使f(p)=f(q),則f(p+q)=________.答案:5解析:由f(p)=f(q),知二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=eq\f(p+q,2),則f(p+q)=f(0)=5.4.已知函數(shù)f(x)=ax2+(1-3a)x+a在區(qū)間[1,+∞)上遞增,則實數(shù)a的取值范圍是________.答案:[0,1]解析:若a=0,滿足題意;若a≠0,則a>0且-eq\f(1-3a,2a)≤1.5.函數(shù)y=(sinx-a)2+1,當sinx=a時有最小值,當sinx=1時有最大值,則實數(shù)a的取值范圍是________.答案:[-1,0]解析:當sinx=a時有最小值,則-1≤a≤1;當sinx=1時有最大值,說明1比-1更遠離a,所以a≤0,所以-1≤a≤0.6.若函數(shù)f(x)=(x+a)(bx+2a)(a、b∈R)是偶函數(shù),且它的值域為(-∞,4],則該函數(shù)的解析式f(x)=________.答案:-2x2+4解析:f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2.∵f(x)是偶函數(shù),∴ab+2a=0,∴a=0或b=-2.當a=0時,f(x)=bx2不符.當b=-2時,f(x)=-2x2+2a2.∵值域為(-∞,4],∴2a2=4.∴f(x)=-2x2+4.7.如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c為實數(shù),a≠0)的圖象過點C(t,2),且與x軸交于A、B兩點,若AC⊥BC,則a=________.
答案:-eq\f(1,2)解析:設(shè)y=a(x-x1)(x-x2),由條件,a(t-x1)(t-x2)=2,又AC⊥BC,利用斜率關(guān)系得,eq\f(2,t-x1)·eq\f(2,t-x2)=-1,所以a=-eq\f(1,2).8.設(shè)函數(shù)f(x)=x|x|+bx+c,給出下列四個命題:①當c=0時,y=f(x)是奇函數(shù);②當b=0,c>0時,方程f(x)=0只有一個實根;③y=f(x)的圖象關(guān)于點(0,c)對稱;④方程f(x)=0至多有兩個實根.上述命題中正確的是________.(填序號)答案:①②③解析:①由c=0,得f(x)=x|x|+bx為奇函數(shù);②當b=0,c>0時,f(x)=x|x|+c,此時方程f(x)=0有唯一一個實數(shù)根-eq\r(c);③在函數(shù)y=f(x)的圖象上任取一點(x,y),其關(guān)于點(0,c)的對稱點為(-x,2c-y),可判斷該點仍在y=f(x)的圖象上;④當c=0,b<0時,方程f(x)=0有三個實數(shù)根.故①②③正確,④錯誤.9.設(shè)a為實數(shù),函數(shù)f(x)=x|x-a|,其中x∈R.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并加以證明;(2)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解:(1)當a=0時,f(x)=x|x|,因為定義域為R,它關(guān)于原點對稱,且f(-x)=-x|-x|=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).當a≠0時,因f(a)=0,f(-a)=-a|2a|,所以f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a),所以f(x)是非奇非偶函數(shù).(2)當a=0時,f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2,x≥0,,-x2,x<0,))f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞).當a>0時,f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2-ax,x≥a,,-x2+ax,x<a,))f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(a,2)))和(a,+∞),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2),a)).當a<0時,f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2-ax,x≥a,,-x2+ax,x<a,))f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,a)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2),+∞)),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a,\f(a,2))).10.已知f(x)=x2+ax+3-a,且f(x)在閉區(qū)間[-2,2]上恒為非負數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.解:f(x)=x2+ax+3-a=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(a,2)))eq\s\up12(2)+3-a-eq\f(a2,4).由題意,f(x)≥0在x∈[-2,2]上恒成立,即[f(x)]min≥0.當-eq\f(a,2)<-2,即a>4時,[f(x)]min=f(-2)=7-3a,由7-3a≥0,得a≤eq\f(7,3),這與a>4矛盾,此時a不存在.當-2≤-eq\f(a,2)≤2,即-4≤a≤4時,[f(x)]min=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,2)))=3-a-eq\f(a2,4),由3-a-eq\f(a2,4)≥0,得-6≤a≤2,此時-4≤a≤2.當-eq\f(a,2)>2,即a<-4時,[f(x)]min=f(2)=7+a,由7+a≥0,得a≥-7,此時-7≤a<-4.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是[-7,2].11.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,c>0)的圖象與x軸有兩個不同的公共點,且有f(c)=0,當0<x<c時,恒有f(x)>0.(1)當a=1,c=eq\f(1,2)時,解不等式f(x)<0;(2)若以二次函數(shù)的圖象與坐標軸的三個交點為頂點的三角形的面積為8,求a的取值范圍;(3)若f(0)=1,且f(x)≤m2-2km+1對所有x∈[0,c],k∈[-1,1]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.解:(1)當a=1,c=eq\f(1,2)時,f(x)=x2+bx+eq\f(1,2).f(x)的圖象與x軸有兩個不同交點,因feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))=0,設(shè)另一個根為x2,則eq\f(1,2)x2=eq\f(1,2),所以x2=1,于是f(x)<0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1)).(2)f(x)的圖象與x軸有兩個交點,因f(c)=0,設(shè)另一個根為x2,則cx2=eq\f(c,a),故x2=eq\f(1,a).所以三交點的坐標分別為(c,0),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a),0)),(0,c).又當0<x<c時,恒有f(x)>0,則eq\f(1,a)>c,于是,以這三交點為頂點的三角形的面積為S=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)-c))c=8,故a=eq\f(c,16+c2)≤eq\f(c,2\r(16)c)=eq\f(1,8),于是a∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,8))).(3)由題意,當0<x<c時,恒有f(x)>0,所以f(x)在[0,c]上是單調(diào)遞減的,且在x=0處取到最大值1.要使f(x)≤m2-2km+1對所有x∈[0,c],k∈[-1,1]恒成立,必須f(x)max=1≤m2-2km+1成立,即m2-2km≥0.令g(k)=-2km+m2,對所有k∈[-1,1],g(k)≥0恒成立,只要eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(g(1)≥0,,g(-1)≥0,)))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(m2-2m≥0,,m2+2m≥0,)))解得實數(shù)m的取值范圍為m≤-2或m=0或m≥2.第7課時指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)(1)1.化簡eq\r(\f(3b,a))·eq\r(3,\f(a2,3b))(a>0,b>0)=________.答案:eq\r(6,3ab)2.已知3a=2,3b=eq\f(1,5),則32a-b=________.答案:20解析:32a-b=eq\f(32a,3b)=eq\f(4,\f(1,5))=20.3.比較log25與log58的大小為________.答案:log25>log58解析:log25>log24=2,log58<log525=2.4.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up6(\f(1,2))-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))-eq\f(2,3)+eq\f(1,\r(5)+2)-eq\r(9-4\r(5))=________.答案:eq\f(19,18)5.設(shè)lg2=a,lg3=b,則log512用a、b可表示為________.答案:eq\f(2a+b,1-a)解析:log512=eq\f(lg12,lg5)=eq\f(2lg2+lg3,1-lg2).6.已知函數(shù)f(x)=alog2x+blog3x+2,且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2014)))=4,則f(2014)=________.答案:0解析:因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2014)))=-alog22014-blog32014+2,f(2014)=alog22014+blog32014+2,所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2014)))+f(2014)=4.由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2014)))=4,所以f(2014)=0.7.已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x,x≤2,,f(x-1),x>2,))則f(2+log32)=________.答案:6解析:因為2<2+log32<3,所以f(2+log32)=f(1+log32)=31+log32=3·3log32=3×2=6.8.已知2lgeq\f(x-y,2)=lgx+lgy,則eq\r(\f(x,y))=________.答案:1+eq\r(2)解析:由已知得lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x-y,2)))eq\s\up12(2)=lg(xy),故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x-y,2)))eq\s\up12(2)=xy,即x2-6xy+y2=0,所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))eq\s\up12(2)-6eq\f(x,y)+1=0,所以eq\f(x,y)=3±2eq\r(2).因eq\f(x-y,2)>0及x、y>0,故x>y>0,即eq\f(x,y)>1,從而eq\f(x,y)=3+2eq\r(2),eq\r(\f(x,y))=1+eq\r(2).9.計算:(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2;(2)(log23+log89)(log34+log38+log272).解:(1)原式=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2(1+lg5+lg2)=2lg5+2lg2=2.(2)原式=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log23+\f(2,3)log23))(2log32+3log32+eq\f(1,3)log32)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)log23))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)log23))=eq\f(80,9).10.已知a>1,且a+a-1=3,求下列各式的值.(1)aeq\s\up6(\f(1,2))-a-eq\f(1,2);(2)a-a-1;(3)eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\s\up6(\f(1,2))-a-\f(1,2)))(a2+a-2-4),a4-a-4).解:(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\s\up6(\f(1,2))-a-\f(1,2)))eq\s\up12(2)=a+a-1-2=1.∵a>1,∴aeq\s\up6(\f(1,2))-a-eq\f(1,2)=1.(2)
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