定積分的計算與應(yīng)用

定積分的計算與應(yīng)用∫〔a,b〕[f(x)±g(x)]dx=∫〔a,b〕f(x)±∫〔a,b〕g(x)dx∫〔a,b〕kf(x)dx=k∫〔a,b〕f(x)dx換元積分法如果(1)(2)x=ψ〔t〕在[α，β]上單值、可導(dǎo)；(3)當(dāng)α≤t≤β時，a≤ψ〔t〕≤b，且ψ〔α〕=a，ψ〔β〕=b,則分部積分法設(shè)u=u(x),v=v(x)均在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且u′，v′∈R([a,b])，則有分部積分公式：[3]拓展資料一般定理定理1：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。定理2：設(shè)f(x)區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積。定理3：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)，則f(x)在[a,b]上可積。牛頓-萊布尼茨公式定積分與不定積分看起來風(fēng)馬牛不相及，但是由于一個數(shù)學(xué)上重要的理論的支撐，使得它們有了本質(zhì)的密切關(guān)系。把一個圖形無限細(xì)分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個理論，可以轉(zhuǎn)化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內(nèi)容是：如果f(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，并且有F′〔x〕=f(x)，那么用文字表述為：一個定積分式的值，就是原函數(shù)在上限的值與原函數(shù)在下限的值的差。正因為這個理論，顯示了積分與黎曼積分本質(zhì)的聯(lián)系，可見其在微積分學(xué)以至更高等的數(shù)學(xué)上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，將區(qū)間[a,b]分成n個子區(qū)間[x0,x1],(x1,x2],(x2,x3]，…，〔xn-1,xn]，其中x0=a,xn=b?？芍鲄^(qū)間的長度依次是：△x1=x1-x0，在每個子區(qū)間〔xi-1,xi]中任取一點(diǎn)ξi(1,2,。,n)，作和式。該和式叫做積分和，設(shè)λ=max{△x1，△x2，…，△xn}〔即λ是最大的區(qū)間長度〕，如果當(dāng)λ→0時，積分和的極限存在，則這個極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]的定積分，記為，并稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積表達(dá)式，∫叫做積分號。之所以稱其為定積分，是因為它積分后得出的值是確定的，是一個常數(shù)，而不是一個函數(shù)。依據(jù)上述定義，假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積分，則有n等分的特別分法：特別注意，依據(jù)上述表達(dá)式有，當(dāng)[a,b]區(qū)間恰好為[0,1]區(qū)間時，則[0,1]區(qū)間積分表達(dá)式為：參照資料來源：搜狗百科-定積分定積分基本公式：積分是微分的逆運(yùn)算，即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，反求原函數(shù)。在應(yīng)用上，積分作用不僅如此，它被大量應(yīng)用于求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特別的性質(zhì)決定的。主要分為定積分、不定積分以及其他積分。積分的性質(zhì)主要有線性性、保號性、極大值極小值、絕對連續(xù)性、絕對值積分等。擴(kuò)展資料定積分是積分的一種，是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上積分和的極限。這里應(yīng)注意定積分與不定積分之間的關(guān)系：假設(shè)定積分存在，則它是一個具體的數(shù)值〔曲邊梯形的面積〕，而不定積分是一個函數(shù)表達(dá)式，它們僅僅在數(shù)學(xué)上有一個計算關(guān)系〔牛頓-萊布尼茨公式〕，其它一點(diǎn)關(guān)系都沒有。一個函數(shù)，可以存在不定積分，而不存在定積分；也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續(xù)函數(shù)，一定存在定積分和不定積分；假設(shè)只有有限個間斷點(diǎn)，則定積分存在；假設(shè)有跳躍間斷點(diǎn)，則原函數(shù)一定不存在，即不定積分一定不存在。參照資料來源：搜狗百科-定積分微積分包括微分和積分，微分和積分的運(yùn)算正好相反，二者互為逆運(yùn)算。積分又包括定積分和不定積分。定積分是指有固定的積分區(qū)間，它的積分值是確定的。不定積分沒有固定的積分區(qū)間，它的積分值是不確定的。微積分的應(yīng)用：(1)運(yùn)動中速度與距離的互求問題(2)求曲線的切線問題(3)求長度、面積、體積、與重心問題等4〕求最大值和最小值問題〔二次函數(shù)，屬于微積分的一類〕定積分的應(yīng)用：1，解決求曲邊圖形的面積問題例：求由拋物線與直線圍成的平面圖形D的面積S.2，求變速直線運(yùn)動的路程做變速直線運(yùn)動的物體經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0〕在時間區(qū)間[a,b]上的定積分。3，變力做功樓上的已經(jīng)把第一個問題說的很清楚了.定積分就是在固定區(qū)間求面積.〔1〕∫〔0~1〕tdt∫〔0~2〕(2-x)dt;;(1)∫〔3~7〕tdt∫〔5~9〕(2-x)dt；先畫個坐標(biāo)∫〔0-1〕tdt就是求y=t在區(qū)間〔0,1〕的面積這個圖形是個底為1高為1的等邊直角三角形，面積為1*1*1/2=1/2∫〔0~2〕(2-x)dt是求y=2-x在區(qū)間〔0,2〕的面積這個圖形是底為2高為2的等邊直角三角形，面積為2*2*1/2=2∫〔3~7〕tdt是求y=t在區(qū)間〔3,7〕的面積這個圖形是高為4上底為3下底為7的梯形，面積為〔3+7〕*4*1/2=20∫〔5~9〕(2-x)dt是求y=2-x在區(qū)間〔5,9〕的面積這個圖形也是高為4上底為3下底為7的體型，面積為〔3+7〕*4*1/2=20(1)1/2*2=1(2)20*20=400。太多了，不勝枚舉。下面略舉20個例子吧：1、圓周長公式的證實；2、圓面積公式的證實；3、球體體積公式的證實；4、球體表面積公式的證實；5、任意形狀物體的質(zhì)心位置計算；6、任意曲線長度的計算；7、橢圓面積的計算；8、橢圓周長的計算；9、橢球體積三計算；10、橢球表面積的計算；11、變力做功；12、彈簧勢能計算公式；13、轉(zhuǎn)動慣量的計算；14、各種形狀的電容器的電容量計算；15、帶電體四周額的勢能分部計算；16、載流導(dǎo)線四周的磁場分