專題01 等腰三角形的性質(zhì)與判定（十六大題型+跟蹤訓(xùn)練）（解析版）

專題01等腰三角形的性質(zhì)與判定（十六大題型+跟蹤訓(xùn)練）題型1：等腰三角形的定義1．用刻度尺測(cè)量得出下圖（

）是等腰三角形．A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】分別量取各三角形的三邊長，然后根據(jù)等腰三角形兩腰相等，進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A中三邊長分別為：1.8，2.6，2.9，不是等腰三角形，故不符合要求；B中三邊長分別為：2.2，2.2，2.2，是等腰三角形，故符合要求；C中三邊長分別為：3.4，3.2，2，不是等腰三角形，故不符合要求；D中三邊長分別為：3.3，1.8，3.7，不是等腰三角形，故不符合要求；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握等腰三角形兩腰相等．2．在中，若，則是（

）A．不等邊三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】由等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形，即可判斷．【解析】解：在中，若，則是等腰三角形．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形，關(guān)鍵是掌握等腰三角形的定義．3．以下列線段為邊不能組成等腰三角形的是（

）A．2，2，4 B．6，3，6 C．4，4，5 D．1，1，1【答案】A【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系和等腰三角形的判定對(duì)所給的四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷、解析即可．【解析】解：A．∵，∴以，，為邊不能組成三角形，更不可能組成等腰三角形，故此選項(xiàng)符合題意；B．∵以6，3，6為邊能組成三角形，且有兩邊相等，∴以6，3，6為邊能組成等腰三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C．∵以4，4，5為邊能組成三角形，且有兩邊相等，∴以4，4，5為邊能組成等腰三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D．∵以1，1，1為邊能組成三角形，且有兩邊相等，∴以1，1，1為邊能組成等腰三角形，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題．牢固掌握三角形的三邊關(guān)系、等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．4．等腰三角形兩邊長分別是和，則周長是（

）A． B． C．或 D．條件不足，無法求出【答案】C【分析】分兩種情況討論：①底邊為時(shí)；②底邊為時(shí)，分別求解即可得到答案．【解析】解：分兩種情況討論：①底邊為時(shí)，等腰三角形的周長為；②底邊為時(shí)，等腰三角形的周長為，等腰三角形的周長為或，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．5．已知等腰三角形的一邊長為，另一邊長為，則它周長是（）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分類討論，即可得到答案．【解析】解：當(dāng)是等腰三角形的腰時(shí)，，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)是等腰三角形的腰時(shí)，，能構(gòu)成三角形，此時(shí)三角形的周長為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．6．等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，則它的頂角的度數(shù)為___________．【答案】或【分析】分的內(nèi)角是等腰三角形的底角或頂角兩種情況，利用三角形內(nèi)角和定理求解．【解析】解：當(dāng)?shù)膬?nèi)角是等腰三角形的底角時(shí)，它的頂角的度數(shù)為：；當(dāng)?shù)膬?nèi)角是等腰三角形的頂角時(shí)，它的底角的度數(shù)為：，符合要求；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是注意分情況討論，避免漏解．題型2：等腰三角形定義的應(yīng)用7．若等腰三角形的一邊長為12，且腰長是底邊長的，則這個(gè)三角形的周長為______【答案】42或28/28或42【分析】分為等腰三角形的腰長和底邊長兩種情況計(jì)算即可．【解析】解：∵等腰三角形一邊長為，且腰長是底邊長的，①如果腰長為，則底邊為：，∴等腰三角形的三邊為12、12、18，能構(gòu)成三角形，∴這個(gè)三角形的周長為：；②如果底長為，則腰長為：，∴等腰三角形的三邊為12、8、8，能構(gòu)成三角形，∴這個(gè)三角形的周長為：．故答案為：42或28．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義和構(gòu)成三角形的條件，利用分類討論思想求解是解題的關(guān)鍵．8．已知等腰三角形的三邊x、y、z滿足，則a的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．2或4【答案】C【分析】根據(jù)絕對(duì)值、二次根式、平方的非負(fù)性計(jì)算出x、y、z的值，然后根據(jù)等腰三角形的定義計(jì)算即可；【解析】解：，且，，，，，，，，，三角形為等腰三角形，或，當(dāng)時(shí)，，不能構(gòu)成三角形，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，以及絕對(duì)值、二次根式、平方的非負(fù)性、構(gòu)成三角形的條件等知識(shí)點(diǎn)，絕對(duì)值、二次根式、平方的非負(fù)性的準(zhǔn)確應(yīng)用是解題關(guān)鍵．9．等腰三角形的兩個(gè)外角的度數(shù)比為2：5，則它的頂角的度數(shù)是(

)A．40° B．120° C．140° D．40°或140°【答案】B【分析】分這個(gè)等腰三角形三個(gè)外角之比是和兩種情況討論，根據(jù)三角形外角和是求解即可．【解析】解：∵等腰三角形有兩個(gè)底角相等，這兩個(gè)底角的鄰補(bǔ)角即等腰三角形的兩個(gè)外角相等，∴這個(gè)等腰三角形三個(gè)外角之比是和當(dāng)這個(gè)等腰三角形三個(gè)外角之比是時(shí)，這三個(gè)外角分別是，則有，解得：，∴(不合題意，舍去)當(dāng)這個(gè)等腰三角形三個(gè)外角之比是時(shí)，這三個(gè)外角分別是，則有，解得：，∴(符合題意)，∴頂角的鄰補(bǔ)角，也即其對(duì)應(yīng)的外角是∴頂角的度數(shù)是故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角和，根據(jù)題意分類討論是解題的關(guān)鍵．10．一個(gè)等腰三角形的底邊長為5cm，一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長分成的兩部分之差是3cm，則它的腰長是_______．【答案】8cm【分析】兩部分之差可以是底邊與腰之差，也可能是腰與底邊之差，解答時(shí)應(yīng)注意．設(shè)等腰三角形的腰長是xcm，根據(jù)其中一部分比另一部分長3cm，即可列方程求解．【解析】解：如圖，等腰三角形的腰長是xcm．

當(dāng)與的差是3cm時(shí)，即，解得：，8，8，5能夠組成三角形；當(dāng)與的差是3cm時(shí)，即，解得：，2，2，5不能組成三角形．所以這個(gè)等腰三角形的腰長是：．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．要注意分類討論是解題關(guān)鍵，最后涉及到三角形邊長或者周長的題目，求出來的長度一定要用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證．11．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是46°，則它的底角度數(shù)是______．【答案】或【分析】等腰三角形的高相對(duì)于三角形有三種位置關(guān)系：三角形的內(nèi)部、三角形的邊上、三角形的外部，根據(jù)條件可知第二種高在三角形的邊上這種情況不成立，因而應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論即可得解．【解析】解：①當(dāng)高在三角形內(nèi)部時(shí)，如圖：

∵，∴，∵，∴，∴；②當(dāng)高在三角形外部時(shí)，如圖：

∵，∴，∵，∴，∴．∴綜上所述，底角是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了與三角形的高有關(guān)的計(jì)算、直角三角形兩銳角互余、三角形外角的性質(zhì)三角形的分類以及等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對(duì)于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．若是軸對(duì)稱圖形，中線所在直線為其唯一的一條對(duì)稱軸，則下列說法正確的是（

）A．的周長 B．的周長C．的周長 D．以上都不對(duì)【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得到是以和為腰的等腰三角形，再根據(jù)對(duì)稱性可得結(jié)果．【解析】解：由題意可得：是以和為腰的等腰三角形，且不是等邊三角形，∴，∴的周長，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意判斷出是等腰三角形．13．如圖，在中，，，平分交于D，于，若，則的周長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義和性質(zhì)可得，，推出，可得，證明再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，然后求出的周長，代入數(shù)據(jù)即可得解．【解析】解：平分，，，，，，，又，，的周長，，的周長．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)求出的周長是解題的關(guān)鍵．14．定義；等腰三角形的底邊長與其腰長的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰三角形的周長為，，則它的“優(yōu)美比”k為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分兩種情況：為腰或?yàn)榈走?，再根?jù)三角形周長可求得底邊或腰的長度，即可得到它的優(yōu)美比k.【解析】解：當(dāng)腰時(shí)，則底邊；此時(shí)，優(yōu)美比；當(dāng)為底邊時(shí)，則腰為；此時(shí)，優(yōu)美比；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．題型3：等邊對(duì)等角15．如圖，中，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角可得，結(jié)合條件根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【解析】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握三角形的三個(gè)內(nèi)角之和是180°．16．如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠C=35°，則∠B的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠DAC的度數(shù)，然后求得∠BDA的度數(shù)，最后利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠B的度數(shù)．【解析】解：∵AD=DC，∴∠DAC=∠C，∵∠C=35°，∴∠DAC=35°，∴∠BDA=∠C+∠DAC=70°，∵AB=AD，∴∠BDA=∠B=70°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形兩底角相等．17．如圖，在中，，，點(diǎn)在上，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用是等腰直角三角形先求出，再利用是等腰三角形求出，最后利用直角求出即可．【解析】解：故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．18．如圖，，在上取點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接；以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接，的度數(shù)為（

）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠CDO=∠AOB=70°，∠DCE=∠DEC，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解析】解：由題意可知OC=CD=DE，∴∠CDO=∠AOB=70°，∠DCE=∠DEC，∵∠CDO=∠DCE+∠DEC，∴∠DCE=∠DEC=35°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．能正確識(shí)圖，結(jié)合相關(guān)性質(zhì)得出角度之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．19．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，．若，則的大小為_____度．【答案】35【分析】在中利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，然后利用是的一個(gè)外角即可求出答案．【解析】∵，，∴,∵是的一個(gè)外角，∴，∵∴，∴．故答案為：35．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和、外角的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型4：等邊對(duì)等角的綜合應(yīng)用20．如圖所示，在中，，，垂直平分交于E，垂足為D，則______．【答案】/50度【分析】首先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)等邊對(duì)等角得到，最后根據(jù)角的和差計(jì)算求解即可．【解析】∵垂直平分交于E，∴∴∵∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．21．如圖，直線ab，，，則∠BAC的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線ab，，可知，由，可得，利用平行的性質(zhì)即可求出∠BAC的值．【解析】解：由題意得，∵直線ab，，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平行線的性質(zhì)，熟練利用平行線進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化時(shí)解題的關(guān)鍵．22．如圖，在∠ECF的邊CE上有兩點(diǎn)A、B，邊CF上有一點(diǎn)D，其中BC=BD=DA且∠ECF=27°，則∠ADF的度數(shù)為（）A．54° B．91° C．81° D．101°【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角和內(nèi)角的關(guān)系，逐步推出∠ADF的度數(shù)．【解析】解：∵BC=BD=DA，∴∠C=∠BDC，∠ABD=∠BAD，∵∠ABD=∠C+∠BDC，∠ECF=27°，∴∠ADF=∠C+∠BAD=3∠ECF=81°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，三角形外角和內(nèi)角的運(yùn)用．23．如圖，在中，DE垂直平分BC，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出答案．【解析】解：∵DE垂直平分BC，∴BD=DC，∴∠BDE=∠CDE=64°，∴∠ADB=180°-64°-64°=52°，∵∠A=28°，∴∠ABD=180°-28°-52°=100°．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，正確掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．24．如圖，已知為邊的中點(diǎn)，在上，將沿著折疊，使點(diǎn)落在上的處．若，則等于（

）A．65 B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)圖形翻折不變性的性質(zhì)可得AD＝DF，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠B＝∠BFD，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可求解．【解析】解：∵△DEF是△DEA沿直線DE翻折變換而來，∴AD＝DF，∵D是AB邊的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∴BD＝DF，∴∠B＝∠BFD，∵∠B＝70°，∴∠BDF＝180°?∠B?∠BFD＝180°?70°?70°＝40°．故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形翻折變換的圖形能夠重合的性質(zhì)，以及等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟知折疊的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．25．定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的“特值”．若等腰中，若，則頂角為______．【答案】36【分析】設(shè)頂角為，則底角為，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程解題即可．【解析】設(shè)頂角為，則底角為，解得∴頂角為36°故答案為：36．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形de性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等是解題的關(guān)鍵．題型5：等邊對(duì)等角的解答證明26．如圖，在中，，點(diǎn)D、E都在邊BC上，且，求證：．【答案】見詳解【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得，再由證明，從而得．【解析】證明：∵，∴，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．27．如圖，平分，點(diǎn)C在線段上，，求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)平行和角平分線得出，再證△ADE≌△ACB即可．【解析】證明：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴,在△ADE和△ACB中，∴△ADE≌△ACB，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)得出角相等．28．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，連接，．已知，．（1）求證：≌；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）2【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可得：，利用全等三角形的判定定理證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，由圖形中各邊的關(guān)系計(jì)算即可得出．【解析】（1）證明：∵，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，，∵，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形及等腰三角形的性質(zhì)，理解題意，結(jié)合圖形，熟練運(yùn)用各個(gè)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．29．如圖，在中，，延長至，使得，連接，再延長至，使得，連接．求證：．

【答案】見詳解【分析】先證明再根據(jù)判定證明即可．【解析】解：∵在中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．題型6：等腰三角形的“三線合一”30．等腰三角形的“三線合一”指的是（

）A．中線，高線，角平分線互相重合 B．頂角的平分線，中線，高線三線互相重合C．腰上的中線，腰上的高線，底角的平分線互相重合 D．頂角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高線三線互相重合【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)直接選取答案即可求解．【解析】解：三線合一，即在等腰三角形中頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線相互重合．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，掌握“三線合一”是解題的關(guān)鍵．31．如圖，在中，，D是邊上的中點(diǎn)，，則等于（）A．36° B．45° C．54° D．72°【答案】A【分析】根據(jù)，D是邊上的中點(diǎn)，推出，即可求出．【解析】∵在中，已知，D是邊上的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形底邊的“三線和一”是解題的關(guān)鍵．32．在中，，于點(diǎn)，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)即可解決問題；【解析】解：，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，屬于中考基礎(chǔ)題．33．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．等腰三角形兩腰上的高相等 B．等腰三角形兩腰上的中線相等C．等腰三角形兩底角的平分線相等 D．等腰三角形高、中線和角平分線重合【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)依次判斷．【解析】解：A、等腰三角形兩腰上的高相等，故正確；B、等腰三角形兩腰上的中線相等，故正確；C、等腰三角形兩底角的平分線相等，故正確；D、等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線和頂角的角平分線重合，故錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．34．已知點(diǎn)到的兩邊，所在直線的距離相等，且，則下列命題為假命題的是（

）A．若點(diǎn)在邊上，則B．若點(diǎn)在內(nèi)部，則C．若點(diǎn)在外部，則D．若，則點(diǎn)可能在邊上，可能在內(nèi)部，也可能在外部【答案】C【分析】選項(xiàng)A根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷；當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，分別作，垂直，于點(diǎn)，，先證明，再證明可判斷選項(xiàng)B；若，都有，可判斷選項(xiàng)D；選項(xiàng)C有兩種情況，具體見詳解．【解析】

∵點(diǎn)到的兩邊，所在直線的距離相等，∴點(diǎn)在的角平分線所在的直線上，即，如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，即為的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”，得到，故選項(xiàng)A是真命題；如圖2，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，分別作，垂直，于點(diǎn)，，，，得到，∵，，，；故選項(xiàng)B是真命題；若，都有，故選項(xiàng)D是真命題；當(dāng)點(diǎn)在外部時(shí)，如圖3所示，與不一定相等，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形全等的判定與性質(zhì)．本題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．題型7：等腰三角形的“三線合一”有關(guān)的最值問題35．如圖，在中，，，面積是10；的垂直平分線分別交，邊于E、D兩點(diǎn)，若點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為（

）

A．7 B．9 C．10 D．14【答案】A【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得，周長，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積求出，，即可得出答案．【解析】解：如圖所示．連接，

∵是的垂直平分線，∴，∴周長．連接，∵，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∴．∵，∴，，∴周長的最小值是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱求線段和最小值等，判斷周長的最小值是解題的關(guān)鍵．36．如圖，等腰中，，垂直平分，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，若的面積是，，則的周長最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接．利用三角形的面積公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，的最小值為3，由此即可解決問題．【解析】解：如圖，連接．∵，，∴，∵，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為3，∴的最小值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，兩點(diǎn)間線段最短，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．37．如圖中，，，為的中線，點(diǎn)、點(diǎn)分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接交于點(diǎn)，連接、，作于點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)得，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，由，，可以證明當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且與重合時(shí)，，此時(shí)的值最小，由，求得，則的最小值為，于是得到問題的答案．【解析】解：如圖，連接交于點(diǎn)，連接、，作于點(diǎn)，為的中線，，，，，.，.，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，當(dāng)與重合時(shí)，，此時(shí)的值最小，，，的最小值為，故選：B．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的“三線合一”、軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短、根據(jù)面積等式求線段的長度等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．題型8：等腰三角形“三線合一”的綜合問題38．如圖，在中，，是邊的中線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)三線合一得到，，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，可判斷①；證明，可得，，可判斷②③；再根據(jù)余角的性質(zhì)，結(jié)合，可判斷④．【解析】解：∵，是邊的中線，∴，，，∵，，∴，故①正確，在和中，，∴，∴，，故②，③正確；∵，，∴，又，∴，故④正確；∴正確的有①②③④，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．39．如圖，在中，，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得，從而得到，根據(jù)面積公式，,變形計(jì)算即可．【解析】∵于點(diǎn)D，∴根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的面積公式，同一個(gè)三角形的面積的不同表示法，熟練掌握等腰三角形的三線合一性質(zhì)和面積公式是解題的關(guān)鍵．40．如圖，和均為等腰直角三角形，且，點(diǎn)、、在同一條線上，平分，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】由“”可證，可得，可判斷①；由等腰之間三角形的性質(zhì)可得，，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可求得，可判斷②；結(jié)合線段的和差關(guān)系可判斷③；根據(jù)三角形的面積公式可判斷④；即可求解．【解析】解：∵和均為等腰直角三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，故①錯(cuò)誤；∵為等腰直角三角形，平分，∴，，∵和均為等腰直角三角形，且，∴，∴，∴，∴，故②正確；∵為等腰直角三角形，平分，∴，∴，∵，∴，∴，故③正確；∵，，∵和不一定相等，∴不一定等于，故④錯(cuò)誤；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．題型9：等腰三角形“三線合一”的解答證明41．如圖，點(diǎn)，分別在，的延長線上，且，．求證：．

【答案】見解析【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)得出，，由三角形外角的性質(zhì)得出，即可推出，最后根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可證明．【解析】證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．，，，，，，，，，．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判斷和性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)建等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．42．如圖，在中，，，是邊上的高．線段的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接．

(1)試問：線段與的長相等嗎？請(qǐng)說明理由；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)相等，理由見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)中垂線的性質(zhì)得到，即可得到；（2）利用等邊對(duì)等角，求出的度數(shù)，三線合一，求出的度數(shù)，等邊對(duì)等角得到的度數(shù)，利用，即可得解．【解析】（1）解：線段與的長相等，理由如下：連接，

∵，是邊上的高，∴，∴為的垂直平分線，∵點(diǎn)在上，∴，又∵線段的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，∴，∴；（2）∵，，∴，∵是邊上的高，∴平分，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)．熟練掌握等邊對(duì)等角，三線合一，中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，是解題的關(guān)鍵．43．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且．求證：．

【答案】見解析【分析】作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再證明即可得出結(jié)論．【解析】證明：如圖，作于點(diǎn)．

，．，．平分，．在和中，，，，【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．題型10：等角對(duì)等邊證明等腰三角形44．如圖，在中，，AD平分，，，則（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用等腰三角形三線合一解題即可．【解析】解：∵，∴，∴是等腰三角形，∵平分，∴是的中線，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟記等角對(duì)等邊判定三角形是等腰三角形，以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．45．已知一個(gè)三角形中兩個(gè)內(nèi)角分別是和，則這個(gè)三角形一定是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得第三個(gè)角，進(jìn)而即可求解．【解析】解：∵一個(gè)三角形中兩個(gè)內(nèi)角分別是和，∴第三個(gè)角為，根據(jù)等角對(duì)等邊，可得這個(gè)三角形是等腰三角形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的分類，等腰三角形的判定，熟練掌握三角內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．46．的三邊分別是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（

）A． B．C．， D．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【解析】解：A、因?yàn)椋?，所以，所以是等腰三角形；B、因?yàn)?，所以設(shè)，則有兩邊相等的是等腰三角形；C、因?yàn)?，所以，則，所以是等腰三角形；D、因?yàn)?，，則，那么，，不能判定是等腰三角形．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的判定，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．47．如圖，在中，平分，，，，則的周長為（）A．2 B．24 C．27 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意在上截取，連接，由可證≌，可得，，可證，可得，進(jìn)而即可求解．【解析】解：如圖，在上截取，連接，∵平分，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周長＝，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．題型11：等角對(duì)等邊證明等腰三角形的解答證明48．已知：如圖，在中，點(diǎn)D在邊的延長線上，平分，．求證：為等腰三角形．【答案】見解析【分析】首先依據(jù)平行線的性質(zhì)證明，，然后結(jié)合角平分線的定義可證明，故此可證明為等腰三角形．【解析】證明：∵，∴，∵平分，∴∴即為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等腰三角形的判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．49．如圖，在和中，，．(1)求證：；(2)過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，求證：是等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)證明三角形全等即可；（2）證明即可證明，進(jìn)而得到是等腰三角形．【解析】（1）證明：在和中，，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．50．已知中，平分交于點(diǎn)，且．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，延長至點(diǎn)，使，連接，若，直接寫出圖中所有的等腰三角形（和除外）．【答案】(1)證明見解析(2)是等腰三角形，是等腰三角形，是等腰三角形，是等腰三角形；【分析】（1）如圖所示，在上取一點(diǎn)E，使得，連接，證明得到，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)結(jié)合已知條件證明，得到，即可證明；（2）根據(jù)等腰三角形的判定條件結(jié)合三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行推理即可．【解析】（1）證明：如圖所示，在上取一點(diǎn)E，使得，連接，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，是等腰三角形，∵，∴，又∵，∴，∴，即是等腰三角形，∵，平分，∴，∴，∴，是等腰三角形，∴，∴是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型12：等角對(duì)等邊證明邊長相等、求邊長51．如圖，已知，，不正確的等式是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解析】解：∵，∴，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，故B選項(xiàng)、C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．52．如圖，中，平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，，則的長為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】由角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，得到，則，即可求出答案．【解析】解：∵在中，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算．53．如圖，點(diǎn)P是的角平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是上一點(diǎn)，且，若，則線段的長是（

）A． B． C．3 D．2【答案】D【分析】利用角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)推出，據(jù)此即可求解．【解析】解：∵點(diǎn)P是的角平分線上一點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，掌握“兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．54．如圖，在中，平分，．若，，則的長為（

）A．13 B．12 C．10 D．9【答案】A【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明，得到，則．【解析】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，證明是解題的關(guān)鍵．55．如圖，在中，，和的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作分別交于M，N，則的周長為（）A．8 B．9 C．10 D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的定義和可以得出，，繼而可以得出的周長，從而可以得出答案．【解析】解：∵，∴．∵平分，∴，∴．∴．同理，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，利用角平分線及平行線的性質(zhì)得出是解題的關(guān)鍵.56．如圖，，點(diǎn)E在上，B，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)在同一條直線上．若，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，則，由于，則，則，由此即可得到答案．【解析】解：∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)符合題意，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．57．如圖，在中，，于點(diǎn)D．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)E在邊上，交的延長線于點(diǎn)．求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形底角相等，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求得；（2）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，再根據(jù)是的角平分線即可得到，從而證得．【解析】（1）解：，，，，；（2）證明：，，，，是的角平分線，，，．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形、平行線、直角三角形的相關(guān)知識(shí)．58．如圖，在四邊形中，，是的中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且．連接，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．

【答案】與的位置關(guān)系是；理由見解析【分析】證明，得出，證明，得出，根據(jù)垂直平分線的判定得出垂直平分，即可得出答案．【解析】解：與的位置關(guān)系是；理由見如下：∵，∴，是的中點(diǎn)，，又∵，∴，，∵，，∴，，，∴垂直平分，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，得出．題型13：直線上與已知兩點(diǎn)組成等腰三角形的點(diǎn)59．如圖，，點(diǎn)P為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若使得是等腰三角形．則符合條件的點(diǎn)P有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解析】解：作垂直平分線與的交點(diǎn)，可得，以A為圓心，為半徑畫圓，交有兩個(gè)交點(diǎn)，，以B為圓心，為半徑畫圓，交有一個(gè)交點(diǎn)，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定來解決實(shí)際問題，其關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的判定定理解答．60．如圖，線段的一個(gè)端點(diǎn)B在直線m上，直線m上存在點(diǎn)C，使為等腰三角形，這樣的點(diǎn)C有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】以A為圓心，以的長為半徑畫弧與直線m交于點(diǎn)D，此時(shí)，同理以B為圓心以的長為半徑畫弧與直線m交于E、C，此時(shí)，，再作的垂直平分線與直線m交于點(diǎn)F，此時(shí)，據(jù)此可得答案．【解析】解：如圖所示，以A為圓心，以的長為半徑畫弧與直線m交于點(diǎn)D，此時(shí)，同理以B為圓心以的長為半徑畫弧與直線m交于E、C，此時(shí)，，再作的垂直平分線與直線m交于點(diǎn)F，此時(shí)，∴直線m上存在4個(gè)點(diǎn)C，使為等腰三角形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握等腰三角形的定義．61．如圖，直線相交于點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上，直線上存在點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，這樣的點(diǎn)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】分別以點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形有種情況，分別為，，，從這三方面考慮點(diǎn)的位置即可；【解析】解：當(dāng)時(shí)；以點(diǎn)為圓心，的長為半徑作圓，與直線在點(diǎn)兩側(cè)各有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)有個(gè)；當(dāng)時(shí)；以點(diǎn)為圓心，的長為半徑作圓，與直線有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)有個(gè)；當(dāng)時(shí)；作的垂直平分線，與直線有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)有個(gè)；∴滿足條件的點(diǎn)總共有個(gè)；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，兩條邊相等的三角形為等腰三角形，因此要注意分類討論，由每種情況的特點(diǎn)選擇合適的方法確定點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型14：等腰三角形有關(guān)的尺規(guī)作圖62．如圖，給出了尺規(guī)作等腰三角形的三種作法，認(rèn)真觀察作圖痕跡，下面的已知分別對(duì)應(yīng)作圖順序正確的是（

）①已知等腰三角形的底邊和底邊上的高；②已知等腰三角形的底邊和腰；③已知等腰三角形的底邊和一底角．A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③①【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【解析】解：圖形①的作圖依據(jù)是“②已知等腰三角形的底邊和腰”；圖形②的作圖依據(jù)是“①已知等腰三角形的底邊和底邊上的高”；圖形③的作圖依據(jù)是“③已知等腰三角形的底邊和一底角”．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)作圖等腰三角形，掌握等腰三角形的性質(zhì)，作圖的方法是解題的關(guān)鍵．63．如圖（1），銳角中，，要用尺規(guī)作圖的方法在邊上找一點(diǎn)D，使為等腰三角形，關(guān)于圖（2）中的甲、乙、丙三種作圖痕跡，下列說法正確的是（

）

A．甲、乙、丙都正確 B．甲、丙正確，乙錯(cuò)誤 C．甲、乙正確，丙錯(cuò)誤 D．只有甲正確【答案】A【分析】根據(jù)圓、線段垂直平分線、角的尺規(guī)作圖進(jìn)行分析即可．【解析】解：甲圖：以點(diǎn)A為圓心，為半徑作弧，交于點(diǎn)D，∴，∴為等腰三角形，乙圖：作的垂直平分線，交于點(diǎn)D，∴，∴為等腰三角形，丙圖：∵所作的，∴，∴是等腰三角形，∴甲、乙、丙都正確，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義、尺規(guī)作圖?圓、角、垂直平分線，熟練掌握等腰三角形的判定與圓、角和線段垂直平分線的基本作圖的方法是解題的關(guān)鍵．64．已知銳角，如圖，按下列步驟作圖：①在邊取一點(diǎn)D，以O(shè)為圓心，長為半徑畫，交于點(diǎn)C．②以D為圓心，長為半徑畫，與交于點(diǎn)E，連接并延長，使的延長線交于點(diǎn)P，連接，則的度數(shù)為__________．【答案】【分析】由作法得，，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出，再計(jì)算出，然后計(jì)算即可．【解析】解：由作法得，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．題型15：格點(diǎn)中畫等腰三角形（網(wǎng)格問題）65．由24個(gè)邊長為1的小正方形組成的的網(wǎng)格中，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)都在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上．請(qǐng)?jiān)谒o的網(wǎng)格中各畫一個(gè)△ABC，使得△ABC是軸對(duì)稱圖形，并畫出其對(duì)稱軸．（畫出兩種情況即可，全等圖形視為一種情況）

【答案】見解析【分析】以為腰和底兩種情況作圖即可．【解析】如圖，以為腰，為對(duì)稱軸；

如圖，以為底作等腰三角形，為對(duì)稱軸；

【點(diǎn)睛】本題考查利用網(wǎng)格作圖，掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．66．圖1，圖均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C均為格點(diǎn)．只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中找一格點(diǎn)，按下列要求作圖：(1)在圖1中，連接，，使；(2)在圖2中，連接，，，使．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理得；（2）連接，取中點(diǎn)，．【解析】（1）解：如圖1正確畫圖．（2）如圖2

正確畫圖．【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)作圖，熟練根據(jù)題意作出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．67．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段和線段，點(diǎn)、、、均在小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)在方格紙中畫出以為底的等腰，點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上；的面積為；(2)在方格紙中畫出以為一邊的等腰，點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上，且的面積為5，連接，直接寫出的長度．【答案】(1)圖見解析；(2)圖見解析，．【分析】（1）根據(jù)題意點(diǎn)在線段的垂直平分線上，根據(jù)點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上，且，即可畫出圖形；（2）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)小正方形的邊長利用勾股定理可求得的長度．【解析】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）如圖所示，即為所求；．

【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖：應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，根據(jù)題意找出符合條件的點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型16：等腰三角形的性質(zhì)和判定綜合題68．如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在邊、上，且，下列結(jié)論：①；②；③，分別表示和的面積，則；④；所有正確的結(jié)論是（

）A．①③ B．①③④ C．①② D．①②③【答案】D【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，由等腰直角三角形的性質(zhì)可證，從而得出是等腰直角三角形，即可對(duì)結(jié)論進(jìn)行逐一判斷．【詳解】解：∵，D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，，∴，故①正確；∴，∴，故②正確；∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴時(shí)，最小為，當(dāng)點(diǎn)E與A或B重合時(shí)，最大為，∴，故③正確；∵是變化的，而為定值，故④錯(cuò)誤；綜上，①②③正確．故選：D．69．如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，且，，下列說法：；；；；．正確的有（

）個(gè)

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)；由“”可證≌，可得，可判斷；由等腰三角形的性質(zhì)可求，可判斷；由“”可證≌，可得，，可判斷，利用反證法的思想可判斷，由面積關(guān)系可求，可判斷，即可求解．【詳解】解：，，，即，，，，，，，在和中，，，，故正確；，，，故正確；，，，，為中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，故正確；若，則，顯然不符合條件，故錯(cuò)誤；，，故正確；故選：C．70．在中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，、分別與邊、交于，兩點(diǎn)．下列結(jié)論：①，②始終為等腰直角三角形，③，④．其中正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③【答案】A【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理連接根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，就可以得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，就有，再由勾股定理就可以求出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，連接，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，，，，，，．在和中，，，，，．，，．，．，，，，故①正確；，，始終為等腰直角三角形，故②正確；，，又，，故③正確；，，，又，，故④正確；正確的有①②③④．故選：A．．71．在中，，，點(diǎn)在射線上（不與，重合），連接，過點(diǎn)作，垂足為．(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，若恰好平分，求證：．(2)如圖2，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且平分，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，若點(diǎn)在線段的延長線上，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且平分，，，求的長度．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．（1）延長，交于點(diǎn)，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（2）延長AC，BF交于點(diǎn)N，由（1）可知，，由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（3）由（1）可知，，可得，即可求出．【詳解】（1）證明：延長，交于點(diǎn)，∵平分，∴，又∵，，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴；（其它證法參照給分）（2）解：，理由如下：如圖2，延長AC，BF交于點(diǎn)N，由（1）可知，，∴，，∴；（3）解：如圖3．理由：同（1）可知，，∴，，∴，∴，∴．一、單選題1．等腰三角形的三邊均為整數(shù)，且周長為13，則底邊是(

)A．1或3 B．3或5 C．1或5 D．1或3或5【答案】D【分析】設(shè)底邊為x，根據(jù)題意要求可得為整數(shù)，且x＜6.5，可得出底邊的取值．【解析】設(shè)底邊為x，則腰長為，∵等腰三角形的三邊均為整數(shù)，∴為整數(shù)，∵x，，能構(gòu)成三角形，∴0＜x＜13-x，∴x＜6.5且x為正整數(shù)，∴x可取1，3，5，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊的大小關(guān)系，有一定難度，明確三邊均為整數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵．2．如圖，中，，，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用AD=AC，求出∠ADC=∠C=，利用AD=AB，即可求得∠B=∠BAD．【解析】∵AD=AC，∴∠ADC=∠C，∵，∴∠ADC=∠C=，∵AD=AB，∴∠B=∠BAD，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．在等腰△ABC中，AB=AC，其周長為16cm，則AB邊的取值范圍是（）A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm【答案】C【分析】設(shè)AB=AC=x，則BC=16-2x,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求出AB的取值范圍.【解析】在等腰△ABC中，AB=AC,其周長為16cm，設(shè)設(shè)AB=AC=cm，則BC=16-2x,依題意得,解得4cm＜AB＜8cm,選C.【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的三邊關(guān)系，熟知等腰三角形的性質(zhì)、不等式的解法是關(guān)鍵.4．如圖，在中，，點(diǎn)都在邊上，且，若，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】首先證明AB=AC，再根據(jù)SAS證明即可得到結(jié)論．【解析】解：在△ABC中，∠B=∠C．∴AB=AC在△ABD和△ACE中，∴∴∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定，證明是解答此題的關(guān)鍵．5．如圖，，記，，當(dāng)時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，然后求出，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)表示出，整理即可．【解析】解：，，，，在中，，，，整理得．故選：D．6．如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，若，則的大小是（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【分析】本題主要考查了尺規(guī)作線段垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，先根據(jù)尺規(guī)作圖可知直線是線段的垂直平分線，即，再根據(jù)“等邊對(duì)等角”得，可求，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出答案．【解析】解：根據(jù)題意可知直線是線段的垂直平分線，∴．∵，∴，∴．在中，．故選：C．7．如圖，中，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)添加輔助線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知易證，所以想到等腰三角形的三線合一性質(zhì)，過點(diǎn)作，垂足為，延長交與點(diǎn)，然后連接，易證，從而求出，再利用三角形的外角求出的度數(shù)，放在直角三角形中求出的度數(shù)，進(jìn)而證，可得，最后放在等腰三角形中求出即可．【解析】解：過點(diǎn)作，垂足為，延長交與點(diǎn)，連接，，，，，，，是的垂直平分線，，，，是的一個(gè)外角，，，，，，，，，，，，，，故選：B．8．如圖，在中，，D，E分別是線段上的一點(diǎn)，根據(jù)下列條件之一，不能確定是等腰三角形的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理和三角形外角和定理，熟練掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．分別根據(jù)選項(xiàng)中的四個(gè)條件求出的大小即可得到答案．【解析】解：，，，是的外角，，，，當(dāng)時(shí)，，，，，故選項(xiàng)A可以確定是等腰三角形，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，則，，，，，故選項(xiàng)B可以確定是等腰三角形，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，則，，，，，故選項(xiàng)C不可以確定是等腰三角形，故符合題意；當(dāng)時(shí)，則，，，，，故選項(xiàng)D可以確定是等腰三角形，故不符合題意．故選C．9．如圖，在中，平分，，垂足為，，若，則的長為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】該題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定；延長長于點(diǎn)，根據(jù)平分，，證明證出再證明，即可求解；【解析】解：延長長于點(diǎn)，則，平分，，，，，，，故選：D．10．如圖，在等腰中，，為延長線上一點(diǎn)，，垂足為C，且，連接，若，則的面積為（）A．16 B．24 C．32 D．8【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)；過作于，過作于，由“三線合一”得，再由“”可判定，從而由全等三角形的性質(zhì)得，再，即可求解；掌握性質(zhì)及判定方法，能根據(jù)題意作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)建是解題的關(guān)鍵．【解析】解：如圖，過作于，過作于，，，，，，，，在和中，，（），，；故選：A．11．如圖，是一角度為的鋼架，要使鋼架更加牢固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管：、、…，且…，在、足夠長的情況下，最多能添加這樣的鋼管的根數(shù)為（

）A．4根 B．5根 C．6根 D．7根【答案】B【分析】本題考查了圖形類規(guī)律探索，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，正確理解題意是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，添加根鋼管，有個(gè)等腰三角形，且第個(gè)等腰三角形的底角為，再由等腰三角形的底角小于，得出，即可得到答案．【解析】解：添加一根鋼管時(shí)，，即，添加兩根鋼管時(shí)，；，即，添加三根鋼管時(shí)，；，即，；……觀察發(fā)現(xiàn)，添加根鋼管，有個(gè)等腰三角形，且第個(gè)等腰三角形的底角為，等腰三角形的底角小于，，，即最多能添加這樣的鋼管的根數(shù)為5根，故選：B．12．在中，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作分別交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．下面結(jié)論：①；②；③；④；．其中正確的是（

）A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤【答案】C【分析】利用證明，即可判斷①；利用三角形外角的定義及性質(zhì)即可判斷②；過點(diǎn)作交的延長線于，證明，得到，證明，得到，從而得到，得出是等腰直角三角形，假設(shè)，則，顯然不滿足條件，即可判斷③；由等腰直角三角形的性質(zhì)即可判斷④；過點(diǎn)作交的延長線于，可得，有三角形中位線定理得出，證明，得出，從而得到，最后根據(jù)，即可得出答案．【解析】解：①，，，，，，，為等腰直角三角形，，，在和中，，，故①正確，符合題意；②，，，，，，，故②正確，符合題意；③過點(diǎn)作交的延長線于，則，，，，，，，在和中，，，，為的中點(diǎn)，，在和中，，，，，是等腰直角三角形，，若，則，顯然不滿足條件，故③錯(cuò)誤，不符合題意；④是等腰直角三角形，，故④正確，符合題意；⑤過點(diǎn)作交的延長線于，，，，，四邊形為矩形，，和等高，，為的中位線，，，，，，故⑤正確，符合題意；綜上所述，正確的有：①②④⑤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、三角形外角的定義及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．二、填空題13．用一條長為20cm的細(xì)繩圍成一個(gè)邊長為8cm的等腰三角形，則腰長為cm.【答案】8或6【分析】本題主要考查等腰三角形的定義，熟練掌握等腰三角形的定義是解題的關(guān)鍵；因此此題可分當(dāng)邊長為8cm為該等腰三角形的腰長時(shí)和當(dāng)邊長為8cm為該等腰三角形的底邊時(shí)，然后分類求解即可．【解析】解：由題意得：①當(dāng)邊長為8cm為該等腰三角形的腰長時(shí)，則底邊長為，符合三角形三邊關(guān)系；②當(dāng)邊長為8cm為該等腰三角形的底邊時(shí)，則腰長為，符合三角形三邊關(guān)系；綜上所述：該等腰三角形的腰長為或；故答案為8或6．14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠B＝70°，則∠BAD＝°．【答案】20．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADB=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解析】∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝70°，∴∠BAD＝20°．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直的定義，三角形的內(nèi)角和，熟記三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．15．等腰三角形中，角平分線、中線、高的條數(shù)一共最多有條（重合的算一條）．【答案】7【分析】根據(jù)等腰三角形底邊上三線合一的性質(zhì)進(jìn)行分析即可.【解析】解：等腰三角形的角平分線，中線、高彼此重合的只計(jì)一條，即底邊上的高、中線、角平分線只計(jì)一條，因此總條數(shù)最多有7條，故答案為7【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)的運(yùn)用，關(guān)鍵是對(duì)“三線合一”的熟練掌握.16．如圖，在中，．若平分，，則的度數(shù)是．【答案】72°【解析】略17．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，那么這個(gè)等腰三角形的底角為．【答案】或【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后分別從銳角三角形與鈍角三角形分析求解即可求得答案．【解析】解：根據(jù)題意得：AB=AC，BD⊥AC，如圖（1），∠ABD=60°，則∠A=30°，∴∠ABC=∠C=75°；如圖（2），∠ABD=60°，∴∠BAD=30°，∴∠ABC=∠C=∠BAD=15°．故這個(gè)等腰三角形的底角是：75°或15°．故答案為：或.【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．18．小宋把一張等腰三角形的紙片放在如圖所示的兩條平行線上．若測(cè)得，則的度數(shù)為．【答案】【解析】略19．如圖，在中，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，連接．若，則的面積為．【答案】4【分析】本題考查了三角形的全等的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作，交的延長線于點(diǎn)F，證明，，得到，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【解析】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作，交的延長線于點(diǎn)F，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，的面積為：．故答案為：4．20．如圖，在中，點(diǎn)是高、的交點(diǎn)，且，則=度．【答案】【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，先根據(jù)三角形高的定義得到，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理證明，進(jìn)一步證明得到，即可得到．【解析】解：∵、都是的高，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案為：．21．如圖，在中，，為的角平分線，，，則．【答案】10【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．在上截取，使，連接，根據(jù)角平分線的定義，得到，利用“”證明，得到，，再利用三角形外角性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，即可求出的長．【解析】解：在上截取，使，連接，為的角平分線，，在和中，，，，，，，，，，，故答案為：10．22．已知、，點(diǎn)C在x軸上，若是等腰三角形，則滿足這樣條件的C有個(gè)．【答案】4【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，分，，三種情況，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可求解．【解析】解：以B為圓心，以為半徑畫弧，交x軸于，兩點(diǎn)，此時(shí)；以A為圓心，以為半徑畫弧，交x軸于點(diǎn)，此時(shí)；作的垂直平分線交x軸于，此時(shí)，滿足這樣條件的C有:（個(gè)），故答案為：4．23．如圖，在中，與的平分線交于點(diǎn)．過點(diǎn)作，分別交、于、E，若，，則的周長是．【答案】9【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)．先根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)證明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性質(zhì)得，，根據(jù)的周長，即可解題．【解析】解：平分，，，，，，同理可證，的周長．故答案為：．24．如圖，和分別為的兩個(gè)外角的平分線，過點(diǎn)D作分別交和的延長線于點(diǎn)E和F給出以下結(jié)論：①；②；③平分；