專題01 等腰三角形的性質與判定（十六大題型+跟蹤訓練）（解析版）

專題01等腰三角形的性質與判定（十六大題型+跟蹤訓練）題型1：等腰三角形的定義1．用刻度尺測量得出下圖（

）是等腰三角形．A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】分別量取各三角形的三邊長，然后根據(jù)等腰三角形兩腰相等，進行判斷即可．【解析】解：A中三邊長分別為：1.8，2.6，2.9，不是等腰三角形，故不符合要求；B中三邊長分別為：2.2，2.2，2.2，是等腰三角形，故符合要求；C中三邊長分別為：3.4，3.2，2，不是等腰三角形，故不符合要求；D中三邊長分別為：3.3，1.8，3.7，不是等腰三角形，故不符合要求；故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義．解題的關鍵在于熟練掌握等腰三角形兩腰相等．2．在中，若，則是（

）A．不等邊三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】由等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形，即可判斷．【解析】解：在中，若，則是等腰三角形．故選：D．【點睛】本題考查等腰三角形，關鍵是掌握等腰三角形的定義．3．以下列線段為邊不能組成等腰三角形的是（

）A．2，2，4 B．6，3，6 C．4，4，5 D．1，1，1【答案】A【分析】根據(jù)三角形三邊關系和等腰三角形的判定對所給的四個選項逐一判斷、解析即可．【解析】解：A．∵，∴以，，為邊不能組成三角形，更不可能組成等腰三角形，故此選項符合題意；B．∵以6，3，6為邊能組成三角形，且有兩邊相等，∴以6，3，6為邊能組成等腰三角形，故此選項不符合題意；C．∵以4，4，5為邊能組成三角形，且有兩邊相等，∴以4，4，5為邊能組成等腰三角形，故此選項不符合題意；D．∵以1，1，1為邊能組成三角形，且有兩邊相等，∴以1，1，1為邊能組成等腰三角形，故此選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查三角形的三邊關系、等腰三角形的判定等知識點及其應用問題．牢固掌握三角形的三邊關系、等腰三角形的判定是解題的關鍵．4．等腰三角形兩邊長分別是和，則周長是（

）A． B． C．或 D．條件不足，無法求出【答案】C【分析】分兩種情況討論：①底邊為時；②底邊為時，分別求解即可得到答案．【解析】解：分兩種情況討論：①底邊為時，等腰三角形的周長為；②底邊為時，等腰三角形的周長為，等腰三角形的周長為或，故選C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，利用分類討論的思想解決問題是解題關鍵．5．已知等腰三角形的一邊長為，另一邊長為，則它周長是（）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質及三角形的三邊關系進行分類討論，即可得到答案．【解析】解：當是等腰三角形的腰時，，不能構成三角形，當是等腰三角形的腰時，，能構成三角形，此時三角形的周長為：，故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質、三角形的三邊關系，熟練掌握等腰三角形的性質及三角形的三邊關系，是解題的關鍵．6．等腰三角形的一個內角為，則它的頂角的度數(shù)為___________．【答案】或【分析】分的內角是等腰三角形的底角或頂角兩種情況，利用三角形內角和定理求解．【解析】解：當?shù)膬冉鞘堑妊切蔚牡捉菚r，它的頂角的度數(shù)為：；當?shù)膬冉鞘堑妊切蔚捻斀菚r，它的底角的度數(shù)為：，符合要求；故答案為：或．【點睛】本題考查等腰三角形的定義、三角形內角和定理，解題的關鍵是注意分情況討論，避免漏解．題型2：等腰三角形定義的應用7．若等腰三角形的一邊長為12，且腰長是底邊長的，則這個三角形的周長為______【答案】42或28/28或42【分析】分為等腰三角形的腰長和底邊長兩種情況計算即可．【解析】解：∵等腰三角形一邊長為，且腰長是底邊長的，①如果腰長為，則底邊為：，∴等腰三角形的三邊為12、12、18，能構成三角形，∴這個三角形的周長為：；②如果底長為，則腰長為：，∴等腰三角形的三邊為12、8、8，能構成三角形，∴這個三角形的周長為：．故答案為：42或28．【點睛】本題考查等腰三角形的定義和構成三角形的條件，利用分類討論思想求解是解題的關鍵．8．已知等腰三角形的三邊x、y、z滿足，則a的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．2或4【答案】C【分析】根據(jù)絕對值、二次根式、平方的非負性計算出x、y、z的值，然后根據(jù)等腰三角形的定義計算即可；【解析】解：，且，，，，，，，，，三角形為等腰三角形，或，當時，，不能構成三角形，，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，以及絕對值、二次根式、平方的非負性、構成三角形的條件等知識點，絕對值、二次根式、平方的非負性的準確應用是解題關鍵．9．等腰三角形的兩個外角的度數(shù)比為2：5，則它的頂角的度數(shù)是(

)A．40° B．120° C．140° D．40°或140°【答案】B【分析】分這個等腰三角形三個外角之比是和兩種情況討論，根據(jù)三角形外角和是求解即可．【解析】解：∵等腰三角形有兩個底角相等，這兩個底角的鄰補角即等腰三角形的兩個外角相等，∴這個等腰三角形三個外角之比是和當這個等腰三角形三個外角之比是時，這三個外角分別是，則有，解得：，∴(不合題意，舍去)當這個等腰三角形三個外角之比是時，這三個外角分別是，則有，解得：，∴(符合題意)，∴頂角的鄰補角，也即其對應的外角是∴頂角的度數(shù)是故選：B【點睛】本題考查三角形外角和，根據(jù)題意分類討論是解題的關鍵．10．一個等腰三角形的底邊長為5cm，一腰上的中線把這個三角形的周長分成的兩部分之差是3cm，則它的腰長是_______．【答案】8cm【分析】兩部分之差可以是底邊與腰之差，也可能是腰與底邊之差，解答時應注意．設等腰三角形的腰長是xcm，根據(jù)其中一部分比另一部分長3cm，即可列方程求解．【解析】解：如圖，等腰三角形的腰長是xcm．

當與的差是3cm時，即，解得：，8，8，5能夠組成三角形；當與的差是3cm時，即，解得：，2，2，5不能組成三角形．所以這個等腰三角形的腰長是：．故答案為【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，解題的關鍵是掌握等腰三角形的性質．要注意分類討論是解題關鍵，最后涉及到三角形邊長或者周長的題目，求出來的長度一定要用三角形的三邊關系進行驗證．11．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是46°，則它的底角度數(shù)是______．【答案】或【分析】等腰三角形的高相對于三角形有三種位置關系：三角形的內部、三角形的邊上、三角形的外部，根據(jù)條件可知第二種高在三角形的邊上這種情況不成立，因而應分兩種情況進行討論即可得解．【解析】解：①當高在三角形內部時，如圖：

∵，∴，∵，∴，∴；②當高在三角形外部時，如圖：

∵，∴，∵，∴，∴．∴綜上所述，底角是或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了與三角形的高有關的計算、直角三角形兩銳角互余、三角形外角的性質三角形的分類以及等腰三角形的性質，熟記三角形的高相對于三角形的三種位置關系是解題的關鍵．12．若是軸對稱圖形，中線所在直線為其唯一的一條對稱軸，則下列說法正確的是（

）A．的周長 B．的周長C．的周長 D．以上都不對【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱的性質，得到是以和為腰的等腰三角形，再根據(jù)對稱性可得結果．【解析】解：由題意可得：是以和為腰的等腰三角形，且不是等邊三角形，∴，∴的周長，故選B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，軸對稱圖形，解題的關鍵是根據(jù)題意判斷出是等腰三角形．13．如圖，在中，，，平分交于D，于，若，則的周長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義和性質可得，，推出，可得，證明再根據(jù)等腰直角三角形的性質求出，然后求出的周長，代入數(shù)據(jù)即可得解．【解析】解：平分，，，，，，，又，，的周長，，的周長．故選：A．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，等腰直角三角形的性質，熟記性質求出的周長是解題的關鍵．14．定義；等腰三角形的底邊長與其腰長的比值k稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰三角形的周長為，，則它的“優(yōu)美比”k為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分兩種情況：為腰或為底邊，再根據(jù)三角形周長可求得底邊或腰的長度，即可得到它的優(yōu)美比k.【解析】解：當腰時，則底邊；此時，優(yōu)美比；當為底邊時，則腰為；此時，優(yōu)美比；故選：C．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，分類討論是解題的關鍵．題型3：等邊對等角15．如圖，中，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等邊對等角可得，結合條件根據(jù)三角形內角和定理即可求解．【解析】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴．故選：C．【點睛】本題考查三角形內角和定理，等腰三角形的性質．解題的關鍵是掌握三角形的三個內角之和是180°．16．如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠C=35°，則∠B的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用等腰三角形的性質求得∠DAC的度數(shù)，然后求得∠BDA的度數(shù)，最后利用等腰三角形的性質求得∠B的度數(shù)．【解析】解：∵AD=DC，∴∠DAC=∠C，∵∠C=35°，∴∠DAC=35°，∴∠BDA=∠C+∠DAC=70°，∵AB=AD，∴∠BDA=∠B=70°．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質：等腰三角形兩底角相等．17．如圖，在中，，，點在上，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用是等腰直角三角形先求出，再利用是等腰三角形求出，最后利用直角求出即可．【解析】解：故選C．【點睛】本題主要考查三角形的性質以及等腰三角形的性質，熟練掌握三角形內角和以及等腰三角形的性質是解決本題的關鍵．18．如圖，，在上取點，以點為圓心，長為半徑畫弧交于點，連接；以點為圓心，長為半徑畫弧交于點，連接，的度數(shù)為（

）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質可得∠CDO=∠AOB=70°，∠DCE=∠DEC，再根據(jù)三角形外角的性質即可得出結論．【解析】解：由題意可知OC=CD=DE，∴∠CDO=∠AOB=70°，∠DCE=∠DEC，∵∠CDO=∠DCE+∠DEC，∴∠DCE=∠DEC=35°，故選：D．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，三角形外角的性質．能正確識圖，結合相關性質得出角度之間的關系是解題關鍵．19．如圖，在中，點在邊上，．若，則的大小為_____度．【答案】35【分析】在中利用等邊對等角的性質以及三角形內角和定理求出的度數(shù)，然后利用是的一個外角即可求出答案．【解析】∵，，∴,∵是的一個外角，∴，∵∴，∴．故答案為：35．【點睛】本題考查了等腰三角形的兩底角相等的性質，以及三角形內角和、外角的性質，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．題型4：等邊對等角的綜合應用20．如圖所示，在中，，，垂直平分交于E，垂足為D，則______．【答案】/50度【分析】首先根據(jù)垂直平分線的性質得到，然后根據(jù)等邊對等角得到，最后根據(jù)角的和差計算求解即可．【解析】∵垂直平分交于E，∴∴∵∴．故答案為：．【點睛】此題考查了垂直平分線的性質，等邊對等角性質，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．21．如圖，直線ab，，，則∠BAC的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線ab，，可知，由，可得，利用平行的性質即可求出∠BAC的值．【解析】解：由題意得，∵直線ab，，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查的是平行線的性質，熟練利用平行線進行角度轉化時解題的關鍵．22．如圖，在∠ECF的邊CE上有兩點A、B，邊CF上有一點D，其中BC=BD=DA且∠ECF=27°，則∠ADF的度數(shù)為（）A．54° B．91° C．81° D．101°【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質以及三角形外角和內角的關系，逐步推出∠ADF的度數(shù)．【解析】解：∵BC=BD=DA，∴∠C=∠BDC，∠ABD=∠BAD，∵∠ABD=∠C+∠BDC，∠ECF=27°，∴∠ADF=∠C+∠BAD=3∠ECF=81°．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質：等腰三角形的兩個底角相等，三角形外角和內角的運用．23．如圖，在中，DE垂直平分BC，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用線段垂直平分線的性質結合三角形內角和定理得出答案．【解析】解：∵DE垂直平分BC，∴BD=DC，∴∠BDE=∠CDE=64°，∴∠ADB=180°-64°-64°=52°，∵∠A=28°，∴∠ABD=180°-28°-52°=100°．故選：A．【點睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質、三角形內角和定理，正確掌握相關定理是解題關鍵．24．如圖，已知為邊的中點，在上，將沿著折疊，使點落在上的處．若，則等于（

）A．65 B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)圖形翻折不變性的性質可得AD＝DF，根據(jù)等邊對等角的性質可得∠B＝∠BFD，再根據(jù)三角形的內角和定理列式計算即可求解．【解析】解：∵△DEF是△DEA沿直線DE翻折變換而來，∴AD＝DF，∵D是AB邊的中點，∴AD＝BD，∴BD＝DF，∴∠B＝∠BFD，∵∠B＝70°，∴∠BDF＝180°?∠B?∠BFD＝180°?70°?70°＝40°．故答案為：C．【點睛】本題考查的是圖形翻折變換的圖形能夠重合的性質，以及等邊對等角的性質，熟知折疊的性質是解答此題的關鍵．25．定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數(shù)的比值k稱為這個等腰三角形的“特值”．若等腰中，若，則頂角為______．【答案】36【分析】設頂角為，則底角為，根據(jù)三角形的內角和定理列方程解題即可．【解析】設頂角為，則底角為，解得∴頂角為36°故答案為：36．【點睛】本題考查等腰三角形de性質和三角形的內角和定理，掌握等腰三角形的兩個底角相等是解題的關鍵．題型5：等邊對等角的解答證明26．如圖，在中，，點D、E都在邊BC上，且，求證：．【答案】見詳解【分析】利用等腰三角形的性質可得，再由證明，從而得．【解析】證明：∵，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，全等三角形的性質與判定，熟練掌握相關性質定理是解題的關鍵．27．如圖，平分，點C在線段上，，求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)平行和角平分線得出，再證△ADE≌△ACB即可．【解析】證明：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴,在△ADE和△ACB中，∴△ADE≌△ACB，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，解題關鍵是熟練運用等腰三角形的性質得出角相等．28．如圖，在中，，點在邊上，點在邊上，連接，．已知，．（1）求證：≌；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）2【分析】（1）根據(jù)等邊對等角可得：，利用全等三角形的判定定理證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質可得，，由圖形中各邊的關系計算即可得出．【解析】（1）證明：∵，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，，∵，∴．【點睛】題目主要考查全等三角形及等腰三角形的性質，理解題意，結合圖形，熟練運用各個性質是解題關鍵．29．如圖，在中，，延長至，使得，連接，再延長至，使得，連接．求證：．

【答案】見詳解【分析】先證明再根據(jù)判定證明即可．【解析】解：∵在中，，，，，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．題型6：等腰三角形的“三線合一”30．等腰三角形的“三線合一”指的是（

）A．中線，高線，角平分線互相重合 B．頂角的平分線，中線，高線三線互相重合C．腰上的中線，腰上的高線，底角的平分線互相重合 D．頂角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高線三線互相重合【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質直接選取答案即可求解．【解析】解：三線合一，即在等腰三角形中頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線相互重合．故選：D【點睛】本題考查了直角三角形的性質，掌握“三線合一”是解題的關鍵．31．如圖，在中，，D是邊上的中點，，則等于（）A．36° B．45° C．54° D．72°【答案】A【分析】根據(jù)，D是邊上的中點，推出，即可求出．【解析】∵在中，已知，D是邊上的中點，∴，∴，∵，∴，故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形底邊的“三線和一”是解題的關鍵．32．在中，，于點，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質即可解決問題；【解析】解：，，，故選：B．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形的三線合一的性質，屬于中考基礎題．33．下列說法錯誤的是（

）A．等腰三角形兩腰上的高相等 B．等腰三角形兩腰上的中線相等C．等腰三角形兩底角的平分線相等 D．等腰三角形高、中線和角平分線重合【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質依次判斷．【解析】解：A、等腰三角形兩腰上的高相等，故正確；B、等腰三角形兩腰上的中線相等，故正確；C、等腰三角形兩底角的平分線相等，故正確；D、等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線和頂角的角平分線重合，故錯誤；故選：D．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質，熟記等腰三角形的性質是解題的關鍵．34．已知點到的兩邊，所在直線的距離相等，且，則下列命題為假命題的是（

）A．若點在邊上，則B．若點在內部，則C．若點在外部，則D．若，則點可能在邊上，可能在內部，也可能在外部【答案】C【分析】選項A根據(jù)等腰三角形的性質判斷；當點在內部時，分別作，垂直，于點，，先證明，再證明可判斷選項B；若，都有，可判斷選項D；選項C有兩種情況，具體見詳解．【解析】

∵點到的兩邊，所在直線的距離相等，∴點在的角平分線所在的直線上，即，如圖1，當點在邊上時，即為的中點，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”，得到，故選項A是真命題；如圖2，當點在內部時，分別作，垂直，于點，，，，得到，∵，，，；故選項B是真命題；若，都有，故選項D是真命題；當點在外部時，如圖3所示，與不一定相等，故選：C．【點睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質以及直角三角形全等的判定與性質．本題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用，注意掌握輔助線的作法．題型7：等腰三角形的“三線合一”有關的最值問題35．如圖，在中，，，面積是10；的垂直平分線分別交，邊于E、D兩點，若點F為邊的中點，點P為線段上一動點，則周長的最小值為（

）

A．7 B．9 C．10 D．14【答案】A【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線性質得，周長，再根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的面積求出，，即可得出答案．【解析】解：如圖所示．連接，

∵是的垂直平分線，∴，∴周長．連接，∵，點F是的中點，∴，∴．∵，∴，，∴周長的最小值是．故選：A．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，根據(jù)軸對稱求線段和最小值等，判斷周長的最小值是解題的關鍵．36．如圖，等腰中，，垂直平分，交于點E，交于點F，點G是線段上的一動點，若的面積是，，則的周長最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接．利用三角形的面積公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，的最小值為3，由此即可解決問題．【解析】解：如圖，連接．∵，，∴，∵，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為3，∴的最小值為，故選：B．【點睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，兩點間線段最短，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．37．如圖中，，，為的中線，點、點分別為線段、上的動點，連接、，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接交于點，連接、，作于點，由等腰三角形的性質得，則點與點關于直線對稱，所以，，由，，可以證明當點與點重合，且與重合時，，此時的值最小，由，求得，則的最小值為，于是得到問題的答案．【解析】解：如圖，連接交于點，連接、，作于點，為的中線，，，，，.，.，點與點關于直線對稱，，，，，，點與點重合時，，當與重合時，，此時的值最小，，，的最小值為，故選：B．【點睛】此題重點考查等腰三角形的“三線合一”、軸對稱的性質、兩點之間線段最短、垂線段最短、根據(jù)面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．題型8：等腰三角形“三線合一”的綜合問題38．如圖，在中，，是邊的中線，于點E，于點F，下列結論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)三線合一得到，，，根據(jù)角平分線的性質得到，可判斷①；證明，可得，，可判斷②③；再根據(jù)余角的性質，結合，可判斷④．【解析】解：∵，是邊的中線，∴，，，∵，，∴，故①正確，在和中，，∴，∴，，故②，③正確；∵，，∴，又，∴，故④正確；∴正確的有①②③④，故選D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，熟記各性質是解題的關鍵．39．如圖，在中，，于點D，于點E，于點F，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質，得，從而得到，根據(jù)面積公式，,變形計算即可．【解析】∵于點D，∴根據(jù)等腰三角形三線合一的性質，得，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故選B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，等腰三角形的面積公式，同一個三角形的面積的不同表示法，熟練掌握等腰三角形的三線合一性質和面積公式是解題的關鍵．40．如圖，和均為等腰直角三角形，且，點、、在同一條線上，平分，連接，下列結論：①；②；③；④，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】由“”可證，可得，可判斷①；由等腰之間三角形的性質可得，，結合全等三角形的性質可求得，可判斷②；結合線段的和差關系可判斷③；根據(jù)三角形的面積公式可判斷④；即可求解．【解析】解：∵和均為等腰直角三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，故①錯誤；∵為等腰直角三角形，平分，∴，，∵和均為等腰直角三角形，且，∴，∴，∴，∴，故②正確；∵為等腰直角三角形，平分，∴，∴，∵，∴，∴，故③正確；∵，，∵和不一定相等，∴不一定等于，故④錯誤；故選：B【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，證明是解本題的關鍵．題型9：等腰三角形“三線合一”的解答證明41．如圖，點，分別在，的延長線上，且，．求證：．

【答案】見解析【分析】過點作于點，由等腰三角形的性質得出，，由三角形外角的性質得出，即可推出，最后根據(jù)平行線的判定和性質即可證明．【解析】證明：如圖，過點作于點．，，，，，，，，，．

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形外角的性質，平行線的判斷和性質，正確作出輔助線，構建等腰三角形三線合一的性質是解題的關鍵．42．如圖，在中，，，是邊上的高．線段的垂直平分線交于點E，交于點F，連接．

(1)試問：線段與的長相等嗎？請說明理由；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)相等，理由見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)中垂線的性質得到，即可得到；（2）利用等邊對等角，求出的度數(shù)，三線合一，求出的度數(shù)，等邊對等角得到的度數(shù)，利用，即可得解．【解析】（1）解：線段與的長相等，理由如下：連接，

∵，是邊上的高，∴，∴為的垂直平分線，∵點在上，∴，又∵線段的垂直平分線交于點E，交于點F，∴，∴；（2）∵，，∴，∵是邊上的高，∴平分，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，中垂線的性質．熟練掌握等邊對等角，三線合一，中垂線上的點到線段兩端點的距離相等，是解題的關鍵．43．如圖，在中，，平分交于點，是上一點，且．求證：．

【答案】見解析【分析】作于點，根據(jù)等腰三角形的性質得出，再證明即可得出結論．【解析】證明：如圖，作于點．

，．，．平分，．在和中，，，，【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質，正確作出輔助線，構建全等三角形是解題的關鍵．題型10：等角對等邊證明等腰三角形44．如圖，在中，，AD平分，，，則（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用等腰三角形三線合一解題即可．【解析】解：∵，∴，∴是等腰三角形，∵平分，∴是的中線，∴；故選A．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質．熟記等角對等邊判定三角形是等腰三角形，以及等腰三角形三線合一的性質，是解題的關鍵．45．已知一個三角形中兩個內角分別是和，則這個三角形一定是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)三角形內角和定理求得第三個角，進而即可求解．【解析】解：∵一個三角形中兩個內角分別是和，∴第三個角為，根據(jù)等角對等邊，可得這個三角形是等腰三角形，故選：C．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，三角形的分類，等腰三角形的判定，熟練掌握三角內角和定理是解題的關鍵．46．的三邊分別是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（

）A． B．C．， D．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，三角形內角和定理，進行計算逐一判斷即可解答．【解析】解：A、因為，，所以，所以是等腰三角形；B、因為，所以設，則有兩邊相等的是等腰三角形；C、因為，所以，則，所以是等腰三角形；D、因為，，則，那么，，不能判定是等腰三角形．故選：D.【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，三角形內角和定理，熟練掌握等腰三角形的判定，以及三角形內角和定理是解題的關鍵．47．如圖，在中，平分，，，，則的周長為（）A．2 B．24 C．27 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意在上截取，連接，由可證≌，可得，，可證，可得，進而即可求解．【解析】解：如圖，在上截取，連接，∵平分，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周長＝，故選：C．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的性質，注意掌握添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．題型11：等角對等邊證明等腰三角形的解答證明48．已知：如圖，在中，點D在邊的延長線上，平分，．求證：為等腰三角形．【答案】見解析【分析】首先依據(jù)平行線的性質證明，，然后結合角平分線的定義可證明，故此可證明為等腰三角形．【解析】證明：∵，∴，∵平分，∴∴即為等腰三角形．【點睛】本題主要考查的是等腰三角形的判定，熟練掌握平行線的性質及等腰三角形的判定定理是解題的關鍵．49．如圖，在和中，，．(1)求證：；(2)過點D作交于點E，求證：是等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)證明三角形全等即可；（2）證明即可證明，進而得到是等腰三角形．【解析】（1）證明：在和中，，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，平行線的性質，等腰三角形的判定等知識，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法．50．已知中，平分交于點，且．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，延長至點，使，連接，若，直接寫出圖中所有的等腰三角形（和除外）．【答案】(1)證明見解析(2)是等腰三角形，是等腰三角形，是等腰三角形，是等腰三角形；【分析】（1）如圖所示，在上取一點E，使得，連接，證明得到，根據(jù)三角形外角的性質結合已知條件證明，得到，即可證明；（2）根據(jù)等腰三角形的判定條件結合三角形內角和定理進行推理即可．【解析】（1）證明：如圖所示，在上取一點E，使得，連接，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，是等腰三角形，∵，∴，又∵，∴，∴，即是等腰三角形，∵，平分，∴，∴，∴，是等腰三角形，∴，∴是等腰三角形．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，三角形外角的性質，角平分線的定義等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．題型12：等角對等邊證明邊長相等、求邊長51．如圖，已知，，不正確的等式是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．【解析】解：∵，∴，故A選項正確，不符合題意；在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，故B選項、C選項正確，D選項錯誤，故選：D．【點睛】本題考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質，掌握等腰三角形的判定是解題的關鍵．52．如圖，中，平分交于點，過點作交于點，若，，則的長為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】由角平分線的定義和平行線的性質，得到，則，即可求出答案．【解析】解：∵在中，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的定義和平行線的性質，解題的關鍵是掌握所學的知識進行計算．53．如圖，點P是的角平分線上一點，點Q是上一點，且，若，則線段的長是（

）A． B． C．3 D．2【答案】D【分析】利用角平分線的定義以及平行線的性質推出，據(jù)此即可求解．【解析】解：∵點P是的角平分線上一點，∴，∵，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質，等角對等邊，掌握“兩直線平行內錯角相等”是解題的關鍵．54．如圖，在中，平分，．若，，則的長為（

）A．13 B．12 C．10 D．9【答案】A【分析】先根據(jù)平行線的性質和角平分線的定義證明，得到，則．【解析】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選A．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質，等腰三角形的判定，證明是解題的關鍵．55．如圖，在中，，和的平分線交于點E，過點E作分別交于M，N，則的周長為（）A．8 B．9 C．10 D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的定義和可以得出，，繼而可以得出的周長，從而可以得出答案．【解析】解：∵，∴．∵平分，∴，∴．∴．同理，，∴．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，等角對等邊，利用角平分線及平行線的性質得出是解題的關鍵.56．如圖，，點E在上，B，F(xiàn)，C，D四點在同一條直線上．若，則下列結論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的性質得到，，則，由于，則，則，由此即可得到答案．【解析】解：∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴四個選項中只有C選項符合題意，故選C．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性質是解題的關鍵．57．如圖，在中，，于點D．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若點E在邊上，交的延長線于點．求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形底角相等，再根據(jù)直角三角形的性質即可求得；（2）根據(jù)兩直線平行內錯角相等，再根據(jù)是的角平分線即可得到，從而證得．【解析】（1）解：，，，，；（2）證明：，，，，是的角平分線，，，．【點睛】本題考查等腰三角形的性質、平行線的性質、直角三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形、平行線、直角三角形的相關知識．58．如圖，在四邊形中，，是的中點，連接并延長交的延長線于點，點在邊上，且．連接，判斷與的位置關系，并說明理由．

【答案】與的位置關系是；理由見解析【分析】證明，得出，證明，得出，根據(jù)垂直平分線的判定得出垂直平分，即可得出答案．【解析】解：與的位置關系是；理由見如下：∵，∴，是的中點，，又∵，∴，，∵，，∴，，，∴垂直平分，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定，垂直平分線的判定，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，得出．題型13：直線上與已知兩點組成等腰三角形的點59．如圖，，點P為直線上的一個動點，若使得是等腰三角形．則符合條件的點P有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結論．【解析】解：作垂直平分線與的交點，可得，以A為圓心，為半徑畫圓，交有兩個交點，，以B為圓心，為半徑畫圓，交有一個交點，，故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定來解決實際問題，其關鍵是根據(jù)等腰三角形的判定定理解答．60．如圖，線段的一個端點B在直線m上，直線m上存在點C，使為等腰三角形，這樣的點C有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】以A為圓心，以的長為半徑畫弧與直線m交于點D，此時，同理以B為圓心以的長為半徑畫弧與直線m交于E、C，此時，，再作的垂直平分線與直線m交于點F，此時，據(jù)此可得答案．【解析】解：如圖所示，以A為圓心，以的長為半徑畫弧與直線m交于點D，此時，同理以B為圓心以的長為半徑畫弧與直線m交于E、C，此時，，再作的垂直平分線與直線m交于點F，此時，∴直線m上存在4個點C，使為等腰三角形，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，線段垂直平分線的性質，解題的關鍵在于能夠熟練掌握等腰三角形的定義．61．如圖，直線相交于點，，點在直線上，直線上存在點，使以點為頂點的三角形是等腰三角形，這樣的點有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】分別以點為頂點的等腰三角形有種情況，分別為，，，從這三方面考慮點的位置即可；【解析】解：當時；以點為圓心，的長為半徑作圓，與直線在點兩側各有一個交點，此時點有個；當時；以點為圓心，的長為半徑作圓，與直線有一個交點，此時點有個；當時；作的垂直平分線，與直線有一個交點，此時點有個；∴滿足條件的點總共有個；故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，兩條邊相等的三角形為等腰三角形，因此要注意分類討論，由每種情況的特點選擇合適的方法確定點是解題的關鍵．題型14：等腰三角形有關的尺規(guī)作圖62．如圖，給出了尺規(guī)作等腰三角形的三種作法，認真觀察作圖痕跡，下面的已知分別對應作圖順序正確的是（

）①已知等腰三角形的底邊和底邊上的高；②已知等腰三角形的底邊和腰；③已知等腰三角形的底邊和一底角．A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③①【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質即可求解．【解析】解：圖形①的作圖依據(jù)是“②已知等腰三角形的底邊和腰”；圖形②的作圖依據(jù)是“①已知等腰三角形的底邊和底邊上的高”；圖形③的作圖依據(jù)是“③已知等腰三角形的底邊和一底角”．故選：．【點睛】本題主要考查尺規(guī)作圖等腰三角形，掌握等腰三角形的性質，作圖的方法是解題的關鍵．63．如圖（1），銳角中，，要用尺規(guī)作圖的方法在邊上找一點D，使為等腰三角形，關于圖（2）中的甲、乙、丙三種作圖痕跡，下列說法正確的是（

）

A．甲、乙、丙都正確 B．甲、丙正確，乙錯誤 C．甲、乙正確，丙錯誤 D．只有甲正確【答案】A【分析】根據(jù)圓、線段垂直平分線、角的尺規(guī)作圖進行分析即可．【解析】解：甲圖：以點A為圓心，為半徑作弧，交于點D，∴，∴為等腰三角形，乙圖：作的垂直平分線，交于點D，∴，∴為等腰三角形，丙圖：∵所作的，∴，∴是等腰三角形，∴甲、乙、丙都正確，故選A．【點睛】本題考查等腰三角形的定義、尺規(guī)作圖?圓、角、垂直平分線，熟練掌握等腰三角形的判定與圓、角和線段垂直平分線的基本作圖的方法是解題的關鍵．64．已知銳角，如圖，按下列步驟作圖：①在邊取一點D，以O為圓心，長為半徑畫，交于點C．②以D為圓心，長為半徑畫，與交于點E，連接并延長，使的延長線交于點P，連接，則的度數(shù)為__________．【答案】【分析】由作法得，，先根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和定理計算出，再計算出，然后計算即可．【解析】解：由作法得，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了作圖復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質．題型15：格點中畫等腰三角形（網(wǎng)格問題）65．由24個邊長為1的小正方形組成的的網(wǎng)格中，線段AB的兩個端點都在格點（小正方形的頂點）上．請在所給的網(wǎng)格中各畫一個△ABC，使得△ABC是軸對稱圖形，并畫出其對稱軸．（畫出兩種情況即可，全等圖形視為一種情況）

【答案】見解析【分析】以為腰和底兩種情況作圖即可．【解析】如圖，以為腰，為對稱軸；

如圖，以為底作等腰三角形，為對稱軸；

【點睛】本題考查利用網(wǎng)格作圖，掌握等腰三角形的判定定理是解題的關鍵．66．圖1，圖均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A，B，C均為格點．只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中找一格點，按下列要求作圖：(1)在圖1中，連接，，使；(2)在圖2中，連接，，，使．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理得；（2）連接，取中點，．【解析】（1）解：如圖1正確畫圖．（2）如圖2

正確畫圖．【點睛】本題主要考查尺規(guī)作圖，熟練根據(jù)題意作出符合題意的圖形是解題的關鍵．67．如圖，在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段和線段，點、、、均在小正方形的頂點上．

(1)在方格紙中畫出以為底的等腰，點在小正方形的頂點上；的面積為；(2)在方格紙中畫出以為一邊的等腰，點在小正方形的頂點上，且的面積為5，連接，直接寫出的長度．【答案】(1)圖見解析；(2)圖見解析，．【分析】（1）根據(jù)題意點在線段的垂直平分線上，根據(jù)點在小正方形的頂點上，且，即可畫出圖形；（2）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)小正方形的邊長利用勾股定理可求得的長度．【解析】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）如圖所示，即為所求；．

【點睛】本題考查的是作圖：應用與設計作圖，根據(jù)題意找出符合條件的點是解題的關鍵．題型16：等腰三角形的性質和判定綜合題68．如圖，在中，，，是的中點，點、分別在邊、上，且，下列結論：①；②；③，分別表示和的面積，則；④；所有正確的結論是（

）A．①③ B．①③④ C．①② D．①②③【答案】D【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形的外角的性質等知識，由等腰直角三角形的性質可證，從而得出是等腰直角三角形，即可對結論進行逐一判斷．【詳解】解：∵，D是的中點，∴，∵，∴，在和中，，∴，故①正確；∴，∴，故②正確；∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴時，最小為，當點E與A或B重合時，最大為，∴，故③正確；∵是變化的，而為定值，故④錯誤；綜上，①②③正確．故選：D．69．如圖，在中，，，為的中點，過點作交的延長線于點，且，，下列說法：；；；；．正確的有（

）個

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質；由“”可證≌，可得，可判斷；由等腰三角形的性質可求，可判斷；由“”可證≌，可得，，可判斷，利用反證法的思想可判斷，由面積關系可求，可判斷，即可求解．【詳解】解：，，，即，，，，，，，在和中，，，，故正確；，，，故正確；，，，，為中點，，在和中，，，，，，，故正確；若，則，顯然不符合條件，故錯誤；，，故正確；故選：C．70．在中，，點為中點，繞點旋轉，、分別與邊、交于，兩點．下列結論：①，②始終為等腰直角三角形，③，④．其中正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③【答案】A【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定及性質，勾股定理連接根據(jù)等腰直角三角形的性質，就可以得出，根據(jù)全等三角形的性質得出，進而得出，就有，再由勾股定理就可以求出結論．【詳解】解：如圖所示，連接，，點為中點，，，，，，，．在和中，，，，，．，，．，．，，，，故①正確；，，始終為等腰直角三角形，故②正確；，，又，，故③正確；，，，又，，故④正確；正確的有①②③④．故選：A．．71．在中，，，點在射線上（不與，重合），連接，過點作，垂足為．(1)如圖1，點在線段上，若恰好平分，求證：．(2)如圖2，點在線段上，點是直線上的一點，且平分，探究、、之間的數(shù)量關系，并說明理由．(3)如圖3，若點在線段的延長線上，點是直線上的一點，且平分，，，求的長度．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、直角三角形的性質等知識．（1）延長，交于點，證明，由全等三角形的性質得出，證明，由全等三角形的性質得出，則可得出結論；（2）延長AC，BF交于點N，由（1）可知，，由全等三角形的性質得出結論；（3）由（1）可知，，可得，即可求出．【詳解】（1）證明：延長，交于點，∵平分，∴，又∵，，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴；（其它證法參照給分）（2）解：，理由如下：如圖2，延長AC，BF交于點N，由（1）可知，，∴，，∴；（3）解：如圖3．理由：同（1）可知，，∴，，∴，∴，∴．一、單選題1．等腰三角形的三邊均為整數(shù)，且周長為13，則底邊是(

)A．1或3 B．3或5 C．1或5 D．1或3或5【答案】D【分析】設底邊為x，根據(jù)題意要求可得為整數(shù)，且x＜6.5，可得出底邊的取值．【解析】設底邊為x，則腰長為，∵等腰三角形的三邊均為整數(shù)，∴為整數(shù)，∵x，，能構成三角形，∴0＜x＜13-x，∴x＜6.5且x為正整數(shù)，∴x可取1，3，5，故選D.【點睛】本題考查等腰三角形的性質和三角形三邊的大小關系，有一定難度，明確三邊均為整數(shù)是正確解答本題的關鍵．2．如圖，中，，，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用AD=AC，求出∠ADC=∠C=，利用AD=AB，即可求得∠B=∠BAD．【解析】∵AD=AC，∴∠ADC=∠C，∵，∴∠ADC=∠C=，∵AD=AB，∴∠B=∠BAD，故選：A．【點睛】此題考查等邊對等角的性質，三角形的內角和定理，三角形的外角性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．3．在等腰△ABC中，AB=AC，其周長為16cm，則AB邊的取值范圍是（）A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm【答案】C【分析】設AB=AC=x，則BC=16-2x,根據(jù)三角形的三邊關系即可求出AB的取值范圍.【解析】在等腰△ABC中，AB=AC,其周長為16cm，設設AB=AC=cm，則BC=16-2x,依題意得,解得4cm＜AB＜8cm,選C.【點睛】此題主要考查三角形的三邊關系，熟知等腰三角形的性質、不等式的解法是關鍵.4．如圖，在中，，點都在邊上，且，若，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】首先證明AB=AC，再根據(jù)SAS證明即可得到結論．【解析】解：在△ABC中，∠B=∠C．∴AB=AC在△ABD和△ACE中，∴∴∵∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定，證明是解答此題的關鍵．5．如圖，，記，，當時，與之間的數(shù)量關系為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，熟記各性質并理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．根據(jù)全等三角形的性質可得，，然后求出，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補表示出，整理即可．【解析】解：，，，，在中，，，，整理得．故選：D．6．如圖，在中，，以點為圓心，長為半徑作弧交于點，分別以點和點為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，作直線交于點，若，則的大小是（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【分析】本題主要考查了尺規(guī)作線段垂直平分線，等腰三角形的性質，三角形內角和，先根據(jù)尺規(guī)作圖可知直線是線段的垂直平分線，即，再根據(jù)“等邊對等角”得，可求，然后根據(jù)三角形內角和定理得出答案．【解析】解：根據(jù)題意可知直線是線段的垂直平分線，∴．∵，∴，∴．在中，．故選：C．7．如圖，中，，點為內一點，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，三角形的外角性質，全等三角形的判定與性質，利用等腰三角形的三線合一性質添加輔助線是解題的關鍵．根據(jù)已知易證，所以想到等腰三角形的三線合一性質，過點作，垂足為，延長交與點，然后連接，易證，從而求出，再利用三角形的外角求出的度數(shù)，放在直角三角形中求出的度數(shù)，進而證，可得，最后放在等腰三角形中求出即可．【解析】解：過點作，垂足為，延長交與點，連接，，，，，，，是的垂直平分線，，，，是的一個外角，，，，，，，，，，，，，，故選：B．8．如圖，在中，，D，E分別是線段上的一點，根據(jù)下列條件之一，不能確定是等腰三角形的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，三角形內角和定理和三角形外角和定理，熟練掌握等腰三角形的判定是解題的關鍵．分別根據(jù)選項中的四個條件求出的大小即可得到答案．【解析】解：，，，是的外角，，，，當時，，，，，故選項A可以確定是等腰三角形，故不符合題意；當時，則，，，，，故選項B可以確定是等腰三角形，故不符合題意；當時，則，，，，，故選項C不可以確定是等腰三角形，故符合題意；當時，則，，，，，故選項D可以確定是等腰三角形，故不符合題意．故選C．9．如圖，在中，平分，，垂足為，，若，則的長為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】該題主要考查了等腰三角形的性質和判定，解題的關鍵是掌握等腰三角形的性質和判定；延長長于點，根據(jù)平分，，證明證出再證明，即可求解；【解析】解：延長長于點，則，平分，，，，，，，故選：D．10．如圖，在等腰中，，為延長線上一點，，垂足為C，且，連接，若，則的面積為（）A．16 B．24 C．32 D．8【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質；過作于，過作于，由“三線合一”得，再由“”可判定，從而由全等三角形的性質得，再，即可求解；掌握性質及判定方法，能根據(jù)題意作出恰當?shù)妮o助線，構建是解題的關鍵．【解析】解：如圖，過作于，過作于，，，，，，，，在和中，，（），，；故選：A．11．如圖，是一角度為的鋼架，要使鋼架更加牢固，需在其內部添加一些鋼管：、、…，且…，在、足夠長的情況下，最多能添加這樣的鋼管的根數(shù)為（

）A．4根 B．5根 C．6根 D．7根【答案】B【分析】本題考查了圖形類規(guī)律探索，等腰三角形的判定和性質，三角形外角的性質，正確理解題意是解題關鍵．根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，添加根鋼管，有個等腰三角形，且第個等腰三角形的底角為，再由等腰三角形的底角小于，得出，即可得到答案．【解析】解：添加一根鋼管時，，即，添加兩根鋼管時，；，即，添加三根鋼管時，；，即，；……觀察發(fā)現(xiàn)，添加根鋼管，有個等腰三角形，且第個等腰三角形的底角為，等腰三角形的底角小于，，，即最多能添加這樣的鋼管的根數(shù)為5根，故選：B．12．在中，，過點作交于點，過點作交于點，與交于點，過點作分別交于點，點在上，連接交于點，點是的中點，連接．下面結論：①；②；③；④；．其中正確的是（

）A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤【答案】C【分析】利用證明，即可判斷①；利用三角形外角的定義及性質即可判斷②；過點作交的延長線于，證明，得到，證明，得到，從而得到，得出是等腰直角三角形，假設，則，顯然不滿足條件，即可判斷③；由等腰直角三角形的性質即可判斷④；過點作交的延長線于，可得，有三角形中位線定理得出，證明，得出，從而得到，最后根據(jù)，即可得出答案．【解析】解：①，，，，，，，為等腰直角三角形，，，在和中，，，故①正確，符合題意；②，，，，，，，故②正確，符合題意；③過點作交的延長線于，則，，，，，，，在和中，，，，為的中點，，在和中，，，，，是等腰直角三角形，，若，則，顯然不滿足條件，故③錯誤，不符合題意；④是等腰直角三角形，，故④正確，符合題意；⑤過點作交的延長線于，，，，，四邊形為矩形，，和等高，，為的中位線，，，，，，故⑤正確，符合題意；綜上所述，正確的有：①②④⑤，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、三角形中位線定理、三角形外角的定義及性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關鍵．二、填空題13．用一條長為20cm的細繩圍成一個邊長為8cm的等腰三角形，則腰長為cm.【答案】8或6【分析】本題主要考查等腰三角形的定義，熟練掌握等腰三角形的定義是解題的關鍵；因此此題可分當邊長為8cm為該等腰三角形的腰長時和當邊長為8cm為該等腰三角形的底邊時，然后分類求解即可．【解析】解：由題意得：①當邊長為8cm為該等腰三角形的腰長時，則底邊長為，符合三角形三邊關系；②當邊長為8cm為該等腰三角形的底邊時，則腰長為，符合三角形三邊關系；綜上所述：該等腰三角形的腰長為或；故答案為8或6．14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠B＝70°，則∠BAD＝°．【答案】20．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質得到∠ADB=90°，根據(jù)三角形內角和定理即可得到結論．【解析】∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝70°，∴∠BAD＝20°．故答案為：20．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，垂直的定義，三角形的內角和，熟記三角形的內角和定理是解題的關鍵．15．等腰三角形中，角平分線、中線、高的條數(shù)一共最多有條（重合的算一條）．【答案】7【分析】根據(jù)等腰三角形底邊上三線合一的性質進行分析即可.【解析】解：等腰三角形的角平分線，中線、高彼此重合的只計一條，即底邊上的高、中線、角平分線只計一條，因此總條數(shù)最多有7條，故答案為7【點睛】本題考查了等腰三角形性質的運用，關鍵是對“三線合一”的熟練掌握.16．如圖，在中，．若平分，，則的度數(shù)是．【答案】72°【解析】略17．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，那么這個等腰三角形的底角為．【答案】或【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后分別從銳角三角形與鈍角三角形分析求解即可求得答案．【解析】解：根據(jù)題意得：AB=AC，BD⊥AC，如圖（1），∠ABD=60°，則∠A=30°，∴∠ABC=∠C=75°；如圖（2），∠ABD=60°，∴∠BAD=30°，∴∠ABC=∠C=∠BAD=15°．故這個等腰三角形的底角是：75°或15°．故答案為：或.【點睛】此題考查了等腰三角形的性質．此題難度適中，注意掌握分類討論思想與數(shù)形結合思想的應用．18．小宋把一張等腰三角形的紙片放在如圖所示的兩條平行線上．若測得，則的度數(shù)為．【答案】【解析】略19．如圖，在中，，將繞點按順時針方向旋轉到的位置，連接．若，則的面積為．【答案】4【分析】本題考查了三角形的全等的判定和性質，過點A作于點E，過點D作，交的延長線于點F，證明，，得到，根據(jù)三角形面積公式計算即可．【解析】解：過點A作于點E，過點D作，交的延長線于點F，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，的面積為：．故答案為：4．20．如圖，在中，點是高、的交點，且，則=度．【答案】【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，等邊對等角，三角形內角和定理，先根據(jù)三角形高的定義得到，進而利用三角形內角和定理證明，進一步證明得到，即可得到．【解析】解：∵、都是的高，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案為：．21．如圖，在中，，為的角平分線，，，則．【答案】10【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，等邊對等角，三角形外角的性質，作輔助線構造全等三角形是解題關鍵．在上截取，使，連接，根據(jù)角平分線的定義，得到，利用“”證明，得到，，再利用三角形外角性質得到，進而得到，即可求出的長．【解析】解：在上截取，使，連接，為的角平分線，，在和中，，，，，，，，，，，故答案為：10．22．已知、，點C在x軸上，若是等腰三角形，則滿足這樣條件的C有個．【答案】4【分析】本題考查了等腰三角形的性質和判定的應用，分，，三種情況，根據(jù)等腰三角形性質即可求解．【解析】解：以B為圓心，以為半徑畫弧，交x軸于，兩點，此時；以A為圓心，以為半徑畫弧，交x軸于點，此時；作的垂直平分線交x軸于，此時，滿足這樣條件的C有:（個），故答案為：4．23．如圖，在中，與的平分線交于點．過點作，分別交、于、E，若，，則的周長是．【答案】9【分析】本題考查等腰三角形的性質，平行線的性質及角平分線的性質．先根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質證明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性質得，，根據(jù)的周長，即可解題．【解析】解：平分，，，，，，同理可證，的周長．故答案為：．24．如圖，和分別為的兩個外角的平分線，過點D作分別交和的延長線于點E和F給出以下結論：①；②；③平分；