第4章數(shù)列章末測試(提升)(原卷版+解析)

第4章數(shù)列章末測試（提升）一、單選題（每題只有一個選項為正確答案。每題5分，8題共40分）1．（2023·全國高二單元測試）設(shè)是等比數(shù)列，且，則（）A．12 B．24 C．30 D．322．（2023·全國高二單元測試）用數(shù)學(xué)歸納法證明，從推導(dǎo)到時，左邊需要增乘的代數(shù)式為（）A． B． C． D．3．（2023·全國高二單元測試）設(shè)i是虛數(shù)單位，則的值為（）A． B．C． D．4．（2023·江蘇高二單元測試）在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，為其前項和，，則的最小值為（）A．9 B． C． D．25．（2023·全國高二單元測試）已知數(shù)列的前項的和為，且，則（）A．為等比數(shù)列 B．為擺動數(shù)列C． D．6．（2023·全國高二單元測試）已知數(shù)列滿足，，則的前30項之和為（）A． B． C． D．7．（2023·全國高二單元測試）已知等差數(shù)列的前項和有最大值，且，則滿足的最大正整數(shù)n的值為（）A．4041 B．4039 C．2021 D．20208．（2023·浙江高二單元測試）已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則當(dāng)S取得最小值時，n的值為（）A．4 B．6 C．7 D．8二、多選題（每題不止一個選項為正確答案，每題5分，4題共20分）9．（2023·全國高二單元測試）設(shè)數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，是其前項和，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．或為的最小值10．（2023·全國高二單元測試）已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A．為等比數(shù)列 B．的通項公式為C．為遞增數(shù)列 D．的前項和11．（2023·全國高二單元測試）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”．則下列說法正確的是（）A．此人第六天只走了5里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C．此人第二天走的路程比全程的還多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍12．（2023·全國高二單元測試）已知數(shù)列是等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．若，，則C．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列D．若數(shù)列的前和，則三、填空題（每題5分，4題共20分）13．（2023·全國）等差數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，且S6＜S7，S6＞S8，則①此數(shù)列的公差d＜0；②S9＜S6；③S14＜0；④S7一定是Sn中的最大值．其中正確的是______（填序號）．14．（2023·全國高二單元測試）已知各項為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且，，則數(shù)列的通項公式為_________.15．（2023·全國高二單元測試）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和滿足，,則數(shù)列的前2020項和____．16．（2023·全國高二單元測試（理））已知函數(shù)，對于，定義，則的解析式為________.四、解答題（17題10分，其余每題12分，共6題70分）17．（2023·浙江高二單元測試）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.18．（2023·全國高二單元測試）對于數(shù)列{an}，a1＝a（a＞0．，且a≠1），an+1＝a1﹣．（1）求a2，a3，a4，并猜想這個數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．19．（2023·全國高二單元測試）已知數(shù)列，，中，其中為等比數(shù)列，公比，且，，，.（1）求q與的通項公式；（2）記，求證：.20．（2023·廣東惠州）若數(shù)列的前項和滿足，等差數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．21．（2023·全國高二單元測試）等差數(shù)列中，，，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且其中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）請選擇一個可能的組合，并求數(shù)列的通項公式；（2）記（1）中您選擇的的前項和為，判斷是否存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，若有，請求出的值；若沒有，請說明理由.22．（2023·全國高二單元測試）在數(shù)列中，，.（1）證明，數(shù)列是等差數(shù)列.（2）設(shè)，是否存在正整數(shù)，使得對任意，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由.第4章數(shù)列章末測試（提升）一、單選題（每題只有一個選項為正確答案。每題5分，8題共40分）1．（2023·全國高二單元測試）設(shè)是等比數(shù)列，且，則（）A．12 B．24 C．30 D．32答案:D解析：設(shè)公比為q，因為是等比數(shù)列，且，所以，所以q=2，所以.故選：D.2．（2023·全國高二單元測試）用數(shù)學(xué)歸納法證明，從推導(dǎo)到時，左邊需要增乘的代數(shù)式為（）A． B． C． D．答案:A解析：當(dāng)時，等式左端為，當(dāng)時，等式左端為，所以從推得到時，左邊需增乘的式子為.故選：A.3．（2023·全國高二單元測試）設(shè)i是虛數(shù)單位，則的值為（）A． B．C． D．答案:B解析：設(shè)，兩端同乘以得：，相減，得：，，可得：，可得：，故選：B.4．（2023·江蘇高二單元測試）在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，為其前項和，，則的最小值為（）A．9 B． C． D．2答案:B解析：由題意，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．故選：B．5．（2023·全國高二單元測試）已知數(shù)列的前項的和為，且，則（）A．為等比數(shù)列 B．為擺動數(shù)列C． D．答案:D解析：因為①，當(dāng)時，，解得：，當(dāng)時，②，①-②得：，即，所以，所以是以為首項，為首項的等比數(shù)列，所以，所以，所以不是等比數(shù)列，為遞增數(shù)列，故不正確，，故選項不正確，選項正確.故選：6．（2023·全國高二單元測試）已知數(shù)列滿足，，則的前30項之和為（）A． B． C． D．答案:A解析：因為，所以，所以是公比為2的等比數(shù)列，所以，所以.故選：A7．（2023·全國高二單元測試）已知等差數(shù)列的前項和有最大值，且，則滿足的最大正整數(shù)n的值為（）A．4041 B．4039 C．2021 D．2020答案:B解析：∵等差數(shù)列存在最大值且，∴首項，公差，即等差數(shù)列為遞減數(shù)列，∴，∵，所以∴，.所以滿足的最大正整數(shù)的值為.故選：B．8．（2023·浙江高二單元測試）已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則當(dāng)S取得最小值時，n的值為（）A．4 B．6 C．7 D．8答案:C解析：因為，故.同理，故，所以，即當(dāng)時，取得最小值.故選：C.二、多選題（每題不止一個選項為正確答案，每題5分，4題共20分）9．（2023·全國高二單元測試）設(shè)數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，是其前項和，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．或為的最小值答案:AB解析：在等差數(shù)列中，依題意，，即，B正確；因，則，A正確；由得數(shù)列是遞減數(shù)列，于是有，即得，C不正確；因，則有，又為遞減數(shù)列，因此，或為的最大值，D不正確.故選：AB10．（2023·全國高二單元測試）已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A．為等比數(shù)列 B．的通項公式為C．為遞增數(shù)列 D．的前項和答案:AD解析：因為，所以，所以，且，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即，所以，可得，故選項A正確，選項B不正確；因為單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，即為遞減數(shù)列，故選項C不正確；的前項和．故選項D正確；故選：AD．11．（2023·全國高二單元測試）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”．則下列說法正確的是（）A．此人第六天只走了5里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C．此人第二天走的路程比全程的還多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍答案:BCD解析：根據(jù)題意此人每天行走的路程成等比數(shù)列，設(shè)此人第天走里路，則是首項為，公比為的等比數(shù)列．所以，解得．選項A：，故A錯誤，選項B：由，則，又，故B正確．選項C：，而，，故C正確．選項D：，則后3天走的路程為，而且，D正確．故選：BCD．．12．（2023·全國高二單元測試）已知數(shù)列是等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．若，，則C．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列D．若數(shù)列的前和，則答案:AC解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，且.對于A選項，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，A選項正確；對于B選項，由等比中項的性質(zhì)可得，又因為，則與同為正數(shù)，則，B選項錯誤；對于C選項，若，由可得，可得，解得，則，，則，此時，數(shù)列為遞增數(shù)列；若，由可得，可得，解得，則，，則，此時，數(shù)列為遞增數(shù)列.綜上所述，C選項正確；對于D選項，，，，由于數(shù)列是等比數(shù)列，則，即，解得，D選項錯誤.故選：AC.三、填空題（每題5分，4題共20分）13．（2023·全國）等差數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，且S6＜S7，S6＞S8，則①此數(shù)列的公差d＜0；②S9＜S6；③S14＜0；④S7一定是Sn中的最大值．其中正確的是______（填序號）．答案:①②③④解析：由于，所以，所以，①正確.，所以，②正確.，③正確.由于數(shù)列前項為正數(shù)，從第項起為負(fù)數(shù)，所以一定是中的最大值，④正確.故答案為：①②③④14．（2023·全國高二單元測試）已知各項為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且，，則數(shù)列的通項公式為_________.答案:解析：，，當(dāng)時，由，可得，即.是以為首項，公差為的等差數(shù)列...當(dāng)時，.當(dāng)時，上式成立.故數(shù)列的通項公式為.故答案為：.15．（2023·全國高二單元測試）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和滿足，,則數(shù)列的前2020項和____．答案:解析：依題意，由*，可得.因為數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以，.當(dāng)時，，當(dāng)時，，.檢驗：當(dāng)時，，所以，.所以，.故.故答案為：16．（2023·全國高二單元測試（理））已知函數(shù)，對于，定義，則的解析式為________.答案:解析：函數(shù)對于，定義，．，，由此可以猜想以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，，顯然成立；假設(shè)時成立，即，則時，也成立故故答案為：．四、解答題（17題10分，其余每題12分，共6題70分）17．（2023·浙江高二單元測試）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.答案:（1）；（2）.解析：1）設(shè)的公差為，，因為，，成等比數(shù)列，，可得，，，，又，解得，，．（2）．18．（2023·全國高二單元測試）對于數(shù)列{an}，a1＝a（a＞0．，且a≠1），an+1＝a1﹣．（1）求a2，a3，a4，并猜想這個數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．答案:（1），，，猜想通項公式：（其中）；（2）證明見解析.解析：（1）∵a1＝a（a＞0．，且a≠1），an+1＝a1﹣，∴，，，由此歸納猜想：（其中）（2）①由（1）可知，結(jié)論對n≤4均成立；②假設(shè)n＝k時結(jié)論成立，即，當(dāng)n＝k+1時，ak+1＝a1﹣＝＝＝＝＝,∴結(jié)論對n＝k+1也成立.綜合①②可知結(jié)論成立．19．（2023·全國高二單元測試）已知數(shù)列，，中，其中為等比數(shù)列，公比，且，，，.（1）求q與的通項公式；（2）記，求證：.答案:（1），（2）證明見解析解析：（1）因為為等比數(shù)列，公比，所以，所以，即，解得或（舍），因為，所以，由得，又，所以，所以，所以.（2），所以.20．（2023·廣東惠州）若數(shù)列的前項和滿足，等差數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．答案:（1），；（2）．解析：（1）∵，∴當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，∴，即，∴，∴數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，∴，∴，又，，∴，，∴數(shù)列的公差，∴，綜上：，；（2）由（1）得，，∴，∴，∴，∴．21．（2023·全國高二單元測試）等差數(shù)列中，，，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且其中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）請選擇一個可能的組合，并求數(shù)列的通項公式；（2）記（1）中您選擇的的前項和為，判斷是否存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，若有，請求出的值；若沒有，請說明理由.答案:（1）見解析，或；（2）存在，.解析：（1）由題意可知：有兩種組合滿足條件：①，，，此時等差數(shù)列，，，所以其通項公式為.②，，，此時等差數(shù)列，，，所以其通項公式為.（2）若選擇①，.則.若，，成等比數(shù)列，則，即，整理，得，即，此方程無正整數(shù)解，故不存在正