2024年中考數(shù)學高頻考點突破-圓的切線的證明

2024年中考數(shù)學高頻考點突破—圓的切線的證明

1.如圖，已知AB為「。的直徑，點C為外一點，AC=BC,連接OC,DF^AC

的垂直平分線，交OC于點尸，垂足為點E,連接AD、CD,S.ZDCA=ZOCA.

⑴求證：AD是。的切線；

⑵若CD=6,OF=4,求cos/ZMC的值.

2.如圖，ABC內接于O,AB是。的直徑，作N3CD=NA,8與AB的延長線

交于點。，DE1AC,交AC的延長線于點E.

⑴求證：CD是。的切線；

(2)若CE=2,DE=4,求AC的長.

3.如圖，點E在以為直徑的圓。上，點C是BE的中點，過點C作C。垂直AE,

交AE的延長線于點。，連接8E交AC于點

⑴求證：8是圓。的切線.

4

⑵若cosNCAO=g,BF=15,求AC的長.

4.如圖，AB是〈。的直徑，尸為一O上一點，AC平分交(。于點C.過點C作

8，Ab交項的延長線于點。.

⑴求證：8是，:。的切線.

(2)若0c=6,AB=13,求"的長.

5.如圖，Rt^ABC中NBC4=90。，AE2=ADxAC，點。在AC邊上，以8為直徑

(1)求證48是。的切線；

(2)若5=00=1,求BE的長度.

6.如圖，在.ABC中，AE是它的角平分線，NC=90。，48=30。，。在A8邊上，A￡>=4,

以AO為直徑的圓O經(jīng)過點E.

(2)求圖中陰影部分的面積；

7.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,。是3C邊上一點，以。為圓心，0B為半徑

的圓與相交于點O,連接C。，且CD=AC.

試卷第2頁，共6頁

A

⑴求證：8是：。的切線;

⑵若NA=60。，AC=2抬，求80的長.

8.如圖，在.ABC中，點。是8c中點，以。為圓心，8C為直徑作圓，剛好經(jīng)過A點,

延長8C于點。，連接AD已知NCAO=NB.

(1)求證：是。。的切線；

⑵若BD=8,tanB=g,求。。的半徑.

9.如圖，。是.A3C的外接圓，A8為一。的直徑，點E為。上一點，跖〃AC交

48的延長線于點尸，CE與交于點O,連接BE,^ZBCE^^ZABC.

⑴求證：EF是t。的切線.

3

(2)若跖=2,sinZBEC=-,求O的半徑.

10.如圖，在半徑為10c根的。。中，A2是。。的直徑，C。是過。。上一點C的直線,

且AZ)J_OC于點。，AC平分/BA。，點E是8c的中點，OE=6cm.

D

⑴求證：C。是。。的切線；

⑵求的長.

11.如圖，在RfAABC中，ZC=90°,ZB=30°,點。為邊AB的中點，點。在邊BC上,

以點。為圓心的圓過頂點C,與邊AB交于點D.

A

(1)求證：直線AB是。。的切線；

(2)若AC=g,求圖中陰影部分的面積.

12.如圖，AB為。。的直徑，弦。0，至于￡,連接AC,過A作Ab_LAC,交。。

于點尸，連接。R過8作尸，交。尸的延長線于點G.

(1)求證：BG是。。的切線；

(2)若NDE4=30。，DF=4,求/G的長.

13.如圖，AC是。。的直徑，。。與。。相交于點8,ZDAB=ZACB.

ci)求證：是。。的切線.

(2)若/AD3=3O。，DB=2,求直徑AC的長度.

試卷第4頁，共6頁

c

14.如圖①，AB是，；O的弦，OEJLAB,垂足為P,交AB于點E,且OP=3PE,AB=4A/7.

(I)求i。的半徑；

(H)如圖②，過點E作二。的切線CO,連接。2并延長與該切線交于點。，延長。4

交CD于C,求0c的長.

15.如圖，以A3為直徑作半圓。，C是半圓上一點，/ABC的平分線交,O于點E,

D為3E延長線上一點，且DE=FE.

(1)求證：AD為IO的切線；

(2)若AB=20,sin/E3A=0.6,求Cb的長.

16.如圖，AB為0O的直徑，C為BA延長線上一點，CD是。。的切線，D為切點,

0FLAD于點E,交CD于點F.

(1)求證：ZADC=ZA0F；

(2)若sinC=g,BD=8,求EF的長.

17.如圖，AB、8是。。中兩條互相垂直的弦，垂足為點E,且AE=CE,點、F是BC

的中點，延長FE交于點G,已知AE=1,BE=3,OE=6.

(1)求證：XAED父ACEB；

(2)求證：FGA.AD；

(3)若一條直線/到圓心。的距離”=正，試判斷直線/是否是圓。的切線，并說明

理由.

18.如圖，。。是△ABC的外接圓，為直徑，過點。作OO〃8C,交AC于點D

(1)求/A。。的度數(shù)；

(2)延長。。交。。于點E,過E作。。的切線，交CB延長線于點R連接。尸交

于點G.

①試判斷四邊形CDEF的形狀，并說明理由；

②若BG=2,AD=3,求四邊形CDEB的面積.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.(1)證明見解析

⑵典

6

【分析】(1)由等腰三角形的性質可得COLAB,由線段垂直平分線的性質可得

NZMC=NDC4,由ZDC4=NOC4可得ZDAC=NOC4,證明AD〃OC,從而可得結論；

(2)連接相，由線段垂直平分線的性質可得AF=AD=CD=CF=6,再由勾股定理求出相

關線段長即可.

【詳解】(1)證明???。為圓心，

OA=OB,

AC^BC,

：.CO_LAB,即/COA=ZCOB=90°,

DF是AC的垂直平分線，

:.AD—CD,

：.ZDAC=ZDCA,

?：ZDCA=ZOCA,

：.ZDAC=ZOCA,

：.AD//OC,

：.ZDAO=ZCOB=90°,即AO_LAB,

又AB是圓。的直徑，

/.是'O的切線；

(2)解：連接AF,如圖，

答案第1頁，共60頁

由(1)知，AD=CD,AE-CE,

?.?ZDCA=/OCA,DF_LAC,

：.CD=CF,AF=AD.

:.AF=AD=CD=CF=6,

在RtAO尸中，AF=6,OF=4,AO2+OF2=AF2,

AO=YIAF2-OF2=A/62-42=2石>

在RtAOC中，AO=2如,CO=CP+。尸=6+4=10,

AC2=AO2+OC2,

?*-AC=yjAO2+OC2=7(2^)2+102=2病，

/.AE=-AC=y[30,

2

?AEA/30

??cosZDAC=cosZDAE=-----=------.

AD6

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，切線的判定，勾股定

理以及求銳角余弦值，熟練運用相關知識解答本題的關鍵.

2.(1)見解析

(2)6

【分析】(1)如圖，連接OC,則NAC3=90,ZA=ZACO,因為/3CD=NA,所以

ZBCD=ZACO,于是可證/OC￡>=90,所以8是。的切線；

(2)由(1)結論及已知易證NACB=NDEC,所以BC//DE,再求證，AEDDEC,所以

DFFC

專=需，進而解得AC=6-

AEDE

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC,

是：。的直徑，

ZACB=90,

???ZACO+ZOCB=90°

OA=OC,

.\ZA=ZACO,

■:ZBCD=ZA

答案第2頁，共60頁

:./BCD=ZACO,

：.ZBCD+ZOCB=90°9即NOC￡>=90,

0C是。的半徑，

:./DEC=90,

ZACB=90,

???ZACB=NDEC,

s.BCHDE,

:./EDC=/DCB,

ZBCD=ZA,

：.ZEDC=ZA,

又ZE=ZE,

/.AEDDEC,

.DEEC

??瓦―Bi'

._4__2

**AE~4"

:.AE=8,AC=AE-CE=8-2=6.

【點睛】本題主要考查切線的判定定理、平行線的判定、相似三角形的判定及性質；根據(jù)題

意作出過切點的半徑是（1）問的關鍵；結合題意及審圖發(fā)現(xiàn)相似三角形是（2）的關鍵.

3.（1）見解析

⑵16

【分析】（1）連接OC,根據(jù)垂徑定理的推論可知班，根據(jù)直徑所對的圓周角為90

度可知班，進而得出仞〃OC,根據(jù)AD_LCD可得OC_LCD；

答案第3頁，共60頁

(2)連接5C,根據(jù)直徑所對的圓周角為90度可知NACB=90。，根據(jù)圓周角定理可證

4

ZCBE=ZCAD=Z.CAB,進而可得cosNCBE=cosZCAD=cosZCAB=g，在RtAABC中,

我4

設AC=43AB=5k,則BC=3左，再根據(jù)cosNC3E=——=一=—求出左值即可.

BF155

【詳解】(1)證明：連接OC,如圖所示，

點。是5E的中點，

/.CE=BC，

OCLBE,

是一。的直徑，

:.AD±BE,

:.AD〃OC,

ADLCD,

/.OC1CD,

二.CD是圓。的切線.

(2)解：連接5C,如圖所示,

是。的直徑，

ZACB=90°f

點C是班的中點，

答案第4頁，共60頁

:.CE=BC，ZCAD=ZCAB,

/CAD=/CBE,

，/CBE=/CAD=/CAB,

4

cosNCBE=cosACAD=cosZCAB=—,

在中，設AC=43AB=5k,

則5C=，W2__g=3”

CLBC3k4

??cosNCBE==—=—,

BF155

k=4,

,\AC=4k=16.

【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)，垂徑定理，圓周角定理，切線的判定，勾股定理等，解題

的關鍵是掌握直徑所對的圓周角為90度，同弧或等弧所對的圓周角相等.

4.(1)見詳解

(2)5

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定和性質以及切線的判定定理即可得到結論;

(2)連接交AC與點E,首先借助圓周角定理證明四邊形CETO為矩形，由矩形性質

可得EF=CD=6,OCYBF,利用垂徑定理即可推導班-=12；然后在RrAB尸中，由勾

股定理計算"的長即可.

【詳解】(1)證明：連接OC,如下圖，

VACWZE45,

AFAC=ACAO,

"：AO=CO,

答案第5頁，共60頁

ZACO^ZCAO,

：.ZFAC=ZACO,

：.AD//OC,

*.?CD±AF,

：.CDLOC,

*/OC為半徑，

是。的切線；

(2)解：連接所，交AC與點E,如下圖,

；A5為二。的直徑，

ZAFB=90°,

：.ZDFE=180°—ZAFB=90°,

"：CD.LAF,CD.LOC,

：.NFDC=NDCE=90°,

四邊形CEED為矩形，

EF=CD=6,ZCEF=90°,即CEJL3尸，

?：OC為O半徑，

BF=2EF=2x6=12,

...在如AB歹中，由勾股定理可得A7?=JAB?一所2='132-12?=5-

【點睛】本題主要考查了切線的判定、圓周角定理、垂徑定理、矩形的判定與性質、平行線

的判定與性質、勾股定理等知識，正確作出輔助線，靈活運用相關知識是解題關鍵.

5.⑴見解析

⑵6

答案第6頁，共60頁

【分析】（1）根據(jù)人彥=ADXAC得出=,ZA=ZA,得出:AEDs^c,可得

ADAE

ZAED=ZACE,由OC是直徑，可得ZDEC=90。，則NDEO+/OEC=90。，又OD=OE,

得出NOEC=NOCE,等量代換可得NAED+NOED=90。，即可得證；

（2）在RCAOE中，勾股定理求得AE,證明AOEs6ABe，根據(jù)相似三角形的性質求

得的長，即可求解.

【詳解】（1）解：如圖，

AE2=ADXAC,

,AEAC

??一,

ADAE

又：ZA=ZA,

,AED^AEC,

ZAED=ZACE,

即/1=N2,

,/DC是直徑，

ZDEC=90°,

即Z3+Z4=90°,

又OD=OE,

/?Zl=/4,

.*.12=14,

Z2+Z3=90°,

即OE_LAB,

：0E是半徑，

.?.AB是。的切線；

(2)VAD=DO=EO=OC=1,

答案第7頁，共60頁

AO=2,OE=1,AC=AD+CD=l+2=3,

在RtA4OE中，AE=^AO2-OE2=V3>

VABM。的切線，

??.OE±AB,

：.ZAEO=ZACB,

又ZA=ZA,

；?AOESjABC,

.AO_AE

??AB-AC?

即2_=旦

AB3

??AB=2^/^>

/.BE=AB-AE=j3.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，勾股定理，切線的判定，掌握相似三角形的

性質與判定是解題的關鍵.

6.(1)證明見解析

⑵mT

【分析】(1)直接利用角平分線的性質結合等腰三角形的性質得出NC4E=NOE4,進而得

出NO￡B=90。，即可得出答案；

(2)首先求出E。，8E的長，進而利用陰影部分的面積等于SEOB-S扇相⑺,進而得出答

案；

【詳解】(1)證明：連接0E；

???AE平分/C4B

???ZCAE=ZEAB

,:AO=EO

???ZOAE=ZAEO

：.ZCAE=ZOEA

：.AC//EO

;ZC=90°

答案第8頁，共60頁

ZOEB=90°

，BC是，。的切線；

(2)解：，；/B=30°,ZOEB=90°

EO=-BO,ZEOB=60°

2

,/AD=4

：.EO=2,DO=2

：.30=4

/.BE=273

故圖中陰影部分的面積為:

-EO.BE-60兀乂22網(wǎng)2兀

23603

【點睛】此題主要考查了切線的判定與性質以及扇形面積求法，正確得出BE的長是解題關

鍵.

7.(1)見解析

4

⑵丁

【分析】(1)連接OD由等腰三角形的性質及圓的性質可得NA=NAOC,/B=NBDO.再

根據(jù)余角性質及三角形的內角和定理可得/ODC=180。-(ZADC+ZBDO)=90°.最后由

切線的判定定理可得結論；

(2)根據(jù)等邊三角形的判定與性質可得/OCO=/ACB-ZAC￡)=30°.再由解直角三角形

及三角形內角和定理可得的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式可得答案.

【詳解】(1)證明：連接OD

答案第9頁，共60頁

A

9：AC=CD,

：.ZA=ZADC.

?：OB=OD,

：.ZB=ZBDO.

丁ZACB=90°,

???ZA+ZB=90°.

???ZA￡>C+ZBZ)O=90°.

：.ZODC=180°-(/ADC+NBDO)=90。.

又是OO的半徑，

???CD是的切線.

(2)解：?:AC=CD=26,NA=60。，

???△AC0是等邊三角形.

,ZACD=60°.

：.ZDCO=ZACB-ZACD=30°.

在RSOC￡)中，OZ)=CZ)tanNZ)CO=2百.tan3()o=2.

VZB=90°-ZA=30°,OB=OD,

：.ZODB=ZB=30°.

：.ZBOD=180°-(NB+NBDO)=120。.

【點睛】此題考查的是切線的判定與性質、直角三角形的性質、弧長公式，正確作出輔助線

是解決此題的關鍵.

8.(1)見解析

(2)。。的半徑為3.

答案第10頁，共60頁

【分析】（1）連接AO,由等腰三角形的性質及圓周角定理得出/D4O=/CW+/CAO=90。,

則可得出結論；

（2）根據(jù)相似三角形的判定方法由相似三角形的性質推出

CDAC1

AD=W==求出。c=2,則可得出答案.

BD

【詳解】（1）證明：連接AO,

???5C是直徑,

???ZBAC=90°,

JZB+ZACO=90°,

*：OA=OC,

：.ZACO=ZOAC,

*：ZCAD=ZB.

：.ZDAO=ZCAD+ZCAO=90°,

：.OA±ADf

???AO是。。的切線；

(2)解：VZCAZ)=ZB,ZADC=ZBDAf

：.AACD^ABAD,

.ADCDAC

"BD~AD~AB9

*.*tanB=—,

2

?AC1

??一-，

AB2

.ADCDAC_1

??茄—AO_AB―2，

VBD=8,

.AD_1

??一，

82

答案第11頁，共60頁

：.AD=4,

CD=—AD=—x4=2,

22

：.BC=BD-CD=8-2=6,

的半徑為3.

【點睛】此題考查了切線的判定與性質，相似三角形的判定與性質以及圓周角定理.解決問

題的關鍵：(1)熟練掌握切線的判定方法；(2)正確證得

9.(1)過程見解析

(2)3

【分析】⑴連接OE,先根據(jù)圓周角定理及已知條件得出進而得出OE〃3C,

再由於〃。，根據(jù)平行線的性質得出/尸￡。=/4。8,然后根據(jù)直徑所對的是直角，即可得

出答案；

(2)先說明丫碗:NACB,再設的半徑為r,并表示R9,AB,BC,然后根據(jù)對應

邊成比例得出PO絲=—F0,根據(jù)比例式求出半徑即可.

BCAB

【詳解】(1)證明：連接0E.

,/NBCE=-ZABC,ABCE=-NBOE,

22

ZABC=ZBOE,

：.OE//BC,

：.ZOED=ZBCD.

'：EF//CA,

：.ZFEC=ZACE,

：.ZOED+ZFEC=ZBCD+ZACE,

^ZFEO=ZACB.

,：AB是直徑，

答案第12頁，共60頁

???ZACB=90°,

：.NFEO=90°,

:?FE1EO.

???EO是。的半徑，

；,EF是:。的切線.

(2)EF//AC,

:?VFEO:NACB.

3

*：BF=2,sinZBEC=~.

設的半徑為r,

6

：.F0=2+r,AB=2r,BC=-r.

5

..E0__F0_

?茄一茄

r2+r

解得r=3,

.??OO的半徑是3.

【點睛】本題主要考查了切線的性質和判定，解直角三角形，熟練掌握相關定理是解題的關

鍵.

10.⑴見解析

【分析】（1）連接OC,由AC平分NBA。，OA=OC,可得/D4c=/OC4,AD//OC,根

據(jù)AOLOC,即可證明CD是。。的切線；

ADACAD17

（2）由是AABC的中位線，得AC=12,再證明△ZMCs^cAB,U=即把=上，

ACAB1220

從而得到

【詳解】（1）證明：連接。C,如圖：

答案第13頁，共60頁

D

〈AC平分NBA。,

：.ZDAC=ZCAO,

*：OA=OC,

：.ZCAO=ZOCA,

：.ZDAC=ZOCA,

：.AD//OC,

'：AD.LDC,

：.COLDC,

TOC是。。的半徑，

???CO是。。的切線；

(2)解：,??萬是5。的中點，且04=03,

???0￡1是△A5C的中位線，AC=20E,

??,0E=6,

:.AC=n,

TAB是。。的直徑，

'ZACB=90°=ZADC,

又/DAC=/CAB,

：.ADAC^ACAB,

.ADACAD12

??=f艮nn=，

ACAB1220

：.AD=—.

5

【點睛】本題考查圓的切線的判定定理，相似三角形的判定及性質等知識，解題的關鍵是熟

練應用圓的相關性質，轉化圓中的角和線段.

11.(1)見解析

⑵3十

答案第14頁，共60頁

【分析】（1）連接0,CD,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質得出AC=gAB,求出

ZA=90°-ZB=60°,根據(jù)直角三角形的性質得出求出AD=AC,根據(jù)等邊三

角形的判定得出AAOC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質得出NAOC=NACO=60。，求

出/OOC=4DCO=30。，求出再根據(jù)切線的判定得出即可；

（2）求出B￡）=AC=6,BO=2DO,根據(jù)勾股定理得出8。2=0?+8。2,求出再分別求

出AB。。和扇形DOE的面積即可.

【詳解】（1）證明：連接。。，CD,

：.AC=-AB,ZA=90°-ZB=60°,

2

?.?。為AB的中點，

：.BD=AD=-AB,

2

：.AD=AC,

：./vine是等邊三角形，

ZADC=ZACD=60°,

,/ZACB=90°,

NZ)CO=90°-60°=30°,

,?OD=OC,

：.ZODC=ZDCO=30°,

：.ZADO=ZADC+ZOZ)C=60°+30o=90°,

即OD±AB,

答案第15頁，共60頁

:。。過圓心o,

直線A2是。。的切線；

（2）解：由（1）可知：AC=AD=BD=-AB,

2

又?:AC=6，

BD=AC=y[3,

VZB=30°,ZBDO=ZADO=90°f

：.ZBOD=60°,BO=2DO,

由勾股定理得：BO2=OD2+BD2,

即（20。）2=0。2+（6）2,

解得：0。=1（負數(shù)舍去），

所以陰影部分的面積x1x6-盟正=走一2.

236026

【點睛】本題考查了切線的判定，直角三角形的性質，圓周角定理，扇形的面積計算等知識

點，能熟記直角三角形的性質、切線的判定和扇形的面積公式是解此題的關鍵.

12.（1）見解析；（2）FG=2

【分析】（1）由題意根據(jù)切線的判定證明半徑08,5G即可BG是。。的切線；

（2）根據(jù)題意連接CR根據(jù)圓周角定理和中位線性質得出=尸，進而依據(jù)等邊三角

形和四邊形BEDG是矩形進行分析即可得出FG的長.

【詳解】解：（1）證明：；C,A,D,尸在。。上，ZCAF=90°,

：.ZD=ZCAF=90°.

VABLCE,BGLDF,

：.ZBED=ZG=90°.

：.四邊形BEDG中，ZABG=90°.

：.半徑0B_L8G.

/.3G是。。的切線.

（2）連接CF,

答案第16頁，共60頁

c

w

A------d~~G

ZCAF=90°,

???b是。。的直徑.

???OC=OF.

???直徑A5_LCD于E,

???CE=DE.

???OE是ACOb的中位線.

OE=-DF=2.

2

VAD=AD^/AFD=30。,

???ZACD=ZAFD=30°.

：.ZG4E=90°-ZACE=60°.

???OA=OC,

???△AOC是等邊三角形.

?.*CE±ABf

JE為AO中點，

???OA=2OE=4903=4.

BE=BO+OE—6.

ZBED=ZD=ZG=90°,

/.四邊形BEDG是矩形.

DG=BE=6.

：.FG=DG-DF=2.

【點睛】本題考查圓的綜合問題，熟練掌握切線的判定和圓周角定理和中位線性質以及等邊

三角形和矩形性質是解題的關鍵.

13.(1)見解析;(2)AC=4.

答案第17頁，共60頁

【分析】(1)根據(jù)//山。=90。和〃45=408證明ZOAD=90°,再根據(jù)經(jīng)過半徑外端點

并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線來判定；

(2)根據(jù)(1)中的結論和/4。2=30。來說明在04。中，直角邊0A等于斜邊的一

半，又因為。4=08,所以。4=。8=。8=2,所以AC=2OA=4.

【詳解】(1)證明：是。。的直徑，

ZABC=90°,

ZACB+ZCAB=90°,

又：ZAC4NDAB,

：.ZDAB+Z.CAB=9Q°,即/Q4ZA90。，

是。。的半徑，

是。。的切線；

(2)解：由(1)可知NOAZA90。，

ZADB=30°,

：.OA=Or>=1(OB+BD),

VO^OB,DB=2,

：.OAF=2,

：.AC=2OA=4.

【點睛】這道題考查的是切線的判定和30。所對直角邊是斜邊一半的概念.對圓相關概念、

性質，以及特殊直角三角形性質熟練掌握是解題的關鍵.

32

14.(1)8；(II)—

3

【分析】(I)已知由垂徑定理可得AP=2，\設尸E=X,則0P=3X,

OA=OE=4x,在RrZXQ4P中，由勾股定理可得16/=9尤?+28,解方程求得x的值，即可

求得半徑Q4的值.

(II)由切線的性質可得OELCD.再由可得AB〃CD,根據(jù)平行線分線段成

比例定理可得三;=W=；,由此即可求得oc=一.

OCOE43

【詳解】(I)'：OE±AB,

：.AP=-AB=2/7.

2

設PE—x,貝!JOP=3x,OA=OE-4x,

答案第18頁，共60頁

在RtAOAP中，OA2=OP2+AP-,

即16x2=9/+28,

解得x=2,(負舍)

4x=8,

???半徑。4為8.

(II)?:CD為。的切線，

：.OE.LCD.

又〈OELAB,

：.AB//CD,

OP=3PE,

.OAOP_3

OC-OE-4?

【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理及平行線分線段成比例定理，熟練運用相關定理是

解決問題的關鍵.

15.（1）見解析；（2）CF=4.2.

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到/C=/A班=90。，求得NO=NA即，根據(jù)角平分線的定

義得至1]NABD=NCBF,求得NZMB=90。，根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；

（2）根據(jù)圓周角定理得到/C8F=/CAE=/E8A,解直角三角形即可得到結論.

【詳解】（1）證明：???A8為的直徑，

/.ZC=ZAEB=90°,

*.?DE=FE,

：.AD=AF,

：.ZD=ZAFD,

ZAFD=ZBFC,

：.ZD=NBFC,

8。平分/ABC,

?.ZABD=NCBF,

：.ZCBF+ZBFC=ZABD+ZD=90°,

答案第19頁，共60頁

ZZMB=90°,

；?AD為：_。的切線；

(2)解：,/NCBF=ZCAE=ZEBA,

AkFF「F

：.sinZEBA=sinZCBF=sinZCAE=—=——=—=0.6,

ABAFBF

'：AB=20,

AE=12,

V—=0.6,AF2=AE2+EF2,

AF

：.AF2=122+(O.6AF)2,

???AF=15,

：?EF=9,

,-*BE=YIAB2-AE2=V202-122=16,

???BF=BE-EF=16-9=7,

CF

,：——=0.6,

BF

：.CF=0.6x7=4.2.

【點睛】本題考查了切線的判定和性質，三角函數(shù)的定義，勾股定理，等腰三角形的判定和

性質，圓周角定理，正確的識別圖形是解題的關鍵.

16.（1）見解析；（2）2.

【分析】（1）連接OD,根據(jù)CD是。O的切線，可推出/ADC+NODA=90。，根據(jù)OFJ_AD,

ZAOF+ZDAO=90°,根據(jù)OD=OA,可得NODA=NDAO,即可證明；

（2）設半徑為r,根據(jù)在RtAOCD中，sinC=1,可得C?=r,OC=3r,AC=2r,由AB

為。O的直徑，得出NADB=90。，再根據(jù)推出OF,AD,OF〃BD,然后由平行線分線段成

比例定理可得堡=空=工，求出OE,—,求出OF,即可求出EF.

BDAB2BDBC4

【詳解】（1）證明：連接OD,

答案第20頁，共60頁

〈CD是。O的切線，

AODXCD,

???ZADC+ZODA=90°,

VOF±AD,

???ZAOF+ZDAO=90°,

TODOA,

.\ZODA=ZDAO,

JNADC=NAOF；

.OD1

??—―，

OC3

：.OD=r,OC=3r,

VOA=r,

.'.AC=OC-OA=2r,

TAB為。O的直徑，

.\ZADB=90o,

又???OF_LAD,

???OF〃BD,

.OE_OA_1

??BD~AB~2’

AOEM,

..OF_OC

?BD~BC~4,

：.OF=6,

EF=OF-OE=2.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)，切線的性質，直徑所對的圓

答案第21頁，共60頁

周角是90。，靈活運用知識點是解題關鍵.

17.(1)見解析；(2)見解析；(3)直線/是圓。的切線，理由見解析

【分析】(1)由圓周角定理得/A=/C,由ASA得出母4￡￡)g/k(7功；

(2)由直角三角形斜邊上的中線性質得由等腰三角形的性質得

ZB,由圓周角定理和對頂角相等證出NA+/AEG=90。，進而得出結論；

(3)作OH_LAB于H,連接OB,由垂徑定理得出AH=BH=；AB=2,則EH=AH-AE=\,

由勾股定理求出OH=1,OB=下,由一條直線/到圓心。的距離』=石等于。。的半徑，

即可得出結論.

【詳解】(1)證明：由圓周角定理得：ZA=ZC,

在反4皮>和△CEB中，

'/A=/C

<AE=CE,

ZAED=ZCEB

：.AAED^ACEB(ASA)；

(2)證明：9CABLCD,

：.ZAED=ZCEB=90°,

：.ZC+ZB=90°f

??,點廠是5C的中點,

；.EF=gBC=BF,

：.ZFEB=ZB,

VZA=ZC,NAEG=NFEB=NB,

：.ZA+ZAEG=NC+N3=90。，

ZAGE=90°,：.FG±AD；

(3)解：直線/是圓。的切線，理由如下：作0HLA3于H,連接08,如圖所示：

答案第22頁，共60頁

\'AE=1,BE=3,

：.AB=AE+BE=4,

'JOHLAB,

：.EH=AH-AE=1,

0H=^OE1-EH2=J(揚2_仔=1,

OB=^JBH2+OH2=V22+l2=Vs，即。。的半徑為百，

???一條直線/到圓心O的距離1=6=。。的半徑，

直線/是圓。的切線.

【點睛】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、垂徑定理、切線的判定、全等三角形的

判定、直角三角形斜邊上的中線性質、等腰三角形的性質、勾股定理等知識；本題綜合性強，

熟練掌握圓周角定理和垂徑定理是解題的關鍵.

27

18.(1)90。；(2)①四邊形CDEF為矩形，理由見解析；②萬

【分析】(1)由圓周角和平行線的性質求出結論.

(2)根據(jù)矩形的判定定理得出結論.

(3)根據(jù)全等三角形和勾股定理得到方程，聯(lián)立方程組求出OA的長度，即可求出矩形的

面積.

【詳解】(1)為直徑，

；.NC=90。.

'：OD//BC,

：.ZADO=ZC=90°.

(2)①四邊形CDEP為矩形，理由如下：

：NC=90°,OD//BC,

答案第23頁，共60頁

???ZODC=180°-90°=90°.

???M與。。相切于點E,

???ZOEF=90°.

VZC=ZODC=ZOEF=90°,

???四邊形CO跖為矩形.

②如圖，連接AE,OC,

*：OA=OC,OD±AC,

：.AD=DC=3.

由①知四邊形COM為矩形，

：.DE=CF.

又丁ZADE=ZDCF=90°f

：.AADE^ADCF(SAS).

：.ZOEA=ZCFD.

9：DE//CF,

：.ZCFD=ZODG,

：.ZODG=ZOEA.

：.DG//AE,

：.ZOGD=ZOAE.

又由O4=0E知NQA石二NOEA,

：.ZODG=ZOGD,

：.OD=OG.

設04=%,貝!JO5=OE=x.

■:BG=2,

OG—x-2

OD=OG=x-2.

又,.,A￡>=3,

13

???在R3ADO中，32+(x-2)2=x2,解得x=一,

4

OE=x=—,OD=x-2=3,

44

答案第24頁，共60頁

9

：.DE=OD+OE=-.

2

927

，矩形CZ)E尸的面積為：DCDE=^-=—.

【點睛】本題考查了切線的性質，矩形的判定和性質，圓周角定理，勾股定理，全等三角形

的判定和性質，找準全等三角形是解題的關鍵.

初中數(shù)學圓的有關性質解答題專題訓練含答案

姓名：班級：考號：.

一、解答題(共15題)

1、如圖，絲是。。的直徑，切是。。的一條弦，且切，四于點￡.

(1)求證：NBCO=/D；

②)若BE=8cm,CD=6cm,求.。0的半徑.

2、如圖，加是“歐的外接圓。的直徑，點。在半圓上，DC與AB交

于點E,過點。作CF±DC交DB的延長線于點尸，交圓。于點G.

(1)求證：dABCsaDCF；

(2)當N1=N2,DF=1G舊，AE：EC=\x2時，求圓0的

半徑.

答案第25頁，共60頁

(3)在(2)的條件下，連接DG交BC于點M,則工?。海济?(直接

寫出答案).

3、如圖，?0的半徑為1,點力是。。的直徑BD延長線上的一點，C

為。。上的一點，AD=CD,ZA=30°.

(1)求證：直線力。是。0的切線；

(2)求△]a'的面積；

(3)點￡在上運動(不與B、D重合)，過點。作"的垂線，與

EB的延長線交于點F.

①當點￡運動到與點。關于直徑劭對稱時，求沖的長；

②當點￡運動到什么位置時，切取到最大值，并求出此時6F的長.

4、aABC內接于。0,點。在弧AC上，弦劭交AC邊于點￡，且龐=

AE.

(1)如圖1,求證：BE=CE

(2)如圖2,作射線CO,交弦BD于點F,連接AF并延長月尸，交。

0于點G,連接CG,/BFG=/FCG,求/ACB的度數(shù).

答案第26頁，共60頁

ADAD

(Fx)

圖i

5、已知：如圖，出是的直徑，C,。是8上兩點，過點C的切線

交Q4的延長線于點E,1CE,連接仃，，口，

(1)求證：-灰=2—4日二；

tmZADC?-

(2)若'一W,求的半徑.

6、在口中，灰為直徑，「為。上一點.

(I)如圖①，過點C作G。的切線，與43的延長線相交于點P,若

?匚”=?；，，，求「F的大??；

(n)如圖②，。為優(yōu)弧〃，.上一點，且D的延長線經(jīng)過水，的中點

E,連接口與相交于點兒若.求一口三的大小.

答案第27頁，共60頁

D

7、如圖，O。中，弦-狂與，力相交于點S,加=”,連接回、PC.

求證：⑴苑=曠；

(2)AE=CE.

8、如圖，而是□「的直徑，點。是□‘上異于A、B的點，連接AC.

8C,點。在主4的延長線上，且“以="<:,點￡在口「的延長線上，且

EE-口二.

(1)求證：。。是你的切線：

0A22

(2)若。。3，求入人的長.

答案第28頁，共60頁

9、如圖，點□是必以,的邊看上一點，「,一與邊月”相切于點左，與邊E匚、

力F分別相交于點口、尸，且L>E-EF.

(1)求證：.「'=加"；

..=3

(2)當￡'=：；,s'''一？時，求一必'的長.

10、如圖，絲是。。的弦，半徑ODLAB,垂足為。，點￡在。。上,

連接04、龐、BE.

(1)若ZDEB=30。，求ZAOD的度數(shù)；

(2)若5=2,弦AB=8,求。。的半徑長.

11、如圖1,在中，N84C=%。，AB=AC,D為“3：內一點，

將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到四，連接方，BD的延長線與CE

交于點F.

(1)求證：ED=CS,

(2)如圖2.連接AF,DC,已知-8口2="3,判斷AF與DC的位置

關系，并說明理由.

答案第29頁，共60頁

12、如圖，A,3是上兩點，且月3=以，連接處并延長到點C,使

BC=OB,連接AC.

(1)求證：力。是匚」的切線.

(2)點。，E分別是AC,0A的中點，DE所在直線交口于點尸，G,

口4=4,求GF的長.

13、如圖，00是d4鳳7的外接圓，點。是標'的中點，過點D作EFHBC

分別交A?、的延長線于點￡和點F,連接■幺八BD,加C的平

分線的交功于點M.

答案第30頁，共60頁

A

(1)求證：EF是。。的切線；

(2)若月338=5:2,AD=,求線段DM的長.

14、如圖，是8的直徑，點。是O0上異于A、B的點，連接AC.

3C,點。在反4的延長線上，且〃。4=乙48(7,點￡在8的延長線上,

且BE工DC.

(1)求證：DC是。。'的切線：

0A2___

TTZ?=:?BE=3

(2)若0。3，求A4的長.

15、如圖，OO是d46c的外接圓，血)是。。的直徑，318于點后.

答案第31頁，共60頁

(1)求證：ABAD=ACAD.

(2)連接8。并延長，交4?于點尸，交口二’于點G,連接GC.若匚心

的半徑為5，0E=3,求GC和。尸的長.

============參考答案============

一、解答題

1、(1)見解析；

73

⑵O0的半徑為16cm

【解析】

【分析】

(1)由等腰三角形的性質與圓周角定理，易得ZBCO=ZB=/D；

(2)由垂徑定理可求得CE與DE的長，然后證得△BCEDAE,再由

相似三角形的對應邊成比例，求得AE的長，繼而求得直徑與半徑.

(1)

證明：0B=0C,

：.ZBCO=ZB,

VZB=ZD,

：.ZBCO=ZD；

答案第32頁，共60頁

(2)

解：彼是。。的直徑，CDLAB,

，CE=DE=3CD=二X6=3,

?：4B=/D,/BEC:/DEA,

/.△BCEs'DAE,

AE：CE=DE：BE,

AE：3=3：8,

9

解得：AE=i,

973

/.A