2025屆云南省曲靖市沾益區(qū)第四中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末檢測模擬試題含解析

2025屆云南省曲靖市沾益區(qū)第四中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末檢測模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某單位職工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，為了了解職工的建康狀況，用分層抽樣的方法從中抽取10人進(jìn)行體檢，則應(yīng)抽查的老年人的人數(shù)為（）A．3 B．5 C．2 D．12．若不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．3．在中，邊，，分別是角，，的對邊，且滿足，若，則的值為A． B． C． D．4．已知為直線，，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則5．下列結(jié)論正確的是（）．A．若ac<bc，則a<b B．若a2<C．若a>b，c<0，則ac<bc D．若a<b6．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn)，若函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過個格點(diǎn)，則稱函數(shù)為階格點(diǎn)函數(shù).下列函數(shù)中為一階格點(diǎn)函數(shù)的是（）A． B． C． D．7．已知，若、、三點(diǎn)共線，則為（）A． B． C． D．28．（）A． B． C． D．9．已知是圓的一條弦，，則()A． B． C． D．與圓的半徑有關(guān)10．如圖所示，在中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上，若,則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．計(jì)算：__________.12．某班委會由4名男生與3名女生組成，現(xiàn)從中選出2人擔(dān)任正副班長，其中至少有1名女生當(dāng)選的概率是______13．在數(shù)列中，若，則____．14．如圖，分別沿長方形紙片和正方形紙片的對角線剪開，拼成如圖所示的平行四邊形，且中間的四邊形為正方形.在平行四邊形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是______________15．已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，的面積等于，則外接圓的面積為______．16．已知，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，、、分別是棱、、的中點(diǎn)，且平面．（1）求證：平面；（2）求證：平面．18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)在上的最小值的表達(dá)式；（2）若函數(shù)在上有且只有一個零點(diǎn)，求的取值范圍.19．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量，又點(diǎn)，，，.（1）若，且，求向量；（2）若向量與向量共線，常數(shù)，求的值域.20．在△ABC中，AC=4，，．（Ⅰ）求的大??；（Ⅱ）若D為BC邊上一點(diǎn)，，求DC的長度．21．已知無窮數(shù)列，是公差分別為、的等差數(shù)列，記（），其中表示不超過的最大整數(shù)，即.（1）直接寫出數(shù)列，的前4項(xiàng)，使得數(shù)列的前4項(xiàng)為：2，3，4，5；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；（3）求證：數(shù)列為等差數(shù)列的必要非充分條件是.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

先由題意確定抽樣比，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由題意該單位共有職工人，用分層抽樣的方法從中抽取10人進(jìn)行體檢，抽樣比為，所以應(yīng)抽查的老年人的人數(shù)為.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣，會由題意求抽樣比即可，屬于基礎(chǔ)題型.2、D【解析】

對分兩種情況討論分析得解.【詳解】當(dāng)時，不等式為，所以滿足題意；當(dāng)時，，綜合得.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

利用正弦定理把題設(shè)等式中的邊換成角的正弦，進(jìn)而利用兩角和公式化簡整理可得的值，由可得的值【詳解】在中，由正弦定理可得化為：即在中，，故,可得，即故選【點(diǎn)睛】本題以三角形為載體，主要考查了正弦定理，向量的數(shù)量積的運(yùn)用，考查了兩角和公式，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題。4、C【解析】

利用直線與平面平行、垂直的判斷即可?！驹斀狻繉τ贏.若，，則或，所以A錯對于B.若，，則，應(yīng)該為，所以B錯對于D.若，，則或，所以D錯。所以選擇C【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面垂直和直線與平面平行的性質(zhì)。屬于基礎(chǔ)題。5、C【解析】分析：根據(jù)不等式性質(zhì)逐一分析即可.詳解：A.若ac<bc，則a<b,因?yàn)椴恢纁的符號，故錯誤；B.若a2<可令a=-1，b=-2，則結(jié)論錯誤；D.若a<b，則點(diǎn)睛：考查不等式的基本性質(zhì)，做此類題型最好的方法就是舉例子注意排除即可.屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)題意得，我們逐個分析四個選項(xiàng)中函數(shù)的格點(diǎn)個數(shù)，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意得：函數(shù)y＝sinx圖象上只有（0，0）點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，故A為一階格點(diǎn)函數(shù)；函數(shù)沒有橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，故B為零階格點(diǎn)函數(shù)；函數(shù)y＝lgx的圖象有（1，0），（10，1），（100，2），…無數(shù)個點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，故C為無窮階格點(diǎn)函數(shù)；函數(shù)y＝x2的圖象有…（﹣1，0），（0，0），（1，1），…無數(shù)個點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，故D為無窮階格點(diǎn)函數(shù).故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的圖象與圖象變化，其中分析出函數(shù)的格點(diǎn)個數(shù)是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．7、C【解析】

由平面向量中的三點(diǎn)共線問題可得：，由基本定理及線性運(yùn)算可得：即得解.【詳解】因?yàn)?，若，，三點(diǎn)共線則，解得，即即即即故選：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理和共線定理，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式的逆用變形即可得解.【詳解】由題：故選：B【點(diǎn)睛】此題考查兩角和的余弦公式的逆用，關(guān)鍵在于熟記相關(guān)公式，準(zhǔn)確化簡求值.9、C【解析】

由數(shù)量積的幾何意義，利用外心的幾何特征計(jì)算即可得解.【詳解】是圓的一條弦,易知在方向上的投影恰好為，所以=||||==2.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算，利用定義求解要確定模長及夾角，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

本題首先可根據(jù)點(diǎn)在邊上設(shè)，然后將化簡為，再然后根據(jù)點(diǎn)在線段上解得，最后通過計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，所以可設(shè)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以三點(diǎn)共線，所以，解得，所以，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查向量共線的相關(guān)性質(zhì)以及向量的運(yùn)算，若向量與向量共線，則，考查計(jì)算能力，是中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、0【解析】

直接利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則，分子分母同時除以，然后求解極限可得答案.【詳解】解：，故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列極限的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)知識的考查.12、【解析】試題分析：∵從7人中選2人共有C72=21種選法，從4個男生中選2人共有C42=6種選法∴沒有女生的概率是=，∴至少有1名女生當(dāng)選的概率1-=．考點(diǎn)：本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式．點(diǎn)評：在使用古典概型的概率公式時，應(yīng)該注意：（1）要判斷該概率模型是不是古典概型；（2）要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)．13、【解析】

根據(jù)遞推關(guān)系式，依次求得的值.【詳解】由于，所以，.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式求數(shù)列某一項(xiàng)的值，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

設(shè)正方形的邊長為，正方形的邊長為，分別求出陰影部分的面積和平行四邊形的面積，最后利用幾何概型公式求出概率.【詳解】設(shè)正方形的邊長為，正方形的邊長為，在長方形中，，故平行四邊形的面積為，陰影部分的面積為，所以在平行四邊形KLMN內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型概率的求法，求出平行四邊形的面積是解題的關(guān)鍵.15、4π【解析】

利用三角形面積公式求解,再利用余弦定理求得,進(jìn)而得到外接圓半徑,再求面積即可.【詳解】由，解得．．解得．，解得．∴△ABC外接圓的面積為4π．故答案為：4π．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形中正余弦與面積公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題型.16、；【解析】

把已知式平方可求得，從而得，再由平方關(guān)系可求得．【詳解】∵，∴，即，∴，即,∴.故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，考查正弦的二倍角公式，在用平方關(guān)系求值時要注意結(jié)果可能有正負(fù)，因此要判斷是否只取一個值．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，，得，利用直線與平面平行的判定定理證明平面．（2）連結(jié)，由已知條件得，由平面，得，利用直線與平面垂直的判定定理證明平面．【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，∵、分別是棱、的中點(diǎn)，∴，且．∵在菱形中，是的中點(diǎn)，∴，且，∴且，∴為平行四邊形.∴．∵平面，平面，∴平面．（2）連接，∵是菱形，∴，∵，分別是棱、的中點(diǎn)，∴，∴，∵平面，平面，∴，∵，、平面，∴平面.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行以及直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）.【解析】

（1）求出函數(shù)的對稱軸方程，對實(shí)數(shù)分、、三種情況討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可得出函數(shù)在區(qū)間上的最小值的表達(dá)式；（2）對函數(shù)分情況討論：（i）方程在區(qū)間上有兩個相等的實(shí)根；（ii）①方程在區(qū)間只有一根；（②；③.可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式或不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），其對稱軸為，當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，；當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，；當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，.綜上所述：；（2）（i）若方程在上有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則，此時無解；（ii）若方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.①當(dāng)只有一根在內(nèi)時，，即，得；②當(dāng)時，，方程化為，其根為，，滿足題意；③當(dāng)時，，方程化為，其根為，，滿足題意.綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)在定區(qū)間上最值的計(jì)算，同時也考查了利用二次函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.19、（1）或；（2）當(dāng)時的值域?yàn)?時的值域?yàn)?【解析】分析：（1）由已知表示出向量，再根據(jù)，且，建立方程組求出，即可求得向量；（2）由已知表示出向量，結(jié)合向量與向量共線，常數(shù)，建立的表達(dá)式，代入，對分類討論，綜合三角函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出值域.詳解：（1），∵，且，∴，，解得，時，；時，.∴向量或.（2），∵向量與向量共線，常數(shù)，∴，∴.①當(dāng)即時，當(dāng)時，取得最大值，時，取得最小值，此時函數(shù)的值域?yàn)?②當(dāng)即時，當(dāng)時，取得最大值，時，取得最小值，此時函數(shù)的值域?yàn)?綜上所述，當(dāng)時的值域?yàn)?時的值域?yàn)?點(diǎn)睛：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直和共線的定理、模的計(jì)算、三角函數(shù)的值域等問題，考查了分類討論方法、推理與計(jì)算能力.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】

（Ⅰ）由正弦定理得到，在結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)即可的大??；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得的大小，在中，利用余弦定理即可求出邊的長．【詳解】（Ⅰ）在中，由正弦定理得，所以．因?yàn)?，所以，所以．（Ⅱ）在中，．在中，由余弦定理，得，即，解得或．?jīng)檢驗(yàn)，都符合題意．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理與余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）的前4項(xiàng)為1，2，3，4，的前4項(xiàng)為1，1，1，1；（2）；（3）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)定義，選擇，的前4項(xiàng)，盡量選用整數(shù)計(jì)算方便；（2）分別考慮，的前項(xiàng)的規(guī)律，然后根據(jù)計(jì)算的運(yùn)算規(guī)律計(jì)算；（3）根據(jù)必要不充分條件的推出情況去證明即可.【詳解】（1）由的前4項(xiàng)為：2，3，4，5，選、的前項(xiàng)為正整數(shù)：的前4項(xiàng)為1，2，3，4，的前4項(xiàng)為1，1，1，1；（2）將的前項(xiàng)列舉出：；將的前項(xiàng)列