第三章-水文統(tǒng)計(jì)原理

第三章水文統(tǒng)計(jì)原理第二節(jié)幾率和頻率

2第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法

31第三節(jié)頻率分布

33第四節(jié)經(jīng)驗(yàn)頻率曲線4第五節(jié)統(tǒng)計(jì)參數(shù)5第六節(jié)理論頻率曲線6第七節(jié)相關(guān)分析7NanjingUniversityofTechnology周期性氣候因素明顯地以年為周期而變化，一年四季氣候條件各不相同，年年如此，循環(huán)不已。因此，直接受氣候因素影響的水文現(xiàn)象，也同樣具有以年為周期而循環(huán)變化的性質(zhì)。每一條河流在一年之內(nèi)，都與氣候條件相對(duì)應(yīng)，而存在著洪水期、平水期和枯水期的周期性變化規(guī)律；在長(zhǎng)久年代中，還存在著豐水年、平水年和枯水年的年際周期性變化規(guī)律。3.1水文現(xiàn)象的特性和分析方法一、水文現(xiàn)象的特性NanjingUniversityofTechnology周期性3.1水文現(xiàn)象的特性和分析方法周期性就是許多水文現(xiàn)象具有周期循環(huán)變化的性質(zhì)。水文現(xiàn)象有著以年或者年際（若干年）變化的規(guī)律。長(zhǎng)江漢口水文站1954年和1955年流量過(guò)程線NanjingUniversityofTechnology地區(qū)性

地區(qū)性是表示水文現(xiàn)象隨地區(qū)而異，即每個(gè)地區(qū)都有各自的特殊性。南方同北方水文現(xiàn)象差異就很大。這主要是由于地區(qū)而異，影響水文現(xiàn)象的氣候和下墊面條件不同。相互臨近的流域，氣候和下墊面條件往往有一定的相似性，水文現(xiàn)象，在一定程度上就具有相似性。例如我國(guó)南方河流比北方河流汛期早、水量大，山區(qū)河流的洪水暴漲暴落面，平源河流漲落平緩，都是明顯的地區(qū)性表現(xiàn)。潮濕地區(qū)河流的徑流年內(nèi)分配較為均勻，而干旱地區(qū)的就很不均勻。處于同一地區(qū)或者流域特征相類似的河流，水文現(xiàn)象具有相類似的特點(diǎn)，這也是地區(qū)性的變化規(guī)律。3.1水文現(xiàn)象的特性和分析方法NanjingUniversityofTechnology不重復(fù)性（偶然性）影響水文現(xiàn)象的因素很多，而且各種因素相互之間的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜。因此，水文現(xiàn)象在總體上雖然存在著周期性的變化規(guī)律，但是無(wú)論什么時(shí)候都不可能完全重復(fù)出現(xiàn)具體出現(xiàn)時(shí)間和數(shù)量大小每年都不完全相同，井帶有一定的偶然性，稱為水文現(xiàn)象的不重復(fù)性(偶然性)。3.1水文現(xiàn)象的特性和分析方法NanjingUniversityofTechnology成因分析法地區(qū)歸納法數(shù)理統(tǒng)計(jì)法3.1水文現(xiàn)象的特性和分析方法二、水文現(xiàn)象的分析方法NanjingUniversityofTechnology3.1水文現(xiàn)象的特性和分析方法研究河川水文現(xiàn)象的物理成因以及同其它自然現(xiàn)象之間的相互關(guān)系，通過(guò)成因分析尋求水文現(xiàn)象的客觀規(guī)律，建立水文現(xiàn)象各要素之間的定性、定量關(guān)系。成因分析法這種分析方法推理清楚、物理概念明確，但由于影響因素錯(cuò)綜復(fù)雜，使定性和定量分析都存在很多困難，目前公路和鐵路工程多應(yīng)用一些半經(jīng)驗(yàn)半理論公式。復(fù)雜的洪水形成數(shù)學(xué)模型路橋工程中尚未應(yīng)用。NanjingUniversityofTechnology3.1水文現(xiàn)象的特性和分析方法根據(jù)河川水文現(xiàn)象的地區(qū)性特點(diǎn)，利用實(shí)測(cè)水文資料進(jìn)行綜合歸納，尋求水文區(qū)域現(xiàn)象的分布規(guī)律。地區(qū)歸納法這種分析方法以實(shí)際資料為依據(jù)，雖然缺乏物理成因的分析，但應(yīng)用較為簡(jiǎn)易，對(duì)于缺乏實(shí)測(cè)資料地區(qū)有一定的實(shí)用意義，應(yīng)用較多。NanjingUniversityofTechnology3.1水文現(xiàn)象的特性和分析方法利用河川水文現(xiàn)象的隨機(jī)性特點(diǎn)，對(duì)實(shí)測(cè)水文資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，尋求水文現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，預(yù)估其今后的變化；數(shù)理統(tǒng)計(jì)法水文統(tǒng)計(jì)法是目前大中橋水文分析計(jì)算的基本方法；采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)法推算橋梁的設(shè)計(jì)流量時(shí)，應(yīng)滿足這樣一個(gè)基本條件：建橋前后河流的自然條件必須基本相同，以保證橋梁使用期限內(nèi)，河流的流量變化與建橋前基本具有相同的規(guī)律性；NanjingUniversityofTechnology3.2幾率和頻率一、隨機(jī)事件事件分為三類：必然事件、隨機(jī)事件和不可能事件。水文現(xiàn)象，既有必然性的一面，又有偶然性的一面。例如水文現(xiàn)象中年最大流量的出現(xiàn)是必然事件，但是出現(xiàn)的時(shí)間和大小，則為隨機(jī)事件。由于水文現(xiàn)象具有不重復(fù)性特點(diǎn)，所以各種水文要素的具體數(shù)量的出現(xiàn)，都是偶然性的，屬于隨機(jī)事件。隨機(jī)事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律——平均情況。

NanjingUniversityofTechnology二、隨機(jī)變量

在多次試驗(yàn)中，隨機(jī)事件出現(xiàn)的種種結(jié)果，都是以實(shí)數(shù)值來(lái)表示，這些數(shù)值就成為隨機(jī)變量。

隨機(jī)變量能代表隨機(jī)事件的出現(xiàn)結(jié)果，水文統(tǒng)計(jì)法就是利用流量、降雨量、潮水位、波浪高度等實(shí)測(cè)水文資料作為隨機(jī)變量，通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析，推求出水文現(xiàn)象的客觀規(guī)律性。隨機(jī)變量分為兩類：連續(xù)型隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量。

3.2幾率和頻率NanjingUniversityofTechnology許多隨機(jī)變量組成的一列數(shù)值，稱為隨機(jī)變量系列，一般簡(jiǎn)稱為系列。系列的范圍可以是有限的，也可以使無(wú)限的。水文資料一般都是無(wú)限系列。例如：某河流的年最大流量值所組成的隨機(jī)變量系列——年最大流量系列，應(yīng)該包括河流過(guò)去、現(xiàn)在和未來(lái)無(wú)限長(zhǎng)年代中所有的每年最大洪峰流量值，因此，為一個(gè)無(wú)限的系列。3.2幾率和頻率NanjingUniversityofTechnology3.2幾率和頻率三、幾率和頻率對(duì)于隨機(jī)事件，它在一定條件下可能現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，若用一個(gè)具體數(shù)值來(lái)表示客觀上出現(xiàn)的可能程度(可能性大小)，這個(gè)數(shù)值就稱為該事件的幾率(或概率)。P(A)——一定條件下，隨機(jī)事件A的幾率；n——試驗(yàn)結(jié)果的總數(shù)；m——隨機(jī)事件A出現(xiàn)的總數(shù)。NanjingUniversityofTechnology3.2幾率和頻率例：袋中有白球10個(gè)，黑球20個(gè)，其差別只在顏色方面，其形狀、大小及觸摸的感覺完全相同。問(wèn)摸出白球的幾率為多少？摸出黑球的幾率為多少？NanjingUniversityofTechnology在一系列重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)中，某一事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，則稱為該事件的頻率。由實(shí)踐和理論證明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，事件的頻率具有明顯的偶然性，擺動(dòng)的幅度較大，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件的頻率則逐漸趨于穩(wěn)定，最終將十分接近于它的幾率。

P(A)=1，則表明試驗(yàn)結(jié)果全部出現(xiàn)事件A，則事件A為必然事件；

P(A)=0，則表明每次試驗(yàn)結(jié)果都不出現(xiàn)事件A，則事件A成為不可能事件；

0＜P(A)＜1，則表明A為隨機(jī)事件。3.2幾率和頻率NanjingUniversityofTechnology3.2幾率和頻率

頻率與幾率的不同：

幾率是隨機(jī)事件在客觀上出現(xiàn)的可能程度，是事件固有的客觀性質(zhì)，不隨人們?cè)囼?yàn)的情況和次數(shù)而變動(dòng)，是一個(gè)常數(shù)，是理論值；

頻率是利用有限的試驗(yàn)結(jié)果推算而得的，是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)值，將隨試驗(yàn)次數(shù)的多少而變動(dòng)，只有試驗(yàn)次數(shù)達(dá)到無(wú)限多時(shí)，才穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)并等于理論值——幾率。NanjingUniversityofTechnology幾率分為事先幾率和經(jīng)驗(yàn)幾率對(duì)于一些簡(jiǎn)單隨機(jī)事件（如擲硬幣試驗(yàn)），不必通過(guò)試驗(yàn)就能夠事先得到的幾率值，稱為事先幾率。對(duì)于那些不能事先得知幾率的復(fù)雜隨機(jī)事件，利用其頻率估計(jì)得到的幾率值，稱為經(jīng)驗(yàn)幾率。如水文現(xiàn)象中的流量、水位、降雨量等都是非常復(fù)雜的隨機(jī)事件，無(wú)法得知事先幾率，只能利用實(shí)測(cè)水文資料計(jì)算其頻率，以尋求它們的變化規(guī)律，推測(cè)未來(lái)可能出現(xiàn)的情況，滿足工程的需要。3.2幾率和頻率NanjingUniversityofTechnology3.2幾率和頻率四、總體和樣本數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把隨即變量系列的全體，亦即包含整體情況的全部系列，稱為總體。從總體中抽出的一部分隨機(jī)變量，稱為總體的一個(gè)樣本。從總體中抽出樣本稱為抽樣。總體或樣本中隨機(jī)變量的項(xiàng)數(shù)，分別稱為總體或樣本的容量。樣本是總體的一部分，在一定程度上可反映總體的特征。從水文站歷年流量觀測(cè)資料中，每年選取一個(gè)洪水成因相同的最大洪峰流量，n年的觀測(cè)資料中，可以選出n個(gè)流量值，組成一個(gè)n項(xiàng)容量的隨機(jī)樣本，稱為年最大值法，也稱為“年最大流量法”。樣本總體NanjingUniversityofTechnology3.2幾率和頻率就是利用已有的實(shí)測(cè)水文資料組成有限的隨機(jī)變量系列，作為無(wú)限總體中的一部分，以樣本的規(guī)律推斷總體的規(guī)律，來(lái)解決工程中的水文計(jì)算問(wèn)題。就是將流量、降雨量等實(shí)測(cè)資料（實(shí)測(cè)數(shù)值）作為隨機(jī)變量，通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析和計(jì)算，推算水文現(xiàn)象（隨機(jī)事件）客觀規(guī)律的方法。水文統(tǒng)計(jì)法：NanjingUniversityofTechnology3.3頻率分布一、頻率分布及其特性二、累積頻率和重現(xiàn)期三、設(shè)計(jì)洪水頻率NanjingUniversityofTechnology3.3頻率分布——頻率分布及其特性1、頻率分布

隨機(jī)變量的取值總是伴隨著相應(yīng)的頻率，而頻率的大小隨著隨機(jī)變量取值而變化，這種隨機(jī)變量與其頻率之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱為隨機(jī)變量的頻率分布。它反映了隨機(jī)變量系列的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

在工程中，當(dāng)隨機(jī)變量系列容量n足夠大時(shí)，常把隨機(jī)變量的頻率分布近似地作為幾率（概率）分布來(lái)看待。

即N→∞，概率分布

以各組出現(xiàn)次數(shù)與總次數(shù)之比表示各組所在區(qū)間流量值出現(xiàn)的可能程度，即頻率。NanjingUniversityofTechnology3.3頻率分布——頻率分布及其特性NanjingUniversityofTechnology2、頻率密度

單位組距的頻率稱為頻率密度。為了反映系列中隨即變量大小的連續(xù)性，按其數(shù)值由大到小的遞減次序，等間距分為若干組，組距取100m3/s。3、累積頻率

是各組累計(jì)出現(xiàn)次數(shù)與總次數(shù)的比值，表示等于和大于該組所在區(qū)間的流量值出現(xiàn)的可能程度，以百分?jǐn)?shù)計(jì)。等量或超量值累計(jì)出現(xiàn)的次數(shù)與總觀測(cè)次數(shù)的比值。P（Ｘ≥Ｘｉ）3.3頻率分布——頻率分布及其特性NanjingUniversityofTechnology流量與頻率關(guān)系的直方圖3.3頻率分布——頻率分布及其特性NanjingUniversityofTechnology

如果資料無(wú)限多，組距無(wú)限小，圖中的密度直方圖將趨于光滑的鈴形曲線，稱為頻率密度曲線（簡(jiǎn)稱為密度曲線）。

它表示某一變量X可能出現(xiàn)的頻率P。

流量與頻率關(guān)系的直方圖——密度曲線

特別大的和特別小的流量出現(xiàn)次數(shù)較少，接近平均值的流量出現(xiàn)次數(shù)較多。絕大多數(shù)水文資料系列，都具有這樣的規(guī)律。3.3頻率分布——頻率分布及其特性NanjingUniversityofTechnology

若以流量x為縱坐標(biāo)，累積頻率為橫坐標(biāo)，則可繪出流量和累積頻率關(guān)系的階梯形折線圖來(lái)表示年最大流量的累積頻率分布。流量的實(shí)測(cè)次數(shù)趨于無(wú)窮大，組距趨于無(wú)窮小時(shí)，累積頻率多邊圖將成為光滑的S形累積頻率曲線。

在水文計(jì)算中，一般采用累積頻率曲線來(lái)說(shuō)明水文特征值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，通稱為頻率曲線和分布曲線。3.3頻率分布——頻率分布及其特性NanjingUniversityofTechnology流量與累積頻率關(guān)系的折線圖3.3頻率分布——頻率分布及其特性NanjingUniversityofTechnology頻率密度曲線和頻率分布曲線3.3頻率分布——頻率分布及其特性NanjingUniversityofTechnology流量與累積頻率關(guān)系折線圖——分布曲線

累積頻率分布函數(shù)可以由密度函數(shù)積分而得。即某變量X對(duì)應(yīng)的密度曲線左側(cè)下圍面積P（圖中陰影部分的面積）就是x所對(duì)應(yīng)的累積頻率，。3.3頻率分布——頻率分布及其特性NanjingUniversityofTechnology４、曲線繪制（1）數(shù)據(jù)分組（2）統(tǒng)計(jì)各組出線的次數(shù)（頻數(shù)）（3）計(jì)算各組的頻率、頻率密度和累計(jì)頻率（4）以隨機(jī)變量的值為橫坐標(biāo)，以該組的頻率為高繪出直方形，即為頻率直方圖。（5）連接頻率密度直方圖頂部即為頻率密度分布曲線。（6）以隨機(jī)變量為縱坐標(biāo)，累計(jì)頻率為橫坐標(biāo)，即可繪出頻率分布曲線。3.3頻率分布——頻率分布及其特性NanjingUniversityofTechnology3.3頻率分布——累積頻率和重現(xiàn)期1、累計(jì)頻率水文統(tǒng)計(jì)中，等于或大于某一流量值出現(xiàn)的次數(shù)(即累積出現(xiàn)次數(shù))與總次數(shù)的比值，稱為該流量的累積頻率P，工程應(yīng)用簡(jiǎn)稱為該流量的頻率P，以百分?jǐn)?shù)(％)或以多少分之一表示，如P為1％。2、年最大值法（年頻率）洪峰流量的選擇中，每年只選取最大的一個(gè)瞬時(shí)洪峰流量最為頻率計(jì)算的樣本。NanjingUniversityofTechnology3、重現(xiàn)期某隨機(jī)變量的取值在長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)平均多少年出現(xiàn)一次（多少年一遇）重現(xiàn)期與頻率之間的關(guān)系

3.3頻率分布——累積頻率和重現(xiàn)期頻率和重現(xiàn)期都是指很長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)的平均情況，以無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)期而論才是正確的。NanjingUniversityofTechnology3.3頻率分布——設(shè)計(jì)洪水頻率橋涵工程均采用一定的洪水頻率作為設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，稱為設(shè)計(jì)洪水頻率設(shè)計(jì)流量：與設(shè)計(jì)洪水頻率相應(yīng)的洪峰流量；水文統(tǒng)計(jì)法就是根據(jù)頻率曲線推算對(duì)應(yīng)于設(shè)計(jì)洪水頻率的流量，作為橋涵的設(shè)計(jì)流量；公路等級(jí)高速公路一級(jí)公路二級(jí)公路三級(jí)公路四級(jí)公路設(shè)計(jì)洪水頻率1/1001/1001/501/25按具體情況確定路基設(shè)計(jì)洪水頻率NanjingUniversityofTechnology3.3頻率分布——設(shè)計(jì)洪水頻率NanjingUniversityofTechnology3.3頻率分布例：某橋位斷面有40年最高水位實(shí)測(cè)資料，見下表，設(shè)容許破壞率[P]=5%，試確定相應(yīng)的設(shè)計(jì)水位Zp。5254022.57.51005307092.5100NanjingUniversityofTechnology3.3頻率分布解：有上述計(jì)算，當(dāng)[P]=5%，Zp=30m，這表明，根據(jù)已有實(shí)測(cè)水位的逐個(gè)分析與計(jì)算結(jié)果，所求設(shè)計(jì)水位Zp=30m，其未來(lái)可能出現(xiàn)的破壞頻率[P]=5%。顯然安全率為95%。NanjingUniversityofTechnology3.4經(jīng)驗(yàn)頻率曲線

根據(jù)水文統(tǒng)計(jì)樣本的實(shí)測(cè)水文資料系列，計(jì)算各項(xiàng)隨機(jī)變量的經(jīng)驗(yàn)頻率，點(diǎn)繪經(jīng)驗(yàn)頻率與其對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量大小的曲線，稱為該樣本的經(jīng)驗(yàn)頻率曲線。（根據(jù)實(shí)測(cè)（樣本）資料所繪制出的頻率曲線即為經(jīng)驗(yàn)頻率曲線。）一、經(jīng)驗(yàn)頻率的計(jì)算

維泊爾公式（數(shù)學(xué)期望公式）隨機(jī)變量序號(hào)（遞減）樣本容量NanjingUniversityofTechnology二、經(jīng)驗(yàn)頻率曲線的繪制1.把研究系列（隨機(jī)變量）按照從大到小的順序排列，分別統(tǒng)計(jì)各變量的頻數(shù)；2.分別計(jì)算各個(gè)變量的頻率及累積頻率；3.以水文變量為縱坐標(biāo)，以頻率為橫坐標(biāo)展點(diǎn)；4.過(guò)各點(diǎn)作一條光滑的曲線。3.4經(jīng)驗(yàn)頻率曲線NanjingUniversityofTechnology3.4經(jīng)驗(yàn)頻率曲線三、經(jīng)驗(yàn)頻率曲線的外延設(shè)計(jì)洪水流量都是小頻率的特大洪水流量。一般情況下，實(shí)測(cè)洪水資料的年份有限，為了求設(shè)計(jì)洪水流量，必須將經(jīng)驗(yàn)頻率曲線向上外延。普通坐標(biāo)紙：S型曲線專門的概率坐標(biāo)紙（海森概率坐標(biāo)紙）：近直線NanjingUniversityofTechnology3.4經(jīng)驗(yàn)頻率曲線海森概率坐標(biāo)紙縱坐標(biāo)為普通的等分坐標(biāo)，也可為對(duì)數(shù)坐標(biāo)；累積頻率P的橫坐標(biāo)為不等分分格，中間密、兩端疏，橫坐標(biāo)分格數(shù)值見《公路橋涵設(shè)計(jì)手冊(cè)》。正態(tài)分布累積頻率曲線在海森概率格紙中呈直線，NanjingUniversityofTechnology3.4經(jīng)驗(yàn)頻率曲線——外延存在的問(wèn)題然而目估延長(zhǎng)法受主觀因素影響較大，也無(wú)法檢驗(yàn)外延部分的正確性。為解決累積頻率曲線的外延問(wèn)題，可利用數(shù)學(xué)方法，尋求一種適合的數(shù)學(xué)模型，即具有一定數(shù)學(xué)方程式的頻率分布曲線，一般稱之為理論累積頻率曲線。由于水文資料觀測(cè)的年代有限，目前還不能完全由水文現(xiàn)象的實(shí)測(cè)資料建立一個(gè)完善的理論累積頻率曲線公式，而只能選擇與水文現(xiàn)象變化規(guī)律類似的線型，作為水文現(xiàn)象總體的頻率曲線，進(jìn)行頻率分析計(jì)算。依據(jù)實(shí)測(cè)系列，找出一條理論的累積頻率曲線（即數(shù)學(xué)模型），以此曲線來(lái)解決經(jīng)驗(yàn)累積頻率曲線外延的任意性和求解一定設(shè)計(jì)頻率標(biāo)準(zhǔn)下的設(shè)計(jì)值。NanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)隨機(jī)變量系列的頻率分布特征和頻率分布曲線形狀，能夠用該系列的幾個(gè)數(shù)值特征值來(lái)確定，系列的數(shù)值特征值稱為該系列的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。一般水文系列常用的統(tǒng)計(jì)參數(shù)有：反映系列中隨機(jī)變量數(shù)值大小的特征——均值X、中值或眾值；反映各隨機(jī)變量離均程度——均方差，或變差系數(shù)CV。反映各隨機(jī)變量對(duì)均值的對(duì)稱性——偏差系數(shù)CSNanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——均值、中值、眾值均值、中值、眾值都是代表系列數(shù)值大小平均情況的參數(shù)值，能反映其頻率分布高低位置特征。

1．均值

均值是系列中隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)，以X表示，但隨機(jī)變量的取值不是在試驗(yàn)前就能得知的，所以均值又不同于普通的平均數(shù)的概念，概率論中也稱為數(shù)學(xué)期望值。（1）某一隨機(jī)變量系列X1、X2、…Xn，共有n項(xiàng)，若其中各變量的出現(xiàn)次數(shù)都相同，即各變量占有同等比重時(shí)（等權(quán)），均值為：NanjingUniversityofTechnology（2）若其中各變量的出現(xiàn)次數(shù)都不相同(即不等權(quán))，X1出現(xiàn)f1次，X2出現(xiàn)f2次，…Xn出現(xiàn)fn次，且f1+f2+…+fn=n，由于各變量對(duì)平均數(shù)的影響不同，則均值應(yīng)為系列中隨機(jī)變量的加權(quán)平均值：3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——均值、中值、眾值NanjingUniversityofTechnology（3）對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量系列，均值則為：3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——均值、中值、眾值系列中各個(gè)變量與均值的比值，成為模比系數(shù)，以K表示：且NanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——均值、中值、眾值對(duì)于年最大流量系列，其均值為多年平均洪峰流量，以表示。若以表示系列中任一年最大流量值，以n表示流量觀測(cè)的總年數(shù)，則：NanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——均值、中值、眾值均值的代表意義：均值是系列中所有隨機(jī)變量的平均數(shù)，與每個(gè)變量都有直接關(guān)系，是各個(gè)變量的共同代表，它反映了系列在數(shù)值上的大小(系列水平的高低)，可作為不同系列間隨機(jī)變量數(shù)值大小(水平高低)的比較標(biāo)準(zhǔn)；均值是系列的分布中心，也就是位于幾率分布中心處的變量。在密度曲線圖中，通過(guò)均值垂直于橫坐標(biāo)的直線，恰好是曲線以下面積的重心軸。均值的大小，能反映系列分布中心和密度曲線的位置。NanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——均值、中值、眾值系列中的隨機(jī)變量為等權(quán)時(shí)，按大小遞減次序排列．位置居于正中間的那個(gè)變量，稱為中值。中值僅與變量的位置(或項(xiàng)數(shù))有關(guān)，而與其他各變量的數(shù)值無(wú)關(guān)，也稱為中位數(shù)。系列中變量的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則中值等于中間兩項(xiàng)變量的平均數(shù)。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量系列，中值的定義則為：系列中大于中值的和小于中值的隨機(jī)變量幾率相同，各為50％，即2、中值NanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——均值、中值、眾值中值是系列的中間項(xiàng)，也就是幾率為50％的變量，比中值大的和比中值小的變量，恰好各占一半(項(xiàng)數(shù)相等)。在密度曲線圖中，通過(guò)中值垂直于橫坐標(biāo)的直線，恰好平分曲線以下的面積。中值的大小，能反映系列中間項(xiàng)和密度曲線的位置。NanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——均值、中值、眾值系列中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)變量，就稱為眾值。眾值與變量的項(xiàng)數(shù)以及其他各變量的數(shù)值都沒有關(guān)系。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量系列，密度函數(shù)f（x）為極大時(shí)的變量值，就是眾值。

眾值就是系列中幾率最大的變量。在密度曲線圖中，恰好是曲線峰頂處的橫坐標(biāo)值。眾值的大小，能反映系列中最大幾率項(xiàng)和密度曲線的位置。3、眾值NanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——均值、中值、眾值4、三者的位置關(guān)系在密度曲線圖中，均值、中值和眾值的相對(duì)位置，如圖所示。曲線為對(duì)稱形時(shí)(峰居中)，表示系列的頻率分布對(duì)稱于均值(分布中心），稱為正態(tài)分布，三者的位置重合；曲線不對(duì)稱時(shí)(峰偏離中心)，表示其頻率分布偏離均值(分布中心），稱為偏態(tài)分布，三者的位置分離，中值在其他二者的中間，峰偏左時(shí)稱為正偏態(tài)，峰偏右時(shí)稱為負(fù)偏態(tài)。均值、中值和眾值的大小可以表明密度曲線的位置，而且三者的差值越大表明曲線越偏，它們反映了頻率分布的位置特征。NanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——均方差和變差系數(shù)均方差和變差系數(shù)都是代表系列離均分布情況的參數(shù)．表明系列分布對(duì)均值是比較分散還是比較集中，反映頻率分布對(duì)均值的離散程度，可以進(jìn)一步說(shuō)明頻率分布的特征。1、離均差（離差）和均方差（方差）系列中各變量xi對(duì)均值的差值、、…

等，稱為離均差，表示變量間變化幅度的大小。離均差平方的平均數(shù)的平方根，稱為均方差：NanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——均方差和變差系數(shù)

均方差的量綱與變量相同。σ值較小時(shí)，表示系列的離均差較小，說(shuō)明變量間的變化幅度較小，分布比較集中，即系列的離散程度較小(對(duì)均值而言)；σ值較大時(shí)，則說(shuō)明變量的變化幅度較大，分布比較分散，即離散程度較大。同時(shí)，均方差還可以說(shuō)明均值對(duì)系列的代表性，σ值越小，均值的代表性越強(qiáng)。例如：NanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——均方差和變差系數(shù)2、變差系數(shù)對(duì)于水平不同的兩個(gè)系列(均值大小不等)，由于均值的影響，均方差就不足以說(shuō)明它們的離散程度大小。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，通常采用相對(duì)值(即均方差與均值的比值)來(lái)反映系列的相對(duì)離散程度，作為系列間的衡量標(biāo)準(zhǔn)，稱為變差系數(shù)或離差系數(shù)，以CV表示(無(wú)量綱)。利用樣本推算總體的變差系數(shù)，可采用下式：NanjingUniversityofTechnology

CV值較小時(shí)，表示系列的離散程度較小，即變量間的變化幅度較小，頻率分布比較集中；CV較大，表示系列離散程度大，頻率分布比較分散。3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——均方差和變差系數(shù)若引入模比系數(shù)Ki，則：或NanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——偏差系數(shù)三、偏差系數(shù)也是代表系列分布情況的參數(shù)，表明系列分布對(duì)均值是對(duì)稱的還是不對(duì)稱的，反映頻率分布對(duì)均值的偏斜程度，以CS表示，并可按下式計(jì)算NanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——偏差系數(shù)利用樣本計(jì)算時(shí)：引入模比系數(shù)Ki,則：NanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——偏差系數(shù)CS=0，頻率分布對(duì)稱于均值；CS〉0，正偏態(tài)，大于均值的變量比小于均值的變量出現(xiàn)機(jī)會(huì)少，均值對(duì)應(yīng)的頻率小于50%CS<0，負(fù)偏態(tài)，大于均值的變量比小于均值的變量出現(xiàn)機(jī)會(huì)多，均值對(duì)應(yīng)的頻率大于50%年最大流量系列，一般不出現(xiàn)負(fù)值，多呈正偏態(tài)分布。NanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——統(tǒng)計(jì)參數(shù)與曲線關(guān)系四、統(tǒng)計(jì)參數(shù)同密度曲線及頻率曲線的關(guān)系均值反映密度曲線位置的變化；變差系數(shù)反映密度曲線的高矮情況；偏差系數(shù)反映密度曲線的偏斜程度NanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——統(tǒng)計(jì)參數(shù)與曲線關(guān)系與頻率分布曲線形狀的關(guān)系若和值不變，則值愈大，曲線的位置愈高。NanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——統(tǒng)計(jì)參數(shù)與曲線關(guān)系與頻率分布曲線形狀的關(guān)系值不變，則值愈大曲線愈陡；時(shí)，將成為一條水平線（縱坐標(biāo)），而且無(wú)負(fù)值，曲線總是左高右低。NanjingUniversityofTechnology3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——統(tǒng)計(jì)參數(shù)與曲線關(guān)系若值不變，則時(shí)，隨值的增大，曲線頭部變陡，尾部變緩而趨平，時(shí)，曲線尾部將趨向于水平線時(shí)，為正態(tài)分布，其與頻率分布曲線形狀的關(guān)系頻率曲線在海森幾率格紙上將成為一條直線；時(shí)，隨值的減小，曲線頭部趨平而尾部變陡，年最大流量系列的無(wú)負(fù)值，頻率曲線總是頭部較陡尾部平緩。NanjingUniversityofTechnology根據(jù)上述分析，對(duì)一個(gè)已知系列，可以用它的統(tǒng)計(jì)參數(shù)來(lái)描述頻率分布和頻率曲線的特征。同理，對(duì)一個(gè)未知系列，若能求得它的統(tǒng)計(jì)參數(shù)，就可以利用這些統(tǒng)計(jì)參數(shù)來(lái)確定它的頻率分布和頻率曲線。水文統(tǒng)計(jì)中，就是利用實(shí)測(cè)水文資料系列(樣本)推求近似總體的統(tǒng)計(jì)參數(shù),并用以確定總體的頻率分布和頻率曲線.3.5統(tǒng)計(jì)參數(shù)——統(tǒng)計(jì)參數(shù)與曲線關(guān)系NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線

由于目估定線或外延會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，往往需要借助于某些數(shù)學(xué)形式的頻率曲線作為定線和外延的依據(jù)。這種用數(shù)學(xué)形式確定的、符合經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)分布規(guī)律的曲線稱為理論頻率曲線。根據(jù)我國(guó)多年使用經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為皮爾遜Ⅲ型曲線比較符合我國(guó)多數(shù)地區(qū)水文現(xiàn)象的實(shí)際情況。因此，我國(guó)水利、公路、鐵路等工程有關(guān)規(guī)范．在水文統(tǒng)計(jì)中，大多采用皮爾遜Ⅲ型曲線，作為近似于水文現(xiàn)象總體的頻率曲線線形，在洪(枯)水流量、降雨徑流以及波浪高度的頻率分析中廣泛應(yīng)用。另外，耿貝爾曲線(第Ⅰ型極值分布曲線)也適用我國(guó)洪水頻率分析，特別在最高、最低潮水位的頻率分析時(shí)普遍應(yīng)用。NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線一、皮爾遜Ⅲ型曲線的頻率密度函數(shù)皮爾遜曲線族，是英國(guó)生物學(xué)家皮爾遜與1895年，根據(jù)某些實(shí)際資料建立的一種概括性的曲線族，該曲線族按參數(shù)的不同分為13種線型，其中第三種線型就是皮爾遜Ⅲ型曲線原點(diǎn)在眾值處的皮爾遜Ⅲ型曲線的密度函數(shù)為：ym——眾值處的縱坐標(biāo)值，即曲線的最大縱坐標(biāo)值；a——曲線左端起點(diǎn)到眾值點(diǎn)的距離；b——均值點(diǎn)到眾值點(diǎn)的距離，稱為偏差半徑。NanjingUniversityofTechnology其中：3.6理論頻率曲線NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線一、皮爾遜Ⅲ型曲線的頻率密度函數(shù)原點(diǎn)在實(shí)際零點(diǎn)時(shí)皮爾遜型Ⅲ曲線的密度函數(shù)為:a0——曲線左端起點(diǎn)到系列零點(diǎn)的距離a0=-(a+d);——曲線的參數(shù)，，；

——為函數(shù)。NanjingUniversityofTechnology經(jīng)換算，其中：3.6理論頻率曲線NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線二、皮爾遜Ⅲ型曲線的應(yīng)用水文統(tǒng)計(jì)需推求給定頻率下的變量或某一變量的頻率；頻率分布曲線可以由密度函數(shù)積分而得?！l率為P的隨機(jī)變量；

——離均系數(shù)，，是頻率P和偏差系數(shù)的函數(shù)，；為了便于應(yīng)用，預(yù)先制成了離均系數(shù)表，可供查閱。

——模比系數(shù)，，可以根據(jù)擬定的比值，預(yù)先制成模比系數(shù)值表，以便查閱。NanjingUniversityofTechnology對(duì)于年最大流量系列，其公式為：——平率為P的洪峰流量（m3/s）

——平均流量（m3/s）

——模比系數(shù)，

——離均系數(shù)，可查表3-6-13.6理論頻率曲線NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線[例3-6-1] 某水文站有22年的年最大流量觀測(cè)資料，如表3-6-2所示，試?yán)L制該站年最大流量系列的經(jīng)驗(yàn)頻率曲線，計(jì)算三個(gè)統(tǒng)計(jì)參數(shù)、Cv、Cs，繪制理論頻率曲線(P-Ⅲ曲線)，并推算P=0.33%、P=1%和P=2%的洪水流量。NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線根據(jù)設(shè)計(jì)頻率P和偏差系數(shù)，查表3-6-1，得離均系數(shù)值NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線NanjingUniversityofTechnology水文統(tǒng)計(jì)的誤差主要來(lái)源于兩個(gè)方面：一個(gè)是水文資料的觀測(cè)、整編和計(jì)算過(guò)程中形成的誤差，二是利用樣本推算總體的參數(shù)值所引起的誤差，即抽樣誤差。抽樣誤差是統(tǒng)計(jì)方法本身造成的，可通過(guò)延長(zhǎng)觀測(cè)年限、增大樣本容量、增強(qiáng)樣本的代表性等措施，來(lái)逐步減小。抽樣誤差也是隨機(jī)變量，也具有一定的概率分布，一般為正態(tài)分布。3.6理論頻率曲線正態(tài)曲線的密度函數(shù)為：三、抽樣誤差NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線置信區(qū)間和置信水平分析表明：抽樣誤差出現(xiàn)在±σ范圍內(nèi)的頻率為68.3％；抽樣誤差出現(xiàn)在±3σ范圍內(nèi)的頻率為99.7％；抽樣誤差出現(xiàn)在±E范圍內(nèi)的頻率為50％；抽樣誤差出現(xiàn)在±4E范圍內(nèi)的頻率為99.3％；置信水平是指總體參數(shù)值落在樣本統(tǒng)計(jì)值某一區(qū)內(nèi)的概率。置信區(qū)間又稱估計(jì)區(qū)間，是用來(lái)估計(jì)參數(shù)的取值范圍的。NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線抽樣誤差可以用均方差σ表示，也可以用相對(duì)均方差表示皮爾遜Ⅲ型曲線的抽樣誤差對(duì)于維泊爾公式，經(jīng)驗(yàn)頻率P的相對(duì)均方差為均值的相對(duì)均方差NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線變差系數(shù)的相對(duì)均方差偏差系數(shù)的相對(duì)均方差眾值的相對(duì)均方差B值可由圖3-6-5查得NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線[例3-6-2] 根據(jù)例題3-6-1資料，計(jì)算

的抽樣誤差，以及第一項(xiàng)的經(jīng)驗(yàn)頻率P1的抽樣誤差。已知NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線由圖3-6-5查得B=2.9且已知NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線四、耿貝爾頻率分布曲線該曲線對(duì)于海洋潮汐最高、最低設(shè)計(jì)潮水位的頻率分析更為合理。函數(shù)形式為指數(shù)型分布頻率分布函數(shù)為：給定頻率的隨機(jī)變量xP為：其中：——給定頻率P（%）相應(yīng)的隨即變量，如潮位、流量等——隨機(jī)變量系列的均值，如平均最高（低）潮水位等NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線——隨機(jī)變量系數(shù)的均方差，近似按系列總體的均方差計(jì)算——與頻率P和系列容量n有關(guān)的參數(shù)，由表3-6-5查取NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線[例3-6-3] 己知某海灣22年的年最高潮水位觀測(cè)資料如表3-6-6所示，要求推算重現(xiàn)期為100年和50年的最高潮位。NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線(1)將資料按遞減次序排列，按維泊爾公式

計(jì)算各項(xiàng)資料的經(jīng)驗(yàn)頻率.如表3-6-6所示。(2)年最高潮位的均值為(3)均方差NanjingUniversityofTechnology3.6理論頻率曲線(4)按表3-6-5查出n=22年，T=IOO年，即P=I%，n=22年，T=50年，即P=2%，(5)不同頻率的高潮位NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析水文現(xiàn)象中許多變量不是孤立的，相互之間存在聯(lián)系，則分析研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量之間的關(guān)系，稱作相關(guān)分析。相關(guān)分析的意義與應(yīng)用

應(yīng)用：相關(guān)分析可以用來(lái)延長(zhǎng)和插補(bǔ)短系列，從而提高系列的代表性，增加樣本估計(jì)總體的計(jì)算精度，如建立上、下游水位的相關(guān)關(guān)系，由上游水位預(yù)報(bào)下游水位。

前提：在相關(guān)分析時(shí)，首先要分析隨機(jī)變量之間是否在成因上確有聯(lián)系，對(duì)毫無(wú)關(guān)聯(lián)的現(xiàn)象是不能用相關(guān)分析的。NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析水文計(jì)算中的相關(guān)分析的主要任務(wù)：（1）確定兩個(gè)變量間相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以相關(guān)方程或回歸方程表示，用以由已知變量推求未知變量；（2）判斷兩個(gè)變量間相關(guān)關(guān)系的密切程度，用一稱為相關(guān)系數(shù)的參數(shù)來(lái)表示。NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析水文計(jì)算中，一般處理兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系，稱簡(jiǎn)單相關(guān)，有時(shí)也要處理三個(gè)或三個(gè)以上變量關(guān)系，稱為復(fù)相關(guān)。簡(jiǎn)單相關(guān)可分為直線相關(guān)和曲線相關(guān)。曲線相關(guān)直線相關(guān)NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析

如果兩個(gè)變量x,y，其中變量x的每一個(gè)值，變量y都有一個(gè)或多個(gè)確定值與之對(duì)應(yīng)，而且x,y成函數(shù)關(guān)系，即x,y的關(guān)系點(diǎn)完全落在直線或曲線上，則稱這二個(gè)變量是完全相關(guān)的。完全相關(guān)yx完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系〕直線關(guān)系曲線關(guān)系隨機(jī)變量之間的關(guān)系有以下三種情況：NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析零相關(guān)YXb.零相關(guān)(沒有關(guān)系)如果兩個(gè)變量x,y之間互不影響互不相關(guān)，則稱這二個(gè)變量沒有關(guān)系或零相關(guān)。即x,y的關(guān)系點(diǎn)毫無(wú)規(guī)律，十分分散。NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析yx如果兩個(gè)變量x,y之間關(guān)系介于以上二者之間，x,y的關(guān)系點(diǎn)雖有點(diǎn)分散，但有明顯的趨勢(shì)，數(shù)學(xué)上可以用一定的表達(dá)式進(jìn)行擬合。則稱這二個(gè)變量關(guān)系為統(tǒng)計(jì)相關(guān)或相關(guān)關(guān)系。統(tǒng)計(jì)相關(guān)c.統(tǒng)計(jì)相關(guān)（相關(guān)關(guān)系〕NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析一、直線相關(guān)的回歸方程

圖解法：根據(jù)實(shí)測(cè)值，將對(duì)應(yīng)點(diǎn)繪于方格紙上，如果點(diǎn)群分布平均趨勢(shì)為一直線，則可以直線來(lái)近似代表這種相關(guān)關(guān)系。通過(guò)點(diǎn)群中心目估繪出一條直線，然后在圖上量出直線的斜率a和截距b，則直線方程:

y=a+bx即為所求的相關(guān)方程。該方法簡(jiǎn)便實(shí)用，而且一般情況下精度可以保證。NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析

相關(guān)分析法：若相關(guān)點(diǎn)分布較散，目估定線有一定任意性，為保證一定精確性，最好采用解析法來(lái)確定相關(guān)線的方程。設(shè)該直線方程形式為：

y=a+bx式中，x：自變量

y

：倚變量

a,b

：分別為一常數(shù)，待定。則相關(guān)點(diǎn)與直線在縱軸方向必然存在離差。NanjingUniversityofTechnology配合曲線與觀測(cè)點(diǎn)在縱軸方向的離差為：xiy3.7相關(guān)分析NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析要求配合曲線與所有的觀測(cè)點(diǎn)能“最佳”擬合，即滿足所有的觀測(cè)點(diǎn)的離差

y

的平方和為最小，即：分別對(duì)a,b

求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析求解上列兩聯(lián)立方程式，可得NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析此式即為y倚x的回歸方程（直線方程）同理，可得

x倚

y的回歸方程（直線方程）將a，b代入y=a+bx中得：NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析二、相關(guān)系數(shù)R回歸方程只是一種計(jì)算工具，它反映了兩個(gè)變量之間的平均關(guān)系，并不能說(shuō)明兩個(gè)變量之間的關(guān)系是否密切。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)法中，一般采用相關(guān)系數(shù)來(lái)描述和判別兩變量之間的相關(guān)程度。NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析式中

：x,y

系列的變差系數(shù)(按不偏估計(jì)公式計(jì)算):

R：相關(guān)系數(shù);

Kxi

，Kyi：分別為xi,yi系列的模比系數(shù):NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：①若R2=1，表示相關(guān)點(diǎn)（xi，yi）均落在回歸線上，兩變量間具有直線函數(shù)關(guān)系；②若R2=0，說(shuō)明y的變化與x毫無(wú)直線關(guān)系，稱為零相關(guān)；③若0＜R2＜1，R2愈接近于1，點(diǎn)據(jù)越靠近回歸直線，關(guān)系越密切。R為正時(shí)，表示正相關(guān)；R為負(fù)時(shí)，表示負(fù)相關(guān)。NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析相關(guān)系數(shù)R可以用作相關(guān)系數(shù)的描述和判別：R=±1時(shí)為完全相關(guān)，表明兩變量之間存在直線函數(shù)關(guān)系R=0時(shí)為零相關(guān)，表明兩變量之間不存在直線相關(guān)；R=-1～1時(shí)為統(tǒng)計(jì)相關(guān)，表明兩變量之間存在直線相關(guān)，而且R的絕對(duì)值愈接近1，相關(guān)程度愈密切。

注：當(dāng)相關(guān)系數(shù)R很小或接近于0時(shí)，只能說(shuō)明兩變量之間的直線相關(guān)程度很差或直線相關(guān)不存在，但可能存在某種曲線相關(guān)。NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析三、回歸方程和回歸系數(shù)的其他形式和兩系列隨機(jī)變量的均方差為和NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析回歸線的斜率b，又稱回歸系數(shù)y依x的回歸方程為：NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析四、相關(guān)分析的誤差

由于x、y并非確定性關(guān)系，對(duì)于x=x0，無(wú)法知道其相應(yīng)的真正值y0，通過(guò)回歸方程求到：僅僅是真正值y0的一個(gè)估計(jì)值。故其與真正值y0存在偏差。根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究，由于隨機(jī)因素的影響，y0在估計(jì)值上下波動(dòng)呈正態(tài)分布，其誤差大小可用均方誤表示。NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析

如用Sy表示y倚x回歸線的均方誤，yi為觀測(cè)值，為回歸線上的對(duì)應(yīng)值，n為系列項(xiàng)數(shù)，則

式中，Sy

：y倚x回歸線的均方誤;

yi

：觀測(cè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)值;

y：由回歸方程求到的縱坐標(biāo)值；

n：觀測(cè)項(xiàng)的數(shù)目

同樣，x倚y回歸線的均方誤Sx為NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析利用樣本推算時(shí)，其均方誤為如前所述，可以用均方誤進(jìn)行誤差分析，即對(duì)于任一固定的x=x0值，若以作為y的估值，其誤差不超過(guò)Sy的可能性為68.3%;其誤差不超過(guò)3Sy的可能性為99.7%。NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析五、容許相關(guān)系數(shù)的最小值相關(guān)系數(shù)是根據(jù)有限的實(shí)測(cè)資料(樣本)計(jì)算出來(lái)的，故相關(guān)系數(shù)也不免帶有抽樣誤差

故水文上為了推斷二個(gè)變量的相關(guān)性，必須對(duì)樣本相關(guān)系數(shù)作統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。假設(shè)檢驗(yàn)：先假設(shè)總體具有某種統(tǒng)計(jì)特性（如具有某種參數(shù)，或遵從某種分布等），然后再檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否可信，這種方法稱為假設(shè)檢驗(yàn)。

NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析原假設(shè)H0：R總體=0（不相關(guān)）；備選假設(shè)H1：R總體≠0（相關(guān)）。先假設(shè)R總體=0，即總體不相關(guān)。但總體不相關(guān)的兩個(gè)變量，樣本相關(guān)系數(shù)的大小可以在0～1之間變化，不同的R樣本，其出現(xiàn)的概率也不同，即樣本的相關(guān)系數(shù)是一隨機(jī)變量，它也具有一定的概率分布。小概率原理：如果在指定的隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件出現(xiàn)的概率非常微小，那么就可以認(rèn)為，在一次試驗(yàn)中此事件是不可能發(fā)生的。NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析具體的檢驗(yàn)步驟：

假設(shè)兩變量X，Y在總體上不相關(guān)；

從不相關(guān)的兩變量總體中抽出大量的樣本(如n個(gè))，進(jìn)行相關(guān)分析，并分別計(jì)算各樣本的相關(guān)系數(shù)R1,R2,…Rn,由于假設(shè)總體不相關(guān)，可以判斷R1,R2,…Rn

為較小值的可能性大,為較大值的可能性小.

選定一個(gè)衡量事件發(fā)生可能性(概率)很小的指標(biāo)(水文統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱顯著性水平

或稱信度水平

)，對(duì)于容量為n的樣本，則有一相應(yīng)的臨界值

R

(

R

為較大值)，樣本相關(guān)系數(shù)R（根據(jù)原先假定R

應(yīng)為很小的值）

超過(guò)±R

的可能性(概率)應(yīng)為較小值

(水文上一般選

=0.05或0.01作為小概率)，即:NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析由于

值很小，故R

≥

R

為一小概率事件.

取某一個(gè)具體的樣本所計(jì)算的R與

R

作比較，以判斷總體是否相關(guān)：

若R≥

R

，說(shuō)明樣本相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值較大，且超過(guò)了臨界值

R

，說(shuō)明“小概率事件”發(fā)生了，則原先的假定是不能接受的，總體很大可能性是相關(guān)的。NanjingUniversityofTechnology3.7相關(guān)分析

若R≤

R

，說(shuō)明樣本相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值較小，未超過(guò)臨界值

R

，則原先的假定可以成立，即總體很大可能性是不相關(guān)的。實(shí)用上，可查n~R

~

表求R

(表3-7-1，p66)n-2（n為樣本容量）

0.10.050.020.01R

80.54940.6319