2024年北京市昌平區(qū)九年級中考二模數(shù)學試卷含詳解

2024年昌平區(qū)初中學業(yè)水平考試第二次模擬練習

數(shù)學試卷

本試卷共8頁，共100分，考試時長為120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無

效.考試結束后，將答題卡交回.

一、選擇題（每小題2分，共16分）第1?8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.2024年2月5日至25日，人民網(wǎng)連續(xù)第23次開展全國兩會調查，調查圍繞10個領域設置49個候選熱詞.本

次調查廣納民情民意，吸引約6150000人次參與，其中6150000用科學記數(shù)法可以表示為（）

A.6.15X105B.6.15xl06C.0.615xl06D.0.615xl07

2.下列圖形中是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）

3.光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射.由于折射率相同，所以在水

中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，Zl=45°,Z2=120°,則N3+N4=（）

A.165°B.155°C.105°D.90°

4.實數(shù)a,匕在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，則下列結論中正確的是（）

，，9....................9，

-4-3-2-101234

A.b=\/lB.a<-bC.\b\<-aD.a+b>0

5.正多邊形的一個外角是60。，那么這個正多邊形是（）

A.正四選形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形

6.已知關于工的一元二次方程f一2工+m=0有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是（）

A.m<\B.m>1C.w￡lD.m>l

7.在不透明的袋子里有三個除顏色外其它都相同的小球，兩個紅球，-一個黃球，從中隨機同時取出兩個小球，其

中取到一個紅球一個黃球的概率為（）

25

A.—B.-C.~D.1

362

8.如圖，A8為半圓。的直徑，C,。是直徑上兩點，且=過點。作A8的垂線交半圓于點E,

Ch

CD=2DE.設AD=a,AC=b,DE=c,給出下面三個結論：?a-b=2c；②一=一；③

4+6=2岳.所有正確結論的序號是（）

A.①②B.①③C.②@D,①②③

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.使代數(shù)式斤有意義的x的取值范圍是.

10.分解因式：3x2+6xy+3y2=.

32

11?分式方程一=—解是__________.

xx-1

12.平面直角坐標系中，若點。,利）和（4,2）在反比例函數(shù)），一幺（〃/0）圖象上，則相=

13.如圖，點尸為外一點，過點尸作O。的兩條切線，切點分別為4,B,點C為優(yōu)弧A8上一點，若

ZP=80°,則N4C8=

14.2024年3月12日，是我國的第46個植樹節(jié)，今年植樹節(jié)的主題是“共同呵護地球家園，筑造美麗未

來”.下表是某地區(qū)在植樹節(jié)期間，不同批次種植楊樹的成活率的統(tǒng)計結果，請你估計植樹節(jié)期間，種植楊樹的

成活率大約為（結果保留兩位小數(shù)）.

第一批次第二批次第一:批次第四批次第五批次

種植數(shù)量200200200200200

成活數(shù)量194193192196195

成活頻率0.9700.9650.9600.9800.975

15.圖1是裝滿紅酒的高腳杯示意圖，裝酒的杯體可看作一個三角形，液面寬度為6cm,其它數(shù)據(jù)如圖所示，喝掉

一部分后的數(shù)據(jù)如圖2所示，此時液面寬度為cm.

圖1圖2

16.某學校為豐富學生的課余生活，組織校園籃球賽，初三年級6個班進行單循環(huán)比賽（即每班都與其他班比賽一

場），每天同時在三個場地各進行一場比賽.已知第一天（2）班與（4）班比賽，第二天（3）班與（5）班比賽，

第三天（4）班與（6）班比賽，第四天（2）班與（3）班比賽，那么第三天與（3）班比賽的是班，第

五天與（1）班比賽的是班.

三、解答題（本題共68分，第17?22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，27-28?,每小

題7分）解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.計算：瓜+A1-2sin45°+|l->/2|.

3x-8>Xl)

18.解不等式組:

-、2

+7值

19.已知f+1一2=0,求代數(shù)式y(tǒng)

20.如圖，在四邊形ABCQ中，AB//CD,AB=AD，對角線AC,BD交于O,AC平分

（1）求證：四邊形ABC。是菱形;

3

（2）過點。作AB的垂線交其延長線于點E,若BD=6,lan/OAB二一，求CE的長.

4

21.如圖，初三年級準備制作一個長的橫幅，橫幅內容定為16個字，對橫幅的有關數(shù)據(jù)作如下規(guī)

定：每個字的字寬是相同的，每兩個字之間的字距均相等，邊空寬：字寬：字距=3:4:1,試求橫幅字距是多

少？

22.在平面直角坐標系工?！分?，一次函數(shù))，=爪+6(AW0)的圖象是由函數(shù)y=2x的圖象平移得到，且經(jīng)過點

(1,3).

(1)求這個一次函數(shù)的表達式；

(2)當x>l時，對于x的每一個值，函數(shù)(機會0)的值大于一次函數(shù)y=Lt+b(kWO)的值，直接寫出

用的取值范圍.

23.4月24日是中國航天日，某校初中部舉辦了“航天知識”競賽，每個年級各隨機抽取10名學生，統(tǒng)計這部分

學生的競賽成績，并對成績進行了收集、整理，分析.下面給出了部分信息.

6.初三年級學生得分:

(1)由折線圖可知，初一、初二兩個年級學生“航天知識”競賽，成績更穩(wěn)定的是(填“初一”或

“初二”);

(2)統(tǒng)計表中?〃二,〃=；

(3)由于數(shù)據(jù)統(tǒng)計出現(xiàn)失誤，初三年級所調查的10名學生中有一名學生被記錄為6分，實際得分為9分，將數(shù)

據(jù)修正后，初三年級所調查的10名學生中以下統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)生變化的：(寫出符合題意的序號).

①平均數(shù)；②中位數(shù)；③眾數(shù)；④方差.

24.如圖，AB是CO的直徑，點C在OO上，若弦。。平分/AC8,交AB于點E,過點。作。。的切線

（1）求證：/ECF=4FEC；

（2）連接BO,若NCDB=30。,BF=2,求OO半徑的長.

25.通常把臟衣服用洗衣液清洗后會進行擰干，但由于不可能擰凈衣服上全部污水，所以還需要用清水進行多次

漂洗，不斷降低衣服中污水的含量.如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，擰干到仍然存留1斤污

水，則漂洗后衣服中存有的污物是原來的'.

某小組決定使用20斤清水，對某件存留1斤污水衣服分別進行漂洗，且每次擰干后的衣服上都存留約1斤的污

水.

（1）該小組設計了如下兩個方案，請你完善方案內容：

方案一：采用一次漂洗的方式.

將20斤清水一次用掉，漂洗后該衣服中存有污物是原來的；

方案二：采用兩次漂洗的方式.

若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的；若在第一次用

x（0<x<20）斤清水，第二次用（20-另斤清水，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的（用含有x的

代數(shù)式表示）；

通過計算分析，方案（“一”或“二”）的漂洗效果更好.

（2）若采用方案二，第一次用斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后該衣服中存有的污物是原來的

26.在平面直角坐標系中，W（戈2，%）是拋物線）?二公2+法+84>0）上任意兩點，其中

xi<x2.

（1）若拋物線經(jīng)過點（4,C）,

①求拋物線的對稱軸；

②當％+與>4時，比較,，丫2的大小，并說明理由；

（2）設拋物線的對稱軸為直線X=r,若存在實數(shù)小，當dm時，x}=mtx2=m+\,都有比一對22,直

接寫出。的取值范圍.

27.如圖，在JRC中，NB=NC=a,點。是平面內任意一點(不與點A,B,C重合)，將線段繞點4逆

時針旋轉勿得到線段AE，連接3E,G為跖的中點，連接AG,CD.

(1)如圖1,當點。在AC邊上時，

①根據(jù)題意，補全圖1；

CD

②直接寫出：一=:

AG

CD

(2)如圖2,當點。在疑。內部時，(1)問中——的比值還成立嗎？如果成立，請證明你的結論，如果不成

AG

立，請說明理由.

28.對于平面直角坐標系直力中的點P和圖形“，給出如下定義：將圖形M繞尸順時針旋轉90。得到圖形M當

圖形M與圖形N有公共點時，我們稱點P是圖形M的“關聯(lián)點”.已知A(0,2),8(3,1).

⑴如圖1,點P是線段AB的“關聯(lián)點”，在點耳。,0),2(0/)，6(2,3)中，則滿足條件的點是

(2)若直線y=-x+b上存在點p,使點P為線段A8的“關聯(lián)點”，直接寫出b的取值范圍；

(3)以。,0)為圓心，1為半徑的eT,若線段AB上存在點P，使點尸為的“關聯(lián)點”，直接寫出，的取值

范圍.

2024年昌平區(qū)初中學業(yè)水平考試第二次模擬練習

數(shù)學試卷

本試卷共8頁，共100分，考試時長為120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無

效.考試結束后，將答題卡交回.

一、選擇題（每小題2分，共16分）第1?8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.2024年2月5日至25日，人民網(wǎng)連續(xù)第23次開展全國兩會調查，調查圍繞10個領域設置49個候選熱詞.本

次調查廣納民情民意，吸引約6150000人次參與，其中6150000用科學記數(shù)法可以表示為（）

A.6.15X105B.6.15xl06C.0.615xl06D.0.615xl07

【答案】B

【分析】本題主要考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為ax10”的形式，其中1〈同〈10,〃為整

數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)變成〃時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

t詳解】解：6150000=6.15xl06.

故選:B.

2.下列圖形中是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（

【分析】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義是解答本題的

關鍵.根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐項分析即可.

【詳解】解：A.該圖既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故不符合題意；

B.該圖不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故不符合題意；

C.該圖既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故不符合題意；

D.該圖是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故符合題意；

故選D.

3.光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射.由于折射率相同，所以在水

中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，Zl=45°,Z2=120°,則N3+N4=（）

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質，兩直線平行，同位角相等或同旁內角互補，即可求出答案.

【詳解】解：如圖所示，AB//CD,光線在空氣中也平行，

=Z2+Z4=180°.

Z1=45°,Z2=12O°,

.\Z3=45°,Z4=180°-120°=60°.

.?.Z3+Z4=45°+60°=105°.

故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的性質的應用，解題的關鍵在于熟練掌握平行線的性質.

4.實數(shù)°,人在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，則下列結論中正確的是（）

iai」i二bi__

-4-3-2-101234

A.b=y/lB.a<-bC.\b\<—aD.a+b>0

【答案】D

【分析】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸和算術平方根.由數(shù)軸可知，〃>3,由此逐一判斷各選項即可.

【詳解】解：由數(shù)軸可知，-3<。<一2,b>3,

Z.近<如=3，：,b>不,故本選項不符合題意；

B、?.?一3<av—2,/?>3,/.-Z?<-3,:.a>-by故本選項不符合題意；

C,?.--3<a<-2,b>3,..2<-a<3,1W、3,故本選項不符合題意；

D、???_3<〃<一2,b>3,.?.〃+力>0,故本選項符合題意；

故選：D.

5.正多邊形的一個外角是60。，那么這個正多邊形是（）

A.正四邊形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形

【答案】B

【分析】本題主要考查了正多邊形的外角，根據(jù)多邊形的外角和為360。進行求解即可.

【詳解】解：???正多邊形的一個外角是60。，

360°

???這個正多邊形的邊數(shù)為n=啜=6,

60°

這個正多邊形為正六邊形.

故選：B.

6.已知關于x的一元二次方程/一2工+m=0有兩個實數(shù)根，則根的取值范圍是（）

A.tn<\B.ni>IC.w￡1D.m>1

【答案】C

【分析】本題考查了根的判別式.根據(jù)判別式的意義得到△=（-2）2-4xlxm20,然后解關于〃?的不等式即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，得：A=（-2）2-4xlx/n>0,

解得相￡L

故選：C.

7.在不透明的袋子里有三個除顏色外其它都相同的小球，兩個紅球，一個黃球，從中隨機同時取出兩個小球，其

中取到一個紅球一個黃球的概率為（）

25「I

A.—B.-C.~D.1

362

【答案】A

【分析】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求隨機事件概率，掌握列表法或畫樹狀圖求概率是解題的關鍵.

根據(jù)題意，運用列表或畫樹狀圖把所有等可能結果表示出來，再根據(jù)概率的計算方法即可求解.

【詳解】解：列表把所有等可能結果表示出來，兩個紅球分別表示紅1，紅2,

紅1紅2黃

紅1........紅1,紅2紅1，黃

紅2紅2,紅1—紅2,黃

黃黃，紅1黃，紅2—

共有6種等可能結果，其中一個紅球一個黃球的結果有4種，

42

???取到一個紅球一個黃球的概率為二二；,

63

故選：A.

8.如圖，為半圓0的直徑，C,。是直徑43上兩點，且過點。作4B的垂線交半圓于點E,

cb

C￡）=2QE.設AD=a,AC=b,DE=c,給出下面三個結論：?a-b=2c；②一=一；③

ac

a+b=2A/2C?所有正確結論的序號是（）

E

ACODB

A.①②B.①③C.??D.①②③

【答案】D

【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，相似三角形的判定與性質，完全平方公式的變形.熟練掌握直徑所

對的圓周角為直角，相似三角形的判定與性質，完全平方公式的變形是解題的關筵.

由題意知，BD=AC=b，CD=AD-AC=a-b,由CD=2OE,可得=可判斷①的正誤；如

圖，連接AE,BE,則NAE8=90。，證明.5瓦)。^皿＞，則孚=型，即工=2,可判斷②的正誤；由

ADDEac

(a+Z?)2=(a-Z?)2+4^/?=(2r)2+4c2=8r,可得〃+6=2&c，可判斷③的正誤.

【詳解】解：由題意知，BD=AC=b,CD=AD-AC=a-bt

CD=2DE,

：.a-b=2c,①正確，故符合要求；

如圖，連接AE,BE,

vA8為半圓。的直徑，

AZAEB-9^,

VZAED+/BED=90°=ZAED+Z.EAD,

:./RED=/FAD,

又???/BDE=90°=ZEDA,

:?LBED^EAD，

'?---=----,即一=一,②正確，故符合要求;

ADDEac

ab=c2?

(a+Z?y=(a—6J+4a〃=(2c)2+4C2=8C2,

:?a+b=2匹c，③正確，故不符合要求；

故選：D.

二、填空題(本題共16分，每小題2分)

9.使代數(shù)式萬有意義的x的取值范圍是.

【答案】XN1

【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)的條件，要使萬在實數(shù)范圍內有意義，必須x-lNO,從而可得

答案.

【詳解】解：代數(shù)式7有意義，

\x-1?0,

x>1,

故答案為：X

10.分解因式：3x2+6xy+3y2=.

【答案】3(x+y)2,

【分析】先利用提取公因式法提取數(shù)字3,再利用完全平方公式繼續(xù)進行分解.

【詳解】3/+6田>+3y2=3(x2+2x),+>,2)=3(x+y)2.

故答案為3(x+y)2.

【點睛】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他

方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止.

32

11.分式方程一=二一的解是.

xx-i

【答案】x=3

【分析】本題考查了解分式方程，正確熟知解分式方程的步驟是解題的關鍵.

解分式方程，先去分母，將其轉化為整式方程，再求解，最后要檢驗是否有增根.

【詳解】解：去分母得：3(x-l)=2x,

解得：x=3,

當x=3時，入一100.

所以原方程的解為x=3.

故答案為：x=3.

12.在平面直角坐標系xOy中，若點(1,6)和(4,2)在反比例函數(shù))，=:(女工0)圖象上，則加=.

【答案】8

【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征.根據(jù)比例函數(shù)y=A(z/o)中的系數(shù)上=沖得到關于加的

x

方程，求解即可得到答案.

【詳解】解：?，?點（LM和（4,2）在反比例函數(shù)）=，女工0）圖象上，

x

:.k=4x2=m，

解得機=8,

故答案為：8.

13.如圖，點P為。。外一點，過點尸作OO的兩條切線，切點分別為4,8,點。為優(yōu)弧AB上一點，若

【答案】50

【分析】本題考查切線的性質，圓周角定理.連接OA,OB,由切線的性質定理得到NB4O=NP8O=90。，求

出ZAOB=360°-90°-90°-80°=100%由圓周角定理得到ZACB=-ZAOB=50°.

2

【詳解】解：連接04,OB,

\'PA,PB分別切圓于A、B,

??半徑。4_LQA,半徑。

/.NPAO=NPBO=900,

QZP=80°,

ZAOB=360°-90°-90°-80°=100°,

ZACB=-ZAOB=50°.

2

故答案為：50.

14.2024年3月12日，是我國的第46個植樹節(jié)，今年植樹節(jié)的主題是“共同呵護地球家園，筑造美麗未

來”.下表是某地區(qū)在植樹節(jié)期間，不同批次種植楊樹的成活率的統(tǒng)計結果，請你估計植樹節(jié)期間，種植楊樹的

成活率大約為（結果保留兩位小數(shù)）.

第一批次第二批次第三批次第四批次第五批次

種植數(shù)量200200200200200

成活數(shù)量194193192196195

成活頻率0.9700.9650.9600.9800.975

【答案】0.97

【分析】本題考查了頻率.熟練掌握頻率的定義是解題的關鍵.

194+193+192+196+195

根據(jù),計算求解即可.

5x200

194+193+1924-196+195

【詳解】解：由題意知，種植楊樹的成活率大約為=0.97

5x200

故答案為：0.97.

15.圖1是裝滿紅酒的高腳杯示意圖，裝酒的杯體可看作一個三角形，液面寬度為6cm,其它數(shù)據(jù)如圖所示，喝掉

一部分后的數(shù)據(jù)如圖2所示，此時液面寬度為cm.

圖1圖2

【答案】3

【分析】本題考查了相似三角形的應用.過點。作QM_LCQ,垂足為M,過點0'作。N_LA3,垂足為N,根

據(jù)A8〃CD，得出再根據(jù)相似三角形的性質解答即可.

【詳解】解：如圖，過點。作QM_LC￡>,垂足為M,過點0'作。N_LA3,垂足為N,

VAB//CD,

.CD_OM

麗二西’

OM=15-7=8(cm),OW=11-7=4(cm),

68

——=—,

AB4

解得：AB=3,

故答案為：3.

16.某學校為豐富學生的課余生活，組織校園籃球賽，初三年級6個班進行單循環(huán)比賽（即每班都與其他班比賽一

場），每天同時在三個場地各進行一場比賽.已知第一天（2）班與（4）班比賽，第二天（3）班與（5）班比賽，

第三天（4）班與（6）班比賽，第四天（2）班與（3）班比賽，那么第三天與（3）班比賽的是班，第

五天與（1）班比賽的是班.

【答案】①.（1）②.⑵

【分析】本題考查邏輯推理能力.本題對學生的邏輯推理能力要求較高，根據(jù)每隊都與其他隊比賽一場，和己經(jīng)進

行的比賽，進行推斷即可.

【詳解】解：（3）班已知的比賽：第二天（3）班與（5）班比賽，第四天（2）班與（3）班比賽，而第三天已知進

行的是（4）班與（6）班比賽，故第三天只有（1）班與（3）班比賽，

（4）班與（2）班比賽在第一天，（4）班與（6）班比賽在第三天，第二天已知（3）班與（5）班比賽，故第二天（4）

班與（1）班比賽，（2）班與（6）班比賽，同理可得：第四天（1）班與（6）班比賽，（4）班與（5）班比賽，第一

天（3）班與（6）班比賽，（1）班與（5）班比賽，故最后一天為（1）班與（2）班比賽，（3）班與（4）班比賽,

（5）班與（6）班比賽，如表1

第一第二第三第四第五

天天天天天

場

地2-43-54-62-31-2

1

場

地3-61-41-31-63-4

2

場

地1-52-62-54-55-6

3

同一天場地上的比賽可交換進行.

故答案為：（1）,（2）.

三、解答題（本題共68分，第17?22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，27-28?,每小

題7分)解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.計算：&-2sin45°+|l->/2|.

【答案】2a+1

【分析】本題考查了二次根式、絕對值、負指數(shù)鼎、特殊角的三角函數(shù)值的運算，熟悉運算法則是解題的關鍵.根

據(jù)二次根寸、絕對值、負指數(shù)累、特殊角的三角函數(shù)值的運算，化簡計算即可.

【詳解】解：原式=2夜+2-2、也+&-1

2

=2V2+2-V2+V2-l

=25/2+l.

3x-8>x?

18.解不等式組：hx-1

------->x?

2

【答案】64

【分析】本題考查解一元一次不等式組.先解出每個不等式的解集，即可得到不等式組的解集.

3X-8>XD

【詳解】解：3x—l…

------->x?

2

解不等式①得，x之4；

解不等式②得，X>\,

所以這個不等式的解集為x之4.

(1、2

19.已知F+X—2=0，求代數(shù)式一;■+1卜丁；的值.

【答案】1

【分析】本題考查的是分數(shù)的混合運算.

(1)2公

將一;+1卜一^三化簡為土上土，再整體代入，求值.

yx-])x-\2

1+x—12(x+l)(x-l)x2+x

【詳解】解:原式=

x-\"x2-l22

?/x2+x-2=0?

.\x2+x=2

?.原式=L

20.如圖，在四邊形A8CQ中，AB〃CD，45=4。，對角線AC,BD交于O,AC平分/BAD.

（1）求證：四邊形A8CQ菱形；

3

（2）過點。作48的垂線交其延長線于點￡若80=6,tan/OAB二一，求CE的長.

4

24

【答案】（1）見解析（2）CE=—

【分析】比題主要考查了菱形的判定和性質，勾股定理，解直角三角形等知識，熟練掌握菱形的判定與性質是解題

的關鍵.

（1）先證NC鉆=N￡XX,再證ND4C=NZXZ,得CD=AD=AB,然后證四邊形ABCD是平行四邊形,

即可得出結論：

（2）根據(jù)菱形的性質結合三角函數(shù)得出AO=4,AC=8,求出4B,在RtsACE中，解直角三角形，即可得

出結論.

【小問1詳解】

證明：AC平分N4AD,

:.^DAC=ABAC,

AB//CD,

ZDCA=ZBAC,

:.ZDAC=ZDCAt

AD=CD,

-：AB=ADt

AB=CD?

-AB//CD,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

AB=ADr

二?四邊形A3CO是菱形；

【小問2詳解】

解：,?四邊形ABCO是菱形，

/.ACJLBD,OB=OD=—BD=3,AO=OC=—AC

22f

RtZ\AOB中，tanZ.OAB=—=-,

OA4

AO=4>AC=8?

______3

-AB=<32+42=5>sinZO45=-,

過點C作AB的垂線交其延長線于點E,

.?.NCE4=90。，

CE3

RtAACE中，sinZ.OAB=---=—,

AC5

:.CE=—.

21.如圖，初三年級準備制作一個長的橫幅，橫幅內容定為16個字，對橫幅的有關數(shù)據(jù)作如下規(guī)

定：每個字的字寬是相同的，每兩個字之間的字距均相等，邊空寬：字寬：字距=3:4:1,試求橫幅字距是多

少？

【答案】0.1m

【分析】此題考查了一元一次方程的應用，根據(jù)空寬：字寬：字距=3:4:1設邊空寬為3加，字寬為4m,字距

為刈】.再根據(jù)長8.5m的橫幅列方程，解方程即可得到答案.

【詳解】解：因為邊空寬：字寬：字距=3:4:1,

所以設邊空寬為3xm,字寬為4Am,字距為刈1.

由題意可得：2x3x+16x4x+15x=8.5,

解得x=0.1.

答：橫幅字距為0.1m.

22.在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)（ZW0）的圖象是由函數(shù)y=2r的圖象平移得到，且經(jīng)過點

（1,3）.

（1）求這個一次函數(shù)的表達式;

（2）當x>l時，對于x的每一個值，函數(shù)），=，內（機工0）的值大于一次函數(shù)），=公+方（^0）的值，直接寫出

機的取值范圍.

【答案】（1）y=2x+\；（2）w>3

【分析】（1）據(jù)一次函數(shù)平移時&不變可知"2,再把點（1,3）代入求出力的值，進而可得出結論.

（2）根據(jù)點（1,3）結合圖象即可求得.

【詳解】解：（1）???一次函數(shù)產(chǎn)H+b（后0）的圖象由函數(shù)產(chǎn)2x的圖象平移得到，

：,k=2.

???一次函數(shù)產(chǎn)2x+力的圖象過點（1,3）,

A3=2xl+b.

/.b=\.

???這個一次函數(shù)的表達式為產(chǎn)2什1.

（2）把點（1,3）代入尸/nr,求得機=3,

???當x>l時，對于"的每一個值，函數(shù)尸，心（〃印0）的值大于一次函數(shù)尸2x+l的值，

m>3.

【點睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換及一次函數(shù)和不等式的關系，熟知一次函數(shù)平移的性質是解答

此題的關健.

23.4月24日是中國航天日，某校初中部舉辦了“航天知識”競賽，每個年級各隨機抽取10名學生，統(tǒng)計這部分

學生的競賽成績，并對成績進行了收集、整理，分析.下面給出了部分信息.

6.初三年級學生得分:

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)由折線圖可知，初一、初二兩個年級學生“航天知識”競賽，成績更穩(wěn)定的是(填“初一”或

“初二”);

(2)統(tǒng)計表中機=,n=；

(3)由于數(shù)據(jù)統(tǒng)計出現(xiàn)失誤，初三年級所調查的10名學生中有一名學生被記錄為6分，實際得分為9分，將數(shù)

據(jù)修正后，初三年級所調查的10名學生中以下統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)生變化的：(寫出符合題意的序號).

①平均數(shù)；②中位數(shù)：③眾數(shù)；④方差.

【答案】(D初一(2)m=8,〃=8.5

(3)①②④

【分析】本題考查折線統(tǒng)計圖，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差，理解相關統(tǒng)計量的意義和計算方法是正確解答的前

提.

(1)根據(jù)方差的意義解答即可；

(2)根據(jù)算術平均數(shù)的意義可得利的值；根據(jù)中位數(shù)的定義可得〃的值；

(3)分別根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差的定義和計算方法判斷即可.

【小問1詳解】

解：由折線圖可知，初一學生得分的波動比初二的小，所以成績更穩(wěn)定的是初一.

故答案為：初一；

【小問2詳解】

解：由題意得，/n=-^x(10x4+9+6+8+7x24-3)=8,

把初三年級學生得分從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別是8、9,

故中位數(shù)”=丫=8.5,

2

故答案為：8,8.5；

【小問3詳解】

解：將其中的數(shù)據(jù)6改為9,則數(shù)據(jù)變?yōu)椋?0,9,9,10,8,7,10,7,3,10

數(shù)據(jù)變化，

???平均數(shù)、方差改變，

9+9

?中位數(shù)為：——=9。8.5,

2

二?中位數(shù)改變，

眾數(shù)依然是10,

「?眾數(shù)不變.

故答案為：①②④.

24.如圖，A3是0。的直徑，點。在0。上，若弦CO平分NAC8,交AB干點E,過點。作。0的切線

CF,交AB的延長線于點尸.

(1)求證：NECF=/FEC；

（2）連接BO,若NCQB=30。，BF=2,求OO半徑的長.

【答案】（1）見解析（2）2

【分析】比題考查了切線的性質、圓周角定理、解直角三角形等知識，熟練掌握切線的性質和銳角三角函數(shù)的定義

是解題的關鍵.

（1）連接ODOC.證明/（%>￡：=NOCE,NOED=NFCE,又由NOED=/FEC，即可得到

/FCE=NFEC；

（2）證明△02。為等邊三角形，則N〃OC=N。C9=NABC=60。，在Rt△C。尸中，得到

cos/。。尸="=2設OC=Q3=r,則0F=r+2,則一二解方程即可得到答案.

OF2r+22

【小問1詳解】

證明：連接OD0C.

CO平分NACB

ZACD=ZBCD

：?AD=BD

AB是直徑，AD=BD

ZAOD=NBOD=90。

??在RtAE。。中，ZODE+ZOED=90°

???C廠是。。切線

/.ZOCF=NOCE+NFCE=90。

?：OD=OC

;.NODE-NOCE

:.^OED=zLFCE

/OED=4FEC

4FCE=NFEC

【小問2詳解】

解：連接B。，

AB是直徑，

:.ZACB=90°,

;BC=BC

NCDB=NCAB=30。

:.ZABC=（^r

?：OB=OC,

.:OBC為等邊三角形,

/.ZBOC=4OCB=ZABC=60°

oc1

?「RtZiCOF中，cosZCOF=—=-

設OC=OB=r,則QF=r+2

r1

???___一_,

r+22

7?=2,

經(jīng)檢驗，r=2是分式方程的解且符合題意，

即。。半徑的長為2.

25.通常把臟衣服用洗衣液清洗后會進行擰干，但由于不可能擰凈衣服上的全部污水，所以還需要用清水進行多次

漂洗，不斷降低衣服中污水的含量.如：把一件存留I斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，擰干到仍然存留1斤污

水，則漂洗后衣服中存有的污物是原來的'.

某小組決定使用20斤清水，對某件存留1斤污水衣服分別進行漂洗，且每次擰干后衣服上都存留約1斤的污

水.

（1）該小組設計了如下兩個方案，請你完善方案內容：

方案一：采用一次漂洗的方式.

將20斤清水一次用掉，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的；

方案二：采用兩次漂洗的方式.

若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的；若在第一次用

x（0<x<20）斤清水，第二次用（20—力斤清水，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的（用含有x的

代數(shù)式表示）；

通過計算分析，方案（“一”或“二”）的漂洗效果更好.

（2）若采用方案二，第一次用斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后該衣服中存有的污物是原來的

【答案］（1）—；—-；—；~~———-；二

21105x--20x-21

【分析】本題考查分式的計算及應用，理解題意，列出算式，并準確計算是解題的關鍵.

（1）數(shù)據(jù)計算：分別計算出兩種方案漂洗后衣服中存有的污物與原來的污物關系即可解答：

實驗結論：比較數(shù)據(jù)計算得出的數(shù)據(jù)，即可作出判斷；

（2）先利用二次函數(shù)求出最值，確定出漂洗后衣服中存有的污物與原來污物間的最小值即可解決問題.

【小問1詳解】

解：方案一：采用一次漂洗方式.

將20斤清水一次用掉，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的--=；

方案二：采用兩次漂洗的方式.

若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的丁、乂上二上，

若在第一次用M0VXV20）斤清水，第二次用（20-冷斤清水，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的

1111

----X--------==----------

x+120-x+l*+1）（21）--X2-20X-2\

呆得,本方案二效果更好：

故答案為：專'''-I；二；

【小問2詳解】

解：x（20-x）=-（x2-20x）=-（x-10）2+100,

當％=10時有最大值，分母越大，分數(shù)值最小，漂洗效果最好，

第一次用10斤清水，漂洗效果最好，

二次漂洗后該衣服中存有的污物是原來的‘一x」一=—

10+110+1121

故答案為：二，——.

121

26.在平面直角坐標系xOy中，汽(看,力)是拋物線丁二公2+"1+儀。>0)上任意兩點，其中

%,<x2.

(1)若拋物線經(jīng)過點(4c),

①求拋物線的對稱軸；

②當％+與>4時，比較y,力的大小，并說明理由；

⑵設拋物線的對稱軸為直線x=r,若存在實數(shù)小，當Ym時，演=m,x2=m+\,都有瓜一對之2,直

接寫出。的取值范圍.

【答案】⑴①x=2；②到<%，理由見解析

(2)a>2

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質，運用數(shù)形結合與分類討論思想解題是解題的關鍵.

(1)①利用拋物線經(jīng)過點(4,c)和點(O,c),函數(shù)值相等的兩點連線的垂直平分線即為對稱軸，即可得解；

②分當玉之2時和當9>2>為時兩種情況討論，證明點M(N，yj比點N(4,%)離對稱軸更近即可得解；

(2)利用/</nv/n+l,開口向上得出)5<丁2，從而得到E—%|=2卬%+。+6,結合”存在實數(shù)加，當/W機

時，都有回一出2"得到一4之2,根據(jù)當1=一卷=〃2時，|凹一%|有最小值，得出

E-Nzlmin=2〃,(一二+a+b=a>2,從而得解.

mmI2aJ

【小問1詳解】

解：①.??拋物線經(jīng)過點(4,c)和點(O,c),

4+0

.??拋物線的對稱軸是：直線x=——=2,

2

②,<當，理由如下：

工離對稱軸越近，函數(shù)值越小，

*.?X,<Xj,Xj+x2>4,

:.2X2>J,+x2>4,

:.x2>2,

當%>玉22時，x2-2>x)-2,

即點,x）比點N（±,%）離對稱軸更近，

乂<當，

當天>2>不時，

,:X）4-x2>4

-

x22>2—X1,

即點M（X）,y）比點N（x2,y2）離對稱軸更近，

*,,y<當，

綜上所述：y<當.

【小問2詳解】

KPr<x,<Xj,開口向上，

：?凹<為，

???瓦-%|=%一M

=（應+bx2+c）—（or；+如+c）

=〃（加+1）~4-/?（zn+l）+c-（am2+btn+c\

=〃（加+1）~—am1+b（m+l）-bm+c-c

=a（2根+1）+Z?

=2am+a+bf

??2>0,

???|x-%l隨著機的增大而增大，

要使得存在實數(shù)加，當小機時，都有E—力|22,

只需保證|x-%LN2,

即當，=一一^二機時，|%一M1=2??一--+a+b=a>2,

2a1lm,n\2aJ

???。的取值范圍是。22.

27.如圖，在~48C中，NB=NC=a,點。是平面內任意一點（不與點A,B,C重合），將線段4。繞點A逆

時針旋轉2a得到線段AE,連接B￡,G為BE的中點，連接4G,CD.

A

AE

DGV

D

BCBC

圖1圖2