天津市東麗區(qū)民族中學2024屆高一下數(shù)學期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

天津市東麗區(qū)民族中學2024屆高一下數(shù)學期末學業(yè)水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．法國“業(yè)余數(shù)學家之王”皮埃爾·德·費馬在1936年發(fā)現(xiàn)的定理：若x是一個不能被質(zhì)數(shù)p整除的整數(shù)，則必能被p整除，后來人們稱為費馬小定理.按照該定理若在集合中任取兩個數(shù)，其中一個作為x，另一個作為p，則所取的兩個數(shù)符合費馬小定理的概率為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（0，1] D．（﹣1，0）3．直線l：x+y﹣1＝0與圓C：x2+y2＝1交于兩點A、B，則弦AB的長度為（）A．2 B． C．1 D．4．圓的圓心坐標和半徑分別為（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列的前項為和，且，則（）A．5 B． C． D．96．如直線與平行但不重合，則的值為（）．A．或2 B．2 C． D．7．將圖像向左平移個單位，所得的函數(shù)為（）A． B．C． D．8．已知，則（）．A． B． C． D．9．已知兩個等差數(shù)列，的前項和分別為，，若對任意的正整數(shù)，都有，則等于()A．1 B． C． D．10．在中，角的對邊分別為，若，則形狀是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．夏季某座高山上的溫度從山腳起每升高100米降低0.8度，若山腳的溫度是36度，山頂?shù)臏囟仁?0度，則這座山的高度是________米12．定義在上的函數(shù)，對任意的正整數(shù)，都有，且，若對任意的正整數(shù)，有，則___________.13．等比數(shù)列中前n項和為，且，，，則項數(shù)n為____________．14．若，則的值為_______.15．如圖，長方體中，，，，與相交于點，則點的坐標為______________．16．已知，則__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且.（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A?PB?C的余弦值.18．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面積.19．已知函數(shù)f(x)＝.(1)若不等式k≤xf(x)＋在x∈[1，3]上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；(2)當x∈(m>0，n>0)時，函數(shù)g(x)＝tf(x)＋1(t≥0)的值域為[2－3m，2－3n]，求實數(shù)t的取值范圍．20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設S為△ABC的面積，滿足S＝（a2+c2﹣b2）．（1）求角B的大小；（2）若邊b＝，求a+c的取值范圍．21．如圖，在正中，，.（1）試用，表示；（2）若，，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

用列舉法結(jié)合古典概型概率公式計算即可得出答案.【詳解】用表示抽取的兩個數(shù)，其中第一個為，第二個為總的基本事件分別為：，，，共12種其中所取的兩個數(shù)符合費馬小定理的基本事件分別為：，，共8種則所取的兩個數(shù)符合費馬小定理的概率故選：A【點睛】本題主要考查了利用古典概型概率公式計算概率，屬于基礎題.2、C【解析】

由題意可得在上為減函數(shù)，列出不等式組，由此解得的范圍.【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，∴函數(shù)在上為減函數(shù)，其對稱軸為，∴可得，解得.故選：C.【點睛】本題主要考查復合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎題.3、B【解析】

利用直線和圓相交所得弦長公式，計算出弦長.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查直線和圓相交所得弦長的計算，屬于基礎題.4、B【解析】

根據(jù)圓的標準方程形式直接確定出圓心和半徑.【詳解】因為圓的方程為：，所以圓心為，半徑，故選：B.【點睛】本題考查給定圓的方程判斷圓心和半徑，難度較易.圓的標準方程為，其中圓心是，半徑是.5、D【解析】

先根據(jù)已知求出數(shù)列的通項，再求解.【詳解】當時，，可得；當且時，，得，故數(shù)列為等比數(shù)列，首項為4，公比為2.所以所以.故選D【點睛】本題主要考查項和公式求數(shù)列通項，考查等比數(shù)列的通項的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.6、C【解析】

兩直線斜率相等，且截距不相等。【詳解】解析：由題意得，，解得或2，經(jīng)檢驗時兩直線重合，故.故選C.【點睛】本題考查兩直線平行，屬于基礎題.7、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的圖象的平移變換得到所求．【詳解】由已知將函數(shù)y＝cos2x的圖象向左平移個單位，所得的函數(shù)為y＝cos2（x）＝cos（2x）；故選：A．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象的平移；明確平移規(guī)律是解答的關(guān)鍵．8、A【解析】

.所以選A.【點睛】本題考查了二倍角及同角正余弦的差與積的關(guān)系，屬于基礎題.9、B【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)將化為同底的，再化簡，將分子分母配湊成前n項和的形式，再利用題干條件，計算?！驹斀狻俊叩炔顢?shù)列，的前項和分別為，，對任意的正整數(shù)，都有，∴．故選B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應用，屬于中檔題。10、D【解析】

由，利用正弦定理化簡可得sin2A＝sin2B，由此可得結(jié)論．【詳解】∵，∴由正弦定理可得，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A+2B＝π，∴A＝B或A+B＝，∴△ABC的形狀是等腰三角形或直角三角形故選D．【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2000【解析】

由題意得，溫度下降了，再求出這個溫度是由幾段100米得出來的，最后乘以100即可.【詳解】由題意得，這座山的高度為：米故答案為：2000【點睛】本題結(jié)合實際問題考查有理數(shù)的混合運算，解題關(guān)鍵是溫度差里有幾個0.8，屬于基礎題.12、【解析】

根據(jù)條件求出的表達式，利用等比數(shù)列的定義即可證明為等比數(shù)列，即可求出通項公式．【詳解】令，得，則，，令，得，則，，令，得，即，則，即所以，數(shù)列是等比數(shù)列，公比，首項．所以，故答案為：【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的判斷和證明，綜合性較強，考查學生的計算能力，屬于難題．13、6【解析】

利用等比數(shù)列求和公式求得，再利用通項公式求解n即可【詳解】，代入，，得，又，得．故答案為：6【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式及求和公式的基本量計算，熟記公式準確計算是關(guān)鍵，是基礎題14、【解析】

把已知等式展開利用二倍角余弦公式及兩角和的余弦公式，整理后兩邊平方求解．【詳解】解：由，得，，則，兩邊平方得：，即．故答案為．【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查倍角公式的應用，是基礎題．15、【解析】

易知是的中點，求出的坐標，根據(jù)中點坐標公式求解.【詳解】可知，，由中點坐標公式得的坐標公式，即【點睛】本題考查空間直角坐標系和中點坐標公式，空間直角坐標的讀取是易錯點.16、【解析】

對已知等式的左右兩邊同時平方，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式和二倍角的正弦公式，可以求出的值，再利用二倍角的余弦公式可以求出.【詳解】因為，所以，即，所以.【點睛】本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了數(shù)學運算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB//CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）在平面內(nèi)作，垂足為，由（1）可知，平面，故，可得平面.以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.設是平面的法向量，則即可取.設是平面的法向量，則即可取.則，所以二面角的余弦值為.【名師點睛】高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個方面：①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標系和表示出所需點的坐標是解題的關(guān)鍵.18、（1）（2）【解析】

(1)由正弦定理以及兩角差的余弦公式得到，由特殊角的三角函數(shù)值得到結(jié)果；（2）結(jié)合余弦定理和面積公式得到結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得，∵，∴，即，∴又∵，∴.（2）∵∴.∴，∴.【點睛】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.19、(1)k≤1;(2)(0，1)．【解析】試題分析：（1）把f(x)＝代入，化簡得k≤x在[1，3]上恒成立，所以k≤1．（2）g(x)＝tf(x)＋1＝－＋t＋1，又x∈(m>0，n>0)，所以g(x)在單調(diào)遞增，所以即，即m，n是關(guān)于x的方程tx2－3x＋1－t＝0的兩個不等的正根．由根的分布，可得，解得0<t<1．試題解析：(1)∵xf(x)＋＝＋＝x，∴不等式k≤xf(x)＋在x∈[1，3]上恒成立，即為k≤x在[1，3]上恒成立．∴k≤1.(2)∵g(x)＝tf(x)＋1＝－＋t＋1，若t＝0，則g(x)＝1，不合題意，∴t>0.又當t>0時，g(x)＝－＋t＋1在上顯然是單調(diào)增函數(shù)，∴即∴m，n是關(guān)于x的方程tx2－3x＋1－t＝0的兩個不等的正根．令h(x)＝tx2－3x＋1－t，則解得0<t<1.∴實數(shù)t的取值范圍是(0，1)．20、（1）B=60°（2）【解析】

（1）由三角形的面積公式，余弦定理化簡已知等式可求tanB的值，結(jié)合B的范圍可求B的值．（2）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可求a+csin（A），由題意可求范圍A∈（，），根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）在△ABC中，∵S（a2+c2﹣b2）acsinB，cosB．∴tanB，∵B∈（0，π），∴B．（2）∵B，b，∴由正弦定理可得1，可得：a＝sinA，c＝sinC，∴a+c＝sinA+sinC＝sinA+sin（A）＝sinAcosAsinAsi