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江蘇省南大附中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.若點(diǎn),關(guān)于直線l對(duì)稱,則l的方程為()A. B.C. D.2.設(shè),,,則,,的大小關(guān)系是()A. B. C. D.3.下列說(shuō)法不正確的是()A.空間中,一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是一定是平行四邊形;B.同一平面的兩條垂線一定共面;C.過(guò)直線上一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線與這條直線垂直,且這些直線都在同一個(gè)平面內(nèi);D.過(guò)一條直線有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直.4.在△中,已知,,,則△的面積等于()A.6 B.12 C. D.5.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則下列一定成立的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則6.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N+),那么a4的值為().A.4 B.8 C.15 D.317.已知,則的值為()A. B. C. D.8.在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若,則一定是()A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形9.在中,若,,,則()A., B.,C., D.,10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,則()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.在數(shù)列中,已知,,記為數(shù)列的前項(xiàng)和,則_________.12.在三棱錐中,平面,是邊長(zhǎng)為2的正三角形,,則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_________.13.在中,角所對(duì)的邊分別為.若,,則角的大小為_(kāi)___________________.14.已知無(wú)窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和,其中為常數(shù),則________15.若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為,側(cè)棱長(zhǎng)為,則該正四棱錐的體積為_(kāi)_____.16.已知數(shù)列{}滿足,若數(shù)列{}單調(diào)遞增,數(shù)列{}單調(diào)遞減,數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為_(kāi)___.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.已知函數(shù),.(1)求的最小正周期;(2)求在閉區(qū)間上的最大值和最小值.18.某購(gòu)物中心舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),顧客從裝有編號(hào)分別為0,1,2,3四個(gè)球的抽獎(jiǎng)箱中,每次取出1個(gè)球,記下編號(hào)后放回,連續(xù)取兩次(假設(shè)取到任何一個(gè)小球的可能性相同).若取出的兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于5,則中一等獎(jiǎng);若取出的兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于4,則中二等獎(jiǎng);若取出的兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于3,則中三等獎(jiǎng);其它情況不中獎(jiǎng).(Ⅰ)求顧客中三等獎(jiǎng)的概率;(Ⅱ)求顧客未中獎(jiǎng)的概率.19.已知數(shù)列為等差數(shù)列,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.已知(1)求的定義域;(2)判斷的奇偶性并予以證;;(3)求使>0成立的x的取值范圍.21.已知曲線C:x2+y2+2x+4y+m=1.(1)當(dāng)m為何值時(shí),曲線C表示圓?(2)若直線l:y=x﹣m與圓C相切,求m的值.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】
根據(jù)A,B關(guān)于直線l對(duì)稱,直線l經(jīng)過(guò)AB中點(diǎn)且直線l和AB垂直,可得l的方程.【詳解】由題意可知AB中點(diǎn)坐標(biāo)是,,因?yàn)锳,B關(guān)于直線l對(duì)稱,所以直線l經(jīng)過(guò)AB中點(diǎn)且直線l和AB垂直,所以直線l的斜率為,所以直線l的方程為,即,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查直線位置關(guān)系的應(yīng)用,垂直關(guān)系利用斜率之積為求解,屬于簡(jiǎn)單題.2、D【解析】
首先確定題中,,的取值范圍,再根據(jù)大小排序即可.【詳解】由題知,,,,所以排序得到.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了比較指數(shù)對(duì)數(shù)的大小問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】一組對(duì)邊平行就決定了共面;同一平面的兩條垂線互相平行,因而共面;這些直線都在同一個(gè)平面內(nèi)即直線的垂面;把書(shū)本的書(shū)脊垂直放在桌上就明確了4、C【解析】
通過(guò)A角的面積公式,代入數(shù)據(jù)易得面積.【詳解】故選C【點(diǎn)睛】此題考查三角形的面積公式,代入數(shù)據(jù)即可,屬于簡(jiǎn)單題目.5、C【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為q,利用通項(xiàng)公式與求和公式即可判斷出結(jié)論.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,若,則,則,而與0的大小關(guān)系不確定.若,則,則與同號(hào),則與0的大小關(guān)系不確定.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)、不等式的性質(zhì)與解法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.6、C【解析】試題分析:,,,故選C.考點(diǎn):數(shù)列的遞推公式7、C【解析】
根據(jù)輔助角公式即可.【詳解】由輔助角公式得所以,選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用:,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
根據(jù)正弦定理得到,計(jì)算得到答案.【詳解】,則,即.故或,即.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)正弦定理判斷三角形形狀,意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.9、A【解析】
利用正弦定理列出關(guān)系式,把與代入得出與的關(guān)系式,再與已知等式聯(lián)立求出即可.【詳解】∵在中,,,,∴由正弦定理得:,即,聯(lián)立解得:.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可計(jì)算得到,由計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由得:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,涉及到等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)和等差中項(xiàng)的性質(zhì)應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出該數(shù)列的前幾項(xiàng),找出數(shù)列的周期性,從而求出數(shù)列的前項(xiàng)和的值.【詳解】對(duì)任意的,,.則,,,,,,所以,.,且,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用,考查數(shù)列周期性的應(yīng)用,解題時(shí)要結(jié)合遞推公式求出數(shù)列的前若干項(xiàng),找出數(shù)列的規(guī)律,考查推理能力和計(jì)算能力,屬于中等題.12、【解析】
設(shè)三棱錐的外接球半徑為,利用正弦定理求出的外接圓半徑,再利用公式可計(jì)算出外接球半徑,最后利用球體的表面積公式可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由正弦定理可得,的外接圓直徑為,,設(shè)三棱錐的外接球半徑為,平面,,因此,三棱錐的外接球表面積為,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球,考查球體表面積的計(jì)算,在求解直棱柱后直棱錐的外接球,若底面外接圓半徑為,高為,可利用公式得出外接球的半徑,解題時(shí)要熟悉這些結(jié)論的應(yīng)用.13、【解析】本題考查了三角恒等變換、已知三角函數(shù)值求角以及正弦定理,考查了同學(xué)們解決三角形問(wèn)題的能力.由得,所以由正弦定理得,所以A=或(舍去)、14、1【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,求得,再結(jié)合極限的運(yùn)算,即可求解.【詳解】由題意,等比數(shù)列前項(xiàng)和公式,可得,又由,所以,所以,可得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,以及熟練的極限的計(jì)算,其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,求得的值,結(jié)合極限的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、4.【解析】
設(shè)正四棱錐的高為PO,連結(jié)AO,在直角三角形POA中,求得高,利用體積公式,即可求解.【詳解】由題意,如圖所示,正四棱錐P-ABCD中,AB=,PA=設(shè)正四棱錐的高為PO,連結(jié)AO,則AO=,在直角三角形POA中,,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正棱錐體積的計(jì)算,其中解答中熟記正棱錐的性質(zhì),以及棱錐的體積公式,準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.16、【解析】
分別求出{}、{}的通項(xiàng)公式,再統(tǒng)一形式即可得解。【詳解】解:根據(jù)題意,又單調(diào)遞減,{}單調(diào)遞減增…①…②①+②,得,故代入,有成立,又…③…④③+④,得,故代入,成立。,綜上,【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用,考查了分類思想和運(yùn)算能力,屬于難題。三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)最大值為,最小值為【解析】
(1)由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得,利用正弦函數(shù)的周期性可求最小正周期.
(2)通過(guò),求得,再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求最值.【詳解】解答:解:(1)由已知,有
,
所以的最小正周期;
(2),當(dāng),即時(shí),取最大值,且最大值為;當(dāng),即時(shí),取最小值,且最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)利用列舉法列出所有可能,設(shè)事件為“顧客中三等獎(jiǎng)”,的事件.由古典概型概率計(jì)算公式即可求解.(Ⅱ)先分別求得中一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)的概率,根據(jù)對(duì)立事件的概率性質(zhì)即可求得未中獎(jiǎng)的概率.【詳解】(Ⅰ)所有基本事件包括共16個(gè)設(shè)事件為“顧客中三等獎(jiǎng)”,事件包含基本事件共4個(gè),所以.(Ⅱ)由題意,中一等獎(jiǎng)時(shí)“兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于5”,這一事件包括基本事件共2個(gè)中二等獎(jiǎng)時(shí),“兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于4”,這一事件包括基本事件共3個(gè)由(Ⅰ)可知中三等獎(jiǎng)的概率為設(shè)事件為“顧客未中獎(jiǎng)”則由對(duì)立事件概率的性質(zhì)可得所以未中獎(jiǎng)的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型概率的計(jì)算方法,對(duì)立事件概率性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2).【解析】試題分析:(1)由于為等差數(shù)列,根據(jù)已知條件求出的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)求得數(shù)列的公差,即得數(shù)列的通項(xiàng)公式,移項(xiàng)可得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)可知,通過(guò)分組求和根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得的前項(xiàng)和.試題解析:(1)設(shè)數(shù)列的公差為,∵,∴,∴,∴.(2)考點(diǎn):等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和.20、(1);(2)奇函數(shù),證明見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析【解析】
(1)解不等式即得函數(shù)的定義域;(2)利用奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性并證明;(3)對(duì)a分類討論,利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式.【詳解】(1)由題得,所以,所以函數(shù)的定義域?yàn)椋唬?)函數(shù)的定義域?yàn)?,所以函?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以,所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(3)由題得,當(dāng)a>1時(shí),所以,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?,所以;?dāng)0<a<1時(shí),所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域的求法,考查函數(shù)奇偶性的判斷和證明,考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)這
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