5.3 誘導公式（第2課時）導學案-高一數學同步備課系列（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

第第頁5.3誘導公式（第2課時）導學案【學習目標】1.了解公式五和公式六的推導方法．2．能夠準確記憶公式五和公式六．(重點、易混點)3．靈活運用誘導公式進行三角函數式的化簡、求值和證明．(難點)【自主學習】終邊關系圖示公式作用公式五角π2-α與角α的終邊關于直線y=?sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝.將π4～π2的角的三角函數轉化為0～公式六角π2+α與角-α關于直線y=x對稱，角-α與角α關于?略sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝【答案】cosαsinαcosα-【當堂達標基礎練】【答案】【解析】【點睛】本題考查誘導公式的應用，考查運算求解能力，求解時注意奇變偶不變，符號看象限這一口訣的應用5.證明【點睛】本題考查誘導公式的證明，考查邏輯推理能力和運算，求解能力，求解時注意利用誘導公式2-4進行證明誘導公式5和66.化簡【當堂達標提升練】一、單選題1．若sin(3π＋α)＝－eq\f(1,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α))等于()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)【答案】A【解析】∵sin(3π＋α)＝－sinα＝－eq\f(1,2)，∴sinα＝eq\f(1,2).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sinα＝－eq\f(1,2).2．已知sin10°＝k，則cos620°的值為()A．k B．－kC．±k D．不確定【答案】B【解析】cos620°＝cos(360°＋260°)＝cos260°＝cos(270°－10°)＝－sin10°＝－k.3．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))等于()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(2),3) D．－eq\f(2\r(2),3)【答案】A【解析】coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)＋\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－eq\f(1,3).故選A.4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，則cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是()A．－eq\f(2a,3) B．－eq\f(3a,2)C.eq\f(2a,3) D.eq\f(3a,2)【答案】B【解析】由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，得－sinα－sinα＝－a，即sinα＝eq\f(a,2)，cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－eq\f(3,2)a.5．化簡：eq\f(sinθ－5πcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－θ))cos8π－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))sin－θ－4π)＝()A．－sinθ B．sinθC．cosθ D．－cosθ【答案】A【解析】原式＝eq\f(sinθ－πcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))cosθ,cosθsin－θ)＝eq\f(－sinθ－sinθcosθ,cosθ－sinθ)＝－sinθ.二、多選題6．下列結論中，正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據誘導公式逐項分析即得.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：AD.7．已知角滿足，則的取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】分為奇數、為偶數兩種情況討論，利用誘導公式化簡所求代數式，即可得解.【詳解】因為，則且，當為奇數時，原式；當為偶數時，原式.故原式的取值可能為、.故選：AC.8．在平面直角坐標系中，角的始邊為的正半軸，終邊經過點，則下列式子正確的是（

）A． B．C． D．若為鈍角，則【答案】CD【分析】根據終邊上的點求出三角函數值進行計算，誘導公式，余弦函數在第二象限單調遞減即可解決.【詳解】解：因為角終邊經過點，則對于：，故錯誤；對于：，故錯誤；對于：，故正確；對于：因為當，單調遞減，而，即，所以，故正確.故選：CD.三、填空題9．化簡sin(π＋α)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos(π＋α)＝________.【答案】－1【解析】原式＝(－sinα)·sinα＋cosα·(－cosα)＝－sin2α－cos2α＝－1.10．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝eq\f(\r(3),2)，且|φ|＜eq\f(π,2)，則tanφ＝________.【答案】－eq\r(3)【解析】coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝－sinφ＝eq\f(\r(3),2)，sinφ＝－eq\f(\r(3),2)，又∵|φ|＜eq\f(π,2)，∴cosφ＝eq\f(1,2)，故tanφ＝－eq\r(3).11．已知α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝eq\f(4,5)，則cos(α－85°)＝________.【答案】－eq\f(3,5)【解析】因為α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝eq\f(4,5)＞0，所以5°＋α是第四象限角，所以sin(5°＋α)＝－eq\r(1－cos25°＋α)＝－eq\f(3,5)，所以cos(α－85°)＝cos(5°＋α－90°)＝sin(5°＋α)＝－eq\f(3,5).四、解答題12．已知角α的終邊經過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))).(1)求sinα的值；(2)求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))tanα－π,sinα＋πcos3π－α)的值．[解](1)因為點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))，所以|OP|＝1，sinα＝－eq\f(3,5).(2)eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))tanα－π,sinα＋πcos3π－α)＝eq\f(cosαtanα,－sinα－cosα)＝eq\f(1,cosα)，由三角函數定義知cosα＝eq\f(4,5)，故所求式子的值為eq\f(5,4).13．求證：eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2θ)＝eq\f(tan9π＋θ＋1,tanπ＋θ－1).[證明]左邊＝eq\f(－2cosθ·sinθ－1,sin2θ＋cos2θ－2sin2θ)＝eq\f(－sinθ＋cosθ2,cosθ＋sinθcosθ－sinθ)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)，右邊＝eq\f(tan8π＋π＋θ＋1,tanπ＋θ－1)＝eq\f(tanπ＋θ＋1,tanπ＋θ－1)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ－1)＝eq\f(\f(sinθ,cosθ)＋1,\f(sinθ,cosθ)－1)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)，所以等式成立．【當堂達標素養(yǎng)練】一、單選題1．若f(cosx)＝cos2x，則f(sin15°)的值為()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)【答案】A【解析】因為f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－eq\f(\r(3),2).2．計算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝()A．89B．90C.eq\f(89,2)D．45【答案】C【解析】原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋eq\f(1,2)＝eq\f(89,2).二、多選題3．在平面直角坐標系中，點，，，則下列說法正確的是（

）A．線段與的長均為1 B．線段的長為1C．當時，點，關于軸對稱 D．當時，點，關于軸對稱【答案】ACD【分析】對于A，直接代入公式計算即可；對于B，由結合勾股定理即可求得的長；對于C，將代入坐標即可；對于D，將代入坐標即可.【詳解】由勾股定理可得，同理可得，故A正確；由題意得，由勾股定理得，故B錯誤；當時，即，即，點，關于軸對稱，故C正確；當時，，即，即，故點，關于軸對稱，故D正確.故選:ACD.4．已知函數，則（

）A． B．C．， D．，【答案】AD【分析】根據函數的解析式逐項檢驗函數是否滿足相應的性質，必要時可利用反例.【詳解】對于A，，故A正確.對于B，，故，故B錯誤.對于C，，故，故C錯誤.對于D，當k為奇數時，；當k為偶數時，，所以.故D正確.故選：AD.5．定義：角與都是任意角，若滿足，則稱與“廣義互余”.已知，則下列角中，可能與角“廣義互余”的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由條件結合誘導公式化簡可得，根據“廣義互余”的定義結合誘導公式同角關系判斷各選項的對錯.【詳解】∵，∴，若，則，所以，故A符合條件；，故B不符合條件；，即，又，∴，故C符合條件；，即，又，∴，故D不符合條件.故選：AC.6．在平面直角坐標系xOy中，點，，，則下列說法正確的是（

）A．線段與的長均為1 B．線段的長為1C．當時，點，關于y軸對稱 D．當時，點，關于x軸對稱【答案】ACD【分析】根據點坐標及兩點距離公式、同角三角函數關系求得，且，結合各項描述、誘導公式、特殊角函數值判斷它們的正誤.【詳解】由勾股定理得，同理得，故A正確；由題意得，由A及勾股定理得，故B錯誤；當時，，即，，即，點，關于y軸對稱，故C正確；當時，，即，，即，故點，關于x軸對稱，故D正確.故選：ACD三、填空題7．已知eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2，則sin(θ－5π)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－θ))＝________.【答案】eq\f(3,10)【解析】∵eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2,sinθ＝3cosθ，∴tanθ＝3.sin(θ－5π)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－θ))＝sinθcosθ＝eq\f(sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tanθ,tan2θ＋1)＝eq\f(3,10).8．已知銳角α終邊上一點P的坐標是(2sin2，－2cos2)，則α等于________．【答案】2－eq\f(π,2)【解析】cosα＝eq\f(2sin2,\r(2sin22＋－2cos22))＝sin2，∵α為銳角，∴α＝2－eq\f(π,2).四、解答題9．已知f(α)＝eq\f(tanπ－αcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos－α－π).(1)化簡f(α)；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－eq\f(3,5)，且α是第二象限角，求tanα.[解](1)f(α)＝eq\f(tanπ－αcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos－α－π)＝eq\f(－tanα·cosα·cosα,－cosα)＝sinα.(2)由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－eq\f(3,5)，得cosα＝－eq\f(3,5)，又α是第二象限角，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4,5)，則tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).10．已知為第三象限角，且．(1)化簡；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據誘導公式化簡即可；（2）利用三角函數平方關系，結合角的象限，計算即可.（1）（2）∵，∴又為第三象限角，∴11．已知角滿足(1)若角是第三象限角，求的值;(2)若，求的值.【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）根據同角三角函數關系，求得，即可求得結果；（2）利用誘導公式化簡，根據（1）中所求，即可求得結果.【詳解】（1）由題意和同角三角函數基本關系式，有，消去得，解得或因為角是第三象限角，所以，，（2），當角是第一象限角時，，當角是第三象限角時，，12．已知．(1)求的值；(2)若為第四象限角，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用已知條件化簡求出的值，然后利用誘導公式及弦化切，將代入計算即可；（2）利用及，根據在第四象限角求解即可.【詳解】（1）由題意得，.（2）由，得，代入，得，因為為第四象限角，所以，，故．13．已知α是第三象限角，且.(1)化簡；(2)若，求；(3)若，求.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據誘導公式化簡求解.（2）利用同角三角函數的基本關系以及余弦在各象限的符號進行求解.（3）利用誘導公式進行大角化小角，負角化正角，再利用特殊角的余弦值進行求解.（1）根據誘導公式有：（2）因為，α是第三象限角，所以所以（3）因為，所以.14．已知，為第