2025屆上海市格致初級(jí)中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題含解析

2025屆上海市格致初級(jí)中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸在內(nèi)，則滿(mǎn)足此條件的一個(gè)值為（）A． B． C． D．2．等差數(shù)列前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，則下列結(jié)論中正確的是（）A．是中的最大值 B．是中的最小值C． D．3．已知，則的值等于（）A． B． C． D．4．與角終邊相同的角是A． B． C． D．5．在等比數(shù)列中，則（）A．81 B． C． D．2436．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（）A．向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位7．名小學(xué)生的身高（單位：cm）分成了甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲組：115，122，105，111，109；乙組：125，132，115，121，119.兩組數(shù)據(jù)中相等的數(shù)字特征是()A．中位數(shù)、極差 B．平均數(shù)、方差C．方差、極差 D．極差、平均數(shù)8．在三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的體積為()A． B． C． D．9．已知單位向量，，滿(mǎn)足.若點(diǎn)在內(nèi)，且，，則下列式子一定成立的是（）A． B．C． D．10．下列角中終邊與相同的角是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知{}是等差數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，且，則____.12．根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)脫貧”的要求，石嘴山市農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門(mén)派3位專(zhuān)家對(duì)大武口、惠農(nóng)2個(gè)區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)區(qū)至少派1位專(zhuān)家，則甲，乙兩位專(zhuān)家派遣至惠農(nóng)區(qū)的概率為_(kāi)____．13．已知正數(shù)、滿(mǎn)足，則的最小值是________．14．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列通項(xiàng)___________15．已知等比數(shù)列中，，，則該等比數(shù)列的公比的值是______.16．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為_(kāi)_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知向量，，且函數(shù).若函數(shù)的圖象上兩個(gè)相鄰的對(duì)稱(chēng)軸距離為.（Ⅰ)求函數(shù)的解析式；（Ⅱ)若方程在時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求出的值；（Ⅲ)若函數(shù)在的最大值為2，求實(shí)數(shù)的值.18．在等差數(shù)列中，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和19．王某2017年12月31日向銀行貸款元，銀行貸款年利率為，若此貸款分十年還清（2027年12月31日還清），每年年底等額還款（每次還款金額相同），設(shè)第年末還款后此人在銀行的欠款額為元.（1）設(shè)每年的還款額為元，請(qǐng)用表示出；（2）求每年的還款額（精確到元）.20．已知圓過(guò)兩點(diǎn)，，且圓心在直線(xiàn)上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)方程．21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量,,.（1）若，求的值；（2）若與的夾角為，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程，使得滿(mǎn)足在內(nèi)，解不等式即可求出滿(mǎn)足此條件的一個(gè)φ值．【詳解】解：函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為：xk∈Z，函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸在內(nèi)，所以當(dāng)k＝0時(shí)，φ故選A．【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，不等式的解法，考查計(jì)算能力，能夠充分利用基本函數(shù)的性質(zhì)解題是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提．2、D【解析】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì).設(shè)公差為則由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式知：是的二次函數(shù)；又知對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為于是對(duì)應(yīng)二次函數(shù)為無(wú)法確定所以根據(jù)條件無(wú)法確定有沒(méi)有最值；但是根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，必有即故選D3、B【解析】．4、C【解析】∵與終邊相同的角的集合為∴令，得∴與角終邊相同的角是故選C5、A【解析】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列中，則，選A6、A【解析】

函數(shù)過(guò)代入解得，再通過(guò)平移得到的圖像.【詳解】，函數(shù)過(guò)向右平移個(gè)單位得到的圖象故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖形，求函數(shù)表達(dá)式，函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)圖形的理解.7、C【解析】

將甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差、平均數(shù)、中位數(shù)、方差全部算出來(lái)，并進(jìn)行比較，可得出答案．【詳解】甲組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：、、、、，極差為，平均數(shù)為中位數(shù)為，方差為，乙組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：、、、、，極差為，平均數(shù)為中位數(shù)為，方差為，因此，兩組數(shù)據(jù)相等的是極差和方差，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查樣本的數(shù)字特征，理解極差、平均數(shù)、中位數(shù)、方差的定義并利用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算是解本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】

在三棱錐中，求得,又由底面，所以,在直角中，求得,進(jìn)而得到三棱錐外接球的直徑，得到，利用體積公式，即可求解.【詳解】由題意知，在三棱錐中，，，，所以,又由底面，所以,在直角中，，所以,根據(jù)球的性質(zhì)，可得三棱錐外接球的直徑為，即，所以球的體積為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了與球有關(guān)的組合體中球的體積的計(jì)算，其中解答中根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征和球的性質(zhì)，準(zhǔn)確求解球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.9、D【解析】

設(shè)，對(duì)比得到答案.【詳解】設(shè)，則故答案為D【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、B【解析】與30°的角終邊相同的角α的集合為{α|α=330°+k?360°，k∈Z}當(dāng)k=-1時(shí)，α=-30°，故選B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得，由此得解.【詳解】解：由題意可知，；同理。故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

將所有的基本事件全部列舉出來(lái)，確定基本事件的總數(shù)，并確定所求事件所包含的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求出答案．【詳解】所有的基本事件有：（甲、乙丙）、（乙，甲丙）、（丙、甲乙）、（甲乙、丙）、（甲丙、乙）、（乙丙、甲）（其中前面的表示派往大武口區(qū)調(diào)研的專(zhuān)家），共個(gè)，因此，所求的事件的概率為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的計(jì)算，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定基本事件的數(shù)目，一般利用枚舉法和數(shù)狀圖法來(lái)列舉，遵循不重不漏的基本原則，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13、.【解析】

利用等式得，將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出的最小值.【詳解】，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，解題時(shí)要對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.14、【解析】分析：在已知遞推式兩邊同除以，可得新數(shù)列是等差數(shù)列，從而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，再得．詳解：∵，∴兩邊除以得，，即，∵，∴，∴是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，∴，∴．故答案為．點(diǎn)睛：在求數(shù)列公式中，除直接應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式外，還有一種常用方法：對(duì)遞推式化簡(jiǎn)變形，可構(gòu)造出新數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再由等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求出結(jié)論．這是一種轉(zhuǎn)化與化歸思想，必須掌握．15、【解析】

根據(jù)等比通項(xiàng)公式即可求解【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列公比的求解，屬于基礎(chǔ)題16、2【解析】

利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可得到答案?！驹斀狻坑牲c(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可知點(diǎn)到直線(xiàn)的距離故答案為2【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ)；（Ⅱ)，；（Ⅲ）或【解析】

（Ⅰ)根據(jù)三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，根據(jù)周期計(jì)算，從而得出的解析式；（Ⅱ)求出在，上的單調(diào)性，計(jì)算最值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，從而得出的范圍，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得出的值；（Ⅲ）令，求出的范圍和關(guān)于的二次函數(shù)，討論二次函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)最大值列方程求出的值．【詳解】（Ⅰ）∵，，∴若函數(shù)的圖象上兩個(gè)相鄰的對(duì)稱(chēng)軸距離為，則函數(shù)的周期，∴，即，∴（Ⅱ)由（Ⅰ)知，，當(dāng)時(shí)，∴若方程在有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則.∴令，，則，，∴函數(shù)在內(nèi)的對(duì)稱(chēng)軸為，∵，是方程，的兩個(gè)不同根，∴（Ⅲ）因?yàn)椋裕?，則.∴又∵，由得，∴.（1）當(dāng)，即時(shí)，可知在上為減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，由，解得：，不合題意，舍去.（2）當(dāng)，即時(shí)，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，，由，解得，滿(mǎn)足題意.（3）當(dāng)，即時(shí)，知在上為增函數(shù)，則時(shí)，，由得，舍去綜上，或?yàn)樗?【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)最值的計(jì)算，考查換元法解題思想，屬于中檔題．18、（1）；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)可知：前3項(xiàng)和，所以，又因?yàn)?，所以公差，再根?jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，可以求得．本問(wèn)考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，為容易題，要求學(xué)生必須掌握．（2）由于為等差數(shù)列，所以可以根據(jù)重要結(jié)論得知：數(shù)列為等比數(shù)列，可以根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明，即，符合等比數(shù)列定義，因此數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)公式有．本問(wèn)考查等比數(shù)列定義及前n項(xiàng)和公式．屬于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查．試題解析：（1）又（2）由（1）知得：是以4為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列考點(diǎn)：1.等差數(shù)列；2.等比數(shù)列．19、(1)(2)12950元【解析】

（1）計(jì)算100000元到第二年年末的本利和，減去第一次還的元到第二年年末的本利和，再減去第二年年末還的元，可得；（2）根據(jù)100000元到第10年年末的本利和與每年還款元到第10年年末的本利和相等，得到關(guān)于的方程組，進(jìn)而求得的值.【詳解】(1)由題意得：.(2)因?yàn)樗?，解得?【點(diǎn)睛】本題以生活中的貸款問(wèn)題為背景，考查利用等比數(shù)列知識(shí)解決問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)建模能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)要先讀懂題意，并理解復(fù)利算法，是成功解決問(wèn)題的關(guān)鍵.20、（1）（2）【解析】

（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)，求得，進(jìn)而得到圓的方程；（2）由在圓上，則，得到，求得，進(jìn)而求得圓的切線(xiàn)方程．【詳解】（1）由題意，圓心在直線(xiàn)上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，由，即，所以，圓心，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)切線(xiàn)方程為，因?yàn)樵趫A上，所以，所以，又，所以，所以切線(xiàn)方程為，即，所以過(guò)的切線(xiàn)方程．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的方程的求解