2025年中考數(shù)學(xué)專題10 加權(quán)逆等線最值專題（原卷版）

模型介紹模型介紹【模型總結(jié)】R在求形如“QB+kPA”（k≠1）的式子最值問題時，關(guān)鍵是要通過相似三角形構(gòu)造出與kPA相等的線段(即kPA=QC)，將QB+kPA”型問題轉(zhuǎn)化為“QB+QC”型將軍飲馬問題．當(dāng)k=1時，加權(quán)逆等線就變成了逆等線拼接最值模型，此種情況屬于權(quán)為1的特殊情況，只需通過全等三角形構(gòu)造出相等線段即可，然后將問題變?yōu)槌Ｒ姷膶④婏嬹R問題求解即可.R需要注意：這里的QB、PA兩條線段的延長線方向必須要有交叉，方能通過相似或全等三角形得到kPA的等線段．【解題方法】R利用比例線段構(gòu)造相似三角形轉(zhuǎn)化線段，把雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點將軍飲馬問題，利用“兩點之間線段最短”從而解出答案.

例題精講例題精講考點一:直角三角形中的加權(quán)逆等線模型【例1】.如圖，已知BC⊥AB，BC=AB=3,E為BC邊上一動點，連接AE，D點在AB延長線上，且CE=2BD,則AE+2CD的最小值為多少.變式訓(xùn)練【變式1-1】.如圖，等腰直角△ABC中，斜邊BC=2，點D、E分別為線段AB和BC上的動點，，求的最小值.【變式1-2】.如圖,在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,∠ACB=90。，點E、F分別是AB、BC邊上的動點,且,求12CE+AF的最小值.考點二:特殊平行四邊形中的加權(quán)逆等線模型【例2】.如圖，在正方形ABCD中，AB=1，E、F分別為CB、DC上的動點，且BE=2DF,求DE+2AF的最小值.變式訓(xùn)練【變式2-1】.如圖，在矩形ABCD中，AD=4,AB=43則AF+2AE的最小值為多少？【變式2-2】.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分別是邊AB，AD的動點，滿足AM＝DN，連接CM、CN，E是邊CM上的動點，F(xiàn)是CM上靠近C的四等分點，連接AE、BE、NF，當(dāng)△CFN面積最小時，BE+AE的最小值為．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1.如圖,等腰，D、E分別是AB、BC邊上的動點,且滿足,求的最小值.2.如圖，M為矩形ABCD中AD邊中點，E、F分別為BC、CD上的動點，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，則ME+2AF的最小值為．

3．如圖，在正方形ABCD中，P為AD上一點，且APPD=21，E、F分別為CD、BC上的動點，且BF＝3DE，若4．如圖，在Rt△ACB，∠BCA＝90°，∠A＝30°，AC＝，點D在線段AB上，點E在線段AB的延長線上，且BE＝AD，則CE+CD的最小值是．5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點P在邊AD上，點Q在邊BC上，且AP＝CQ，連接CP，QD，則PC+QD的最小值等于．6．如圖，平行四邊形ABCD，AB＞AD，AD＝4，∠ADB＝60°，點E、F為對角線BD上的動點，DE＝2BF，連接AE、CF，則AE+2CF的最小值為．

7．問題提出：（1）如圖①，在正方形ABCD中，E為邊AB上一點（點E不與點A、B重合），連接DE，過點A作AF⊥DE，交BC于點F，則DE與AF的數(shù)量關(guān)系是：DEAF；問題探究：（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點E、F分別在邊AB、CD上，點M為線段EF上一動點，過點M作EF的垂線分別交邊AD、BC于點G、點H．若線段EF恰好平分矩形ABCD的面積，且DF＝1，求GH的長；問題解決：（3）如圖③，在正方形ABCD中，M為AD上一點，且，E、F分別為BC、CD上的動點，且BE＝2DF，若AB＝4，求ME+2AF的最小值．

8．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，AC＝8，D、E分別為邊AC、AB上兩個動點．（1）如圖1，若D為AC中點，且DE平分△ABC的周長；ⅰ）求AE﹣BE的值；ⅱ）求證：∠AED＝30°，并直接寫出DE的值；（2）如圖2，若AE＝CD，連接BD、CE，求BD+CE的最小值．

9．如圖1，在?ABCD中．AB＝6．AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別是線段AC，CD上的動點（點E，F(xiàn)不與A，C，D重合）．AE＝CF．設(shè)∠ACD＝a，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)a得到AP，連接PE，BE，BF．（1）求證：△APE≌△CBF：（2）如圖2，若∠BOA＝90°，∠ACD＝40°，且點B、E、P在一條直線上，求BE+BF的值；（3）當(dāng)OB＝OC，∠ACD＝60°時，BE+BF長的最小值是．

10．平行四邊形ABCD中，N為線段CD上一動點．（1）如圖1，已知∠ADC＜90°．若DR＝BN，求證：四邊形DRBN為平行四邊形；（2）如圖2，已知∠ABC＝60°．若BN為∠ABC的角平分線，T為線段BN上一點，DT的延長線交線段BC于點M，滿足：tan∠BTM＝且DN＝BM．請認(rèn)真思考（1）中圖形，探究的值．（3）如圖3，平行四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝BC＝2，P在線段BD上，Q在線段CD上，滿足：BP＝2CQ．直接寫出（2QA+AP）的最小值為．

11．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，連接BD．（1）求BD的長