2025屆江蘇省兩校數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆江蘇省兩校數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分線方程為y＝x＋1，則AC所在的直線方程為()A．y＝2x＋4 B．y＝x－3 C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝02．的內(nèi)角的對邊分別為成等比數(shù)列，且，則等于（）A． B． C． D．3．的值為()A． B． C． D．4．在中，角所對的邊分別為，已知，則最大角的余弦值是()A． B． C． D．5．在△中，若，則△為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形6．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的個數(shù)為（）A． B． C． D．7．已知圓，直線，點在直線上．若存在圓上的點，使得（為坐標(biāo)原點），則的取值范圍是A． B． C． D．8．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A． B．2 C． D．9．《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有竹九節(jié)，欲均減容之（其意為：使容量均勻遞減），上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，中三節(jié)容幾何？（）A．二升 B．三升 C．四升 D．五升10．若直線上存在點滿足則實數(shù)的最大值為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．展開式中，各項系數(shù)之和為，則展開式中的常數(shù)項為__________．12．已知三棱錐（如圖所示），平面，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為______．13．函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是．14．設(shè)變量x、y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_______.15．已知四面體的四個頂點均在球的表面上，為球的直徑，，四面體的體積最大值為____16．與終邊相同的最小正角是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為4萬元，并且每生產(chǎn)1百臺產(chǎn)品需增加投入0.8萬元.已知銷售收入（萬元）滿足（其中是該產(chǎn)品的月產(chǎn)量，單位：百臺），假定生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉，請完成下列問題：（1）將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少萬元？18．正項數(shù)列的前n項和Sn滿足：(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn＜.19．已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值.20．某中學(xué)的高二（1）班男同學(xué)有45名，女同學(xué)有15名，老師按照分層抽樣的方法組建了一個4人的課外興趣小組.（1）求課外興趣小組中男、女同學(xué)的人數(shù)；（2）經(jīng)過一個月的學(xué)習(xí)、討論，這個興趣小組決定選出兩名同學(xué)做某項實驗，方法是先從小組里選出1名同學(xué)做實驗，該同學(xué)做完后，再從小組內(nèi)剩下的同學(xué)中選一名同學(xué)做實驗，求選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率；（3）試驗結(jié)束后，第一次做試驗的同學(xué)得到的試驗數(shù)據(jù)為68，70，71，72，74，第二次做試驗的同學(xué)得到的試驗數(shù)據(jù)為69,70,70,72,74，請問哪位同學(xué)的實驗更穩(wěn)定？并說明理由.21．求過三點的圓的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】設(shè)點A（3,1）關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，所以直線的方程為，聯(lián)立解得，即,又，所以邊AC所在的直線方程為，選C.點睛：本題主要考查了直線方程的求法，屬于中檔題。解題時要結(jié)合實際情況，準(zhǔn)確地進(jìn)行求解。2、B【解析】

成等比數(shù)列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．【詳解】解：成等比數(shù)列，，又，，則故選B．【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．3、B【解析】

直接利用誘導(dǎo)公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)求解即可.【詳解】,故選B.【點睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握情況，屬于簡單題.4、B【解析】

由邊之間的比例關(guān)系，設(shè)出三邊長，利用余弦定理可求.【詳解】因為，所以c邊所對角最大，設(shè)，由余弦定理得，故選B.【點睛】本題考查余弦定理，計算求解能力，屬于基本題.5、A【解析】

利用正弦定理化簡已知條件，得到，由此得到，進(jìn)而判斷出正確選項.【詳解】由正弦定理得，所以，所以，故三角形為等腰三角形，故選A.【點睛】本小題主要考查利用正弦定理判斷三角形的形狀，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

通過對兩函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行化簡，變成我們熟悉的函數(shù)模型，比如反比例、一次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)及三角函數(shù),看圖直接判斷【詳解】由，作圖如下：共6個交點，所以答案選擇D【點睛】函數(shù)圖象交點個數(shù)問題與函數(shù)零點、方程根可以作相應(yīng)等價，用函數(shù)零點及方程根本題不現(xiàn)實，所以我們更多去考慮分別作圖象，直接看交點個數(shù).7、B【解析】

根據(jù)條件若存在圓C上的點Q,使得為坐標(biāo)原點),等價即可,求出不等式的解集即可得到的范圍【詳解】圓O外有一點P,圓上有一動點Q,在PQ與圓相切時取得最大值.

如果OP變長,那么可以獲得的最大值將變小.可以得知,當(dāng),且PQ與圓相切時,,

而當(dāng)時,Q在圓上任意移動,存在恒成立.

因此滿足,就能保證一定存在點Q,使得,否則,這樣的點Q是不存在的，

點在直線上,,即

,

,

計算得出,,

的取值范圍是，

故選B.考點：正弦定理、直線與圓的位置關(guān)系.8、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列前項和為帶入即可。【詳解】當(dāng)時，不成立。當(dāng)時，則,選擇C【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項和，，屬于基礎(chǔ)題。9、B【解析】

由題意可得，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列．再利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求出中三節(jié)容量，即可得到答案．【詳解】由題意，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列，上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，則中三節(jié)容量為，故選B．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的等差中項公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

首先畫出可行域，然后結(jié)合交點坐標(biāo)平移直線即可確定實數(shù)m的最大值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示，由，得：，即C點坐標(biāo)為（－1，－2），平移直線x＝m，移到C點或C點的左邊時，直線上存在點在平面區(qū)域內(nèi)，所以，m≤－1，即實數(shù)的最大值為－1.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃及其應(yīng)用，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】令，則，即，因為的展開式的通項為，所以展開式中常數(shù)項為，即常數(shù)項為.點睛：本題考查二項式定理；求二項展開式的各項系數(shù)的和往往利用賦值法（常賦值為）,還要注意整體賦值，且要注意展開式各項系數(shù)和二項式系數(shù)的區(qū)別.12、【解析】

由于圖形特殊，可將圖形補成長方體，從而求長方體的外接球表面積即為所求.【詳解】，，，，平面，將三棱錐補形為如圖的長方體，則長方體的對角線，則【點睛】本題主要考查外接球的相關(guān)計算，將圖形補成長方體是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的劃歸能力及空間想象能力.13、【解析】

先求出函數(shù)的定義域，找出內(nèi)外函數(shù)，根據(jù)同增異減即可求出.【詳解】由，解得或，所以函數(shù)的定義域為.令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又為增函數(shù)，則根據(jù)同增異減得，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為.【點睛】復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律是“同則增，異則減”，即與若具有相同的單調(diào)性，則為增函數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則必為減函數(shù)．14、3【解析】

可通過限定條件作出對應(yīng)的平面區(qū)域圖，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)特點進(jìn)行求值【詳解】可行域如圖所示;則可化為,由圖象可知,當(dāng)過點時，有最大值，則其最大值為:故答案為:3.【點睛】線性規(guī)劃問題關(guān)鍵是能正確畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)可由幾何意義確定具體含義（最值或斜率）15、2【解析】

為球的直徑，可知與均為直角三角形，求出點到直線的距離為，可知點在球上的運動軌跡為小圓.【詳解】如圖所示，四面體內(nèi)接于球，為球的直徑，，，，過作于，，點在以為圓心，為半徑的小圓上運動，當(dāng)面面時，四面體的體積達(dá)到最大，.【點睛】立體幾何中求最值問題，核心通過直觀想象，找到幾何體是如何變化的？本題求解的突破口在于找到點的運動軌跡，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力.16、【解析】

根據(jù)終邊相同的角的定義以及最小正角的要求，可確定結(jié)果.【詳解】因為，所以與終邊相同的最小正角是.故答案為：.【點睛】本題主要考查終邊相同的角，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為8百臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤為萬元.【解析】

(1)由題可得成本函數(shù)G（x）＝4+,通過f（x）＝R（x）-G（x）得到解析式；(2)當(dāng)x＞10時，當(dāng)0≤x≤10時，分別求解函數(shù)的最大值即可．【詳解】（1）由條件知成本函數(shù)G（x）＝4+可得（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，的最大值為萬元；當(dāng)時，萬元，綜上所述，當(dāng)月產(chǎn)量為8百臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤為萬元.【點睛】本題考查實際問題的應(yīng)用，分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最大值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．18、（1）（2）見解析【解析】

（1）因為數(shù)列的前項和滿足：，所以當(dāng)時，，即解得或，因為數(shù)列都是正項，所以，因為，所以，解得或，因為數(shù)列都是正項，所以，當(dāng)時，有，所以，解得，當(dāng)時，，符合所以數(shù)列的通項公式，;（2）因為，所以，所以數(shù)列的前項和為：，當(dāng)時，有，所以，所以對于任意，數(shù)列的前項和.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用兩角和與差的正弦公式將已知兩式展開，分別作和、作差可得，，再利用，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）由已知求得，再由，利用兩角差的余弦公式展開求解，即可求出結(jié)果．【詳解】解：（I）①②由①+②得③由①-②得④由③÷④得（II）∵，，【點睛】本題主要考查了兩角和差的正余弦公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20、(1)男、女同學(xué)的人數(shù)分別為3人，1人；(2)；(3)第二位同學(xué)的實驗更穩(wěn)定，理由見解析【解析】

（1）設(shè)有名男同學(xué)，利用抽樣比列方程即可得解（2）列出基本事件總數(shù)為12，其中恰有一名女同學(xué)的有6種，利用古典概型概率公式計算即可（3）計算出兩位同學(xué)的實驗數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，問題得解【詳解】（1）設(shè)有名男同學(xué)，則，∴，∴男、女同學(xué)的人數(shù)分別為3人，1人（2）把3名男同學(xué)和1名女同學(xué)記為，則選取兩名同學(xué)的基本事件有，，，，，，，，，，，