人教版6年級數(shù)學下 爬坡題+銜接題

第一單元負數(shù)

【例1】某食品包裝袋上注明：凈含量400±5克，說明該食品的凈重在（）

克--（）克之間都是合格的。

解析：分別計算最大值和最小值，再確定合格范圍。400+5=405克，400-5=395

克；所以這種食品的凈重在395克?405克之間都是合格的。

解答：395405

【例2】某倉庫有貨物50箱，其中四天記錄的數(shù)字如下（運進為正，運出為負）,

（1）請說明各天記錄的意義。

（2）哪一天運出的箱數(shù)最多？

（3）求出這四天共運進倉庫多少箱，最后倉庫內共有多少箱貨物？

天數(shù)第1天第2天第3天第4天

箱數(shù)+48-40+50-30

解析：

（1）規(guī)定：運進的箱數(shù)為正，運出的箱數(shù)為負。要點提示：

讀表時，讀到每天的箱數(shù)，先看這個數(shù)的前面的符號相反意義的量用正負數(shù)區(qū)

是正號還是負號。如果是“+”表示運進，如果是“-”分，體現(xiàn)相對數(shù)學思想。

表示運出，最后再結合符號后面的數(shù)，說出每天運進

或運出的箱數(shù)。

（2）題中明確指出：哪天運進的箱數(shù)最多，也就是比較正數(shù)+48和+50的大小。

根據(jù)正數(shù)大小比較方法得出+50>+48。

（3）求這四天共運進倉庫的箱數(shù)，就是求上面+48、-40、+50和-30這幾個數(shù)的

和。計算時，可以按順序計算48-40+50-30=28（箱）；也可以把運進箱數(shù)相加然

后再減去運出的箱數(shù)，48+50-40-30=28（箱）。計算最后倉庫內貨物的箱數(shù)，就

用原有的箱數(shù)50加上四天運進的箱數(shù)28,結果是50+28=78（箱）。

解答：

（1）+48表示第1天運進48箱；-40表示第2天運出40箱；+50表示第3天運

進50箱；-30表示第4天運出30箱。

（2）-40表示第2天運出40箱，-30表示第4天運出30箱，40>30,所以第2

天運出的箱數(shù)多。

（3）48-40+50-30=28（箱）50+28=78（箱）

答：4天共運進28箱貨物，最后倉庫共有78箱貨物。

【例3】如果把7次作為標準，超過的次數(shù)用正數(shù)表示，不足的次數(shù)用負數(shù)表示。

請用正負數(shù)表示以下各位學生的“引體向上”的成績。

李亮劉紅張海崔可英二淘氣

明

9次7次8次4次5次6次

解析：解答上述問題時，先看每人的次數(shù)與7的大小關系。以7次為標準，就是

說如果正好7次記為0；比7次多的次數(shù)用正數(shù)表示，如8次記為+1；比7次少

的次數(shù)記為負數(shù)，如6次記為李亮的次數(shù)是9,比7次多2,所以記為+2；

劉紅的次數(shù)正好是7次，所以記為0；張海明的次數(shù)是8次，比7次多1,所以

記為+1；崔可的次數(shù)是4次，比7次少3,所以記為-3、黃蘭的次數(shù)是5,比7

次少2,所以記為-2,；淘氣的次數(shù)是6,比7少1,所以記為-1。

解答：

李亮劉紅張海明崔可黃；淘氣

9次7次8次4次5次6次

+20+1-3-2-1

【例4】下面是某學校圖書館上周借書情況統(tǒng)計表。（超過100冊的部分記為正,

少于100冊的部分記為負。）

周一周二周三周四周五

+490-4-285

（1）分別算出上周周一至周五每天各借出書多少冊？

（2）上周平均每天借出多少冊書？

解析：超過100冊的部分記為正，就是比100冊多的部分記為正數(shù)，比100冊少

的部分記為負數(shù)，如果正好是100冊則記為0。

（1）周一借書記錄是+49,就是說周一借書的冊數(shù)為100+49,周二借書記錄為

0,就是說周二正好借書100冊，周三借書記錄為-4,就是說比100冊少4冊，

即100-4,周五借書記錄是+5,就是比100冊多5冊。

（2）計算出上周每天的借書冊數(shù)后，根據(jù)平均數(shù)=總數(shù)量?總份數(shù)來列式解答。

解答：

（1）周一：100+49=149（冊）周二：100+0=100（冊）周三：100-4=96（冊）

周四:100-28=72（冊）周五:100+5=105（冊）

答：周一借出書149冊，周二借出書100冊，周三借出書96冊，周四借出書72

冊，周五借出書105冊。

（2）（149+100+96+72+105）4-5=104.4（冊）

答：上周平均每天借出104.4冊。

【例5】紅紅爸爸是一名登山愛好者，周日幾個好友相約一起登山，山腳下海拔

高度為250米。早上8點時已經(jīng)登到海拔480米處，于是稍作休息，又向上行進

了180米.此時天突然刮起大風，為了安全，只好再向上行進了-150米，到達一

個安全地點，此安全地點海拔多少米？

解析：早上8點時已經(jīng)登到海拔480米處，稍作休

息，又向上行進了180米”，可知是在海拔480+180要點提示：

=560米處，再根據(jù)“只好再向上行進了-150米，向上行進了-150米就是向

到達一個安全地點”，可知此此安全地點海拔是下行進了150米。

560-150=410米。

解答：480+180-150=560-150=410（米）

答：此安全地點海拔410米。

【例6】現(xiàn)在蝸牛的位置在0處，每走1格表示1米。蝸牛向東行3米，又向西

行6米，這時蝸牛的位置表示為多少米？

解析：本題考查的知識點有正負數(shù)的意義和數(shù)形結合思想。要點提示：

解答時，先確定向東的方向是正方向，向東行駛3米記作數(shù)形結合思想是一種常用

+3米，接著向西行駛6米記作-6米，但是向西行走的過的數(shù)學思想。

程中還要經(jīng)過。點，所以向西行駛6米后的位置是-3米。

解答：-3

第二單元百分數(shù)

【例1】對錯我來判。（對的在括號里畫“V”，錯的畫“X”）

一臺電腦4500元，先降價10%,后來又提價10%,這臺電腦的價格還是

4500元。（）

解析：本題考查的知識點有求比一個數(shù)多百分之（少百分之幾）的數(shù)是多少。解

答時，要明白和理解兩次的10%所代表的單位“1”是不同的，降價的10%是以原

價4500元為單位“1”，后一個10%是以降價后的4500X（1-10%）=4050（元）

為單位“1”,所以目前這臺電腦的價格為4050X（1+10%）=4455（元）。

解答：X

【例2】甲數(shù)比乙數(shù)多25%,則乙數(shù)比甲數(shù)少（）。

解析：本題考查的知識點是判斷和區(qū)別不同的單位“1”并利用轉化法解答問題。

甲比乙多25%（-）說明乙是單位“1”，如果

4要點提示：

把乙看成4份，則甲有4+1=5（份），把百分數(shù)先轉化成分數(shù),

這樣乙比甲少5-4=1（份），少甲的l+5=g。再轉化成份數(shù)。

解答:20%

【例3】某商品按20%的利潤定價，若按八折出售，每件虧損64元。每件成本

是多少元？

解析：解答百分數(shù)問題的關鍵是找準百分數(shù)的單位“1”。商品先按20%的利潤定

價，就是說定價是進價的1+20%即120%,如果設進價是x元，則定價是（1+20%）

x=1.2x元，這時，如果再打八折出售，就是按定價的80%出售，即1.2x的80%,

也就是80%X（1.2x）=0.96x元，這時的售價比進價少了64元。解答是，抓住

這一等量關系列出方程，然后解答即可。

解答：

解：設設這種商品的成本是x元，則定價為（1+20%）x=1.2x元，售價為80%

X（1.2x）=0.96x元，由題意得:

x-0.96x=64要點提示：

0.04x=64方程思想是解答復雜百分

x=1600數(shù)問題常用的方法。

答:這種商品的成本是1600元。

【例4】某商場在十一促銷期間，將一批商品降價出售。如果減去定價的10%出

售，那么可盈利215元；如果減去定價的20%出售，那么虧損125元。此商品

的購入價是（）元。

解析：減去定價的10%出售，盈利215元；減去定價的20%出售，虧損125元,

就是說該商品的（20%-10%）所對應的數(shù)量是215+125=340（元），這時我們可

以根據(jù)數(shù)量差+分率差=單位“1”列式（215+125）+（20%-10%）求出定價是

3400元；如果求商品的購入價，可以根據(jù)按照定價的（1-10%）還可以獲利215

元，列式34003400X（1-10%）-215求出該商品的購入價是2845元。

解答：

定價為:（215+125）+（20%-10%）=3400（元）

進價為：3400X（1-10%）-215=2845（元）

答：此商品的購入價是2845元。

【例5】一件商品原價是480元，商場開展“滿300元減120元”的促銷活動，

實際上這件商品降價（）成。

解析：本題考查的知識點是成數(shù)問題，解答時理解“滿300元減120元”是解答

此題的關鍵?！皾M300元減120元”的意思是滿300元需要付款300-120=180元,

因為480元里只含有1個300元，所以原價480元的商品需要付款480-120=360

（元），也就是打了（480T20）+480=360+480=75%=七五折，這樣相當于降價

1-75%=25%=二成五。

解答：

（480-120）4-480=3604-480=75%1-75%=25%=二成五

答：實際上這件商品降價二成五。

【例6】張老師購買面積為100平方米的商品房需人民幣62萬元，首付20萬元,

余下所需的錢從銀行按揭貸款，貸款10年，年利率是2.5%（不考慮復利），他

買房實際每平方米價值多少元？

解析：求張老師買房實際每平方米的價格需要先求出張老師這套100平方米的住

房實際付款多少元，也就是需要先求出張老師貸款需要支付的本息和。首付20

萬元，貸款支付的本息和是62-20+（62-20）x2.5%x10=52.5（萬元）；接著計算

出買這套房子實際支付的錢數(shù)，20+52.5=72.5（萬元），最后計算出單價列式為

72.54-100=72.5-100=0.725（萬元）=7250（元）。解答利息利用的數(shù)量關系式是：

本息和=本金+本金X年利率X時間。

解答：

62-20=42（萬元）

42+42x2.5%x10=42+10.5=52.5（萬元）

（52.5+20）4-100=72.5^100=0.725（萬元）=7250（元）

答：他買房實際每平方米價值7250元。

【例7】奶奶有20000元錢，有兩種理財方式：一種是買銀行1年期理財產(chǎn)品，

年收益率是5.2%（3年內利率不變）；另一種是買3年期國債，年利率5.00%.3

年后，哪種理財方式收益更大？

解析：本題考查的知識點是用分類討論的方法解決簡單的利率問題。解答時要分

別求出兩種理財方式的收益，然后進行比較，最后確定哪種理財方式收益更多。

如果采用買一年期理財方式，可以先求出第一年的收益，根據(jù)利息=本金義年

利率X時間列式為20000X5.2%X1=1040（元），然后再求出第二年的收益（這

里注意本金是20000元加上第一年的手語1040元。）列式為（20000+1040）X5.2%

XI=10403x5.2%x1=1094.08（元）；接著采用類似的方法計算出第3年的收益，

歹I」式為（20000+1094.08+1040）X5.2%Xl=21094.08x5.2%xl^1150.97（元）；

然后計算出三年收益和為1040+1094.08+1150.97^3285.05（元）。

如果采用購買三年期國債，根據(jù)利息=本金X年利率X時間列式計算出收益為

20000x5.0%x3=1000x3=3000（元）。

最后再比較兩種理財方式的多少。

解

（1）先買一年期，把本金㈣利息取出來合在一起，再存入一年，

20000X5.2%X1=1040（元）

（20000+1040）X5.2%Xl=10403x5.2%xl=1094.08（元）

（20000+1094.08+1040）X5.2%X1=21094.08x5.2%xl%1150.97（元）

1040+1094.08+1150.97^3285.05（元）

（2）三年期：20000x5.0%x3=1000x3=3000（元）

3285.05元>3000元

答：第一種理財方式收益更大。

【例8】一種飲料，原定價為5元/瓶，甲、乙、丙、丁四個商店以不同的銷售

方式促銷。

甲：打八五折出售乙：買四送一

丙：滿80元減20T：買夠百元打七五折

如果買10瓶，去哪家買最劃算？

解析：四家商店的促銷方式不同，甲店的八五折出售，就是按照購買商品總價的

85%來結算；乙店是買四送一，也就是說是花4瓶的價錢買到5瓶飲料，也就是

按照4+5=0.8=80%=八折的方式來結算。丙店是滿80元減去20元，因為單價是

5元，買10瓶的價錢是5X10=50（元），50元不足80元，所以不能優(yōu)惠；丁店

的優(yōu)惠方式和丙一樣，也是不足100元不能優(yōu)惠，即丙和丁都需要按照總價結算。

解答：

甲:5X10X85%=42.5（元）

乙：104-（4+1）=2（組）5X4X2=40（元）

或者是：5X10X80%=40（元）

40<42.5

答：去乙店購買劃算。

【例9】十一”期間，兒童游樂園實行售票優(yōu)惠活動，優(yōu)惠的方式有兩種：一種

是成人全價，兒童半價；另一種是不管成人還是兒童一律打八折，兩種優(yōu)惠方式

可以任意選一種。如果是一個老師帶著4名學生去，應該選擇哪一種優(yōu)惠方式？

解析：本題考查的知識點有全價、半價以及八折等知識點，解答時應為沒有給出

具體的門票價格，可以設門票的價格是a元。根據(jù)總價=單價X數(shù)量，這樣第一

種方式需要付費aX0.5X4+a=3a（元）；第二種方式需要付費（1+4）XaX0.8=4a

（元），最后再比較出第一種方式優(yōu)惠。

解答：設門票為a元。

第一種方式需付費：aX0.5X4+a=3a（元）要點提不：

第二種方式需付費：（1+4）XaX0.8=4a（元）設數(shù)的方法也是解決問題

3a<4a的一種常用方法。

答：應選選擇第一種優(yōu)惠方案。

第三單元圓柱和圓錐

【例1】請你制作一個無蓋圓柱形水桶，有以下幾種型號的鐵皮可搭配選擇。你

選擇的材料是幾號和幾號？說說為什么這樣選擇？

12.56分米

2^

C

5件

解析：選擇組合圓柱形水桶的底面和側面時，因為

圓柱的側面展開圖的長是圓柱的底面周長，所以，要點提示：

可以先根據(jù)給出的圓柱的底面圓計算出這個圓的組合的方法也是解決問題

周長，然后再看和哪個長方形的長或寬數(shù)據(jù)一致，的一種常用方法。

就選擇哪組。

解答：材料B的周長：3.14X2=6.28（分米），材料D的周長是2X3.14X4=25.12

（分米），根據(jù)上面每個材料給出的數(shù)據(jù)，B和C的材料搭配合適。

【例2】一種圓柱形狀的飲料盒，底面直徑5.6厘米，高13厘米.要把它的側面

全部圍上包裝紙，這張包裝紙的面積至少是多少？（得數(shù)保留整百平方厘米）

解析：計算圓柱的側面積，可利用圓的周長公式計算

出圓柱體底面周長，然后用底面周長乘高進行計算即要點提示：

可得到這個圓柱體的體積的側面積。結果采取進一法是一種常

解答:3.14X5.6X13=17.584*13=228.592用數(shù)學方法。

七300（平方厘米）

答：每張包裝紙的面積至少是300平方厘米。

【例3］把一根圓柱形木料對半鋸開（如圖，單位：厘米），求這半塊木料的體

積。

解析：本題考查的知識點是圓柱的體積和數(shù)學的轉化思想。計算半圓柱的體積時,

先計算出整個圓柱的體積，然后再除以2,即可求出半圓柱的體積。

解答：3.14X(144-2)2X324-2

=3.14x49x32+2要點提示：

=4923.52+2將不規(guī)則圓柱轉化為規(guī)則圓柱,

=2461.76(立方厘米)；體現(xiàn)了數(shù)學的轉化思想。

【例4】下面的圖（2）是圖（1）的側面展開圖.一只螞蟻沿著圓柱的側面，從

A點沿最短的距離爬到B點。B點在圖（2）中的位置是（）

A①B②C③D④

解析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓柱的側面展開，進而根據(jù)“兩點之間線

段最短”得出結果。如下圖，最佳方案是螞蟻沿展開圖中線段A②爬行。

解答：B

【例5】將一個圓柱分成若干等份，拼成一個近似的長方體，這個長方體的高為

10厘米，表面積比圓柱多40平方厘米。圓柱的體積是多少立方厘米？

解析：拼成的近似的長方體的上下面的面積等于原來圓柱體的上下底面積，這個

長方體的前后面的面積等于圓柱體的側面積，增加的是這個長方體的左右兩個面

的面積，左右面的長等于圓柱體的高，寬等于圓柱體的底面半徑，用增加的一個

面的面積除以圓柱體的高即可求圓柱體的底面半徑，再根據(jù)圓柱體的體積公式計

算即可。

解答：3.14X（404-24-10）2X10

要點提示：

=12.56X10抓住“不變量”是一種常用的數(shù)

=125.6（立方厘米）學解題方法。

答：圓柱的體積是125.6立方厘米。

【例6】下面的圓柱與圓錐體積相等的是（）。

ABCD

解析：本題考查的知識點有圓柱的體積計算、圓錐與圓柱體積關系和數(shù)學的“等

積變形”思想。解答時根據(jù)等底等高的圓柱的

體積和圓錐的體積的3倍，所以底面積相等，要點提示：

圓錐的高是圓柱的高的3倍的圓柱和圓錐的等積變形是一種重要的數(shù)學思

體積相等。想。

解答:C

【例7】小明做了一個圓柱體和幾個圓錐體，規(guī)格如下圖，將圓柱內的水倒入第

()個圓錐體，正好倒?jié)M。

解析：本題考查的知識點是等底等高的

圓柱與圓錐的體積之間的關系。解答時，要點提示：

先觀察，因為選項A中圓錐與圓柱等底抓不變量的方法是解答此類問

題的關鍵。

等高，所以選項A中圓錐的容積=!圓柱的?項A

3

中圓錐形容器中，正好倒?jié)M。

解答：A

【例8】有甲乙兩個容器，甲容器注滿水后，倒入乙容器里，乙容器里水深多少？

(單位：厘米)

解析：本題考查的知識點有圓錐和圓柱的體積計算以及數(shù)學的“等積變形”思想。

解答時，先根據(jù)甲容器圓錐的體積=[><底面積X高計算出水的體積，再結合這

些水的體積不變，即圓錐內水的體積等于倒入圓柱后水的體積。最后根據(jù)圓柱的

高=圓柱的體積+圓柱的底面積即可求出倒入圓柱中的水的高度。

解答：

-X3.14X62X104-(3.14X42)

3要點提示：

=-X3.14X36X104-(3.14X16)“等積變形”思想是一種常用的

3數(shù)學解題思想方法。

=376.84-50.24,

=7.5（厘米）；

答：乙容器里水深7.5厘米。

【例9】一種飲料瓶的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），容積是30立方厘米，現(xiàn)在

瓶中裝有一些飲料，正放時飲料高度是20厘米，倒放時，空余部分的高度是5

厘米，瓶中現(xiàn)有多少毫升飲料？

解析：本題考查的知識點有圓柱的體積計算和數(shù)學的“轉化”思想。分析時把瓶

頸空的那部分換成瓶身圓柱形部分，瓶的總體積相當于5+20厘米高的圓柱形而

飲料占20厘米，也就是總體積的上匚，所以飲料的體積為：30義工_=24

20+520+5

（立方厘米）。

解答：要點提示：

30X-^—=24（立方厘米）“轉化”思想是一種常用的數(shù)學

20+5解題思想方法。

答：瓶內有飲料24立方厘米。

【例10］如圖ABCD是直角梯形。（單位：厘米）以AB為軸，并將梯形繞這個

軸旋轉一周，得到一個立體圖形，它的體積是多少？

解析：本題考查的知識點有圓柱和圓錐的體積計算以及數(shù)學的運動變化思想。解

答是先明白繞下底AB旋轉一周形成的立體圖形是一個高為2厘米，底面半徑為

2厘米的圓柱與一個高為（5-2）厘米，與圓柱等底的圓錐的組合體，根據(jù)圓柱、

圓錐的體積公式即可求出它的體積。

解答：

,1,

3.14X22X2+X-X3.14X22X（5-2）

3

要點提示：

=3.14X4X（2+-X3）

3從運動變化的角度分析也是一

=3.14X12種常用的數(shù)學解題方法。

=37.68（立方厘米）

答：它的體積是37.68立方厘米。

【例11】求出石塊的體積。（單位：厘米）

解析：本題直接考查的知識點是不規(guī)則物體體積的計算。解答時可以利用數(shù)學的

轉化思想，將不規(guī)則的石塊放入圓柱后，體積就轉化為一個底面直徑是20厘米,

高是12-10=2（厘米）的圓柱的體積，然后再根據(jù)圓柱的體積=底面積X高，列

式計算解答。

解答：

3.14X（204-2）2X（12-10）

要點提示：

=3.14X100X2計算不規(guī)則物體的體積時，有時可以利

=3.14X200用數(shù)學的轉化思想，轉化為規(guī)則物體。

=628（立方厘米）

答:石塊的體積是628立方厘米。

第四單元比例

【例1】用3、5、24和40你可以寫出幾個比例來？

解析：本題考查的知識點是比例的基本性質。

解答時，先根據(jù)比例中，兩個內項的積等于要點提示：

兩個外項的積，把上面的四個數(shù)寫出一個等有序思考和分類討論都是解決

積式，3X40=5X24,然后根據(jù)這一基本性質再數(shù)學問題的方法。

24和40的比例，這樣可以寫出8個不同的比例。

解答：

3：5=24：403:24=5:405:3=40:355:40=3:24

24:3=40:524:40=3:440:5=24:340:24=5:3

【例2】一只青蛙四條腿，兩只眼睛一張嘴；兩只青蛙八條腿，四只眼睛兩張嘴;

三只青蛙……”，兒歌中青蛙的只數(shù)與對應的腿數(shù)成（）比例關系。

解析：本題考查的知識點是正比例關系的判斷。解答時，先找出已知的信息中的

兩個變量，青蛙的只數(shù)和對應的腿數(shù)，然后看這兩個變量之間的關系，判斷它們

的比值一定還是積一定，因為腿數(shù)+只數(shù)=4（一定）所以，青蛙的只數(shù)和對應的

腿數(shù)成正比例關系。

解答：正比例

【例3】看圖象回答問題。

（1）速度和時間是否成比例，如果成比例，成什么比例？

（2）利用圖象估計一下，如果想要4小時行完全程，每小時行多少千米？

解析：本題考查的知識點是利用對應法解答反比例關系問題。

（1）解答時，先觀察給出的兩個變量，一個是速度一個是時間，觀察圖形發(fā)現(xiàn):

時間隨著速度的變化而變化，并且速度義時間=路程（一定），所以速度和時間成

反比例關系。

（2）觀察圖像發(fā)現(xiàn)：當速度是每小時120千米時，時間是1小時，速度每小時

80千米時，時間是1.5小時，當每小時相識60千米時，時間是2小時，……，

這是發(fā)現(xiàn)，如果想4小時行駛萬全程時，速度對應的點是3小時。

解答：

（1）因為速度X時間=路程（一定），要點提示：

所以速度和時間成反比例。觀察圖像時，可以采用對應法一

（2）根據(jù)圖形觀察，如果想4小時一觀察。

行完全程，每小時行30千米。

【例4］學校把414棵樹苗按各班的人數(shù)分給六年級的三個班。一班和二班分得

樹苗的棵數(shù)比是2：3,二班和三班分得樹苗的棵數(shù)比是5：7。求每個班各分得

樹苗多少棵

解析：本題考查的知識點有把兩個比轉化為一個比和按比例分配解答問題。解答

時，先把兩個比轉化為一個比，然后再按比例分配解答即可。

解答：2:3=10:155:7=15:21,所以一班、二班和三班分得樹苗棵數(shù)比是

10:15:21,10+15+21=46

414X—=90（棵）

46要點提示：

414X—=135（棵）解答此類問題時，可以把兩個比

46轉化為一個連比。

21

414X—=189（棵）

46

答：三個班分得的樹苗棵數(shù)分別是90棵、135棵和189棵。

［例5］一塊長方形菜地，兩條互相垂直的線把它分成了四塊（如圖）。其中三

塊的面積分別是12、15和24平方分米，則第四塊的面積是（）平方分米。

1215

24

解析：本題考查的知識點有比例和數(shù)學的對應思想。解答時先根據(jù)長方形的性質,

得12和15所在的長方形的長的比是4：5；再設要求的第四塊的面積是x平方

米，則24：x=4：5,x=30,所以，第四塊部分的面積是30平方米。

解答：30

【例6】甲乙兩種商品的價格比是5：3,如果它們的價格分別下降15元，其價

格比則變?yōu)?：3。這兩種商品的原價各是多少元？

解析：本題考查的知識點有解比例和份數(shù)法設未知數(shù)。解答時，因為降價前后的

份數(shù)比發(fā)生了變化，所以可以抓住降價前的份數(shù)比是5:3,設其中的一份為x,

這樣甲商品的價格是5x,乙商品的價格是3x,兩種商品都降價15元后，價格比

是7:3,這樣可以得出比例（5xT5）:（3x-15）=7:3,然后再根據(jù)比例的基本性質

求出x的值，然后再求出兩種商品的原價。

解答：

解：設原來甲種商品的價格是5x元，乙種商品的價格是3x元。

（5x-15）:（3x-15）=7:3

7（3x-15）=3（5x-15）

21x-105=15x-45要點提示：

6x=60解答有關比的問題時，可以用設

X=10一份量為x的方法來解答。

5x=503x=30--------------------------

答：原來兩種商品的價格分別是50元和30元。

【例7】如圖，甲、乙兩人繞一長80米、寬60米的矩形操場跑步鍛煉。甲從A,

乙從B相向而跑，結果第一次在E處相見，E離A處有30米，然后繼續(xù)跑。問

甲、乙能否再在E處相遇？如果能，那是甲、乙的第幾次相遇？

,甲一80米*■大

解析：從圖可知，BE=50米，這意味著乙的速度比甲快，甲、乙速度之比為3：

5。如果再次在E處相遇，此時甲、乙都跑了整數(shù)圈。由于時間相同，路程的

比等于速度的比，所以甲跑了3圈，乙跑了5圈。因為甲、乙相遇一次，就是合

起來跑了一圈，所以甲、乙共跑了3+5=8（圈）。從E出發(fā)后甲、乙兩人共遇見

了8次，第八次又在E處相遇，這也是甲、乙的第九次相遇（包括第一次在E

處相遇）。

解答：甲、乙的第九次相遇。

【例8】一個長方形按4:1放大后，它的周長和面積各發(fā)生了怎樣的變化？

解析：解答此類放大或縮小類問題時，可以采用“設數(shù)法”來解答。設數(shù)時，一

般設比較小的整數(shù)，這樣計算起來比較簡單，比如此題可以設原來長方形的長是

5厘米，寬是4厘米，然后先求出原來的周長和面積，接著求出擴大后的周長和

面積，最后進行比較，從而得出結論。

解答：設長方形的長是5厘米，寬是4厘米。

原來的周長是：（5+4）X2=18（厘米）------------=--------

原來的面積：5X4=20（平方厘米）要點提示：

設數(shù)的方法是解答比和比例問

題常用的方法。

新長方形的長：5X4=20（厘米）寬：4X4=16（厘米）

新長方形的周長：（20+16）X2=72（厘米）

新長方形的面積：20X16=320（平方厘米）

周長的變化:72:18=4:1,面積的變化:320:20=16:1

答：長方形的周長擴大為原來的4倍，面積擴大為原來的16倍。

[例9]一幅地圖的比例尺為1:50000,現(xiàn)在如果改為1:20000的比例尺，則原

來圖上10厘米的距離，現(xiàn)在應畫多少厘米？

解析：本題考查的知識點是圖上距離、實際距離和比例尺的關系。解答時，不管

比例尺怎樣變化，實際距離是不變的。根據(jù)圖上距離和原來的比例尺先求出實際

距離,列式為10^—^—=500000（厘米），然后再根據(jù)新地圖的比例出和實際

5（XXX）

距離求出圖上距離，列式為500000+」一=25（厘米）。

20000

解答：10^-——=500000（厘米）

50000要點提示：

5000004-——=25（厘米）解答此類問題的關鍵是抓住實

20000際距離不變這一不變量。

答：現(xiàn)在應該畫25厘米。

【例10】一艘輪船以每小時40千米的速度從甲港開往乙港，行了全程的20%后，

又行駛了1小時，這時未行路程與已行路程的比是3：1。甲乙兩港相距多少千

米？

解析：本題考查的知識點有比與分數(shù)的互化和路程、時間和速度之間的關系。解

答時要先理解“未行路程與已行路程的比是3：1”的意思就是已行了全程的」一,

3+1

這時用」--20%就是1小時40千米這一路程所對應的分率，所以用數(shù)量40除

3+1

以該數(shù)量所對應的分率就是單位“1”全程。要點提示：

解析：40X14-（--20%）=800（千米）解答此題的關鍵是把路程比轉

3+1化為分數(shù)。

答：甲乙兩港相距800千米。

第五單元鴿巢問題

【例1】紅、黃、藍三種顏色的球各6個，混合后放在一個布袋里，一次至少摸

出幾只，才能保證有兩只是同色的？

解析：把3種不同顏色看作3個抽屜，把不同顏色的要點提示：

球看作元素，從最不利情況考慮，每個抽屜先放1個解答此題的關鍵是把三種顏色

球，共需要3個，再取出1個不論是什么顏色，總有看成三個抽屜。

一個抽屜里的球和它同色，所以至少要取出：3+1=4

（個）。

解答:3+1=4（個）

答：一次至少摸出4個，才能保證有兩個是同色的。

【例2】在一次春游活動中，三年級1班有31人帶了面包，38人帶了飲料，36

人帶了水果，34人帶了巧克力，全班有45人。可以肯定的是有（）人這4

種都帶了。

解析：可能沒帶面包的：45-31=14、可能沒帶飲料的:45-38=7、可能

沒帶水果的:45-36=9、可能沒帶巧克力的:45-34=11、可能只帶四樣

中其中一樣的：14+7+9+11=41,所以可以肯定四樣都帶了的至少有:45-

41=4（人）°

解答：可以肯定至少有4人這四樣都帶了。

[例3]一個袋里有紅珠子6粒，黃珠子8粒，藍珠子10粒。最少要抽出多少

粒珠子才可保證有3粒是同一顏色？

解析：本題考查的知識點是抽屜原理。從最壞情況進行考慮：要點提示：

一共摸出6粒：同時摸出紅色、藍色、黃色各2顆；此時再考慮最差情況解答

任意摸出一個，就一定有3粒珠子顏色相同。此題的關鍵。

解答：3X2+1=7（粒）

答：最少要抽出7粒珠子才可保證有3粒是同一顏色。

【例4】筆筒里有3支紅筆和2支黑筆，如果蒙上眼睛摸一次，至少拿出幾支筆

才能保證有1支紅筆？

解析：把紅筆和黑筆看做是兩個抽屜，5只筆看做是5個元素，根據(jù)抽屜原理考

慮最差情況：摸出2支全是黑筆，那么再任意摸出一支就是紅筆。

2+1=3（支）

答：一次必須摸出3支鉛筆才能保證至少有一支紅筆。

[例5]一個興趣小組有16名同學，他們都訂閱了甲乙兩種雜志中的一種或兩

種，那么至少有（）名同學都訂閱的雜志種類相同。

A5B4C6

解析：可以訂閱雜志的情況有甲、乙或甲和乙一共三種可能，也就是說有3個抽

屜，根據(jù)抽屜原理，從最不利的情況考慮：16+3=5（人）-1（人），所以至少

有5+1=6（名）同學訂閱的雜志種類相同。

解答：c

【例6】有100個蘋果分給幼兒園某班的小朋友，已知其中有人至少分到了3個。

那么，這個班的小朋友最少有多少人？

解析：本題考查的知識點是抽屜原理。解答時把小朋友的人數(shù)為抽屜個數(shù)，人數(shù)

最少，則分得3個蘋果的人數(shù)最多，所以用100+3=33-1,33+1=34（人）

解答：100+3=33“?133+1=34

答：這個班的小朋友最少有34人。

【例7】某班同學去買語文書、數(shù)學書和英語書，買書的情況是：有買一本書的、

有買兩本書的、也有買三本書的，問至少要去幾個同學才能保證一定有兩個同學

買到相同科目的書？（其中每本書最多買一本）

解析：買書的情況有：買一本的：故事書，數(shù)學書，英語書共3種；買兩本的：

語文書、數(shù)學書，語文書、英語書，數(shù)學書和英語書共3種；買三本的：語文書、

數(shù)學書和英語書；3+3+1=7（種），把這7種情況看做7個抽屜，要保證有有兩個

同學買到相同科目的書，因此買書的人數(shù)要大于7,至少有8位同學買書。

解答:買書情況一共有3+3+1=7（種），把這7種情

況看成7個抽屜，要保證有兩位買書的類型相同，要點提示：

因此買書的人數(shù)要大于7,7+1=8（人解答此題的關鍵是

答：至少有8位同學買書。先建立抽屜。

第六單元整理與復習

【例1】一個三位數(shù)的各位數(shù)字之和是17,其中十位數(shù)字比個位數(shù)字大1。如果

把這個三位數(shù)的百位數(shù)字與個位數(shù)字對調，得到一個新的三位數(shù)，則新的三位數(shù)

比原三位數(shù)大198,求原數(shù)。

解析：解答此類問題的關鍵是正確表示出這個三位數(shù)每一數(shù)位上的數(shù)字以及這個

三位數(shù)，如果設原數(shù)個位數(shù)字為a,則十位數(shù)字為a+1,百位數(shù)字為16-2a,三

位數(shù)表示為100(16-2a)+10(a+1)+a。

解答：

解：設原數(shù)個位數(shù)字為a,則十位數(shù)字為a+1,百位數(shù)字為16-2a

根據(jù)題意列方程

100a+10a+16-2a-100(16-2a)-10a-a=198要點提示：

解得a=6方程思想是解決數(shù)

a+1=716-2a=4學問題常用的思想。

答:原數(shù)為476。

542

【例2】如果那么()內填的自然數(shù)可以是哪些數(shù)？

6()3

解析：本題考查的知識點有分數(shù)的基本性質、比較分數(shù)的大小等綜合運用數(shù)學知

識解決問題的能力。解答時，先觀察三個分數(shù)不等，已知每個分數(shù)的分子，可以

先根據(jù)分數(shù)的基本性質把它們轉化成分子相同的分數(shù)，

分別啕、急20要點提示：

30轉化思想是解決數(shù)

由此得出，24<()X5<30,所以括號學問題常用的思想。

里可以填的數(shù)是5。

解答:5

【例3】一張正方形的紙，長7分米5厘米、寬6分米?，F(xiàn)在要把它裁成小正方

形，而且小正方形的邊長取整厘米數(shù)，有幾種裁法？如果要使得小正方形的面積

最大，可以裁多少塊？

解析：本題考查的知識點有兩個數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)。解答時，先統(tǒng)一單位,

長和寬用厘米數(shù)表示，7分米5厘米=75厘米、6分米=60厘米；然后求出75

和60的公因數(shù)3、4、5、15,確定裁法，最后再求出面積最大的塊數(shù)。

解答：7分米5厘米=75厘米6分米=60厘米

有4種裁法，要使得小正方形的面積最大，要點提示：

則邊長是15,這樣長可以裁出5塊，寬可以分情況討論思想是解決

裁出4塊，一共是4義5=20(塊)。數(shù)學問題常用的思想。

【例4】一輛小汽車的牌照是0口45(一個四位數(shù))，已知0+0=口，O+Q+Q

+6=26,△+△=€),那么它的牌照號碼是()o

解析：把口=。+。代入C)+口+口+6=25可得：。+。+。+。+0+6=26

50=20

0=4

要點提示：

□=0+0=4+4=8<□=△+△所以：

分情況討論思想是解決

2A=4數(shù)學問題常用的思想。

△=2

解答：4285

【例5】有位病人，每天必須吃2個雞蛋，才能盡快恢復健康。已知家里存有20

個雞蛋，還有一只每天下1個蛋的母雞，那么這位病人能連續(xù)吃雞蛋多少天？

解析：

方法一：先把那20個雞蛋吃掉，就可以吃20+2=10天；在這10天里母雞已下

了10個蛋，這10個蛋可以吃10+2=5天；在這5天里母雞已下了5個蛋，

可以吃5+2=2天…1個；在這2天里母雞已下了2個蛋，加上剩下那個蛋,

又可以吃（2+1）4-2=1天…1個；在這1天里，母雞已下了1個蛋，加上剩

下那個蛋，又可以吃1天；在這1天里，母雞又下了1個蛋，加上當天生的

那1個，又能吃1天。所以結果是：10+5+2+1+1+1=20天。

方法二：從20個雞蛋里每天拿1個，再加上母雞每天生下的那1個蛋就可以吃

1天了，這樣連續(xù)能吃：20+1=20天。

解答：要點提示：

方法一：10+5+2+1+1+1=20（天）區(qū)分“變和不變”是解決

方法二：204-1=20（天）數(shù)學問題常用的思想。

【例6】對任意整數(shù)a、b,有aXb=（a+3b）4-2,求4XX=5中X的值。

解析：本題考查的知識點是定義新運算。解答時，根據(jù)新的運算方法aXb等于

a與b的3倍的和再除以2,由此用新的運算方法把4XX=5寫成方程的形式，解

方程即可求出x的值。

解答：4Xx=5

（4+3x）4-2=5

4+3x=5X2要點提不：

4+3x=10解答定義新運算問題時，方

4+3x-4=10-4程思想是常用的數(shù)學思想。

3x=6

x=2

【例7】五個完全相同的小長方形剛好可以拼成一個如圖的大長方形，大長方形

的長與寬的比是（）o

解析：本題考查的知識點有比的相關知識和數(shù)形結合數(shù)學思想。從圖形中可以看

出，小長方形的2個長的長度等于3個寬的長度，也就是1個長等于1.5個寬。

大長方形的長為小長方形的3個寬，所以大長方形的寬為小長方形的1+1.5=2.5

個寬，這樣大長方形的長與寬的比是3：2.5,最后化簡即可。

解答：

小長方形的2個長的長度等于3個寬的長度，要點提示：

則1個長等于L5個寬，利用數(shù)形結合思想解答問題

大長方形的長為小長方形的3個寬，時，要找準數(shù)和形之間的數(shù)

量關系。

大長方形的寬為小長方形的1+1.5=2.5個寬，

大長方形的長與寬的比為3：2.5=6：5o

【例8】小明家離火車站很近，他每天都可以根據(jù)車站大樓的鐘聲起床。車站大

樓的鐘，每敲響一下延時3秒，間隔1秒后再敲第二下。假如從第一下鐘聲響

起，小明就醒了，那么到小明確切判斷出已是清晨6點，前后共經(jīng)過了幾秒鐘？

解析：從第一下鐘聲響起，到敲響第6下共有5

個“延時”、5個“間隔”，共計（3+1）X要點提示：

5=20秒。當?shù)?下敲響后，小明要判斷是否清把一次延時和一個間隔看成

晨6點，他一定要等到“延時3秒”和“間隔一組，采用分組法來解答。

1秒”都結束后而沒有第7下敲響，才能判斷

出確是清晨6點。

解答：（3+1）X6=24（秒）。

【例9】在圖中，BC是直徑，AC垂直BC,且甲的面積比乙的面積多57cm2,求:

AC=?

解析：陰影部分的面積是半圓面積和三角形面積的公共部分，己知甲的面積比乙

的面積多57平方厘米，也就是半圓的面積比三角形的面積多57平方厘米，已知

半圓的直徑即可求出半圓的面積，半圓的面積減去57平方厘米就是三角形的面

積，再根據(jù)三角形的面積公式：s=ah+2、h=2s+a求出AC的長。

解答：

3.14X（204-2）24-2=3.14X1004-2

要點提示：

=3144-2=157（平方厘米）靈活運用數(shù)學的等量代換和

（157-57）X2-^20=100X24-20轉化思想來解答。

=2004-20=10（厘米）

答：AC長10厘米。

【例10】圖中正方形的面積是20平方厘米，求圖中圓的面積

解析：正方形的邊長正好是圓的半徑，根據(jù)圓的面積計算公式“S=n二半根據(jù)

正方形的面積計算公式“S=a2”已知，也就是說正［要點提示：

利用“整體代換”思想把正方形

的面積看成是半徑的平方。

方形邊長的平方已知，即圓半徑的平方已知，用圓

半徑的平方乘JT就是圓的面積。

解答：3.14X20=62.8（平方厘米）

答：圖中圓的面積是62.8平方厘米。

【例11】某瓷器商店去景德鎮(zhèn)收購瓷質茶具共1000套，每套收購價為26元，

每4套裝入1個箱，為一件貨物.從產(chǎn)地到商店有500千米，運費按每10件每

運1千米收費0.8元.如果瓷茶具在運輸途中和銷售過程中的損耗為20%商店

想實現(xiàn)30%的利潤，那么售價應定為每套多少元？

解析：要想求每套的售價是多少元，就要知道除去受損后的每套成本，要想求每

套成本，就要知道購進價格與運費，二者很容易求出，購進價格：26X1000=26000

（元），運費1000+4+10X0.8X500=10000（元）;然后根據(jù)二者之和算出總成

本以及除損后每套成本。

解答：

購進價格:26X1000=26000（元）

運費：10004-44-10X0.8X500

=25X0.8X500=10000（元）要點提示：

總成本:26000+10000=36000（元）總成本=購進價格+運費

除損后每套成本:360004-（1000-1000X20%）

=360004-800=45（元）

加利潤后的定價：45X（1+30%）=45X1.3=58.5（元）

答：售價應定為每套58.5元。

【例12】兩個點可連一條線段，三個點可連3條線段，那么12個點可連多少條

線段？14個點呢？寫出推理過程.

解析：因為兩個點即可連成一條線段，所以把點的個數(shù)看作n,即n個點，那么

最多可連線段的總條數(shù)就等于從1開始，前（nT）個連續(xù)自然數(shù)的和，代入數(shù)

據(jù)進行計算即可。

解答：

12X（12-1）4-2要點提示：

=1