新八年級數(shù)學講義第11講分式方程-提高班(學生版+解析)

第11講分式方程1分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點詮釋：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.【例題精選】例1(2023春?電白區(qū)期末）下列關(guān)于x的方程中，是分式方程的是（）A．3x＝ B．＝2 C．＝ D．3x﹣2y＝1【隨堂練習】1．(2023春?上海期中）在下列方程組中，（）是分式方程．A．＝1 B． C． D．2分式方程的解【例題精選】例1(2023秋?東城區(qū)期末）已知﹣2是關(guān)于x的分式方程的根，則實數(shù)k的值為________．3解分式方程解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時，有時可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因為解分式方程時可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時必須驗根.解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.【例題精選】例1(2023?長興縣一模）關(guān)于x的分式方程﹣1＝2的解是（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝例2(2023?廣東模擬）分式方程+＝1的解為（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．無解【隨堂練習】1．(2023春?歷下區(qū)校級期中）解分式方程﹣2＝，去分母得（）A．1﹣2（x﹣5）＝﹣3 B．1﹣2（x﹣5）＝3 C．1﹣2x﹣10＝﹣3 D．1﹣2x+10＝32．(2023?天橋區(qū)模擬）方程＝的解是（）A．x＝6 B．x＝7 C．x＝8 D．x＝﹣84分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；（4）解這個分式方程；（5）驗根，檢驗是否是增根；（6）寫出答案.【例題精選】例1(2023?衡陽）某商店購進A、B兩種商品，購買1個A商品比購買1個B商品多花10元，并且花費300元購買A商品和花費100元購買B商品的數(shù)量相等．（1）求購買一個A商品和一個B商品各需要多少元；（2）商店準備購買A、B兩種商品共80個，若A商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍，并且購買A、B商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方案？例2(2023?泰安）端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，人們素有吃粽子的習俗．某商場在端午節(jié)來臨之際用3000元購進A、B兩種粽子1100個，購買A種粽子與購買B種粽子的費用相同．已知A種粽子的單價是B種粽子單價的1.2倍．（1）求A、B兩種粽子的單價各是多少？（2）若計劃用不超過7000元的資金再次購進A、B兩種粽子共2600個，已知A、B兩種粽子的進價不變．求A種粽子最多能購進多少個？【隨堂練習】1．(2023?西寧一模）某市為解決部分市民冬季集中取暖問題需鋪設(shè)一條長3000米的管道，為盡量減少施工對交通造成的影響，實施施工時“…”，設(shè)實際每天鋪設(shè)管道x米，則可得方程，根據(jù)此情景，題中用“…”表示的缺失的條件應(yīng)補為（）A．每天比原計劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果延期15天才完成 B．每天比原計劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果延期15天才完成 C．每天比原計劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前15天才完成 D．每天比原計劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果提前15天才完成2．(2023?南海區(qū)模擬）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)50臺機器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺機器所需要時間與原計劃生產(chǎn)450臺機器所需時間相同．（1）現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)多少臺機器；（2）生產(chǎn)3000臺機器，現(xiàn)在比原計劃提前幾天完成．綜合練習一．選擇題（共2小題）1．解分式方程﹣＝時，去分母后得到的方程正確的是（）A．x﹣2x+1＝x﹣1 B．2x﹣4x+2＝x﹣1 C．2x+4x﹣2＝x﹣1 D．x+2x﹣1＝x﹣12．某市為解決部分市民冬季集中取暖問題，需鋪設(shè)一條長4000米的管道，為盡量減少施工對交通造成的影響，施工時“…”，設(shè)實際每天鋪設(shè)管道x米，則可得方程﹣＝20，根據(jù)此情景，題中用“…”表示的缺失的條件應(yīng)補為（）A．每天比原計劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果延期20天完成 B．每天比原計劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果延期20天完成 C．每天比原計劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前20天完成 D．每天比原計劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果提前20天完成二．解答題（共5小題）3．解方程：﹣＝14．某自動化車間計劃生產(chǎn)40個零件，當生產(chǎn)任務(wù)完成一半時，停止生產(chǎn)進行自動化程序升級改造，用時20分鐘，恢復生產(chǎn)后工作效率比原來提高了，結(jié)果完成任務(wù)時比原計劃提前了40分鐘，求升級改造前每小時生產(chǎn)多少個零件？5．解下列分式方程：（1）＝1（2）＝﹣36．某商店第一次用300元購進2B鉛筆若干支，第二次又用300元購進該款鉛筆，但這次每支的進價是第一次進價的倍，購進數(shù)量比第一次少了30支．（1）求第一次每支鉛筆的進價是多少元？（2）若要求這兩次購進的鉛筆按同一價格全部銷售完畢后獲利不低于210元，問每支售價至少是多少元？7．服裝店去年10月以每套500元的進價購進一批羽絨服，當月以標價銷售，銷售額14000元，進入11月份搞促銷活動，每件降價50元，這樣銷售額比10月份增加了5500元，售出的件數(shù)是10月份的1.5倍．（1）求每件羽絨服的標價是多少元；（2）進入l2月份，服裝店決定把剩余羽絨服按10月份標價的八折銷售，結(jié)果全部賣掉，而且這批羽絨服總獲利不少于15000元，問這批羽絨服至少購進多少件？第11講分式方程1分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點詮釋：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.【例題精選】例1(2023春?電白區(qū)期末）下列關(guān)于x的方程中，是分式方程的是（）A．3x＝ B．＝2 C．＝ D．3x﹣2y＝1分析：根據(jù)分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程判斷．【解答】解：A、C、D項中的方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；B、方程分母中含未知數(shù)x，故是分式方程，故選：B．【點評】判斷一個方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)．【隨堂練習】1．(2023春?上海期中）在下列方程組中，（）是分式方程．A．＝1 B． C． D．【解答】解：A、是分式方程，故此選項符合題意；B、不是分式方程，是整式方程，故此選項不符合題意；C、不是分式方程，故此選項不符合題意；D、不是分式方程，是整式方程，故此選項不符合題意；故選：A．2分式方程的解【例題精選】例1(2023秋?東城區(qū)期末）已知﹣2是關(guān)于x的分式方程的根，則實數(shù)k的值為________．分析：將x＝﹣2代入分式方程，求出k即可．【解答】解：將x＝﹣2代入分式方程，可得：﹣2﹣k＝﹣4，解得：k＝2，故答案為2．【點評】本題考查分式方程的解；將所給方程的解代入原方程求解k的值是關(guān)鍵．3解分式方程解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時，有時可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因為解分式方程時可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時必須驗根.解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.【例題精選】例1(2023?長興縣一模）關(guān)于x的分式方程﹣1＝2的解是（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝分析：分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：1﹣x＝2x，解得：x＝，經(jīng)檢驗x＝是分式方程的解．故選：D．【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．例2(2023?廣東模擬）分式方程+＝1的解為（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．無解分析：分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3，解得：x＝2，經(jīng)檢驗x＝2是分式方程的解，則分式方程的解為x＝2．故選：B．【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．【隨堂練習】1．(2023春?歷下區(qū)校級期中）解分式方程﹣2＝，去分母得（）A．1﹣2（x﹣5）＝﹣3 B．1﹣2（x﹣5）＝3 C．1﹣2x﹣10＝﹣3 D．1﹣2x+10＝3【解答】解：方程變形得：﹣2＝﹣，去括號得：1﹣2（x﹣5）＝﹣3，故選：A．2．(2023?天橋區(qū)模擬）方程＝的解是（）A．x＝6 B．x＝7 C．x＝8 D．x＝﹣8【解答】解：去分母得：2x﹣6＝x+2，解得：x＝8，經(jīng)檢驗x＝8是分式方程的解．故選：C．4分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；（4）解這個分式方程；（5）驗根，檢驗是否是增根；（6）寫出答案.【例題精選】例1(2023?衡陽）某商店購進A、B兩種商品，購買1個A商品比購買1個B商品多花10元，并且花費300元購買A商品和花費100元購買B商品的數(shù)量相等．（1）求購買一個A商品和一個B商品各需要多少元；（2）商店準備購買A、B兩種商品共80個，若A商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍，并且購買A、B商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方案？分析：（1）設(shè)購買一個B商品需要x元，則購買一個A商品需要（x+10）元，根據(jù)數(shù)量＝總價÷單價結(jié)合花費300元購買A商品和花費100元購買B商品的數(shù)量相等，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買B商品m個，則購買A商品（80﹣m）個，根據(jù)A商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍并且購買A、B商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為整數(shù)即可找出各購買方案．【解答】解：（1）設(shè)購買一個B商品需要x元，則購買一個A商品需要（x+10）元，依題意，得：＝，解得：x＝5，經(jīng)檢驗，x＝5是原方程的解，且符合題意，∴x+10＝15．答：購買一個A商品需要15元，購買一個B商品需要5元．（2）設(shè)購買B商品m個，則購買A商品（80﹣m）個，依題意，得：，解得：15≤m≤16．∵m為整數(shù)，∴m＝15或16．∴商店有2種購買方案，方案①：購進A商品65個、B商品15個；方案②：購進A商品64個、B商品16個．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．例2(2023?泰安）端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，人們素有吃粽子的習俗．某商場在端午節(jié)來臨之際用3000元購進A、B兩種粽子1100個，購買A種粽子與購買B種粽子的費用相同．已知A種粽子的單價是B種粽子單價的1.2倍．（1）求A、B兩種粽子的單價各是多少？（2）若計劃用不超過7000元的資金再次購進A、B兩種粽子共2600個，已知A、B兩種粽子的進價不變．求A種粽子最多能購進多少個？分析：（1）設(shè)B種粽子單價為x元/個，則A種粽子單價為1.2x元/個，根據(jù)數(shù)量＝總價÷單價結(jié)合用3000元購進A、B兩種粽子1100個，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購進A種粽子m個，則購進B種粽子（2600﹣m）個，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量結(jié)合總價不超過7000元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)B種粽子單價為x元/個，則A種粽子單價為1.2x元/個，根據(jù)題意，得：+＝1100，解得：x＝2.5，經(jīng)檢驗，x＝2.5是原方程的解，且符合題意，∴1.2x＝3．答：A種粽子單價為3元/個，B種粽子單價為2.5元/個．（2）設(shè)購進A種粽子m個，則購進B種粽子（2600﹣m）個，依題意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，解得：m≤1000．答：A種粽子最多能購進1000個．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【隨堂練習】1．(2023?西寧一模）某市為解決部分市民冬季集中取暖問題需鋪設(shè)一條長3000米的管道，為盡量減少施工對交通造成的影響，實施施工時“…”，設(shè)實際每天鋪設(shè)管道x米，則可得方程，根據(jù)此情景，題中用“…”表示的缺失的條件應(yīng)補為（）A．每天比原計劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果延期15天才完成 B．每天比原計劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果延期15天才完成 C．每天比原計劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前15天才完成 D．每天比原計劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果提前15天才完成【解答】解：設(shè)實際每天鋪設(shè)管道x米，原計劃每天鋪設(shè)管道（x﹣10）米，方程，則表示實際用的時間﹣原計劃用的時間＝15天，那么就說明實際每天比原計劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前15天完成任務(wù)．故選：C．2．(2023?南海區(qū)模擬）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)50臺機器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺機器所需要時間與原計劃生產(chǎn)450臺機器所需時間相同．（1）現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)多少臺機器；（2）生產(chǎn)3000臺機器，現(xiàn)在比原計劃提前幾天完成．【解答】解：（1）設(shè)原計劃平均每天生產(chǎn)x臺機器，則現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)（x+50）臺機器，依題意，得：＝，解得：x＝150，經(jīng)檢驗，x＝150是原方程的解，且符合題意，∴x+50＝200．答：現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)200臺機器．（2）﹣＝20﹣15＝5（天）．答：現(xiàn)在比原計劃提前5天完成．綜合練習一．選擇題（共2小題）1．解分式方程﹣＝時，去分母后得到的方程正確的是（）A．x﹣2x+1＝x﹣1 B．2x﹣4x+2＝x﹣1 C．2x+4x﹣2＝x﹣1 D．x+2x﹣1＝x﹣1【解答】解：去分母得：2x+2（2x﹣1）＝x﹣1，即2x+4x﹣2＝x﹣1，故選：C．2．某市為解決部分市民冬季集中取暖問題，需鋪設(shè)一條長4000米的管道，為盡量減少施工對交通造成的影響，施工時“…”，設(shè)實際每天鋪設(shè)管道x米，則可得方程﹣＝20，根據(jù)此情景，題中用“…”表示的缺失的條件應(yīng)補為（）A．每天比原計劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果延期20天完成 B．每天比原計劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果延期20天完成 C．每天比原計劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前20天完成 D．每天比原計劃少鋪設(shè)10米，結(jié)果提前20天完成【解答】解：∵利用工作時間列出方程：﹣＝20，∴缺失的條件為：每天比原計劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前20天完成．故選：C．二．解答題（共5小題）3．解方程：﹣＝1【解答】解：2（x+1）2﹣（x﹣1）2＝x2﹣16x＝﹣2，經(jīng)檢驗，x＝﹣是原方程的根，所以原方程的解為：x＝﹣．4．某自動化車間計劃生產(chǎn)40個零件，當生產(chǎn)任務(wù)完成一半時，停止生產(chǎn)進行自動化程序升級改造，用時20分鐘，恢復生產(chǎn)后工作效率比原來提高了，結(jié)果完成任務(wù)時比原計劃提前了40分鐘，求升級改造前每小時生產(chǎn)多少個零件？【解答】解：設(shè)升級改造前每小時生產(chǎn)x個零件，則升級改造前每小時生產(chǎn)（1+）x個零件，依題意，得：﹣＝+，解得：x＝10，經(jīng)檢驗，x＝10是所列分式方程的解，且符合題意．答：升級改造前每小時生產(chǎn)10個零件．5．解下列分式方程：（1）＝1（2）＝﹣3【解答】解：（1）去分母得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，