2025屆全國百強(qiáng)校山西大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2025屆全國百強(qiáng)?！可轿鞔髮W(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于（）A．AC B．A1D1 C．A1D D．BD2．設(shè)，是平面內(nèi)一組基底，若，，，則以下不正確的是（）A． B． C． D．3．不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為（）A．1 B． C． D．4．下列函數(shù)中,在區(qū)間上為增函數(shù)的是A． B．C． D．5．在等比數(shù)列中，，，則等于（）A．256 B．-256 C．128 D．-1286．在中，已知，且，則的值是（）A． B． C． D．7．如圖，在平行四邊形中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．8．某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（）A．12π B．45π C．57π D．81π9．某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為（）A．588 B．480 C．450 D．12010．函數(shù)的定義域是（）．A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，M為B1C1中點(diǎn)，連接A1B，D1M，則異面直線A1B和D1M所成角的余弦值為________________________．12．________13．如圖，在中，，，，則________.14．已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，且的面積是，___________.15．若正四棱錐的側(cè)棱長為，側(cè)面與底面所成的角是45°，則該正四棱錐的體積是________.16．設(shè)向量，定義一種向量積：.已知向量，點(diǎn)P在的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在的圖象上運(yùn)動(dòng)，且滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的單調(diào)增區(qū)間為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)數(shù)列,，已知，，（1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,對任意.（i）求證：；（ii)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．如圖所示，在三棱柱中，與都為正三角形，且平面，分別是的中點(diǎn).求證：（1）平面平面；（2）平面平面.19．如圖所示，在直三棱柱（側(cè)面和底面互相垂直的三棱柱叫做直三棱柱）中，平面，，設(shè)的中點(diǎn)為D，.（1）求證：平面；（2）求證：.20．已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足：的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為.設(shè)，，如圖，試用，表示向量.21．已知函數(shù)的最小正周期是．(1)求ω的值；(2)求函數(shù)f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

在正方體內(nèi)結(jié)合線面關(guān)系證明線面垂直，繼而得到線線垂直【詳解】，平面，平面，則平面又因?yàn)槠矫鎰t故選D【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直，在求解過程中先求得線面垂直，由線面垂直的性質(zhì)可得線線垂直，從而得到結(jié)果2、D【解析】

由已知及平面向量基本定理可得：，問題得解.【詳解】因?yàn)?，是平面?nèi)一組基底，且，由平面向量基本定理可得：，所以，所以D不正確故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，還考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于較易題．3、D【解析】

畫出可行域，根據(jù)邊界點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算出平面區(qū)域的面積.【詳解】畫出可行域如下圖所示，其中，故平面區(qū)域?yàn)槿切?，且三角形面積為，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性規(guī)劃可行域面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】試題分析：對A，函數(shù)在上為增函數(shù)，符合要求；對B，在上為減函數(shù)，不符合題意；對C，為上的減函數(shù)，不符合題意；對D，在上為減函數(shù)，不符合題意.故選A.考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性，容易題.5、A【解析】

先設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋裕虼?故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的基本量的計(jì)算，熟記通項(xiàng)公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.6、C【解析】

由正弦定理邊角互化思想得，由可得出的三邊長，可判斷出三角形的形狀，由此可得出的值，再利用平面向量數(shù)量積的定義可計(jì)算出的值.【詳解】，，，，，，為等腰直角三角形，.因此，，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積定義的計(jì)算，在求平面向量數(shù)量積的計(jì)算時(shí)，要注意向量的起點(diǎn)要一致，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.7、C【解析】

根據(jù)向量的定義及運(yùn)算法則一一分析選項(xiàng)正誤即可.【詳解】在平行四邊形中,顯然有,,故A,D正確;根據(jù)向量的平行四邊形法則,可知,故B正確;根據(jù)向量的三角形法,,故C錯(cuò)誤;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的基本定義和運(yùn)算法則,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】由三視圖可知，此組合體上部是一個(gè)母線長為5，底面圓半徑是3的圓錐，下部是一個(gè)高為5，底面半徑是3的圓柱故它的體積是5×π×32+π×32×=57π故選C9、B【解析】試題分析：根據(jù)頻率分布直方圖，得；該模塊測試成績不少于60分的頻率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴對應(yīng)的學(xué)生人數(shù)是600×0.8=480考點(diǎn)：頻率分布直方圖10、C【解析】函數(shù)的定義域即讓原函數(shù)有意義即可；原式中有對數(shù)，則故得到定義域?yàn)?故選C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

連接、，取的中點(diǎn)，連接，可知，且是以為腰的等腰三角形，然后利用銳角三角函數(shù)可求出的值作為所求的答案．【詳解】如下圖所示：連接、，取的中點(diǎn)，連接，在正方體中，，則四邊形為平行四邊形，所以，則異面直線和所成的角為或其補(bǔ)角，易知，由勾股定理可得，，為的中點(diǎn)，則，在中，，因此，異面直線和所成角的余弦值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的計(jì)算，求解異面直線所成的角一般利用平移直線法求解，遵循“一作、二證、三計(jì)算”，在計(jì)算時(shí)，一般利用銳角三角函數(shù)的定義或余弦定理求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．12、【解析】

根據(jù)極限的運(yùn)算法則，合理化簡、運(yùn)算，即可求解.【詳解】由極限的運(yùn)算，可得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了極限的運(yùn)算法則的應(yīng)用，其中解答熟記極限的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

先將轉(zhuǎn)化為和為基底的兩組向量，然后通過數(shù)量積即可得到答案.【詳解】，.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的基本運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，意在考查學(xué)生的分析能力和計(jì)算能力.14、【解析】

利用同角三角函數(shù)計(jì)算出的值，利用三角形的面積公式和條件可求出、的值，再利用余弦定理求出的值.【詳解】，，，且的面積是，，，，，由余弦定理得，.故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時(shí)也考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角形面積公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.15、【解析】

過棱錐頂點(diǎn)作,平面，則為的中點(diǎn)，為正方形的中心，連結(jié)，設(shè)正四棱錐的底面長為，根據(jù)已知求出a=2,SO=1,再求該正四棱錐的體積.【詳解】過棱錐頂點(diǎn)作,平面，則為的中點(diǎn)，為正方形的中心，連結(jié)，則為側(cè)面與底面所成角的平面角，即，設(shè)正四棱錐的底面長為，則，所以，在中，∵∴，解得，∴∴棱錐的體積.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面角的計(jì)算，考查棱錐體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

設(shè)，，由求出的關(guān)系，用表示，并把代入即得，后利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得增區(qū)間．【詳解】設(shè)，，由得：，∴，，∵，∴，，即，令，得，∴增區(qū)間為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查新定義，正確理解新定義運(yùn)算是解題關(guān)鍵．考查三角函數(shù)的單調(diào)性．利用新定義建立新老圖象間點(diǎn)的聯(lián)系，求出新函數(shù)的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求得增區(qū)間．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)（i）見證明；（ii)【解析】

（1)計(jì)算可知數(shù)列為等比數(shù)列；（2）（i）要證即證{}恒為0；（ii)由前兩問求出再求出，帶入式子，再解不等式.【詳解】(1)，又，是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，；（2）（i），又恒成立，即（ii)由,，兩式相加即得：，，，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，隨n的增大而遞增，且；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，隨n的增大而遞減，且；的最大值為，的最小值為2，解得，所以實(shí)數(shù)p的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本類試題，注意看問題，一般情況，問題都會(huì)指明解題方向18、(1)見解析.(2)見解析.【解析】

（1）由分別是的中點(diǎn)，證得，由線面平行的判定定理，可得平面，平面，再根據(jù)面面平行的判定定理，即可證得平面平面.（2）利用線面垂直的判定定理，可得平面，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.【詳解】（1）在三棱柱中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，根據(jù)線面平行的判定定理，可得平面，平面又，∴平面平面.（2）在三棱柱中，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．19、（1）見解析；（2）見解析.【解析】

（1）由可證平面；（2）先證，再證，即可證明平面，即可得出.【詳解】（1）∵三棱柱為直三棱柱，∴四邊形為矩形，∴E為中點(diǎn)，又D點(diǎn)為中點(diǎn)，∴DE為的中位線，∴，又平面，平面，∴平面；（2）∵三棱柱為直三棱柱，∴平面ABC，∴，又∵，∴四邊形為正方形，所以，∵平面，∴，和相交于C，∴平面，∴.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的判定及性質(zhì)，考查空間想象能力，屬于?？碱}.20、【解析】

由為的中點(diǎn)，則可得,為的中點(diǎn),則可得,從中可以求出向量,得到答案.【詳解】由為的中點(diǎn)，則可得.又為的中點(diǎn)，所以【點(diǎn)睛】本題考查向量的基本定理和向量的加減法的法則，屬于中檔題.21、(1)(2)函數(shù)f(x)的最大值是2＋，此時(shí)x的集合為{x|x＝+，k∈Z}．【解析】試題分析析：本題是函數(shù)性質(zhì)問題，可借助正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)去研究，根據(jù)周期公式可以求出，當(dāng)函數(shù)的解析式確定后，可以令，，根據(jù)正弦函數(shù)的最大值何時(shí)取得，可以計(jì)算出為何值時(shí)，函數(shù)值取得