北京市門頭溝區(qū)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

北京市門頭溝區(qū)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知公式為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，，則前5項和()A．31 B．21 C．15 D．112．過△ABC的重心任作一直線分別交邊AB，AC于點D、E．若,，，則的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．13．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．4．從四件正品、兩件次品中隨機取出兩件，記“至少有一件次品”為事件，則的對立事件是（）A．至多有一件次品 B．兩件全是正品 C．兩件全是次品 D．至多有一件正品5．在銳角中，若，，，則（）A． B． C． D．6．已知三個互不相等的負數(shù)，，滿足，設(shè)，，則()A． B． C． D．7．已知向量，滿足，，，則（）A．3 B．2 C．1 D．08．在等比數(shù)列中，則（）A．81 B． C． D．2439．某同學(xué)使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時,錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15,那么由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差是()A．3.5 B．3 C．-0.5 D．-310．已知、是圓：上的兩個動點，，，若是線段的中點，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的最小正周期是__________.12．已知數(shù)列的通項公式是，若將數(shù)列中的項從小到大按如下方式分組：第一組：，第二組：，第三組：，…，則2018位于第________組.13．函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)時，則的表達式為________.14．已知,且關(guān)于的方程有實數(shù)根，則與的夾角的取值范圍是______.15．某幾何體是由一個正方體去掉一個三棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積是___16．_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓：與圓：．（1）求兩圓的公共弦長；（2）過平面上一點向圓和圓各引一條切線，切點分別為，設(shè)，求證：平面上存在一定點使得到的距離為定值，并求出該定值．18．設(shè)為正項數(shù)列的前項和，且滿足．（1）求證：為等差數(shù)列；（2）令，，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．19．如圖，在三棱柱中，平面平面，，，為棱的中點．（1）證明：；（2）求三棱柱的高．20．設(shè)函數(shù)，其中，.（1）設(shè)，若函數(shù)的圖象的一條對稱軸為直線，求的值；（2）若將的圖象向左平移個單位，或者向右平移個單位得到的圖象都過坐標(biāo)原點，求所有滿足條件的和的值；（3）設(shè)，，已知函數(shù)在區(qū)間上的所有零點依次為，且，，求的值.21．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，然后再向右平移()個單位長度，所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱．求的最小值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由條件求出數(shù)列的公比．再利用等比數(shù)列的前項求和公式即可得出．【詳解】公比為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，則，即.所以,所以.故選：A【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2、B【解析】

利用重心以及向量的三點共線的結(jié)論得到的關(guān)系式，再利用基本不等式求最小值.【詳解】設(shè)重心為，因為重心分中線的比為，則有，，則，又因為三點共線，所以，則，取等號時.故選B.【點睛】（1）三角形的重心是三條中線的交點，且重心分中線的比例為；（2）運用基本不等式時，注意取等號時條件是否成立.3、D【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.【詳解】解：因為，，所以，，的大小關(guān)系為.故選：D.【點睛】本題考查三個數(shù)的大小比較，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)對立事件的概念，選出正確選項.【詳解】從四件正品、兩件次品中隨機取出兩件，“至少有一件次品”的對立事件為兩件全是正品.故選：B【點睛】本小題主要考查對立事件的理解，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

由同角三角函數(shù)關(guān)系式,先求得,再由余弦定理即可求得的值.【詳解】因為為銳角三角形,由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得又因為,由余弦定理可得代入可得所以故選:D【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式應(yīng)用,余弦定理求三角形的邊,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

作差后利用已知條件變形為，可知為負數(shù)，由此可得答案.【詳解】由題知.因為，，都是負數(shù)且互不相等，所以，即.故選：C【點睛】本題考查了作差比較大小，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

由，求出，代入計算即可．【詳解】由題意，則.故答案為A.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積，考查了學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】解：因為等比數(shù)列中，則，選A9、D【解析】

因為錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15,所以此時求出的數(shù)比實際的數(shù)差是,因此平均數(shù)之間的差是.故答案為D10、A【解析】由題意得,所以，選A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、；【解析】

利用余弦函數(shù)的最小正周期公式即可求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，故答案為：【點睛】本題考查了含余弦函數(shù)的最小正周期，需熟記求最小正周期的公式，屬于基礎(chǔ)題.12、1【解析】

根據(jù)題意可分析第一組、第二組、第三組、…中的數(shù)的個數(shù)及最后的數(shù)，從中尋找規(guī)律使問題得到解決．【詳解】根據(jù)題意:第一組有2＝1×2個數(shù)，最后一個數(shù)為4；第二組有4＝2×2個數(shù)，最后一個數(shù)為12，即2×（2+4）；第三組有6＝2×3個數(shù)，最后一個數(shù)為24，即2×（2+4+6）；…∴第n組有2n個數(shù)，其中最后一個數(shù)為2×（2+4+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n（n+1）．∴當(dāng)n＝31時，第31組的最后一個數(shù)為2×31×1＝1984，∴當(dāng)n＝1時，第1組的最后一個數(shù)為2×1×33＝2112，∴2018位于第1組．故答案為1．【點睛】本題考查觀察與分析問題的能力，考查歸納法的應(yīng)用，從有限項得到一般規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵點，屬于中檔題．13、【解析】試題分析：當(dāng)時，，，因是奇函數(shù)，所以，是定義域為R的奇函數(shù)，所以，所以考點：函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性14、【解析】

先由得出，再根據(jù)即可求出與的夾角的取值范圍.【詳解】因為關(guān)于的方程有實數(shù)根，所以，即，設(shè)與的夾角為，所以，因為，所以，即與的夾角的取值范圍是【點睛】本題主要考查平面向量的夾角公式的應(yīng)用等，屬基礎(chǔ)題.15、6【解析】

先作出幾何體圖形，再根據(jù)幾何體的體積等于正方體的體積減去三棱柱的體積計算.【詳解】幾何體如圖所示：去掉的三棱柱的高為2，底面面積是正方體底面積的，所以三棱柱的體積：所以幾何體的體積：【點睛】本題考查三視圖與幾何體的體積.關(guān)鍵是作出幾何體的圖形，方法：先作出正方體的圖形，再根據(jù)三視圖“切”去多余部分.16、【解析】

將寫成，切化弦后，利用兩角和差余弦公式可將原式化為，利用二倍角公式可變?yōu)?，由可化簡求得結(jié)果.【詳解】本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查利用三角恒等變換公式進行化簡求值的問題，涉及到兩角和差余弦公式、二倍角公式的應(yīng)用.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）把兩圓方程相減得到公共弦所在直線方程，再根據(jù)點到直線距離公式與圓的垂徑定理求兩圓的公共弦長；（2）根據(jù)圓的切線長與半徑的關(guān)系代入化簡即可得到點的軌跡方程，進而求解.【詳解】解：（1）由，相減得兩圓的公共弦所在直線方程為：，設(shè)(0,0)到的距離為，則所以，公共弦長為所以，公共弦長為.（2）證明：由題設(shè)得：化簡得：配方得：所以，存在定點使得到的距離為定值，且該定值為.【點睛】本題主要考查圓的應(yīng)用.求兩圓的公共弦關(guān)鍵在求公共弦所在直線方程；求動點與定點距離問題，首先要求出動點的軌跡方程.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)與的關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明；（2）由（1）可求出，采用裂項相消法求出，要恒成立，只需即可求出．【詳解】（1）由題知：，當(dāng)?shù)茫海獾茫寒?dāng)，①②得：，即．是以為首項，為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）知：所以即．【點睛】本題主要考查與的關(guān)系，等差數(shù)列的定義，裂項相消法以及恒成立問題的解法的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）連接，，作為棱的中點，連結(jié)，，由平面平面，得到平面，則，再由，即可證明平面，從而得證；（2）根據(jù)等體積法求出點面距.【詳解】（1）證明：連接，．∵，，∴是等邊三角形．作為棱的中點，連結(jié)，，∴．∵平面平面，平面平面，平面，∴平面．∵平面，∴．∵，∴平行四邊形是菱形．∴．又，分別為，的中點，∴，∴．又，平面，平面．∴平面．又平面，∴．（2）解：連接，∵，，∴為正三角形．∵為的中點，∴，同理可得又∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面．∴，又三棱柱的高即點到平面的距離．在中，，，則．又∵，∴，則．【點睛】本題考查線面垂直，線線垂直的證明，三棱錐的體積及點到平面的距離的計算，屬于中檔題.20、（1）；（2），；（3）【解析】

（1）根據(jù)對稱軸對應(yīng)三角函數(shù)最值以及計算的值；（2）根據(jù)條件列出等式求解和的值；（3）根據(jù)圖象利用對稱性分析待求式子的特點，然后求值.【詳解】（1），因為是一條對稱軸，對應(yīng)最值；又因為，所以，所以，則；（2）由條件知：，可得，則，又因為，所以，則，故有：，當(dāng)為奇數(shù)時，令，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，令，所以，當(dāng)時，，又因為，所以；（3）分別作出（部分圖像）與圖象如下：因為，故共有個；記對稱軸為，據(jù)圖有：，，，，，則，令，則，又因為，所以，由于與僅在前半個周期內(nèi)有交點，所以，則.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合運用，難度較難.對于三角函數(shù)零點個數(shù)問題，可將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，通過數(shù)形結(jié)合去解決問題會更方便.21、(1)，，．（2）.【解析】

(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式，