黑龍江省勃利中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

黑龍江省勃利中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在正項等比數(shù)列中，，為方程的兩根，則（）A．9 B．27 C．64 D．812．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)km B．a(chǎn)kmC．a(chǎn)km D．2akm3．已知函數(shù)則的是A． B． C． D．4．若平面∥平面，直線∥平面,則直線與平面的關(guān)系為()A．∥ B． C．∥或 D．5．已知是非零向量，若，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．6．已知直線與圓交于M，N兩點，若，則k的值為（）A． B． C． D．7．已知在中，，那么的值為（）A． B． C． D．8．已知向量，，，且，則實數(shù)的值為A． B． C． D．9．已知數(shù)列的前4項依次為，1，，，則該數(shù)列的一個通項公式可以是（）A． B．C． D．10．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，為的面積，則的最大值為（）A．1 B．2 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．?dāng)?shù)列滿足：，，的前項和記為，若，則實數(shù)的取值范圍是________12．_________________．13．在明朝程大位《算術(shù)統(tǒng)宗》中有這樣的一首歌謠：“遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈”.這首古詩描述的這個寶塔古稱浮屠，本題說“寶塔一共有七層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，共有381盞燈，問塔頂有幾盞燈？”根據(jù)上述條件，從上往下數(shù)第二層有___________盞燈．14．在中，，，.若，，且，則的值為______________.15．不等式的解集為________16．若則的最小值是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)遞增等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3＝1，a4是a3和a7的等比中項，（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn．18．已知函數(shù)在上的最大值為3.（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）若銳角中角所對的邊分別為，且，求的取值范圍.19．設(shè)函數(shù)f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）．（1）求f（x）的周期和最大值；（2）已知△ABC中，角A．B．C的對邊分別為A，B，C，若f（π﹣A）＝，b+c＝2，求a的最小值．20．設(shè)全集為，集合，集合.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求實數(shù)的取值范圍.21．若數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，對任意的，使得成立，則稱為階穩(wěn)增數(shù)列.（1）若由正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，且對任意，數(shù)列中恰有個，求的值；（2）設(shè)等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列且首項大于，試求該數(shù)列公比的取值范圍；（3）在（1）的條件下，令數(shù)列（其中，常數(shù)為正實數(shù)），設(shè)為數(shù)列的前項和.若已知數(shù)列極限存在，試求實數(shù)的取值范圍，并求出該極限值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由韋達(dá)定理得，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】由已知得是正項等比數(shù)列本題正確選項：【點睛】本題考查等比數(shù)列的三項之積的求法，關(guān)鍵是對等比數(shù)列的性質(zhì)進行合理運用，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

先根據(jù)題意確定的值，再由余弦定理可直接求得的值．【詳解】在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.故選:B.【點睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

根據(jù)自變量的范圍確定表達(dá)式，從里往外一步步計算即可求出.【詳解】因為，所以，因為，所以＝＝3.【點睛】主要考查了分段函數(shù)求值問題，以及對數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.對于分段函數(shù)求值問題，一定要注意根據(jù)自變量的范圍，選擇正確的表達(dá)式代入求值.4、C【解析】

利用空間幾何體，發(fā)揮直觀想象，易得直線與平面的位置關(guān)系.【詳解】設(shè)平面為長方體的上底面，平面為長方體的下底面，因為直線∥平面，所以直線通過平移后，可能與平面平行，也可能平移到平面內(nèi)，所以∥或.【點睛】空間中點、線、面位置關(guān)系問題，?？梢越柚L方體進行研究，考查直觀想象能力.5、D【解析】

由得，這樣可把且表示出來．【詳解】∵，∴，，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，掌握數(shù)量積的定義是解題關(guān)鍵．6、C【解析】

先求得圓心到直線的距離，再根據(jù)圓的弦長公式求解.【詳解】圓心到直線的距離為：由圓的弦長公式：得解得故選：C【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

，不妨設(shè)，,則，選A.8、A【解析】

求出的坐標(biāo)，由得，得到關(guān)于的方程.【詳解】，，因為，所以，故選A.【點睛】本題考查向量減法和數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查運算求解能力.9、A【解析】

根據(jù)各選擇項求出數(shù)列的首項，第二項，用排除法確定．【詳解】可用排除法，由數(shù)列項的正負(fù)可排除B,D，再看項的絕對值，在C中不合題意，排除C，只有A.可選．故選：A.【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式，已知數(shù)列的前幾項，選擇一個通項公式，比較方便，可以利用通項公式求出數(shù)列的前幾項，把不合的排除即得．10、C【解析】

先由正弦定理，將化為，結(jié)合余弦定理，求出，再結(jié)合正弦定理與三角形面積公式，可得，化簡整理，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以可化為，即，可得，所以.又由正弦定理得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值.故選C【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理與余弦定理即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

因為數(shù)列有極限,故考慮的情況.又?jǐn)?shù)列分兩組,故分組求和求極限即可.【詳解】因為,故,且,故,又,即.綜上有.故答案為：【點睛】本題主要考查了數(shù)列求和的極限,需要根據(jù)題意分組求得等比數(shù)列的極限,再利用不等式找出參數(shù)的關(guān)系,屬于中等題型.12、3【解析】

分式上下為的二次多項式,故上下同除以進行分析.【詳解】由題,,又,故.

故答案為：3.【點睛】本題考查了分式型多項式的極限問題，注意：當(dāng)時,13、6.【解析】

根據(jù)題意可將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列中，已知和，求解的問題；利用等比數(shù)列前項和公式可求得，利用求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，每層懸掛的紅燈數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)為設(shè)第層懸掛紅燈數(shù)為，向下依次為且即從上往下數(shù)第二層有盞燈本題正確結(jié)果；【點睛】本題考查利用等比數(shù)列前項和求解基本量的問題，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】,則.【考點】向量的數(shù)量積【名師點睛】根據(jù)平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一組基地可以表示平面內(nèi)的任一向量，利用向量的定比分點公式表示向量，計算數(shù)量積，選取基地很重要，本題的已知模和夾角，選作基地易于計算數(shù)量積.15、【解析】因為所以，即不等式的解集為.16、【解析】

根據(jù)對數(shù)相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求結(jié)果.【詳解】則，即由題意知，則，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查基本不等式求解和的最小值問題，關(guān)鍵是能夠利用對數(shù)相等得到的關(guān)系，從而構(gòu)造出符合基本不等式的形式.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）an＝2n﹣1；（2）.【解析】

（1）用首項和公差表示出已知關(guān)系，求出，可得通項公式；（2）由等差數(shù)列前項和公式得結(jié)論．【詳解】（1）在遞增等差數(shù)列{an}中，設(shè)公差為d＞0，∵，∴，解得．∴an＝﹣3+（n﹣1）×2＝2n﹣1．（2）由（1）知，．【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，解題方法是基本量法．18、（1）,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）運用降冪公式和輔助角公式，把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式形式，根據(jù)已知，可以求出的值，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）由（1）結(jié)合已知，可以求出角的值，通過正弦定理把問題的取值范圍轉(zhuǎn)化為兩邊對角的正弦值的比值的取值范圍，結(jié)合已知是銳角三角形，三角形內(nèi)角和定理，最后求出的取值范圍.【詳解】解：（1）由已知，所以因此令得因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）由已知，∴由得，因此所以因為為銳角三角形，所以，解得因此，那么【點睛】本題考查了降冪公式、輔助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)運算能力.19、（1）周期為π，最大值為2.（2）【解析】

（1）利用倍角公式降冪，展開兩角差的余弦，將函數(shù)的關(guān)系式化簡余弦型函數(shù)，可求出函數(shù)的周期及最值；（2）由f（π﹣A），求解角A，再利用余弦定理和基本不等式求a的最小值．【詳解】（1）函數(shù)f（x）＝2cos2x﹣cos（2x）＝1+cos2x＝cos（2x）+1，∵﹣1≤cos（2x）≤1，∴T，f（x）的最大值為2；（2）由題意，f（π﹣A）＝f（﹣A）＝cos（﹣2A）+1，即：cos（﹣2A），又∵0＜A＜π，∴2A，∴﹣2A，即A．在△ABC中，b+c＝2，cosA，由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣bc，由于：bc，當(dāng)b＝c＝1時，等號成立．∴a2≥4﹣1＝3，即a．則a的最小值為．【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，余弦形函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，余弦定理和基本不等式的應(yīng)用，是中檔題．20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（1）化簡集合，按并集的定義，即可求解；（2）得，結(jié)合數(shù)軸，確定集合端點位置，即可求解.【詳解】解：（Ⅰ）集合，集合，∴；（Ⅱ）由，且，∴，由題意知，∴，解得，∴實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查集合間的運算，考查集合的關(guān)系求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）設(shè)，由題意得出，求出正整數(shù)的值即可；（2）根據(jù)定義可知等比數(shù)列中的奇數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列也為階穩(wěn)增數(shù)列，分和兩種情況討論，列出關(guān)于的不等式，解出即可；（3）求出，然后分、和三種情況討論，求出，結(jié)合數(shù)列的極限存在，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，由于數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，則，對任意，數(shù)列中恰有個，則數(shù)列中的項依次為：、、、、、、、、、、、、、、、、，設(shè)數(shù)列中值為的最大項數(shù)為，則，由題意可得，即，，解得，因此，；（2）由于等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，即對任意的，，且.所以，等比數(shù)列中的奇數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列也為階穩(wěn)增數(shù)列.①當(dāng)時，則等比數(shù)列中每項都為正數(shù)，由可得，整理得，解得；②當(dāng)時，（i）若為正奇數(shù)，可設(shè)，則，由，得，即，整理得，解得；（ii）若為正偶數(shù)時，可設(shè)，則，由，得，即，