北京市19中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

北京市19中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到軸距離的3倍，則（）A． B． C． D．72．正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則公比（）A．4 B．3 C．2 D．13．執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的n是4，則輸出的P是A．8 B．5 C．3 D．24．若，則（）A．－ B． C． D．5．如圖，正四面體，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)（），分別記與，所成角為，，則（）A． B． C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，6．一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員560人，女運(yùn)動(dòng)員420人，為了解運(yùn)動(dòng)員的健康情況，從男運(yùn)動(dòng)員中任意抽取16人，從女生中任意抽取12人進(jìn)行調(diào)查．這種抽樣方法是（）A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法 B．抽簽法C．隨機(jī)數(shù)表法 D．分層抽樣法7．在如圖的正方體中，M、N分別為棱BC和棱的中點(diǎn),則異面直線AC和MN所成的角為()A． B． C． D．8．若不等式的解集為，則（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，且滿足，若實(shí)數(shù)是方程的一個(gè)解，那么下列四個(gè)判斷：①；②；③；④中一定不成立的是（）A．① B．②③ C．①④ D．④10．在△ABC中，若a=2bsinA,則B為A． B． C．或 D．或二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為_(kāi)_____．12．若，則______，______.13．命題“，”是________命題（選填“真”或“假”）.14．直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BM與AN所成的角的余弦值為．15．為了研究問(wèn)題方便,有時(shí)將余弦定理寫(xiě)成:,利用這個(gè)結(jié)構(gòu)解決如下問(wèn)題:若三個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足,，，則_______.16．函數(shù)，的值域?yàn)開(kāi)_______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，三角形中，，是邊長(zhǎng)為l的正方形，平面底面，若分別是的中點(diǎn).（1）求證：底面；（2）求幾何體的體積.18．在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為，，，且滿足．（1）求角的大??；（2）若，是方程的兩根，求的值．19．已知向量，，.（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，，求的值．20．已知數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，，其前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若成立，求的最小值.21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程;（2）若對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】由題意，焦點(diǎn)坐標(biāo)，所以，解得，故選A。2、C【解析】

由及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出關(guān)于q的方程即可得求解.【詳解】，即有，解得或，又為正項(xiàng)等比數(shù)列，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】試題分析：k=1，滿足條件k＜4，則執(zhí)行循環(huán)體，p=0+1=1，s=1，t=1k=2，滿足條件k＜4，則執(zhí)行循環(huán)體，p=1+1=2，s=1，t=2k=3，滿足條件k＜4，則執(zhí)行循環(huán)體，p=1+2=3，s=2，t=3k=4，不滿足條件k＜4，則退出執(zhí)行循環(huán)體，此時(shí)p=3考點(diǎn)：程序框圖4、B【解析】

首先觀察兩個(gè)角之間的關(guān)系：，因此兩邊同時(shí)取余弦值即可．【詳解】因?yàn)樗运?，選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函的誘導(dǎo)公式．解決此題的關(guān)鍵在于拼湊出，再利用誘導(dǎo)公式（奇變偶不變、符號(hào)看象限）即可．5、D【解析】作交于時(shí)，為正三角形，，是與成的角，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，作交于，同理可得，當(dāng)時(shí)，，故選D．6、D【解析】

若總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣【詳解】總體由男生和女生組成，比例為560：420＝4：1，所抽取的比例也是16：12＝4：1．故選D．【點(diǎn)睛】本小題主要考查抽樣方法，當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣，屬基本題．7、C【解析】

將平移到一起，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判斷出兩條異面直線所成角的大小.【詳解】連接如下圖所示，由于分別是棱和棱的中點(diǎn)，故，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以是異面直線所成的角，而三角形為等邊三角形，故.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間異面直線所成角的大小的求法，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)一元二次不等式的解法，利用韋達(dá)定理列方程組，解方程組求得的值.【詳解】根據(jù)一元二次不等式的解法可知，是方程的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理有，解得，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解集與對(duì)應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系，考查根與系數(shù)關(guān)系，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，分兩種情況討論：①；②．結(jié)合零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷．【詳解】在上單調(diào)減，值域?yàn)?，又．?）若，由知，③成立；（2）若，此時(shí)，①②③成立．綜上，一定不成立的是④，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，考查自變量大小的比較，解題時(shí)要充分考查函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)函數(shù)值符號(hào)不確定的，要進(jìn)行分類討論，結(jié)合零點(diǎn)存在定理來(lái)進(jìn)行判斷，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題．10、C【解析】，，則或，選C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象以及不等式的等價(jià)關(guān)系即可．【詳解】解：不等式等價(jià)為或，

則，或，

故不等式的解集是．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的求解，根據(jù)不等式的等價(jià)性結(jié)合圖象之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．12、【解析】

對(duì)極限表達(dá)式進(jìn)行整理，得到，由此作出判斷，即可得出參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)樗?，解得?故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查由極限值求參數(shù)的問(wèn)題，熟記極限運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.13、真【解析】當(dāng)時(shí)，成立，即命題“，”為真命題.14、【解析】試題分析：畫(huà)出圖形，找出BM與AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM與AN所成角的余弦值．解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，如圖：BC的中點(diǎn)為O，連結(jié)ON，MN，OB，∴MNOB，∴MN0B是平行四邊形，∴BM與AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，設(shè)BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB==，在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO===．故答案為．考點(diǎn)：異面直線及其所成的角．15、【解析】

設(shè)的角、、的對(duì)邊分別為、、，在內(nèi)取點(diǎn)，使得，設(shè)，，，利用余弦定理得出的三邊長(zhǎng)，由此計(jì)算出的面積，再利用可得出的值.【詳解】設(shè)的角、、的對(duì)邊分別為、、，在內(nèi)取點(diǎn)，使得，設(shè)，，，由余弦定理得，，同理可得，，，則，的面積為，另一方面，解得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，問(wèn)題的關(guān)鍵在于將題中的等式轉(zhuǎn)化為余弦定理，并轉(zhuǎn)化為三角形的面積來(lái)進(jìn)行計(jì)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題.16、【解析】

先求的值域,再求的值域即可.【詳解】因?yàn)?故,故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)的值域與反三角函數(shù)的值域等,屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】試題分析：（1）通過(guò)面面平行證明線面平行，所以取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接.只需通過(guò)證明HG//BC，HF//AB來(lái)證明面GHF//面ABC,從而證明底面．（2）原圖形可以看作是以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，ABDE為底的四棱錐，所四棱錐的體積公式可求得體積．試題解析：（1）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接.（如圖）∵分別是和的中點(diǎn)，∴，且，，且.又∵為正方形，∴，.∴且.∴為平行四邊形.∴，又平面，∴平面.（2）因?yàn)?，∴，又平面平面，平面，∴平?∵三角形是等腰直角三角形，∴.∵是四棱錐，∴.【點(diǎn)睛】證明線面平行時(shí),先直觀判斷平面內(nèi)是否存在一條直線和已知直線平行,若找不到這樣的直線,可以考慮通過(guò)面面平行來(lái)推導(dǎo)線面平行,應(yīng)用線面平行性質(zhì)的關(guān)鍵是如何確定交線的位置,有時(shí)需要經(jīng)過(guò)已知直線作輔助平面來(lái)確定交線．在應(yīng)用線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí),一定要注意定理成立的條件,嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書(shū)寫(xiě)步驟,如把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí),必須說(shuō)清經(jīng)過(guò)已知直線的平面與已知平面相交,則直線與交線平行．18、（1）；（2）【解析】

（1）由，可得：，再用正弦定理可得：，從而求得的值；（2）根據(jù)題意由韋達(dá)定理和余弦定理列出關(guān)于的方程求解即可．【詳解】（1）由，得：，可得：，得．由正弦定理有：，由，有，故，可得，由，有．(2)由，是方程的兩根，得，利用余弦定理得而，可得．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的正余弦定理的應(yīng)用，化簡(jiǎn)與求值，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）或【解析】

（1）由向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式和三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．（2）由（1），根據(jù)，解得，利用正弦定理，求得，再利用余弦定理列出方程，即可求解．【詳解】（1）由題意，向量，，所以，因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期為，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）函數(shù)的解析式為，可得，解得，又由，根據(jù)正弦定理，可得，因?yàn)椋?，所以為銳角，所以，由余弦定理可得，可得，即，解得或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，三角恒等變換的應(yīng)用，以及正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對(duì)角或兩角及其中一角對(duì)邊時(shí)，運(yùn)用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時(shí)，運(yùn)用余弦定理求解.20、（1）；（2）10.【解析】

（1）先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得項(xiàng)之間遞推關(guān)系，再根據(jù)等差數(shù)列定義及其通項(xiàng)公式得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先根據(jù)裂項(xiàng)相消法求，再解不等式得，即得的最小值.【詳解】（1）由知：，兩式相減得:，即，又?jǐn)?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，，∴，∴，又當(dāng)時(shí)，，即，解得或(舍），符合，∴是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，∴.（2），∴，又∵，即，解得，又，所以的最小值為10.點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)差的形式，然后通過(guò)累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如(其中是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列.裂