第11講 用公式法求解一元二次方程（原卷版）-2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假講義（北師版）

第11講用公式法求解一元二次方程模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，能熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程；2．會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程根的情況，由方程根的情況能確定方程中待定系數(shù)的取值范圍；知識(shí)點(diǎn)一．公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.2.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）；③求出的值；④若，則利用公式求出原方程的解；若，則原方程無實(shí)根.知識(shí)點(diǎn)二、一元二次方程根的判別式1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即；（1）當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.要點(diǎn)：利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計(jì)算的值；④根據(jù)的符號(hào)判定方程根的情況.2.一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根﹥0；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=0；（3）方程沒有實(shí)數(shù)根﹤0.要點(diǎn)：（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件；（2）若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則≥0.考點(diǎn)一：利用用公式法還原一元二次方程例1．（23-24八年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）在用求根公式解方程的過程中，，，的值分別是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【變式1-1】（23-24八年級(jí)下·安徽安慶·期中）若關(guān)于的一元二次方程的根為，則這個(gè)方程是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）是下列哪個(gè)一元二次方程的根（）A． B．C． D．【變式1-3】（2024·河北石家莊·一模）若是一元二次方程的根，則（

）A． B．4 C．2 D．0考點(diǎn)二：求一元二次方程中判別式的值例2.（23-24九年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）在公式法解方程時(shí)，的值是（

）A．16 B．24 C．72 D．64【變式2-1】（22-23九年級(jí)上·廣東梅州·階段練習(xí)）用公式法解一元二次方程時(shí)，計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24八年級(jí)下·安徽安慶·階段練習(xí)）當(dāng)用公式法解方程時(shí)，的值為（

）A．2 B． C．17 D．【變式2-3】（22-23九年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）在公式法解方程時(shí)，的值是（

）A．16 B．4 C．32 D．64考點(diǎn)三：用公式法求解一元二次方程例3.（23-24八年級(jí)下·吉林長春·期中）解方程：．【變式3-1】（23-24九年級(jí)上·四川涼山·階段練習(xí)）用公式法解方程：．【變式3-2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）解方程：【變式3-3】（23-24八年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．考點(diǎn)四：用公式法解一元二次方程的錯(cuò)題復(fù)原問題例4.（2024九年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）小明在解方程的過程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，其解答如下：解：，，，第一步，第二步，第三步，．第四步(1)問：小明的解答是從第______步開始出錯(cuò)的；(2)請(qǐng)寫出本題正確的解答．【變式4-1】（23-24八年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）解方程，某位同學(xué)的解答過程如下：解：∵，，，∴，∴，∴，.請(qǐng)你分析以上解答過程有無錯(cuò)誤，如有錯(cuò)誤，指出錯(cuò)誤的地方，并寫出正確的結(jié)果.【變式4-2】（22-23九年級(jí)下·河北邢臺(tái)·開學(xué)考試）嘉淇在用公式法解方程時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過程如下所示：解方程解：

（第一步）

（第二步）∴原方程無實(shí)數(shù)根

（第三步）(1)嘉淇的解答過程從第__________步開始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤的原因是__________；(2)請(qǐng)你寫出此題的正確的求解過程．【變式4-3】（22-23八年級(jí)下·北京門頭溝·期末）閱讀材料，并回答問題：小明在學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，解方程的過程如下：解：∵，，

①∴

②

③∴此方程無解問題：(1)上述過程中，從步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤（填序號(hào)）；(2)發(fā)生錯(cuò)誤的原因是：；(3)在下面的空白處，寫出正確的解答過程．考點(diǎn)五：根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況例5.（23-24九年級(jí)下·云南昆明·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程的根的情況，下列說法正確的是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定【變式5-1】（2024·河南周口·三模）關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【變式5-2】（2024·上海·中考真題）以下一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【變式5-3】（23-24八年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）下列方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)六：根據(jù)一元二方程根的情況求參數(shù)例6.（2024·甘肅金昌·三模）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)當(dāng)時(shí)，求方程的解；(2)若該方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【變式6-1】（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若為正整數(shù)，請(qǐng)用配方法求出此時(shí)方程的解．【變式6-2】（23-24八年級(jí)下·山東泰安·期中）已知：關(guān)于x的一元二次方程．(1)當(dāng)m取何值時(shí)，此方程沒有實(shí)數(shù)根；(2)若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的最小整數(shù)值．【變式6-3】（23-24九年級(jí)上·黑龍江綏化·期末）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無論k取任何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根；(2)如果這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰三角形的兩邊長，其第三邊長為4，求的周長．一、單選題1．（23-24九年級(jí)上·河北廊坊·階段練習(xí)）用求根公式解方程時(shí)，，的值是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（23-24八年級(jí)下·浙江溫州·期中）一元二次方程的實(shí)數(shù)根有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．0個(gè) D．無數(shù)個(gè)3．（23-24九年級(jí)上·福建泉州·期中）是下列哪個(gè)一元二次方程的根（）A． B． C． D．4．（23-24九年級(jí)上·河北保定·期中）已知方程的兩根是等腰三角形的兩條邊長，則等腰三角形的周長是（

）A．15 B．12 C．9 D．12或155．（2024·四川廣安·中考真題）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A．且 B．C．且 D．二、填空題6．（23-24九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）方程的解是．7．（23-24九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）用公式法解方程時(shí)，其中求得的的值是．8．（2024·上海徐匯·二模）關(guān)于的一元二次方程根的情況是：原方程實(shí)數(shù)根．9．（2024·江蘇連云港·二模）若一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，則方程有個(gè)根．10．（2024·甘肅定西·三模）若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．三、解答題11．（21-22八年級(jí)上·上海靜安·期末）用公式法解方程：．12．（23-24八年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3).13．（2024·江西·一模）課堂上，劉老師展示了一位同學(xué)用配方法解的過程，如下：解：原方程可化為，第一步配方，得，第二步即，第三步直接開平方，得，第四步所以，．第五步(1)這位同學(xué)的解題過程從第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)你正確求解該方程．14．（22-23八年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）定義：如果關(guān)于的一元二次方程中常數(shù)項(xiàng)