專題04 絕對值（原卷版）-2024小升初數(shù)學暑假銜接講義

專題04絕對值1.從數(shù)形兩方面理解絕對值的意義（代數(shù)意義和幾何意義）；2.會求已知數(shù)的絕對值及已知絕對值求未知數(shù)；體會分類討論思想；3.運用絕對值的非負性解決問題；4.能利用絕對值的幾何意義求最值，體會數(shù)形結合思想。題型探究題型1、求已知數(shù)的絕對值 3題型2、已知絕對值求數(shù)或未知數(shù) 4題型3、絕對值的概念與意義辨析 6題型4、絕對值的非負性 7題型5、絕對值的化簡求值1 9題型6、絕對值的化簡求值2 10題型7、絕對值的實際應用 11題型8、絕對值的幾何意義求最值 14培優(yōu)精練A組（能力提升） 18B組（培優(yōu)拓展） 23【思考1】下圖中點A與原點之間的距離是多少？點B與原點之間的距離是多少？【思考2】一個數(shù)的絕對值與這個數(shù)有什么關系?【歷史起源】提起絕對值的起源，就需要從“現(xiàn)代分析學之父”的德國大數(shù)學家魏爾斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）說起，他于1841年提出絕對值的定義，距今不到200年的歷史。當然，你可能覺得這個時間已經夠久遠了吧，但是我可以告訴你，我們所崇拜的歐拉，生于1707年，逝于1783年，就是說，那個把無窮級數(shù)玩得賊溜，寫出了數(shù)學史上最多論文的大神，一輩子都沒有接觸過絕對值。比照這些年份可以看出來，絕對值算是一個出現(xiàn)得非常晚的數(shù)學概念了。1.絕對值1）絕對值的概念：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離叫做數(shù)的絕對值，記作。2）絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離。3）絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；的絕對值是。即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．可整理為：，或，或。4）絕對值具有非負性，取絕對值的結果總是正數(shù)或．即：。3.歸納：=1\*GB3①絕對值等于它本身的數(shù)是：非負數(shù)；=2\*GB3②絕對值大于它本身的數(shù)是：負數(shù)；=3\*GB3③絕對值等于它的相反數(shù)的數(shù)是：非正數(shù)；=4\*GB3④絕對值最小的有理數(shù)是：0；=5\*GB3⑤絕對值最小的正整數(shù)是：1；=6\*GB3⑥絕對值最小的負整數(shù)是：-1。引入絕對值這個概念，是為以后的數(shù)學轉化思想做準備，通過絕對值，將負數(shù)轉化為正數(shù)，這樣有理數(shù)加法計算問題就可用小學時學的加法進行運算了。題型1、求已知數(shù)的絕對值【解題技巧】數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離叫做數(shù)的絕對值，。例1．（2024·廣西欽州·一模）的絕對值是（

）A．2 B． C． D．例2．（2024·江蘇連云港·二模）2024相反數(shù)的絕對值是（

）A． B． C．2024 D．例3．（20-21七年級上·浙江杭州·期末）若，則．變式1．（2024·湖北武漢·一模）的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．變式2．（2024·西藏·一模）的絕對值是（

）A．3 B． C． D．題型2、已知絕對值求數(shù)或未知數(shù)【解題技巧】若，當時，；當時，。根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，轉化為兩個一元一次方程，解方程即可。例1．（2024·河南鄭州·模擬預測）一個數(shù)x的相反數(shù)的絕對值為3，則這個數(shù)是（）A．3 B． C． D．例2．（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習）若，則．例3．（23-24七年級上·河南鄭州·階段練習）已知，則x的值為．變式1．（2024·遼寧·模擬預測）絕對值等于的數(shù)是（

）A． B． C．或 D．以上都不對變式2．（22-23七年級上·云南昆明·階段練習）如果，則．變式3．（23-24七年級上·江蘇無錫·期中）已知，則．題型3、絕對值的概念與意義辨析【解題技巧】絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離。絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；的絕對值是。例1．（2023·福建莆田·七年級統(tǒng)考期末）在數(shù)軸上表示任何一個有理數(shù)的絕對值的點的位置，只能在數(shù)軸上（）A．原點兩旁B．任何一點C．原點右邊D．原點或其右邊例2．（23-24七年級上·江蘇南京·階段練習）若，則是（

）A．非負數(shù) B．負數(shù) C．正數(shù) D．非正數(shù)例3．（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知，則．變式1．（2023·河北保定·校考模擬預測）下列說法錯誤的是（

）A．相反數(shù)是它本身的數(shù)是 B．絕對值是它本身的數(shù)是正數(shù)C．的絕對值是它本身 D．有理數(shù)的相反數(shù)仍是有理數(shù)變式2．（2022秋·甘肅慶陽·七年級統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（

）A．有理數(shù)的絕對值一定比0大B．有理數(shù)的相反數(shù)一定比0小C．如果兩個有理數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)相等D．互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等變式3．（2022·河南駐馬店·七年級?？计谀┤绻?，下列的取值不能使這個式子成立的是（

）A． B．0 C．1 D．取任何負數(shù)題型4、絕對值的非負性【解題技巧】（1）根據(jù)絕對值的非負性“若幾個非負數(shù)的和為0，則每一個非負數(shù)必為0”，即若a+b=0，則a=0且b=0．（2例1．（23-24七年級·浙江·期中）若，則，．例2．（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·期中）已知為有理數(shù)，則的最小值為．例1．（23-24七年級上·江蘇泰州·階段練習）已知b、c滿足，則的值是．變式2．（23-24七年級上·四川眉山·階段練習）如果x為有理數(shù)，式子存在最大值，那么這個式子有最值是，此題型5、絕對值的化簡求值1【解題技巧】絕對值化簡步驟：①判斷絕對值符號里式子的正負；②將絕對值符號改為小括號：若正數(shù)，絕對值前的正負號不變（即本身）；若負數(shù)，絕對值前的正負號改變（即相反數(shù)）；③去括號：括號前是“＋”，去括號，括號內不變；括號前是“－”，去括號，括號內各項要變號；④化簡。注意：注意改絕對值符號時與去括號時是否需要變號，且變號的正確性。例1．（23-24七年級上·四川眉山·階段練習）若，互為相反數(shù)，則；．例2．（23-24七年級·上?！て谥校┤粲欣頂?shù)在數(shù)軸上對應的點如圖，化簡：．變式1．（23-24七年級·湖北孝感·階段練習）若，則．變式2．（23-24七年級上·山西忻州·期末）數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡的結果為（

）A． B． C． D．變式3．（2023·河南·七年級?？茧A段練習）有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖：(1)比較大?。ㄌ睢啊被颉啊碧枺賍_____；②______；③______；(2)化簡：．題型6、絕對值的化簡求值2【解題技巧】當a＞0時，則；當a＜0時，則。例1．（23-24七年級上·四川涼山·階段練習）若，則的值為．變式1．（23-24七年級上·浙江紹興·階段練習）如果，那么的值是（

）A．或3 B．或3 C．1或3 D．或變式2．（22-23七年級上·江西上饒·期中）若，則．題型7、絕對值的實際應用【解題技巧】常見三種應用：1）質量問題，絕對值越小，越接近質量標準；2）小蟲爬行問題，判斷小蟲是否能重回原點，將所有數(shù)據(jù)相加與0相比較，求距離時是各數(shù)的絕對值，與數(shù)的正負性無關；3）數(shù)軸上數(shù)的表示問題，點向左移動時，原數(shù)減去移動的距離；點向右移動時，原數(shù)加上移動的距離。例1．（2023·浙江金華·七年級?？计谥校┬钔瑢W檢測了4個足球，其中超過標準質量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標準質量的克數(shù)記為負數(shù)，從輕重的角度看，最接近標準質量的是（

）A． B． C． D．例2．（23-24七年級上·湖南永州·階段練習）小蟲從某地點0出發(fā)在一直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正，向左爬行的路程記為負，爬行的路程依次為（單位：厘米），問：(1)小蟲是否回到原點0？(2)爬行過程中，如果每爬行1厘米獎勵5粒芝麻，則小蟲可得到多少粒芝麻？變式1．（2024·吉林四平·二模）從一批湯圓中挑選4個湯圓編號后進行稱重檢查，結果如下（超過標準質量的記為正數(shù)，不足的克數(shù)記為負數(shù)，單位：g），其中最接近標準質量的是（

）編號1234檢查結果A．1號湯圓 B．2號湯圓 C．3號湯圓 D．4號湯圓變式2．（23-24七年級上·四川綿陽·期中）科博會期間，出租車司機小李某天上午營運時是在九洲體育館門口出發(fā)，沿東西走向的大街上進行的，如果規(guī)定向東為正，向西為負，他這天上午所接送位乘客的行車里程（單位：）如下：，，，，，，，．(1)將最后一位乘客送到目的地時，小李在什么位置？(2)若汽車消耗天然氣量為，這天上午小李接送乘客，出租車共消耗天然氣多少立方米？(3)若出租車起步價為元，起步里程為（包括，超過部分每千米元，問小李這天上午共得車費多少元？題型8、絕對值的幾何意義求最值【解題技巧】幾何意義：表示x到點a的距離（1）找零點（分界點）；（2）根據(jù)零點將數(shù)軸分段；（3）利用“數(shù)形結合”思想，求解絕對值的值（幾何法）；或者根據(jù)分段情況，分析絕對值內式子的正負，去絕對值（代數(shù)法）。注：（1）一個式子中有多個絕對值式子時，x前的系數(shù)必須相同才可以用該“數(shù)形結合”的方法；（2）分段的時候，切不可遺漏數(shù)軸上的點，也不可重復討論。例1.（2022·山東濟寧·七年級期末）大家知道，，它在數(shù)軸上的意義是：表示5的點與原點（即表示0的點）之間的距離．又如式子，它在數(shù)軸上的意義是：表示6的點與表示3的點之間的距離．類似地，式子在數(shù)軸上的意義是______．例2.（2022·湖南邵陽·七年級期末）點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離記作．當A、B兩點中有一點為原點時，不妨設A點在原點．如圖所示，則，當A、B兩點都不在原點時：（1）如圖所示，點A、B都在原點的右邊，不妨設點A在點B的左側.則（2）如圖所示，點A、B都在原點的左邊，不妨設點A在點B的右側.則（3）如圖所示，點A、B分別在原點的兩邊，不妨設點A在原點的右側，則回答下列問題：(1)綜上所述，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離_______________．(2)數(shù)軸上表示3和的兩點A和B之間的距離_______________．(3)數(shù)軸上表示x和的兩點A和B之間的距離_________．如果，則x的值為________．(4)若代數(shù)式有最小值，則最小值為_______________．變式1.（2023?廣西七年級月考）同學們都知道，|3﹣（﹣1）|表示3與﹣1之差的絕對值，實際上也可理解為3與﹣1兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．試探索：（1）求|3﹣（﹣1）|＝．（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4，這樣的整數(shù)是．變式2．（2023·江蘇南京·七年級?？茧A段練習）如果對于某一特定范圍內的任意允許值，P=|1-4x|+|1-5x|+|1-6x|+|1-7x|+|1-8x|的值恒為一常數(shù)，則此值為_________.變式3．（23-24七年級上·貴州黔南·期末）知識理解：同學們，我們在絕對值一節(jié)的學習中知道，一般的，數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，絕對值符號中含有未知數(shù)的方程叫做絕對值方程．像，，都叫做絕對值方程，對于絕對值方程，我們根據(jù)絕對值的定義求出未知數(shù)的值．例如：（1）表示在數(shù)軸上，數(shù)a與數(shù)0的距離為5個單位長度，所以，或，對應的數(shù)有兩個，分別是5和．解：因為，所以，或．（1）表示在數(shù)軸上，數(shù)a與數(shù)3的距離為5個單位長度，所以，或，對應的數(shù)有兩個，分別是8和．解：因為，所以，或，解得：或．知識應用：（1）求出下列未知數(shù)的值．；．（2）知識探究：直接寫出的最小值．A組（能力提升）1．（2024·廣西南寧·二模）2024的絕對值是（

）A．2024 B． C． D．2．（23-24七年級上·貴州貴陽·階段練習）如圖所示，檢測4個足球，其中超過標準質量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標準質量的克數(shù)記為負數(shù)，從輕重的角度看，最接近標準質量的是（

）A． B． C． D．3．（22-23七年級下·上海閔行·階段練習）如果，那么的取值范圍是（

）A．正數(shù) B．負數(shù) C．非負數(shù) D．非正數(shù)4．（23-24七年級·上海普陀·期中）如果一個數(shù)的絕對值等于它本身，那么這個數(shù)是（

）A．1 B．0 C．正數(shù) D．非負數(shù)5．（23-24七年級上·浙江紹興·階段練習）相反數(shù)與絕對值相等的數(shù)是（

）A．非正數(shù) B．非負數(shù) C．正數(shù) D．負數(shù)6．（23-24九年級下·江蘇南京·階段練習）如圖，將實數(shù)表示在數(shù)軸上，則下列等式成立的是（

）

A． B． C． D．7．（2023·重慶七年級期中）下列命題正確的是（）A．絕對值等于本身的數(shù)是正數(shù)B．絕對值等于相反數(shù)的數(shù)是負數(shù)C．互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等D．絕對值相等的兩個數(shù)互為相反數(shù)8．（2023春·吉林長春·七年級?？茧A段練習）若，則a的值可以是（）A．5 B．3 C．1 D．9．（23-24八年級上·江蘇徐州·階段練習）絕對值小于的所有整數(shù)有個．10．（23-24七年級上·山東青島·階段練習）a是最大的負整數(shù)，且a、b、c滿足．那么a＝，b＝，c＝．11．（23-24七年級上·山東濟寧·期末）實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖，則．12．（23-24七年級上·山東濱州·期末）若，則的值為．13．（23-24七年級上·廣東佛山·期中）如圖，直徑為1個單位的圓片上有一點與數(shù)軸上的原點重合，是圓片的直徑．圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負數(shù)，依次運動情況記錄如下：，運動結束后運動的路程共有．（保留）

14．（23-24七年級上·廣東深圳·期中）出租車司機李師傅某日上午一直在某市區(qū)一條東西方向的公路上營運，共連續(xù)運載八批乘客．若規(guī)定向東為正，向西為負（單位：千米）．(1)李師傅位于第一批乘客出發(fā)地的什么方向？距離多少千米？(2)這時間段李師傅開車的平均速度是多少千米每小時？B組（培優(yōu)拓展）1．（23-24七年級下·黑龍江綏化·階段練習）為有理數(shù)，若，那么是（

）A．非正數(shù) B．非負數(shù) C．負數(shù) D．不為0的數(shù)2．（2023秋·云南文山·七年級統(tǒng)考期末）若x是一個有理數(shù)，且，則（

）A． B． C．4 D．-23．（2023秋·黑龍江佳木斯·七年級校考期末）若，則和的關系為（

）A．和相等B．和互為相反數(shù)C．和相等或互為相反數(shù)D．以上答案都不對4．（2024·江蘇南京·七年級校考階段練習）若是有理數(shù)，則的值（）A．是負數(shù) B．是非負數(shù) C．必是正數(shù) D．無法確定5．（23-24七年級上·江蘇徐州·階段練習）已知、為有理數(shù)，，且，當、取不同的值時，的值等于（

）A． B．或 C．或 D．或6．（2024七年級·廣東·培優(yōu)）使成立的條件是（

）．A．為任意數(shù) B． C． D．7．（23-24七年級上·河北石家莊·階段練習）當時，的值最?。?．（23-24七年級上·四川達州·期中）若a、b、c是整數(shù)，且，則．9．（23-24七年級·北京海淀·期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：______0，______0，______0．(2)