專題04 絕對(duì)值（原卷版）-2024小升初數(shù)學(xué)暑假銜接講義

專題04絕對(duì)值1.從數(shù)形兩方面理解絕對(duì)值的意義（代數(shù)意義和幾何意義）；2.會(huì)求已知數(shù)的絕對(duì)值及已知絕對(duì)值求未知數(shù)；體會(huì)分類討論思想；3.運(yùn)用絕對(duì)值的非負(fù)性解決問(wèn)題；4.能利用絕對(duì)值的幾何意義求最值，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。題型探究題型1、求已知數(shù)的絕對(duì)值 3題型2、已知絕對(duì)值求數(shù)或未知數(shù) 4題型3、絕對(duì)值的概念與意義辨析 6題型4、絕對(duì)值的非負(fù)性 7題型5、絕對(duì)值的化簡(jiǎn)求值1 9題型6、絕對(duì)值的化簡(jiǎn)求值2 10題型7、絕對(duì)值的實(shí)際應(yīng)用 11題型8、絕對(duì)值的幾何意義求最值 14培優(yōu)精練A組（能力提升） 18B組（培優(yōu)拓展） 23【思考1】下圖中點(diǎn)A與原點(diǎn)之間的距離是多少？點(diǎn)B與原點(diǎn)之間的距離是多少？【思考2】一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值與這個(gè)數(shù)有什么關(guān)系?【歷史起源】提起絕對(duì)值的起源，就需要從“現(xiàn)代分析學(xué)之父”的德國(guó)大數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）說(shuō)起，他于1841年提出絕對(duì)值的定義，距今不到200年的歷史。當(dāng)然，你可能覺(jué)得這個(gè)時(shí)間已經(jīng)夠久遠(yuǎn)了吧，但是我可以告訴你，我們所崇拜的歐拉，生于1707年，逝于1783年，就是說(shuō)，那個(gè)把無(wú)窮級(jí)數(shù)玩得賊溜，寫出了數(shù)學(xué)史上最多論文的大神，一輩子都沒(méi)有接觸過(guò)絕對(duì)值。比照這些年份可以看出來(lái)，絕對(duì)值算是一個(gè)出現(xiàn)得非常晚的數(shù)學(xué)概念了。1.絕對(duì)值1）絕對(duì)值的概念：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)的絕對(duì)值，記作。2）絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。3）絕對(duì)值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；的絕對(duì)值是。即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．可整理為：，或，或。4）絕對(duì)值具有非負(fù)性，取絕對(duì)值的結(jié)果總是正數(shù)或．即：。3.歸納：=1\*GB3①絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是：非負(fù)數(shù)；=2\*GB3②絕對(duì)值大于它本身的數(shù)是：負(fù)數(shù)；=3\*GB3③絕對(duì)值等于它的相反數(shù)的數(shù)是：非正數(shù)；=4\*GB3④絕對(duì)值最小的有理數(shù)是：0；=5\*GB3⑤絕對(duì)值最小的正整數(shù)是：1；=6\*GB3⑥絕對(duì)值最小的負(fù)整數(shù)是：-1。引入絕對(duì)值這個(gè)概念，是為以后的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想做準(zhǔn)備，通過(guò)絕對(duì)值，將負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)，這樣有理數(shù)加法計(jì)算問(wèn)題就可用小學(xué)時(shí)學(xué)的加法進(jìn)行運(yùn)算了。題型1、求已知數(shù)的絕對(duì)值【解題技巧】數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)的絕對(duì)值，。例1．（2024·廣西欽州·一模）的絕對(duì)值是（

）A．2 B． C． D．例2．（2024·江蘇連云港·二模）2024相反數(shù)的絕對(duì)值是（

）A． B． C．2024 D．例3．（20-21七年級(jí)上·浙江杭州·期末）若，則．變式1．（2024·湖北武漢·一模）的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．變式2．（2024·西藏·一模）的絕對(duì)值是（

）A．3 B． C． D．題型2、已知絕對(duì)值求數(shù)或未知數(shù)【解題技巧】若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，解方程即可。例1．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)數(shù)x的相反數(shù)的絕對(duì)值為3，則這個(gè)數(shù)是（）A．3 B． C． D．例2．（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）若，則．例3．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知，則x的值為．變式1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）絕對(duì)值等于的數(shù)是（

）A． B． C．或 D．以上都不對(duì)變式2．（22-23七年級(jí)上·云南昆明·階段練習(xí)）如果，則．變式3．（23-24七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）已知，則．題型3、絕對(duì)值的概念與意義辨析【解題技巧】絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。絕對(duì)值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；的絕對(duì)值是。例1．（2023·福建莆田·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在數(shù)軸上表示任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值的點(diǎn)的位置，只能在數(shù)軸上（）A．原點(diǎn)兩旁B．任何一點(diǎn)C．原點(diǎn)右邊D．原點(diǎn)或其右邊例2．（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）若，則是（

）A．非負(fù)數(shù) B．負(fù)數(shù) C．正數(shù) D．非正數(shù)例3．（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，則．變式1．（2023·河北保定·?？寄M預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．相反數(shù)是它本身的數(shù)是 B．絕對(duì)值是它本身的數(shù)是正數(shù)C．的絕對(duì)值是它本身 D．有理數(shù)的相反數(shù)仍是有理數(shù)變式2．（2022秋·甘肅慶陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．有理數(shù)的絕對(duì)值一定比0大B．有理數(shù)的相反數(shù)一定比0小C．如果兩個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等D．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等變式3．（2022·河南駐馬店·七年級(jí)?？计谀┤绻?，下列的取值不能使這個(gè)式子成立的是（

）A． B．0 C．1 D．取任何負(fù)數(shù)題型4、絕對(duì)值的非負(fù)性【解題技巧】（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0”，即若a+b=0，則a=0且b=0．（2例1．（23-24七年級(jí)·浙江·期中）若，則，．例2．（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）已知為有理數(shù)，則的最小值為．例1．（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知b、c滿足，則的值是．變式2．（23-24七年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）如果x為有理數(shù)，式子存在最大值，那么這個(gè)式子有最值是，此題型5、絕對(duì)值的化簡(jiǎn)求值1【解題技巧】絕對(duì)值化簡(jiǎn)步驟：①判斷絕對(duì)值符號(hào)里式子的正負(fù)；②將絕對(duì)值符號(hào)改為小括號(hào)：若正數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)不變（即本身）；若負(fù)數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)改變（即相反數(shù)）；③去括號(hào)：括號(hào)前是“＋”，去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)不變；括號(hào)前是“－”，去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)；④化簡(jiǎn)。注意：注意改絕對(duì)值符號(hào)時(shí)與去括號(hào)時(shí)是否需要變號(hào)，且變號(hào)的正確性。例1．（23-24七年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）若，互為相反數(shù)，則；．例2．（23-24七年級(jí)·上?！て谥校┤粲欣頂?shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖，化簡(jiǎn)：．變式1．（23-24七年級(jí)·湖北孝感·階段練習(xí)）若，則．變式2．（23-24七年級(jí)上·山西忻州·期末）數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B． C． D．變式3．（2023·河南·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖：(1)比較大?。ㄌ睢啊被颉啊碧?hào)）．①______；②______；③______；(2)化簡(jiǎn)：．題型6、絕對(duì)值的化簡(jiǎn)求值2【解題技巧】當(dāng)a＞0時(shí)，則；當(dāng)a＜0時(shí)，則。例1．（23-24七年級(jí)上·四川涼山·階段練習(xí)）若，則的值為．變式1．（23-24七年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）如果，那么的值是（

）A．或3 B．或3 C．1或3 D．或變式2．（22-23七年級(jí)上·江西上饒·期中）若，則．題型7、絕對(duì)值的實(shí)際應(yīng)用【解題技巧】常見三種應(yīng)用：1）質(zhì)量問(wèn)題，絕對(duì)值越小，越接近質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)；2）小蟲爬行問(wèn)題，判斷小蟲是否能重回原點(diǎn)，將所有數(shù)據(jù)相加與0相比較，求距離時(shí)是各數(shù)的絕對(duì)值，與數(shù)的正負(fù)性無(wú)關(guān)；3）數(shù)軸上數(shù)的表示問(wèn)題，點(diǎn)向左移動(dòng)時(shí)，原數(shù)減去移動(dòng)的距離；點(diǎn)向右移動(dòng)時(shí)，原數(shù)加上移動(dòng)的距離。例1．（2023·浙江金華·七年級(jí)校考期中）小楊同學(xué)檢測(cè)了4個(gè)足球，其中超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，從輕重的角度看，最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（

）A． B． C． D．例2．（23-24七年級(jí)上·湖南永州·階段練習(xí)）小蟲從某地點(diǎn)0出發(fā)在一直線上來(lái)回爬行，假定向右爬行的路程記為正，向左爬行的路程記為負(fù)，爬行的路程依次為（單位：厘米），問(wèn)：(1)小蟲是否回到原點(diǎn)0？(2)爬行過(guò)程中，如果每爬行1厘米獎(jiǎng)勵(lì)5粒芝麻，則小蟲可得到多少粒芝麻？變式1．（2024·吉林四平·二模）從一批湯圓中挑選4個(gè)湯圓編號(hào)后進(jìn)行稱重檢查，結(jié)果如下（超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的記為正數(shù)，不足的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，單位：g），其中最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（

）編號(hào)1234檢查結(jié)果A．1號(hào)湯圓 B．2號(hào)湯圓 C．3號(hào)湯圓 D．4號(hào)湯圓變式2．（23-24七年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期中）科博會(huì)期間，出租車司機(jī)小李某天上午營(yíng)運(yùn)時(shí)是在九洲體育館門口出發(fā)，沿東西走向的大街上進(jìn)行的，如果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，他這天上午所接送位乘客的行車?yán)锍蹋▎挝唬海┤缦拢海?，，，，，?1)將最后一位乘客送到目的地時(shí)，小李在什么位置？(2)若汽車消耗天然氣量為，這天上午小李接送乘客，出租車共消耗天然氣多少立方米？(3)若出租車起步價(jià)為元，起步里程為（包括，超過(guò)部分每千米元，問(wèn)小李這天上午共得車費(fèi)多少元？題型8、絕對(duì)值的幾何意義求最值【解題技巧】幾何意義：表示x到點(diǎn)a的距離（1）找零點(diǎn)（分界點(diǎn)）；（2）根據(jù)零點(diǎn)將數(shù)軸分段；（3）利用“數(shù)形結(jié)合”思想，求解絕對(duì)值的值（幾何法）；或者根據(jù)分段情況，分析絕對(duì)值內(nèi)式子的正負(fù)，去絕對(duì)值（代數(shù)法）。注：（1）一個(gè)式子中有多個(gè)絕對(duì)值式子時(shí)，x前的系數(shù)必須相同才可以用該“數(shù)形結(jié)合”的方法；（2）分段的時(shí)候，切不可遺漏數(shù)軸上的點(diǎn)，也不可重復(fù)討論。例1.（2022·山東濟(jì)寧·七年級(jí)期末）大家知道，，它在數(shù)軸上的意義是：表示5的點(diǎn)與原點(diǎn)（即表示0的點(diǎn)）之間的距離．又如式子，它在數(shù)軸上的意義是：表示6的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離．類似地，式子在數(shù)軸上的意義是______．例2.（2022·湖南邵陽(yáng)·七年級(jí)期末）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離記作．當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)A點(diǎn)在原點(diǎn)．如圖所示，則，當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)：（1）如圖所示，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊，不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).則（2）如圖所示，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè).則（3）如圖所示，點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩邊，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)的右側(cè)，則回答下列問(wèn)題：(1)綜上所述，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離_______________．(2)數(shù)軸上表示3和的兩點(diǎn)A和B之間的距離_______________．(3)數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)A和B之間的距離_________．如果，則x的值為________．(4)若代數(shù)式有最小值，則最小值為_______________．變式1.（2023?廣西七年級(jí)月考）同學(xué)們都知道，|3﹣（﹣1）|表示3與﹣1之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為3與﹣1兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：（1）求|3﹣（﹣1）|＝．（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4，這樣的整數(shù)是．變式2．（2023·江蘇南京·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如果對(duì)于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值，P=|1-4x|+|1-5x|+|1-6x|+|1-7x|+|1-8x|的值恒為一常數(shù)，則此值為_________.變式3．（23-24七年級(jí)上·貴州黔南·期末）知識(shí)理解：同學(xué)們，我們?cè)诮^對(duì)值一節(jié)的學(xué)習(xí)中知道，一般的，數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，絕對(duì)值符號(hào)中含有未知數(shù)的方程叫做絕對(duì)值方程．像，，都叫做絕對(duì)值方程，對(duì)于絕對(duì)值方程，我們根據(jù)絕對(duì)值的定義求出未知數(shù)的值．例如：（1）表示在數(shù)軸上，數(shù)a與數(shù)0的距離為5個(gè)單位長(zhǎng)度，所以，或，對(duì)應(yīng)的數(shù)有兩個(gè)，分別是5和．解：因?yàn)?，所以，或．?）表示在數(shù)軸上，數(shù)a與數(shù)3的距離為5個(gè)單位長(zhǎng)度，所以，或，對(duì)應(yīng)的數(shù)有兩個(gè)，分別是8和．解：因?yàn)?，所以，或，解得：或．知識(shí)應(yīng)用：（1）求出下列未知數(shù)的值．；．（2）知識(shí)探究：直接寫出的最小值．A組（能力提升）1．（2024·廣西南寧·二模）2024的絕對(duì)值是（

）A．2024 B． C． D．2．（23-24七年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖所示，檢測(cè)4個(gè)足球，其中超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，從輕重的角度看，最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（

）A． B． C． D．3．（22-23七年級(jí)下·上海閔行·階段練習(xí)）如果，那么的取值范圍是（

）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非負(fù)數(shù) D．非正數(shù)4．（23-24七年級(jí)·上海普陀·期中）如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．0 C．正數(shù) D．非負(fù)數(shù)5．（23-24七年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）相反數(shù)與絕對(duì)值相等的數(shù)是（

）A．非正數(shù) B．非負(fù)數(shù) C．正數(shù) D．負(fù)數(shù)6．（23-24九年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，將實(shí)數(shù)表示在數(shù)軸上，則下列等式成立的是（

）

A． B． C． D．7．（2023·重慶七年級(jí)期中）下列命題正確的是（）A．絕對(duì)值等于本身的數(shù)是正數(shù)B．絕對(duì)值等于相反數(shù)的數(shù)是負(fù)數(shù)C．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等D．絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)8．（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則a的值可以是（）A．5 B．3 C．1 D．9．（23-24八年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）絕對(duì)值小于的所有整數(shù)有個(gè)．10．（23-24七年級(jí)上·山東青島·階段練習(xí)）a是最大的負(fù)整數(shù)，且a、b、c滿足．那么a＝，b＝，c＝．11．（23-24七年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖，則．12．（23-24七年級(jí)上·山東濱州·期末）若，則的值為．13．（23-24七年級(jí)上·廣東佛山·期中）如圖，直徑為1個(gè)單位的圓片上有一點(diǎn)與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合，是圓片的直徑．圓片在數(shù)軸上向右滾動(dòng)的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動(dòng)的周數(shù)記為負(fù)數(shù)，依次運(yùn)動(dòng)情況記錄如下：，運(yùn)動(dòng)結(jié)束后運(yùn)動(dòng)的路程共有．（保留）

14．（23-24七年級(jí)上·廣東深圳·期中）出租車司機(jī)李師傅某日上午一直在某市區(qū)一條東西方向的公路上營(yíng)運(yùn)，共連續(xù)運(yùn)載八批乘客．若規(guī)定向東為正，向西為負(fù)（單位：千米）．(1)李師傅位于第一批乘客出發(fā)地的什么方向？距離多少千米？(2)這時(shí)間段李師傅開車的平均速度是多少千米每小時(shí)？B組（培優(yōu)拓展）1．（23-24七年級(jí)下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）為有理數(shù)，若，那么是（

）A．非正數(shù) B．非負(fù)數(shù) C．負(fù)數(shù) D．不為0的數(shù)2．（2023秋·云南文山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若x是一個(gè)有理數(shù)，且，則（

）A． B． C．4 D．-23．（2023秋·黑龍江佳木斯·七年級(jí)?？计谀┤?，則和的關(guān)系為（

）A．和相等B．和互為相反數(shù)C．和相等或互為相反數(shù)D．以上答案都不對(duì)4．（2024·江蘇南京·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若是有理數(shù)，則的值（）A．是負(fù)數(shù) B．是非負(fù)數(shù) C．必是正數(shù) D．無(wú)法確定5．（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知、為有理數(shù)，，且，當(dāng)、取不同的值時(shí)，的值等于（

）A． B．或 C．或 D．或6．（2024七年級(jí)·廣東·培優(yōu)）使成立的條件是（

）．A．為任意數(shù) B． C． D．7．（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，的值最?。?．（23-24七年級(jí)上·四川達(dá)州·期中）若a、b、c是整數(shù)，且，則．9．（23-24七年級(jí)·北京海淀·期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：______0，______0，______0．(2)