有限樣本空間與隨機事件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

第十章概率10.1隨機事件與概率10.1.1有限樣本空間與隨機事件引入

通過我們上一章的學(xué)習(xí)可知，許多實際問題都可以用數(shù)據(jù)分析的方法解決，即通過隨機抽樣收集數(shù)據(jù),再選擇適當?shù)慕y(tǒng)計圖表描述和表達數(shù)據(jù)，并從樣本中提取所需要的信息，估計總體的規(guī)律，從而解決相應(yīng)的問題.

同時我們也發(fā)現(xiàn)這樣一個問題，當樣本容量較小時，每次得到的結(jié)果往往不同，但如果有足夠多的數(shù)據(jù)，就可以從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律.

問題1：某同學(xué)將每天從家到校的時間作了一個記錄

(精確到分).

思考(1)：該同學(xué)從家到學(xué)校所需時間能事先預(yù)知嗎？如記錄一周數(shù)據(jù)如下，這些時間有什么特點?第一周2526302427

該同學(xué)每天從家到學(xué)校所需時間是不能預(yù)知的，且每天所花的時間不一定相同.

思考(2)：如果該同學(xué)將一學(xué)期記錄的數(shù)據(jù)繪制直方圖如右，你能發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎?

該同學(xué)每天從家到學(xué)校所需時間具有相對穩(wěn)定的分布規(guī)律，如大多數(shù)天數(shù)在25~29分鐘內(nèi).

問題2：從裝有5個白球和10個紅球的袋子中隨機摸出一個，事先能確定它的顏色嗎？但如果有放回地重復(fù)摸很多很多次，每次記錄摸到的球的顏色，你認為會有規(guī)律嗎？

任何一次隨機取一個球，事先都不能確定它的顏色.但如果有放回地重復(fù)取很多很多次，就會發(fā)現(xiàn)取到球的顏色會呈現(xiàn)一定的規(guī)律，例如白色大約占1/3，紅色大約占2/3.問題3：類似于問題1和問題2中的現(xiàn)象有什么共同特點？

就一次觀測而言，出現(xiàn)結(jié)果具有偶然性，但在大量重復(fù)觀測下，各個出現(xiàn)結(jié)果的頻率具有穩(wěn)定性.這類現(xiàn)象叫做隨機現(xiàn)象.隨機現(xiàn)象是概率論研究的對象.也是我們本章要探討的內(nèi)容.隨機現(xiàn)象

知識探究(一)

問題4：考察下列試驗，各有多少個可能結(jié)果，事先能否預(yù)知出現(xiàn)哪個結(jié)果？能否確定所有可能的結(jié)果？(1)將一枚硬幣拋擲2次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；(2)從你所在的班級隨機選擇10名學(xué)生，觀察近視的人數(shù)；(3)在一批燈管中任意抽取一只，測試它的壽命；(4)從一批發(fā)芽的水稻種子中隨即選取一些，觀察分蘗數(shù)；(5)記錄某地區(qū)七月份的降水量.2種可能的結(jié)果，試驗前不能預(yù)知會出現(xiàn)哪一個結(jié)果

，可以確定所有可能的結(jié)果.11種可能的結(jié)果，試驗前不能預(yù)知會出現(xiàn)哪一種結(jié)果

，可以確定所有可能的結(jié)果.無限種可能的結(jié)果，試驗前不能預(yù)知會出現(xiàn)哪一個結(jié)果

，不能確定所有可能的結(jié)果.很多種可能的結(jié)果，試驗前不能預(yù)知會出現(xiàn)哪一個結(jié)果

，不能確定所有可能的結(jié)果.無限種可能的結(jié)果，試驗前不能預(yù)知會出現(xiàn)哪一個結(jié)果

，不能確定所有可能的結(jié)果.

1概念：

我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示.隨機試驗

2.特點：

我們主要研究的是具有以下特點的隨機試驗：

(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；

(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但是現(xiàn)在不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果。

思考：我們把類似于以上的方法叫隨機試驗，而且目前我們只重點研究(1)(2)兩種情況，那么這兩種有什么共同的特點呢？

問題4：體育彩票搖獎時，將10個質(zhì)地和大小完全相同、分別標號0,1,2，…，9的球放入搖獎器中，經(jīng)過充分攪拌后搖出一個球，觀察這個球的號碼.

這個隨機試驗共有多少個可能結(jié)果？如何表示這些結(jié)果呢？如果要用集合來進一步刻畫這些可能結(jié)果，又該怎樣表示?返回共有10個可能的結(jié)果；若設(shè)搖出球的號碼為m，則m可取0，1，2，…，9;所有可能結(jié)果用集合表示為{0，1，2，…，9}.

在這個試驗中，我們把這里m叫樣本點，集合{0，1，2，…，9}叫樣本空間.

樣本空間

(1)樣本點：

隨機試驗E

的每個可能的基本結(jié)果.一般用

ω

表示.(2)樣本空間：

全體樣本點的集合.

一般用Ω

表示樣本空間.(3)有限樣本空間:

如果一個隨機試驗有

n

個可能結(jié)果的ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間

Ω={ω1，ω2，…，ωn}

為有限樣本空間.

由剛才我們所學(xué)的可知，我們目前所研究的隨機試驗的樣本空間都是有限樣本空間.

返回例析

例1.拋擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上，寫出試驗的樣本空間.

∵落地時只有正面向上和反面向上兩個可能結(jié)果，

∴試驗的樣本空間可以表示Ω={正面向上，反面向上}.

如果用h表示“正面向上”,t表示“反面向上”，則樣本空間又可表示為Ω={h，t}解：

例2.拋擲一枚骰子，觀察它落地時朝上的面的點數(shù),寫出試驗的樣本空間.解：

設(shè)ω表示朝上的“點數(shù)為

ω”，則

ω有1,2,3,4,5,6共6個可能的基本結(jié)果，∴試驗的樣本空間可以表示為Ω={1,2,3,4,5,6}.一般地，我們應(yīng)盡可能將樣本點符號化和數(shù)據(jù)化

例3.拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況,寫出試驗的樣本空間.

拋擲兩枚硬幣，若第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示，則

試驗的樣本點可用（x，y）表示。

∴試驗的樣本空間Ω={（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}.解：

思考(1)：如果我們用用1表示“正面朝上”，0表示“背面朝上”，那么樣本空間還可以怎么表示？

思考(2)：你能用初中學(xué)過的樹狀圖來列舉出所有的樣本點嗎？Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}101010第一枚第二枚一般地，我們在列舉樣本點時可以借助于樹狀圖和表格練習(xí)(4)拋擲三枚硬幣，觀察他們落地時面朝上的情況。寫出下列各隨機試驗的樣本空間.(1)采用抽簽的方式，隨機選擇一名同學(xué)，并記錄其性別；(2)采用抽簽的方式，隨機選擇一名同學(xué)，觀察其ABO血型；(3)隨機選擇一個有兩個小孩的家庭，觀察兩個孩子的性別；知識探究(二)

問題5：在上面體育彩票搖號試驗中,搖出“球的號碼為奇數(shù)”是隨機事件嗎?

搖出“球的號碼為3的倍數(shù)”是隨機事件嗎?如何用集合的形式來表示它們?

思考：這兩個隨機事件的集合與這個隨機試驗的樣本空間有什么關(guān)系?

如何利用集合語言來解釋“一個隨機事件發(fā)生”的意義？“球的號碼為奇數(shù)”和“球的號碼為3的倍數(shù)”都是隨機事件.

若用A表示隨機事件“球的號碼為奇數(shù)”，則

A發(fā)生，當且僅當搖出的號碼為1,3,5,7,9之一，即事件A發(fā)生等價于搖出的號碼屬于集合{1,3,5,7,9}

∴事件A可用集合{1,3,5,7,9}來表示.同理，若用B表示隨機事件“球的號碼為3的倍數(shù)”，則

事件B可用集合{3,6,9}來表示.

集合{1,3,5,7,9}和{3,6,9}都是樣本空間合表示為?={0，1，2，…，9}的子集.

一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個隨機試驗的的樣本空間的子集來表示。隨機事件

一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個隨機試驗的的樣本空間的子集來表示。

(1)隨機事件

我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件。

只包含一個樣本點的事件稱為基本事件。

隨機事件一般用大寫字母A,B,C,…表示。

在每次實驗中，當且僅當A中的某個樣本點出現(xiàn)，稱為事件A發(fā)生。(2)必然事件

Ω作為是自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω都會發(fā)生，我們成Ω為必然事件。

(3)不可能事件

空集

?不包含任何樣本點，在每次實驗中都不會發(fā)生，我們稱

?為不可能事件。返回

例4.如右圖，一個電路中有A、B、C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效.

把這個電路是否為通路看成是一個隨機現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常.

(1)寫出試驗的樣本空間；

(2)用集合表示下列事件：M=“恰好兩個元件正?！保籒=“電路是通路”；T=“電路是斷路”例析

思考(1)：這個隨機試驗的觀察點是什么，有多少種可能的結(jié)果

？

這個試驗的觀察點是A,B,C三個元件的正常與否。共有8種不同情況。

思考(2)：如何才能將“這個電路中各元件是否正?！睌?shù)學(xué)化和數(shù)字化

？

一是可以用1表示元件的“正?！睜顟B(tài)，用0表示“失效”狀態(tài);

二是將表示

A,B,C三個元件的是否正常的數(shù)字按順序排列得到的有序數(shù)組作為樣本點.

例4.如右圖，一個電路中有A、B、C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效.

把這個電路是否為通路看成是一個隨機現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常.

(1)寫出試驗的樣本空間；

(2)用集合表示下列事件：

M=“恰好兩個元件正?！?；N=“電路是通路”；T=“電路是斷路”解：

(1)分別用x1,

x2和x3表示元件A,

B和C的可能狀態(tài)，則這個電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,

x3)表示.

進一步，假設(shè)用1表示元件狀態(tài)的“正?！?，用0表示狀態(tài)“失效”，則樣本空間為Ω=

{(0,0,0)，

(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，

(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1),(1,1,1)}.

思考(3)：你能用樹狀圖來表示所有的樣本點嗎？01元件A0101元件B01010101元件C000001010011100101110可能結(jié)果111(2)

∵“恰好兩個元件正?！钡葍r于

(x1,x2,

x3)∈?，且x1,x2,

x3中恰有兩個1，∴M={(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)}.∵“電路是通路”等價于

(x1,x2,

x3)∈?，且x1=1x2,

x3中至少有1個1,∴N={(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)}.∵“電路是斷路”等價于

(x1,x2,

x3)∈?，且x1=0，或

x2=x3=0,∴T={(0,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,1,1),

(1,0,0)}.練習(xí)

拋擲一黃、一藍兩枚兩枚均勻的正四面體骰子，分別觀察底面的數(shù)子.

(1)用表格表示試驗的所有可能結(jié)果；

(2)列舉下列事件所含的樣本點：A=