高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案新人教A版必修第一冊

第1課時函數(shù)的單調(diào)性

課程標(biāo)準(zhǔn)

(1)了解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念.(2)會劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性.

(3)會用定義證明函數(shù)的單調(diào)性.

新知初探?課前預(yù)習(xí)一一突出基礎(chǔ)性

教材要點

要點一增函數(shù)與減函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)F(x)的定義域為。，區(qū)間如果任意?小，當(dāng)汨＜加

條件時

都有一都有一

那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間/上是那么就稱函數(shù)/'(X)在區(qū)間/上是一

結(jié)論

________函數(shù)函數(shù)

Vy

圖示

??

0X]x2XO

要點二函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)尸/"(*)在區(qū)間/上，那么就說函數(shù)尸/tv)在這一

區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性電，區(qū)間/叫做尸，”)的一

助學(xué)批注

批注?“任意”二字絕不能去掉，證明時不能以特殊代替一般.

批注?(1)函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；

(2)函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，它是一個局部概念.

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析(正確的畫””,錯誤的畫“X”)

(1)因為f(-1)<*2),所以函數(shù)f(x)在［-1,2］上是增函數(shù).()

(2)若f(x)為R上的減函數(shù)，則f(O)>F(l).()

(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2］和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)/Xx)在區(qū)間(1,3)上為增

函數(shù).()

(4)若函數(shù)Hx)在(-8,0)和(0,+8)上單調(diào)遞減，則f(x)在(-8,o)u(O,+8)

上單調(diào)遞減.()

2.(多選)如圖是函數(shù)y=F(x)的圖象，則函數(shù)尸/'(x)在下列區(qū)間單調(diào)遞減的是()

A.[-6,-4]B.[-4,-1]

C.[-1,2]D.[2,5]

3.[2022?北京大興高一期中]下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)的是()

A.y=xB.y=3—x

C.y=(D.y=—x+4.

4,函數(shù)代的單調(diào)遞減區(qū)間是

題型探究?課堂解透一一強化創(chuàng)新性

題型1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出該函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù).

/、/、1/、,、(2x+1,x>1,

⑴f(x)=Y(2)f(x)=

x(5-x,x<l；

(3)f(x)=-x+2\x\+3.

方法歸納

1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法

2.若所求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間不唯一，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間要用“，'''和"

連接，不能用“U”連接.

鞏固訓(xùn)練1畫出函數(shù)尸⑶(x—2)的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

題型2函數(shù)單調(diào)性的判定與證明

例2證明函數(shù)/'(x)=x+2在(0,1)上是減函數(shù).

X

方法歸納

利用定義判斷或證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

鞏固訓(xùn)練2［2022.湖南長沙高一期中］用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)尸券在(一1,

+8)上為增函數(shù).

題型3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

例3(1)若函數(shù)f(x)=-f—2(a+l)x+3在區(qū)間(一8,3］上是增函數(shù)，則實數(shù)a的

取值范圍是.

(2)已知函數(shù)尸f(x)是(-8,+8)上的增函數(shù)，且A2x-3)>/(5%-6),則實數(shù)x

的取值范圍為一

(3)若函數(shù)f(x)=1(3a-l)x+4a,x<l,是定義在R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范

(—ax,x>1

圍為?

方法歸納

1.由函數(shù)解析式求參數(shù)

2.利用抽象函數(shù)單調(diào)性求范圍

①依據(jù)：定義在[如〃]上的單調(diào)增(減)函數(shù)中，函數(shù)值與自變量的關(guān)系為

fa<b(a>b),

=jm<a<n,

Im<b<n.

②方法：依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉符號"F',轉(zhuǎn)化為不等式問題.

鞏固訓(xùn)練3⑴已知二次函數(shù)2ax+l在區(qū)間(2,3)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a

的取值范圍是()

A.(—8,2]u[3,+8)

B.[2,3]

C.(—8,—3]u[-2,+8)

D.[—3,—2]

(2)設(shè)函數(shù)是R上的減函數(shù)，若/(裾+2)>f(2加+5),則實數(shù)勿的取值范圍是

第1課時函數(shù)的單調(diào)性

新知初探?課前預(yù)習(xí)

［教材要點］

要點一

/"(%1)</U)KxC增減

要點二

單調(diào)遞增或單調(diào)遞減單調(diào)區(qū)間

［基礎(chǔ)自測］

1.答案：⑴X(2)V(3)X(4)X

2.解析：結(jié)合圖象易知，

函數(shù)f(x)在區(qū)間［―4,—1］、［2,5］上單調(diào)遞減.

答案:BD

3.解析：對于A,juf在(0,+8)上是增函數(shù)，故A正確.對于B,y=3—x在(0,

+8)上是減函數(shù)，故B錯誤.對于C,尸［在(0,+8)上是減函數(shù)，故C錯誤.對于D,y

=一六+4在(0,+8)上是減函數(shù)，故D錯誤.

答案：A

4.解析：函數(shù)片4的單調(diào)遞減區(qū)間應(yīng)是(一8,0)和(0,+8),不能寫成(-8,0)u(0,

+°°).

答案：(一8,0)和(0,4-00)

題型探究?課堂解透

例1解析：(1)函數(shù)/?(/)=一工的單調(diào)區(qū)間為(一8,0)和(0,+8),

X

其在(一8,0),(0,+8)上都是增函數(shù).

（2）當(dāng)時，f（x）是增函數(shù)，當(dāng)xVl時，f（x）是減函數(shù)，所以f（x）的單調(diào)區(qū)間為（一

8,1）,[1,+8）,并且函數(shù)/'（X）在（一8,1）上是減函數(shù)，在[1,+8）上是增函數(shù).

—x2+2x+3,x>0,

(3)因為/?(力=一\+2|、+3=

—x2-2x4-3,x<0.

根據(jù)解析式可作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知,

函數(shù)/'(必的單調(diào)區(qū)間為(-8,-1],(-1,0),[0,1),[1,+8).

f（x）在（-8,—1],[0,1）上是增函數(shù)，在（-1,0）,[1,+8）上是減函數(shù).

鞏固訓(xùn)練1

x2-2x=(x-l)2-1,x>0,

解析：r=\x\（X—2）=

—x2+2x=—(x—l)2+1,x<0,

函數(shù)的圖象如圖所示.

由函數(shù)的圖象知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（一8,0]和[1,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間為（0,

1）.

例2證明：設(shè)％,及是區(qū)間（0,1）上的任意兩個不同實數(shù)，且小〈如則/'（劉）一以生）

=?=(…)+(i-i)=(…)X2-X]（小一加（1一表）=

X1X2

(X「X2)(-l+XiX2)

X】X2

V0<%I<A2<1,

Axi—A2<0,OVx.Vl,則—I+X1X2VO,

,(Xi-X2)(~l+XiX2)〉0

「X1X2，

即/U)>f(X2)，

.?.f(x)=x+2在(0,1)上是減函數(shù).

X

鞏固訓(xùn)練2證明：設(shè)汨，X2是區(qū)間(-1,+8)上任意兩個不同實數(shù)且為>用，

則為一尼>0,xi+l>0,及+1>0,

V-V—2X1_2X2_2(X]-X2)

12

X]+lx2+l(x1+l)(x2+l)’

?」1》孫

函數(shù)尸二在(一1,+8)上為增函數(shù).

X+1

例3解析：(l)：f(x)=—V—2(a+l)x+3的開口向下，要使/"(X)在(一8,3]上是

增函數(shù)，只需一(a+l),3,即aW—4.

；?實數(shù)a的取值范圍為(-8,-4].

(2)；f(x)在(-8,+8)上是增函數(shù),且f(2x—3)>『(5十-6),

.?.2x—3>5x—6,即x<l,.?.實數(shù)x的取值范圍為(