絕密資料高中數(shù)學(xué)數(shù)列的求和

第37講：數(shù)列的求和

一、課程標(biāo)準(zhǔn)

1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及倒序相加求和、錯(cuò)位相減求和法.

2.掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法.

3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用相關(guān)知識(shí)解決與前n項(xiàng)和相關(guān)的問(wèn)題.

二、基礎(chǔ)知識(shí)回顧

1.公式法

〃⑷+?！?n(n—\)d

⑴等差數(shù)列3｝的前〃項(xiàng)和＜=2=碎+2.推導(dǎo)方法：倒序相加法.

na\9q=l,

⑵等比數(shù)列｛而的前〃項(xiàng)和s“=J也1二g推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法.

l-q＞療】?

(3)一些常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和：

〃(〃+1)

①1+2+3+...+〃=2；

②2+4+6+…+2〃=〃(〃+1)；

③1+3+5+…+(2〃-1)=/.

2.幾種數(shù)列求和的常用方法

(1)分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用

分組求和法，分別求和后相加減.

(2)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前〃項(xiàng)和.

(3)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這

個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解.

(4)倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列｛斯｝與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)

數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.

3、常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧

③(2"-1)(2〃+1)=±(2"-1-2〃+1)

①"("+1)=〃_"+卜?n(n+2)~2\P~n+2)-

]____[__________1、

⑤“"+l)(n+2)=2<H(n+1)一(〃+1)(〃+2),

三、自主熱身、歸納總結(jié)

111_1_

1、數(shù)列1力3“5g，7而，…的前n項(xiàng)和為(C)

J_±±1

42n—1+2nB.n2+1—2nC.n2+1—2nZ).n2+1-2廠(chǎng)1

2、數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式為不訴二f,若該數(shù)列的前左項(xiàng)之和等于9,則k=（）

A.80B.81C.79D.82

3、若數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式是斯=（-1）"（3〃-2）,則〃1+怎+…+mo=（）

A.15B.12C.-12D.-15

mr

4、數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為斯=〃85?~,其前〃項(xiàng)和為S”,則52020=.

5、（一題兩空）（2020?安徽太和模擬）設(shè)S〃是數(shù)列｛?！ǎ那皀項(xiàng)和，旦m=1,4〃+i+SS+i=0,則S〃=,

數(shù)列｛SS+i｝的前〃項(xiàng)和為.

J__1__1_

6、（2020?鄭州模擬）數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足：ai=l,且對(duì)任意的小，〃WN*,都有而+〃=即+斯+加〃，則7+￡+而+…

1

+。2018=（）

2017201840344036

A.2018B.2019C.2018D.2019

四、例題選講

題型一公式法

例1、（2019通州、海門(mén)、啟東期末）設(shè)｛a/是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，ai=2,a3=a2+4,則它的前5項(xiàng)和S5

a61S6

變式1、（2019鎮(zhèn)江期末）設(shè)Sn是等比數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)的和，若后=—，，則苒=.

s

變式2、（2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若4=2々，則看=.

〃（〃|+斯）

方法總結(jié)：若一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列或者等比數(shù)列則運(yùn)用求和公式：①等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：S產(chǎn)-2―

〃（〃一1）.1（］一."）ai—a〃q

=na\+2d.②等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式（口）當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na\；（口）當(dāng)好1時(shí)，S〃=1—夕=1—夕.

考點(diǎn)二利用“分組求和法”求和

-1]「11]「111'

n-1

例2、求和Sn=1+L1+2J+L*+2+4J+...+J+2+4+--?+2_

111x

變式1、數(shù)列1，，34,58,7諱，…，(2〃-1)+蘇…的前〃項(xiàng)和S,的值等于

變式2、已知數(shù)列｛?！埃那?項(xiàng)和S”=—2-，"6N*.

(1)求數(shù)列｛“■｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)仁=2%+(—1)%,求數(shù)列｛d｝的前2n項(xiàng)和.

變式3、設(shè)數(shù)列｛忝｝的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意nWN*滿(mǎn)足2Sn=an(an+\)＞且a#0.

(1)求數(shù)列｛飆｝的通項(xiàng)公式；

斯+「”為奇數(shù)，

⑵設(shè)C"=j3x2a“-i+l，〃為偶數(shù)，求數(shù)列｛。"｝的前2”項(xiàng)和T2n.

方法總結(jié)：數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比

數(shù)列或可求前n項(xiàng)和的數(shù)列求和.

考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和

100

11:

例3、(2018南通、揚(yáng)州、泰州、淮安三調(diào))設(shè)數(shù)列6｝滿(mǎn)足a1=1,(1—an+i)(l+an)=l(neN*),則S,(o@

k=1

+D的值為.

變式1、(2019?湖南省湘東六校聯(lián)考)已知數(shù)列｛如｝的前"項(xiàng)和￡滿(mǎn)足低=小工+1(稔2,neN),且m=l.

(1)求數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式a“；

(2)記瓦=4“?斯+],求數(shù)列｛兒｝的前n項(xiàng)和T,,.

變式2、已知數(shù)列｛而各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S,，且滿(mǎn)足4s“=(a“+l)2.

⑴求｛“”｝的通項(xiàng)公式；

1

(2)設(shè)兒=￡￡二'求數(shù)列也”｝的前n項(xiàng)和T“及T?的最小值?

]

變式3、已知函數(shù)寅x)=f的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2),令服=次"+1)+力7?)，"CN*.記數(shù)列｛%,｝的前〃項(xiàng)和為S”則S2020

=()

A.A/2019-1B.^/2020-1

C.^/2021-1D.^/2021+1

方法總結(jié)：常見(jiàn)題型有(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式形如。"=廠(chǎng)左一時(shí)，可轉(zhuǎn)化為期=照一言，此類(lèi)數(shù)列適合

使用裂項(xiàng)相消法求和.

11____

(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式形如服=而存赤時(shí)，可轉(zhuǎn)化為K后icf),此類(lèi)數(shù)列適合使用裂項(xiàng)相消法

求和.

考點(diǎn)四錯(cuò)位相減法求和

例4、(2019南京調(diào)研)已知｛〃“｝是等差數(shù)列，其前■項(xiàng)和為S〃,?“｝是等比數(shù)列，且m=bi=2,44+64=21,

S4+b4=30.

(1)求數(shù)列｛斯｝和｛瓦｝的通項(xiàng)公式；

(2)記金=斯?jié)?，〃￡N*,求數(shù)列｛c〃｝的前〃項(xiàng)和.

變式1、(2019?鄭州市第二次質(zhì)量檢測(cè))已知數(shù)列｛〃“｝中，“1=1,?！?gt;0,前〃項(xiàng)和為S〃，若a〃=y[^+7ss

￡N*,且佗2).

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)記Cn=an'2an9求數(shù)列｛c〃｝的前n項(xiàng)和T〃.

變式2、設(shè)等差數(shù)列｛如｝的公差為d,前〃項(xiàng)和為S〃，等比數(shù)列｛瓦｝的公比為夕，已知"=m,段=2,q=d,

5io=100.

Cln

⑴求數(shù)列｛冊(cè)｝,｛b｝的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)4>1時(shí)，記?！?石，求數(shù)列匕,｝的前”項(xiàng)和%.

方法總結(jié)：主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推

導(dǎo)過(guò)程的推廣.。特別注意錯(cuò)位相減法的步驟。

五、優(yōu)化提升與真題演練

U[2018年高考全國(guó)I卷理數(shù)】記S“為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若S“=2an+1,則S6=.

2、【2019年高考全國(guó)III卷理數(shù)】記