人教版初中數(shù)學(xué)中考專題復(fù)習(xí)《圓的綜合題》導(dǎo)學(xué)案

人教版初中數(shù)學(xué)中考專題復(fù)習(xí)《圓的綜合題》黔東南州復(fù)習(xí)專版導(dǎo)學(xué)案 黎平縣地坪附中劉永懷姓名：班級(jí)：§復(fù)習(xí)目標(biāo)1.重溫圓的知識(shí)，掌握基本定理和公式2.掌握中考最新考題考點(diǎn)§教學(xué)過程一、溫故知新圓常考相關(guān)知識(shí)1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧?！锶缬覉D幾何語言：∵O的直徑CD垂直于弦AB，且垂足為點(diǎn)E（已知）∴AE=BE=，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC（垂徑定理）考試時(shí)，通常只有半徑OD⊥AB，也能2、圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。如右圖幾何語言：∵在O中，∠AOB=∠COD（已知或已證）∴AB=CD，AB=CD（圓心角定理）備注：在同圓或等圓中，相等的圓心角，相對(duì)的弧，相對(duì)的弦，三者知一推二。3、圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。★幾何語言：∵∠C與∠D是劣弧AB所對(duì)的圓周角，∠AOB是劣弧AB所對(duì)的圓心角（由圖可知）∴∠C=∠D=（圓周角定理）圓周角定理的推論：①同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；★②直徑所對(duì)的圓周角是直角★；如右圖幾何語言：∵BE是O的直徑（已知）∴∠C=∠AEB（同弧所對(duì)的圓周角相等）∴∠D=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）③90°圓周角所對(duì)的弦是直徑（可以用于證明某條弦是直徑）。如右圖幾何語言：∵∠D是O中弦BE所對(duì)的圓周角，且∠D=90°（已知）∴BE是O的直徑（90°圓周角所對(duì)的弦是直徑）4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)?！?、弦切角定理：如果有一個(gè)角的兩條邊，一條邊與圓相交，另一條邊與圓相切，則于圓相交的兩點(diǎn)之間的弧所對(duì)的圓周角與這個(gè)角相等，我們把這個(gè)角叫做弦切角。幾何語言：如圖所示：∵BP與O相切，AB、BC、AC都是O的弦（已知）∴∠PBC=∠A（弦切角定理）★6、切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線?！镒C明一條線是圓的切線有兩個(gè)條件：①這一條線首先經(jīng)過一條半徑外端；②這一條線必須垂直于這條半徑.幾何語言：∵線段AP經(jīng)過半徑OA的外端，且AP⊥OA（已知或已證）∴AP是O的切線切線的性質(zhì)：圓的切線垂直過切點(diǎn)的半徑。幾何語言：如圖所示：∵AP與O相切于點(diǎn)A，且OA為O的半徑（已知）∴AP⊥OA（切線的性質(zhì)）7、n邊形內(nèi)角和公式n邊形外角和=360°正多邊形：每一個(gè)角都相等，每條邊都相等.8、圓的弧長(zhǎng)公式：如右圖所示：AB的長(zhǎng)就按以上公式計(jì)算。9、圓的扇形面積公式：如右上圖所示：扇形OAB的面積就按以上公式計(jì)算。10、圓錐的體積公式：圓錐的表面積公式：備注：底面圓半徑為r,圓錐的高為h，母線長(zhǎng)為R，并且與圓結(jié)合的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)11、直角三角形銳角三角函數(shù)★如圖所示：在中，以∠A為研究對(duì)象：此重點(diǎn)內(nèi)容，會(huì)出現(xiàn)在選擇題、填空題和計(jì)算題中求一些線段的長(zhǎng)度，在今后的高中和大學(xué)數(shù)學(xué)中還會(huì)繼續(xù)用到，所以務(wù)必記住！12、特殊銳角三角函數(shù)值表★知道度數(shù)會(huì)求值，知道結(jié)果會(huì)求度數(shù)。知道60°，會(huì)求正弦值反過來，知道tanA=1，能快速求得∠A=45°.三角形相似★（1）三角形相似的判定：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.②三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.③兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.④兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似★.（中考常用重點(diǎn)考點(diǎn)）⑤斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.如右圖所示：若△ABC是直角三角形，CD是斜邊AB上的高，則根據(jù)判定四可以得到△ACD∽△CBD∽△ABC（注意對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)順序不能錯(cuò)亂），根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，則有；就能證明這樣的等式.（2）相似三角形性質(zhì)①相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.②相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.③相似三角形面積的比等于相似比的平方.★例：如圖所示：△AEF∽△ABC，且相似比為，若AE=5，△AEF的高AG=4，求AB，AD的長(zhǎng)度；若，解：（1）∵△AEF∽△ABC，且相似比為，AE=5，△AEF的高AG=4（已知）∴（相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比）（相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比）∵△AEF∽△ABC，且相似比為，且（已知）∴（相似三角形面積的比等于相似比的平方）∵在△AGF與△ADC中，∠GAF=∠DAC（公共角），∠AGF=∠ADC=90°∴△AGF∽△ADC，且相似比=∴二、經(jīng)典考題分析講解1、圓的綜合題經(jīng)典考題類型：考點(diǎn)1：求證直線與圓相切★考點(diǎn)2：求線段長(zhǎng)度或者利用銳角三角函數(shù)求線段長(zhǎng)★考點(diǎn)3：求陰影部分面積★考點(diǎn)4：利用相似三角形求證類似的等式2、考題分析黔東南州近幾年中考及2021中考模擬考試《圓的綜合》考題分析2021、5、18地坪附中教務(wù)處年份題號(hào)內(nèi)容分值201521第（1）問求證切線12分第（2）問求弧長(zhǎng)201622第（1）問求證切線12分第（2）問求線段長(zhǎng)（半徑）201721第（1）問求證等式12分第（2）問求陰影面積201822第（1）問求證切線12分第（2）問利用銳角三角函數(shù)求線段長(zhǎng)201922第（1）問求證線段等式關(guān)系12分第（2）問角度數(shù)量關(guān)系202023第（1）問求證切線12分第（2）問求陰影面積（結(jié)合銳角三角函數(shù)）2021全縣中考模擬考試23第（1）問求線段長(zhǎng)12分第（2）問求陰影面積2021全州中考模擬考試23第（1）問求證切線12分第（2）問利用銳角三角函數(shù)求線段長(zhǎng)典例精講例1（2021黔東南州中考模擬考試23題12分）如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,連接AD,過點(diǎn)

作DE⊥AC,垂足為E.

(1)求證:DE是⊙O的切線.

(2)若AB=2,sin∠ADE=,求線段DE的長(zhǎng).例2（2021黎平縣中考模擬考試23題12分）如圖,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙O上,∠D=60°且AB=6,過O點(diǎn)作OE⊥AC,垂足為E。

(1)求OE的長(zhǎng);

(2)若OE的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F,求弦AF、AC和弧CF圍成的圖形(陰影部分)的面積S.一試牛刀1(2020懷化改編)如圖，在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使CD＝CA，且∠D＝30°，分別過A、B兩點(diǎn)作直線CD的垂線，垂足分別為E、F兩點(diǎn)，AE與⊙O交于點(diǎn)H.(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為點(diǎn)G，求證CG2＝AE·BF；(3)求證：四邊形HOBC為菱形；若BD＝2，求⊙O的半徑和線段DE的長(zhǎng)；(5)若⊙O的半徑為2，求eq\o(AH,\s\up8(︵))的弧長(zhǎng)及陰影部分的面積．2.(2020菏澤改編)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于點(diǎn)E.(1)小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn)DE與AC是一個(gè)確定的位置關(guān)系，請(qǐng)回答這個(gè)位置關(guān)系是什么？并對(duì)小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明；(2)若⊙O的半徑為5，BC＝16，求DE的長(zhǎng)．3.(2020淮安)如圖，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一點(diǎn)，OC⊥OA，CO交AB于點(diǎn)P，交⊙O于點(diǎn)D，且CP＝CB.(1)判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若∠A＝30°，OP＝1，求圖中陰影部分的面積．針對(duì)演練1.解：(1)證明：如解圖，連接OC，∵CA＝CD，且∠D＝30°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO＝30°，∴∠COD＝∠CAD＋∠ACO＝30°＋30°＝60°，∴∠OCD＝180°－∠D－∠COD＝180°－30°－60°＝90°，∴OC⊥CD，又∵點(diǎn)C在⊙O上，∴CD是⊙O的切線；(2)證明：如解圖，連接BC，∵∠COB＝60°，且OC＝OB，∴△OCB為等邊三角形，∠CBG＝60°，又∵CG⊥AD，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＝90°－∠CBG＝30°，又∵∠GCD＝60°，∴CB是∠GCD的平分線，且BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF＝BG，又∵BC＝BC，∴△BCG≌△BCF，∴CF＝CG.∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠AEC＝90°，∴∠EAD＝60°，又∵∠CAD＝30°，∴AC是∠EAG的平分線，且CE⊥AE，CG⊥AB，∴CE＝CG，∵∠AEC＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，∴△AEC∽△CFB，∴eq\f(AE,CF)＝eq\f(CE,BF)，即AE·BF＝CF·CE，又∵CE＝CG，CF＝CG，∴AE·BF＝CG2；(3)證明：如解圖，連接OH，HC，OC，CB，∵∠D＝30°，AE⊥ED，∴∠EAD＝60°，∵OA＝OH，∴△AOH為等邊三角形，∴∠HOA＝∠OBC＝60°，∴OH∥BC，∵∠CBO＝60°，OC＝OB，∴△OCB是等邊三角形，∴OH＝BC，∴四邊形HOBC是平行四邊形，又∵OH＝OB，∴四邊形HOBC是菱形；(4)∵∠OCD＝90°，∠OCB＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝BD＝2，∴⊙O的半徑為2，∵∠OCH＝60°，∠OCE＝90°，∴∠HCE＝30°，∴在Rt△HEC中，EC＝CH·cos30°＝eq\r(3)，在Rt△OCD中，CD＝OD·cos30°＝2eq\r(3)，∴ED＝EC＋CD＝3eq\r(3)；(5)∵∠AOH＝60°，⊙O的半徑為2，∴eq\o(AH,\s\up8(︵))的弧長(zhǎng)＝eq\f(60π×2,180)＝eq\f(2π,3)，S陰影＝S△HEC＋S△HCO－S扇形HOC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＋eq\f(\r(3),4)×22－eq\f(60π·22,360)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\r(3)－eq\f(2π,3)＝eq\f(3\r(3),2)－eq\f(2π,3).2.解：(1)DE與AC垂直，證明：如解圖，連接OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠B＝∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∴AC⊥DE；(2)如解圖，連接AD，∵AB為⊙O直徑，AB＝AC，∴AD是等腰△ABC的高，也是中線，∴CD＝BD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×16＝8，∠ADC＝90°，∵AB＝AC＝2×5＝10，∴由勾股定理，得AD＝eq\r(102－82)＝6，∵S△ACD＝eq\f(1,2)×8×6＝eq\f(1,2)×10×DE，∴DE＝4.8.3.解：(1)相切；理由如下：如解圖，連接OB.∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP.∵OA＝OB，∴∠OAP＝∠OBA.又∵∠CPB＝∠APO，AO⊥OC，∴∠APO＋∠OAP＝90°，∴∠CBP＋∠OBA＝∠OBC＝90°.∴OB⊥BC，又∵點(diǎn)B在⊙O上，且OB是⊙O的半徑，∴直線BC與⊙O的位置關(guān)系是相切；(2)∵∠A＝30°，OP＝1，AO⊥OC，∴AP＝2OP＝2，AO＝eq\f(OP,tanA)＝eq