專題04 完全平方公式七種壓軸題型全攻略（解析版） 四川成都七年級數(shù)學(xué)下冊-

專題04完全平方公式七種壓軸題型全攻略【知識點梳理】完全平方和（差）公式：注：=1\*GB3①a、b僅是一個符號，可以表示數(shù)、字母、單項式或多項式；=2\*GB3②使用公式時，一定要先變形成符合公式的形式拓展：利用可推導(dǎo)除一些變式=1\*GB3①=2\*GB3②注：變式無需記憶。在完全平方公式中，主要有、、、等模塊，都可以通過與相結(jié)合推導(dǎo)出來。類型一、公式的變形與逆運用例1．（2023下·四川成都·七年級成都市樹德實驗中學(xué)校考期中）若．則．【答案】【分析】先利用完全平方公式求出，再由進行代值計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了完全平方公式，正確得到是解題的關(guān)鍵．例2．運用乘法公式計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）本題考查整式的乘法公式，把看成一個整體，然后根據(jù)乘法公式：，即可；（2）本題考查整式的乘法公式，把看成一個整體，然后根據(jù)乘法公式：，即可．【詳解】（1）；（2）．【變式訓(xùn)練1】．已知，則代數(shù)式的值是．【答案】【分析】本題考查了完全平方公式、代數(shù)式求值，先將原式根據(jù)完全平方公式變形，再整體代入即可得出答案．【詳解】，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】計算(1)(2)【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：，（2）．類型二、知二求二例．（2023下·四川成都·七年級成都七中?？计谥校┤簦?，則的值為．【答案】90【分析】將變形得到，再把，代入進行計算求解．【詳解】解：∵，，∴．故答案為：90．【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，完全平方公式的應(yīng)用，靈活運用完全平方公式是解答關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．已知，，則．【答案】【分析】本題考查完全平方公式的展開，兩式相加消去兩字母積即可得到答案；【詳解】解：∵，，∴，，兩式相加得，，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】．已知,,則．【答案】5【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用,利用公式,將本題條件代入公式即可求得結(jié)果．【詳解】∵,,∴,∴．答案：5．【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，完全平方公式的應(yīng)用，靈活運用完全平方公式是解答關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．已知，，則的值是．【答案】1或/或1【分析】本題主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．由已知條件入手，把兩邊同時平方，就可以出現(xiàn)的形式，再結(jié)合，求出的值后，再求的值即可;【詳解】解：∵，，∴，∴，當(dāng)時：，當(dāng)時：．故答案為：1或．類型三、求參數(shù)值例．（2023下·四川成都·七年級?？计谥校┤絷P(guān)于x的多項式是完全平方式，則a的值是．【答案】5或/或5【分析】根據(jù)完全平方公式的變形進行求解即可．【詳解】∵，∴，解得或，故答案為：5或．【點睛】本題考查了完全平方公式的變形，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．若關(guān)于的二次三項式是完全平方式，則常數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】本題考查了完全平方式，根據(jù)完全平方式的形式即可求解，熟記完全平方式的形式：“”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意得：，解得：，故選C．【變式訓(xùn)練2】．若是完全平方式，則（

）A．2 B．7 C． D．或7【答案】D【分析】本題主要考查了完全平方公式，完全平方公式的特征為：兩數(shù)的平方和再加上或減去它們積的2倍．根據(jù)解答即可．【詳解】解：∵多項式是完全平方式，∴，∴，解得：或，故選：D．【變式訓(xùn)練3】．如果關(guān)于的二次三項式是完全平方式，那么的值是.【答案】【分析】先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式(完全平方和、差公式)乘積二倍項即可確定m的值.【詳解】解：∵是完全平方式，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練4】．已知是一個完全平方式，則【答案】【分析】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，求k的值即可．【詳解】解：∵是一個完全平方式，∴故答案為．類型四、與幾何圖形綜合例．（2023下·四川成都·七年級?？计谥校?shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了圖1中三種不同大小的正方形與長方形，拼成了一個如圖2所示的正方形．(1)請用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積和．方法1：_________；方法2：__________．(2)請你直接寫出三個代數(shù)式：，，之間的等量關(guān)系．(3)根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知，，求和的值．②已知，求的值．【答案】(1)；(2)(3)①15；②16【分析】（1）利用陰影兩部分直接求和與用總面積減去空白部分面積兩種方法即可求解；（2）由圖2中陰影部分面積的表示即可得到答案；（3）①由（2）的關(guān)系可得，進而求解即可；②設(shè)，則，，依題意，得，∴，利用整體思想求解即可．【詳解】（1）陰影兩部分求和為：；用總面積減去空白部分面積為：，故答案為：；；（2）由題意得，；（3）①由（2）得，∴，解得，∴，②設(shè)，則，，依題意，得，∴，可求得.由整體思想，得．【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能根據(jù)完全平方公式的幾何背景準(zhǔn)確列式，并能運用公式解決相關(guān)問題．【變式訓(xùn)練1】．（2023下·四川成都·七年級成都市樹德實驗中學(xué)?？计谥校?）已知a﹣b＝4，ab＝5，求a2+b2和（a+b）2的值；（2）若x滿足（x﹣2023）2+（x﹣2010）2＝189，求（x﹣2023）（x﹣2010）的值；（3）如圖，在長方形ABCD中，AB＝11cm，點E，F(xiàn)是邊BC，CD上的點，EC＝6cm，且BE＝DF＝x，分別以FC，CB為邊在長方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CBMN，若長方形CBQF的面積為80cm2，求圖中陰影部分的面積和．

【答案】（1）26，36；（2）10；（3）129【分析】先把完全平方公式進行變形，再整體代入求解，設(shè)，，再把完全平方公式進行變形，再整體代入求解，設(shè)，，再把完全平方公式進行變形，再整體代入求解．【詳解】（1），，，；（2）設(shè)，，則：，，；（3）設(shè)，，則：，，，，∴陰影部分的面積和為：．【點睛】本題考查了整式的混合運算，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．（2023下·四川成都·七年級成都實外?？计谥校┰S多數(shù)學(xué)定理都是從圖形的面積關(guān)系中發(fā)現(xiàn)的．

(1)如圖1，用兩種不同的方法表示陰影圖形的面積，可以得到一個等量關(guān)系為；(2)若數(shù)m，n滿足，，求與的值；(3)如圖2，點E、G分別是正方形的邊上的點，分別以為邊作正方形和正方形，若線段的長度為，長方形的面積為，求陰影部分的面積．【答案】(1)；(2)，；(3)【分析】（1）分別用代數(shù)式表示圖1中各個部分的面積，再根據(jù)各個部分面積之間的關(guān)系即可得出答案；（2）利用（1）中的結(jié)論直接進行計算即可；（3）設(shè)正方形和正方形的邊長分別為x、y，由題意得出，，求出x、y的值，再代入進行計算即可．【詳解】（1）解：圖1中陰影部分的面積為兩個正方形的面積和，即，也可以看作從邊長為的正方形面積減去兩個長為a，寬為b的長方形面積，即，因此有，故答案為：；（2）由（1）可得，∵，，∴，即，∴，∴或，答：，；（3）設(shè)正方形和正方形的邊長分別為x、y，∵的長度為，長方形的面積為，∴，，解得，，∴陰影部分的面積為．【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提，用代數(shù)式表示各個部分的面積是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．（2022下·四川成都·七年級?？计谥校知識生成]通常，用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式．例如：如圖是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖的形狀拼成一個正方形．請解答下列問題：（1）觀察圖，請你寫出、、之間的等量關(guān)系是______；（2）根據(jù)（1）中的等量關(guān)系解決如下問題：若，，求的值；[知識遷移]類似地，用兩種不同的方法計算同一幾何體的體積，也可以得到一個恒等式．（3）根據(jù)圖，寫出一個代數(shù)恒等式：______；（4）已知，，利用上面的規(guī)律求的值．【答案】[知識生成]（1）；[知識遷移]（2）14（3）（4）9【分析】[知識生成]（1）觀察圖大正方形面積減中間小正方形面積等于個長方形面積；（2）靈活利用上題得出的結(jié)論，靈活計算求解．[知識遷移]（3）利用兩種方式求解長方體的體積，得出關(guān)系式．（4）利用上題得出得關(guān)系式，進行變換，最終求出答案．【詳解】解：[知識生成]（1）用兩種方法表示出個長方形的面積：即大正方形面積減中間小正方形面積等于個長方形面積，可得：，（2）由題（1）知：，．[知識遷移]（3）根據(jù)題意得：．（4）由（3）可知，把，代入得：．．【點睛】考查了完全平方式的應(yīng)用，以及對完全平方式進行了知識擴展，考查了學(xué)生靈活應(yīng)變得能力．類型五、配湊完全平方式例．（2022下·四川成都·七年級四川省成都市第七中學(xué)初中學(xué)校校考期中）已知，則=．【答案】-2【分析】本題利用拆常數(shù)項湊完全平方的方法進行求解．【詳解】解：即根據(jù)非負數(shù)的非負性可得：解得:所以故答案為：-2【變式訓(xùn)練1】．若，則．【答案】9【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，非負數(shù)的性質(zhì)，求代數(shù)式的值．先利用完全平方公式分解因式，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，然后代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：9．【變式訓(xùn)練2】．已知，求的值．【答案】4【分析】本題考查了運用完全平方公式進行計算、求代數(shù)式的值，將式子變形為，根據(jù)偶次方非負的性質(zhì)得出，求出的值，代入進行計算即可，熟練掌握完全平方公式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，，．【變式訓(xùn)練3】．已知，滿足，則．【答案】0【分析】本題主要考查了完全平方公式“”，熟記完全平方公式是解題關(guān)鍵．先將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)偶次方的非負性求解即可得．【詳解】解：，，，又，，故答案為：0．類型六、負指數(shù)冪形式例．若，則的值為．【答案】【分析】本題看考查了負整數(shù)指數(shù)冪，完全平方公式的應(yīng)用，根據(jù)完全平方公式進行計算即可求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練1】．若正數(shù)滿足，則的值是．【答案】8【分析】本題考查了完全平方公式，能正確根據(jù)完全平方公式進行變形是解此題的關(guān)鍵．先根據(jù)完全平方公式進行變形，求出，再求出答案即可．【詳解】解：，，，為正數(shù)，，故答案為：8．【變式訓(xùn)練2】．已知，那么．【答案】32【分析】本題考查了求代數(shù)式的值、利用完全平方公式的變形進行計算，由題意可得：，兩邊同時除以并整理得，再利用完全平方公式的變形將式子變?yōu)?，代入?shù)值進行計算即可，熟練掌握完全平方公式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得：，，，，，故答案為：．類型七、整體法求值例．若x滿足，求的值．解：設(shè)，，則，．∴．(1)若x滿足，求的值．(2)若x滿足，求的值．友情提示（2）中的可通過逆用積的乘方公式變成．(3)若x滿足，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了完全平方公式的運用．（1）根據(jù)例題的解題思路進行計算，即可解答；（2）將轉(zhuǎn)化為，即，再根據(jù)例題的解題思路進行計算，即可解答；（3）根據(jù)例題的解題思路進行計算，即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)，則，，；（2）解：，，即，設(shè)，則，，；（3）解：設(shè)，則，，，．【變式訓(xùn)練1】．已知，則代數(shù)式的值為______．【答案】【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】如圖1是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）(1)觀察圖2請你寫出、、之間的等量關(guān)系是______；(2)根據(jù)（1）中的結(jié)論，若，，則______；(3)拓展應(yīng)用：若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：由圖2可知，大正方形的邊長為，內(nèi)部小正方形的邊長為，∴大正方形的面積為，小正方形的面積為，小長方形的面積為，由題可知，大正方形面積等于小正方形與4個小長方形的面積之和，即．故答案為：；（2）解：∵，，∴．故答案為：；（3）解：∵，又∵，∴，∴．【課后訓(xùn)練】1．已知，則的值為（

）A．10 B．14 C．16 D．18【答案】A【分析】本題考查了代數(shù)式求值、完全平方公式，熟記完全平方公式是解題關(guān)鍵．將所求式子利用完全平方公式轉(zhuǎn)化為，代入計算即可得．【詳解】解：，．故選：A．2．若多項式是一個完全平方式，那么．【答案】【分析】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)首末兩項是和3的平方可得，中間一項為加上或減去它們乘積的2倍，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵多項式是一個完全平方式，∴，∴，故答案為：．3．已，，求與的值．【答案】，【分析】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．先利用完全平方公式變形求得，再利用完全平方公式求得即可．【詳解】解：，，即，，，，．4．（1）已知，則的值為．（2）已知，則的值為．（3）已知滿足，則代數(shù)式的值為．【答案】395【分析】本題主要考查了完全平方公式整體思想，靈活應(yīng)用即可解題，【詳解】解：（1）∵∴；故答案為：39．（2）∵，∴，即：，∴，∴故答案為：5．（3）設(shè)為a，為b，則，，∴，，故答案為：．5．（2022下·四川成都·七年級四川省成都市第七中學(xué)初中學(xué)校校考期中）兩個邊長分別為和的正方形如圖放置，已知，．(1)求圖中陰影部分的面積；(2)求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）圖中陰影部分的面積等于兩個正方形的面積和減去兩個空白三角形的面積，再代入計算即可；（2）圖中陰影部分的面積是兩個正方形的面積差，求出的值，再利用平方差公式進行計算即可．【詳解】（1）解：圖中陰影部分的面積等于兩個正方形的面積和減去兩個空白三角形的面積，即，∵，，∴；（2）圖中陰影部分的面積是兩個正方形的面積差，即，∵，，∴，∴或（不舍題意，舍去），∴．【點睛】本題考查完全平方公式、平方差公式的幾何背景，用代數(shù)式表示陰影部分的面積是解決問題的前提，理解圖形中各個部分面積之間的關(guān)系是得出正確答案的關(guān)鍵．6．利用我們學(xué)過的知識解決以下問題：(1)計算：(2)若，，，你能很快求出的值嗎？【答案】(1)(2)3【分析】本題主要考查完全平方公式與整式運算的綜合，掌握完全平方公式的運用，整式混合運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式展開，整式的加減混合運算即可求解；（2）將變形為，再將式子的值代入，根據(jù)整式的混合運算即可求解．【詳解】（1