2024屆廣東省四校聯(lián)考高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省四校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知全集，集合或，，則Venn圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗集合或，故，由Venn圖可知影部分表示的集合為.故選：A.2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，只需求出的單調(diào)遞減區(qū)間，其中單調(diào)遞減區(qū)間為，故的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D.3.在等差數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)根，則的前23項(xiàng)的和為（）A. B. C.92 D.184〖答案〗C〖解析〗，是方程的兩個(gè)根，所以，所以的前23項(xiàng)的和．故選:C．4.設(shè)命題甲：，是真命題；命題乙：函數(shù)在上單調(diào)遞減是真命題，那么甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗對(duì)于命題甲：因?yàn)槭情_口向上的二次函數(shù)，所以對(duì)于，是真命題，則與軸無交點(diǎn)，從而，解得；對(duì)于命題乙：函數(shù)在上單調(diào)遞減是真命題，由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，，解得，因?yàn)?，所以甲是乙的必要不充分條件.故選：B.5.已知函數(shù)（且）的圖像如圖所示，則以下說法正確的是（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖象可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，令，即，所以函數(shù)的零點(diǎn)為，結(jié)合函數(shù)圖象可知，所以，因此，故A錯(cuò)誤；，又因?yàn)?，所以，因此不一定成立，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，即，且，所以，故C正確；因?yàn)椋?，即，故D錯(cuò)誤，故選：C.6.已知函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，所以函數(shù)在R上遞減，所以，解得：故選：D.7.若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題得，，，所以.a＝0.20.2，b，顯然，a的被開方數(shù)大于b的被開方數(shù)，∴a＞b，故有c＞a＞b.故選：C8.設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)根，則的最小值為（）A. B.23 C. D.24〖答案〗B〖解析〗做出函數(shù)的圖像如圖所示，由圖可知，，由，可得或，所以，又因?yàn)?，所以，故，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.

故選：B.二、多選題9.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，滿足下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列等比數(shù)列B.數(shù)列是等比數(shù)列C.D.數(shù)列的前n項(xiàng)的和〖答案〗BC〖解析〗由題意數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則，則，故數(shù)列不是等比數(shù)列，A錯(cuò)誤；由得，，否則與矛盾，則，則數(shù)列是等比數(shù)列，B正確；由B分析知數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，則，所以，C正確；數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，D錯(cuò)誤.故選：BC10.對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，定義，若，，下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.函數(shù)是偶函數(shù) B.方程有三個(gè)解C.函數(shù)有3個(gè)單調(diào)區(qū)間 D.函數(shù)有最大值為4，無最小值〖答案〗AB〖解析〗當(dāng)，即或時(shí)，=；當(dāng)，即時(shí)，.則，畫出圖像如下.對(duì)于A選項(xiàng)，因，且，則函數(shù)是偶函數(shù)，A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，由圖可得有三個(gè)解，B正確.對(duì)于C選項(xiàng)，由圖可得有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，由圖可得有最大值為2，無最小值，故D錯(cuò)誤.故選：AB11.定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，則正確的是（）A.函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱 B.函數(shù)的周期為6C. D.和的圖像所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和等于8〖答案〗AD〖解析〗，函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；又為偶函數(shù)，，所以函數(shù)的周期為4，故B錯(cuò)誤；由周期性和對(duì)稱性可知，，故C錯(cuò)誤；做出與的圖像，如下：由圖可知，當(dāng)時(shí)，與共有4個(gè)交點(diǎn)，與均關(guān)于直線對(duì)稱，所以交點(diǎn)也關(guān)于直線對(duì)稱，則有，故D正確.故選：AD.12.已知函數(shù)，，若，則（）A.B.C.D.〖答案〗AC〖解析〗對(duì)選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：由題意，因?yàn)椋栽赗上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則，所以，即，故選項(xiàng)C正確；對(duì)選項(xiàng)D：取，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題13.的值域?yàn)開_________〖答案〗〖解析〗設(shè)則，，故函數(shù)的值域?yàn)?故〖答案〗為：14.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為______．〖答案〗〖解析〗①當(dāng)時(shí)，，，即，即，解得；②當(dāng)時(shí)，，不成立；③當(dāng)時(shí)，，，即，即，解得；綜上所述：.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，若為正整數(shù)，那么使得不等式在區(qū)間上有解的的最大值是__________.〖答案〗〖解析〗由已知可得，則，解得，故，由得，因?yàn)椋瑒t，可得，令，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，.因此，正整數(shù)的最大值為.故〖答案〗為：.16.數(shù)列滿足，前8項(xiàng)和為106，則____〖答案〗8〖解析〗，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，解得.故〖答案〗為：.四、解答題17.等比數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和，若，求．解：（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得，由已知得，即，解得（舍去），或，故或（2）若，則．..由得，此方程沒有正整數(shù)解．若，則，.由得，解得，綜上，.18.已知a，b為常數(shù)，且，，.（1）若方程有唯一實(shí)數(shù)根，求函數(shù)的〖解析〗式（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：（1）由題意得，故，即有唯一實(shí)數(shù)根，故，解得，故，故；（2），不等式恒成立，只需的最小值大于或等于，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.19.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且（1）求實(shí)數(shù)a，b的值．（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義法證明．（3）解不等式：.解：（1）由題意得，解得，經(jīng)驗(yàn)證滿足題設(shè)；（2）在上是增函數(shù)，證明如下：在上任取兩數(shù)且，則，因?yàn)椋?，，故，即，所以在上為增函?shù)；（3）為奇函數(shù)，定義域?yàn)?，由得，∵在上為增函?shù)，∴，解得.所以原不等式的解集為20.民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村要振興，合作社助力鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興，農(nóng)民專業(yè)合作社已成為新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營主體和現(xiàn)代農(nóng)業(yè)建設(shè)的中堅(jiān)力量，為實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略作出了巨大的貢獻(xiàn).某農(nóng)民專業(yè)合作社為某品牌服裝進(jìn)行代加工，已知代加工該品牌服裝每年需投入固定成本30萬元，每代加工萬件該品牌服裝，需另投入萬元，且根據(jù)市場行情，該農(nóng)民專業(yè)合作社為這一品牌服裝每代加工一件服裝，可獲得12元的代加工費(fèi).（1）求該農(nóng)民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費(fèi)的年利潤y（單位：萬元）關(guān)于年代加工量x（單位：萬件）的函數(shù)〖解析〗式.（2）當(dāng)年代加工量為多少萬件時(shí)，該農(nóng)民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費(fèi)的年利潤最大?并求出年利潤的最大值.解：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為直線所以在上單調(diào)遞增，故（萬元）；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.即當(dāng)時(shí)，（萬元）.因?yàn)?，所以?dāng)年代加工量為15萬件時(shí)，該農(nóng)民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費(fèi)的年利潤最大，最大值為25萬元.21.在人教版高中數(shù)學(xué)教材選擇性必修三中，我們探究過“楊輝三角”（如下圖所示）所蘊(yùn)含的二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，也了解到在我國古代，楊輝三角是解決很多數(shù)學(xué)問題的有力工具.（1）把“楊輝三角”中第三斜列各數(shù)取出，并按原來的順序排列可得一數(shù)列：1，3，6，10，15，，請寫出與（，）的遞推關(guān)系，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：.（1）解：由“楊輝三角”的定義可知：，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，故，上式?duì)也成立，所以，.（2）證明：由題意可得，所以，設(shè)，所以，①所以，②.由①②可得，所以，即，.所以，又因?yàn)?，?22已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最小值；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的值；（3）證明：，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）解：的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.（2）解：，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，此時(shí)存在，使得，與題設(shè)矛盾.當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，要使在恒成立，則，即又由（1）知，即，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.令有，故且所以.（3）證明：由（2）知得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），令，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），令，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），令，則從而有所以廣東省四校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知全集，集合或，，則Venn圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗集合或，故，由Venn圖可知影部分表示的集合為.故選：A.2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，只需求出的單調(diào)遞減區(qū)間，其中單調(diào)遞減區(qū)間為，故的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D.3.在等差數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)根，則的前23項(xiàng)的和為（）A. B. C.92 D.184〖答案〗C〖解析〗，是方程的兩個(gè)根，所以，所以的前23項(xiàng)的和．故選:C．4.設(shè)命題甲：，是真命題；命題乙：函數(shù)在上單調(diào)遞減是真命題，那么甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗對(duì)于命題甲：因?yàn)槭情_口向上的二次函數(shù)，所以對(duì)于，是真命題，則與軸無交點(diǎn)，從而，解得；對(duì)于命題乙：函數(shù)在上單調(diào)遞減是真命題，由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，，解得，因?yàn)?，所以甲是乙的必要不充分條件.故選：B.5.已知函數(shù)（且）的圖像如圖所示，則以下說法正確的是（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖象可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，令，即，所以函數(shù)的零點(diǎn)為，結(jié)合函數(shù)圖象可知，所以，因此，故A錯(cuò)誤；，又因?yàn)?，所以，因此不一定成立，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，即，且，所以，故C正確；因?yàn)椋裕?，故D錯(cuò)誤，故選：C.6.已知函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，所以函數(shù)在R上遞減，所以，解得：故選：D.7.若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題得，，，所以.a＝0.20.2，b，顯然，a的被開方數(shù)大于b的被開方數(shù)，∴a＞b，故有c＞a＞b.故選：C8.設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)根，則的最小值為（）A. B.23 C. D.24〖答案〗B〖解析〗做出函數(shù)的圖像如圖所示，由圖可知，，由，可得或，所以，又因?yàn)?，所以，故，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.

故選：B.二、多選題9.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，滿足下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列等比數(shù)列B.數(shù)列是等比數(shù)列C.D.數(shù)列的前n項(xiàng)的和〖答案〗BC〖解析〗由題意數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則，則，故數(shù)列不是等比數(shù)列，A錯(cuò)誤；由得，，否則與矛盾，則，則數(shù)列是等比數(shù)列，B正確；由B分析知數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，則，所以，C正確；數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，D錯(cuò)誤.故選：BC10.對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，定義，若，，下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.函數(shù)是偶函數(shù) B.方程有三個(gè)解C.函數(shù)有3個(gè)單調(diào)區(qū)間 D.函數(shù)有最大值為4，無最小值〖答案〗AB〖解析〗當(dāng)，即或時(shí)，=；當(dāng)，即時(shí)，.則，畫出圖像如下.對(duì)于A選項(xiàng)，因，且，則函數(shù)是偶函數(shù)，A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，由圖可得有三個(gè)解，B正確.對(duì)于C選項(xiàng)，由圖可得有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，由圖可得有最大值為2，無最小值，故D錯(cuò)誤.故選：AB11.定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，則正確的是（）A.函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱 B.函數(shù)的周期為6C. D.和的圖像所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和等于8〖答案〗AD〖解析〗，函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；又為偶函數(shù)，，所以函數(shù)的周期為4，故B錯(cuò)誤；由周期性和對(duì)稱性可知，，故C錯(cuò)誤；做出與的圖像，如下：由圖可知，當(dāng)時(shí)，與共有4個(gè)交點(diǎn)，與均關(guān)于直線對(duì)稱，所以交點(diǎn)也關(guān)于直線對(duì)稱，則有，故D正確.故選：AD.12.已知函數(shù)，，若，則（）A.B.C.D.〖答案〗AC〖解析〗對(duì)選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，故選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：由題意，因?yàn)椋栽赗上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則，所以，即，故選項(xiàng)C正確；對(duì)選項(xiàng)D：取，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題13.的值域?yàn)開_________〖答案〗〖解析〗設(shè)則，，故函數(shù)的值域?yàn)?故〖答案〗為：14.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為______．〖答案〗〖解析〗①當(dāng)時(shí)，，，即，即，解得；②當(dāng)時(shí)，，不成立；③當(dāng)時(shí)，，，即，即，解得；綜上所述：.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，若為正整數(shù)，那么使得不等式在區(qū)間上有解的的最大值是__________.〖答案〗〖解析〗由已知可得，則，解得，故，由得，因?yàn)?，則，可得，令，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，.因此，正整數(shù)的最大值為.故〖答案〗為：.16.數(shù)列滿足，前8項(xiàng)和為106，則____〖答案〗8〖解析〗，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，解得.故〖答案〗為：.四、解答題17.等比數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和，若，求．解：（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得，由已知得，即，解得（舍去），或，故或（2）若，則．..由得，此方程沒有正整數(shù)解．若，則，.由得，解得，綜上，.18.已知a，b為常數(shù)，且，，.（1）若方程有唯一實(shí)數(shù)根，求函數(shù)的〖解析〗式（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：（1）由題意得，故，即有唯一實(shí)數(shù)根，故，解得，故，故；（2），不等式恒成立，只需的最小值大于或等于，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.19.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且（1）求實(shí)數(shù)a，b的值．（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義法證明．（3）解不等式：.解：（1）由題意得，解得，經(jīng)驗(yàn)證滿足題設(shè)；（2）在上是增函數(shù)，證明如下：在上任取兩數(shù)且，則，因?yàn)?，所以，，故，即，所以在上為增函?shù)；（3）為奇函數(shù)，定義域?yàn)椋傻?，∵在上為增函?shù)，∴，解得.所以原不等式的解集為20.民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村要振興，合作社助力鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興，農(nóng)民專業(yè)合作社已成為新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營主體和現(xiàn)代農(nóng)業(yè)建設(shè)的中堅(jiān)力量，為實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略作出了巨大的貢獻(xiàn).某農(nóng)民專業(yè)合作社為某品牌服裝進(jìn)行代加工，已知代加工該品牌服裝每年需投入固定成本30萬元，每代加工萬件該品牌服裝，需另投入萬元，且根據(jù)市場行情，該農(nóng)民專業(yè)合作社為這一品牌服裝每代加工一件服裝，可獲得12元的代加工費(fèi).（1）求該農(nóng)民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費(fèi)的年利潤y（單位：萬元）關(guān)于年代加工量x（單位：萬件）的函數(shù)〖解析〗式.（2）當(dāng)年代加工量為多少萬件時(shí)，該農(nóng)民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費(fèi)的年利