高中數(shù)學(xué)《直接證明與間接證明》同步練習(xí)1 新人教A版選修2-2

推理與證明綜合測試題

一、選擇題

1.分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的（）

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.等價條件

答案：A

2.結(jié)論為：爐+丫“能被》+），整除,令n=1,234瞼證結(jié)論是否正確,得到此結(jié)論成立的條

件可以為（）

A.neN*B.”wN*且n23C.〃為正奇數(shù)D.〃為正偶數(shù)

答案：C

3.在△ABC中,sinAsinC>cosAcosC，則△ABC一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定

答案：C

4.在等差數(shù)列｛q｝中，若a,>0,公差，/>0,則有w叼>%%，類經(jīng)上述性質(zhì)，在等比

數(shù)列｛4｝中，若。>0,q>l,則%%,""的一個不等關(guān)系是（）

A.b4+bs>bs+b7B.b5+b7>b4+bg

C.b4+b7>bs+bsD.b4+b5>b-；+

答案：B

5.（1）已知/+/=2,求證p+qW2,用反證法證明時，可假設(shè)p+422,

（2）己知a,/"R,同+網(wǎng)<1,求證方程d+ax+6=0的兩根的絕對值都小于1.用反證

法證明時可假設(shè)方程有一根為的絕對值大于或等于1,即假設(shè)歸|21,以下結(jié)論正確的是

（）

A.⑴與（2）的假設(shè)都錯誤

B.⑴與⑵的假設(shè)都正確

C.⑴的假設(shè)正確；（2）的假設(shè)錯誤

D.⑴的假設(shè)錯誤；（2）的假設(shè)正確

答案：D

6.觀察式子：1+襄＜5，11+5+3+?＜（，…’則可歸納出式子為（

1i

A.1+—+—+???十<("22)

2232滔2n-1

11

B.1+—+—+???+<(Q2)

n2n+1

1+9+9+-12n-1

C.?+<(〃22)

n2n

12n

D.?十<(”22)

72〃+1

答案：C

7.如圖，在梯形A8CD中，AB//DC,AB=aCD=b（a＞b）.若

EF//AB,EF到C。與A8的距離之比為機：〃，則可推算出：

EF=ma+mb試用類比的方法，推想出下述問題的結(jié)果.在上面

m+m

的梯形A8C。中，延長梯形兩腰ADBC相交于。點，設(shè)△048,

△03的面積分別為即S2,EF//AB旦EF到CD與AB的距離之

比為小:”，則△0EF的面積5。與％S?的關(guān)系是（）

AsO=w.+〃邑及S|+mS2

D*%—

m+nm+n

D.底/店+“后

答案：C

8.已知〃，eR,且owb,〃+。=2,則()

4i.a2+b2口.?a-+b-

A.i<ah<------

22

22

「.a+Z?.na?+廿,

C.ab<------<1D.------<ab<\1

22

答案：B

9.用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程辦2+公+。=（）3。0）有有理根，那么幺b

中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設(shè)中正確的是（）

A.假設(shè)。b。都是偶數(shù)

B.假設(shè)。b。都不是偶數(shù)

C.假設(shè)。bc至多有一個是偶數(shù)

D.假設(shè)0bc至多有兩個是偶數(shù)

答案：B

10.用數(shù)學(xué)歸納法證明5+1)(〃+2)…(”+w)=2"?l@7-1),從k到k+1,左邊需要增乘

的代數(shù)式為()

9k

A.2k+lB.2(2k+l)C.4-1D.2A+3

%+lZ+l

答案：B

11.類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數(shù)，S(x)J"',

2

C(x)，+4',其中a>0,且awl,下面正確的運算公式是()

2

①5(x+)，)=S(x)C(y)+C(x)S(y);

②S(x-y)=5(x)C(y)-C(x)5(y)；

③C(x+y)=C(x)C(y)-S(x)S(y)；

④C(x-y)=C(x)C(y)+S(x)S(y)；

A.①③B.②④C.①④D.①②③④

答案：D

12.正整數(shù)按下表的規(guī)律排列

1251017

1111

4--------361118

III

9--------8---------71219

II

16--------15--------14---------1320

I

25--------24---------23---------2221

則上起第2005行，左起第2006列的數(shù)應(yīng)為()

A.20052B.20062C.2005+2006D.2005x2006

答案：D

二、填空題

13.寫出用三段論證明/(x)=x3+sinx(xeR)為奇函數(shù)的步驟是.

答案：滿足=的函數(shù)是奇函數(shù),大前提

/(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-(x3+sinx)=-/(x),小前提

所以f(x)=d+sinx是奇函數(shù).結(jié)論

14.南/?(〃)=1+1+1+…+』(〃eN*),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2")＞巴時,/(2*-/(2*)等

23n2

于.

答案：-7----1---F—^―

2*+12"+22*+1

15.由三角形的性質(zhì)通過類比推理，得到四面體的如下性質(zhì)：四面體的六個二面角的平分面

交于一點，且這個點是四面體內(nèi)切球的球心，那么原來三角形的性質(zhì)為.

答案：三角形內(nèi)角平分線交于點，且這個點是三角形內(nèi)切圓的圓心

16.下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖：

設(shè)第n個圖有4個樹枝，則限與a,,(n22)之間的關(guān)系是

答案：%+i=2a“+2

三、解答題

17.如圖(1),在三角形A8C中，ABA.AC,若ADJ.BC,?1]AB1=BD-BC；若類比該命

題，如圖(2),三棱錐A-BC。中，AOJ.面48C,若A點在三角形BCD所在平面內(nèi)的射

影為M,則有什么結(jié)論？命題是否是真命題.

圖(1)圖(2)

解：命題是：三棱錐A-8C。中，4。，面ABC,若A點在三角形8C。所在平面內(nèi)的射影

為M,則有S之的=SBC/S8co是一個真命題.

證明如下：

在圖（2）中，連結(jié)。例，并延長交BC于E,連結(jié)AE,則有。E_L8C.

因為4。_1_面48（7,,所以AO_LAE.

又AMJ.OE,所以A￡：2=EM?E。.

*BCEM

-BCED

18.如圖，已知PA_L矩形ABC。所在平面，M,N分別是AB,PC的中點.

求證：（1）MN〃平面PAO；（2）MNLCD.

證明：（1）取PO的中點E,連結(jié)AE,NE.

,:N,E分別為PC,P。的中點.

...EN為△PCD的中位線，

II/..........?yL/

:.ENJL-CD,AM=-AB,而為矩形，

-ABCQ尸\/

22n/M\/

.,.如AB,且CZ）=4B.c

：.ENAM,且EN=AM.

Z.AENM為平行四邊形，MN〃AE,而MN<Z平面PAC,AEu平面PAD,

...MN平面PAD.

（2）YPA，矩形ABC。所在平面，

CDLPA,而CO_L4D,PA與A。是平面PAO內(nèi)的兩條直交直線，

CD1平面PAD，而AEu平面PAD,

AEVCD.

又,/MNAE,MN1CD.

19.求證：當(dāng)一個圓和一個正方形的周長相等時?，圓的面積比正方形的面積大.

證明：（分析法）設(shè)圓和正方形的周長為/,依題意，圓的面積為討

正方形的面積為.

因此本題只需證明n（—Y>f-Y.

1212

要證明上式，只需證明三〉

47d6

兩邊同乘以正數(shù)得1>l.

I2兀4

因此，只需證明44.

???上式是成立的，所以冗

這就證明了如果一個圓和一個正方形的周長相等，那么圓的面積比正方形的面積最大.

20.已知實數(shù)〃，b,cd滿足a+匕=c+d=1,ac+bd>\f求證b,cd中至少有一個

是負(fù)數(shù).

證明：假設(shè)ab,c〃都是非負(fù)實數(shù)，因為a+Z?=c+d=1,

所以ab,cdG[O,1],所以右？巴,bd,

22

「匕?、i,.7〃+cb+di

所以〃c+/;dW----+-----=1,

22

這與已知ac+bd>l相矛盾，所以原假設(shè)不成立，即證得〃，b,cd中至少有一個是負(fù)數(shù).

21.設(shè)f(x)=°；"—,g{x)=-~(一(其中a>0,且awl).

(1)5=2+3請你推測g(5)能否用了⑵，f(3)g⑵g(3)來表示;

(2)如果(1)中獲得了一個結(jié)論，請你推測能否將其推廣.

3-33-23-32-25-5

AW/1、rhr/o\zo\a'+Qa—a~a—acr+aa'—a

解(1)由/⑶g(2)+g(3)/(2)=-----f—+---------=-1—，

因此g(5)=f(3)g(2)+g(3)/(2).

(2)由g(5)=f(3)g⑵+g(3)/⑵,即g(2+3)=/(3)g(2)+g(3)/(2),

于是推測g(x+y)=,f(x)g(y)+g(x)f(y).

證明：因為/(x)=V匚，g(x)=jU(大前提).

ax+y_a~(x+y)ay-a~yay+n~y

所以g(x+y)=-----------,g(y)=----——，f(y)=----——,(小刖提及結(jié)論)

所以/*)g(y)+g(x)/(y)=---—+---------------=-----------=g(x+y)?

乙乙乙乙乙

22.若不等式>2對一切正整數(shù)”都成立，求正整數(shù)。的最大值,

n+1〃+23n+124

并證明結(jié)論.

11Ia’即家會

解：當(dāng)〃=1時,-----+------+------>—

1+11+23+124

所以a<26.

而。是正整數(shù)，所以取。=25,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：—+—+

n+1〃+23n+124

(1)當(dāng)〃=1時,已證；

即+—5—+…+125

(2)假設(shè)當(dāng)〃=女時，不等式成立,---->—.

k+Tk+23攵+124

則當(dāng)〃=攵+1時,

111

\J----------------1------------------F…H-----------------

(4+1)+1伏+1)+23(左+1)+1

=-----++…+

左+1左+23Z+13k+23k+33k+4k+\

25「112一

>一+----+-------------.

24|_3%+23攵+43伏+1)_

因為」

3k+23k+49k"8k+83(k+l)

g、i116(k+l)2

3k+23k+49k?+18k+83(A+1)

所以當(dāng)”=A+1時不等式也成立.

由（1）（2）知，對一切正整數(shù)〃，都有」一+—!—+—+—!—>”,

〃+1〃+23〃+124

所以〃的最大值等于25.

高中新課標(biāo)選修（2-2）推理與證明綜合測試題

一、選擇題

1.下面使用的類比推理中恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ?/p>

A.”若m*2匕n2,則ni=n"類比得出“若m*0三〃0,則m=〃”

B“（〃+b）c=ac+be”類比得出“（a?b）c=acbe”

Cu（a+b）c=ac+bcn類比得出“*=q+2（,工（））”

ccc

D"（％）”=pF”類比得出“（p+q）“=p"+q"”

答案：C

2.圖1是一個水平擺放的小正方體木塊，圖2,圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的,

按照這樣的規(guī)律放下去，至第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)就是（）

A.25B.66C.91D.120

答案：C

3.推理“①正方形是平行四邊形；②梯形不是平行四邊形；③所以梯形不是正方形”中的

小前提是()

A.①B.②C.③D.①和②

答案：B

4.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(n+3)=四卷^(nwN*)時，第一步驗證"=1

時，左邊應(yīng)取的項是()

A.1B.1+2C?1+2+3D.1+2+3+4

答案：D

5.在證明命題“對于任意角cos40-sin40=cos2^”的過程：

ucos40-sin40=(cos20+sin20)(cos20-sin20)=cos20-sin20=cos20n中應(yīng)用了()

A.分析法B.綜合法C.分析法和綜合法綜合使用D.間接證法

答案：B

6.要使正-惠〈標(biāo)工成立，則a,b應(yīng)滿足的條件是()

A.ab<0SLa>bB.ab>QS.a>b

C.ab<0^.a<bD.ab>0且或ab<0且

答案：D

7.下列給出的平面圖形中，與空間的平行六面體作為類比對象較為合適的是()

A.三角形B.梯形C.平行四邊形D.矩形

答案：C

8.命題“三角形中最多只有一個內(nèi)角是鈍角”的結(jié)論的否定是()

A.有兩個內(nèi)角是鈍角B.有三個內(nèi)角是鈍角

C.至少有兩個內(nèi)角是鈍角D.沒有一個內(nèi)角是鈍角

答案：C

9.用數(shù)學(xué)歸納法證明3“川+5.(”eN)能被8整除時，當(dāng)”=k+l時，對于3“*+向+523”

可變形為()

A.56?34*+I+25(34t+l+52t+l)B.34-34i+,+5252*

C.34A+,+52t+,D.25(3"*'+52*

答案：A

10.已知扇形的弧長為/,所在圓的半徑為r,類比三角形的面積公式：S='x底x高，可

2

得扇形的面積公式為（)

A.lr2B.I/2C.lr/D.不可類比

222

答案：C

11.已知m>1,a=\/m+1-yfm,b=y[m-y/m-},則以下結(jié)論正確的是()

A.a>bB.a<bC.a-bD.b大小不定

答案：B

12.觀察下列各式：1=產(chǎn)，2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,

…，可以得出的一般結(jié)論是()

A.拉+(〃+1)+(〃+2)+???+(3/1-2)=a?

B.〃+(〃+1)+(幾+2)+???+(3"-2)=(2"一I)?

C.〃+(〃+1)+(〃+2)+…+(3〃-1)=幾2

D.〃+(〃+1)+(〃+2)+…+(3n-1)=(2/7-1)2

答案：B

二、填空題

13.已知/(")=2+-1-+_L+…+!，則/(")中共有______項.

n〃+1〃+2n~

答案：n2-n+l

14.已知經(jīng)過計算和驗證有下列正確的不等式：6+折<2屈，V75+Vll5<2Vi0,

+返+J12-&<2后,根據(jù)以上不等式的規(guī)律，請寫出對正實數(shù)加〃成立的條件不

等式.

答案：當(dāng)，"+”=20時，有赤+

15.在數(shù)列｛七｝中，q=2,an+1=^-j(neN,),可以猜測數(shù)列通項％的表達(dá)式為

16.若三角形內(nèi)切圓的半徑為r,三邊長為a,bc,則三角形的面積等于S=；r(a+&+c),

根據(jù)類比推理的方法，若一個四面體的內(nèi)切球的半徑為R,四個面的面積分別是

品與，邑S廠則四面體的體積V=.

答案：：/?0+邑+邑+$4)

三、解答題

17.已知。是整數(shù)，/是偶數(shù)，求證：。也是偶數(shù).

證明：(反證法)假設(shè)。不是偶數(shù)，即。是奇數(shù).

設(shè)a=2"+1(”eZ),貝lja2=4〃2+4〃+1.

V4(n2+n)是偶數(shù),

.??4/+4.+1是奇數(shù)，這與已知人是偶數(shù)矛盾.

由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù).

18.已知命題：”若數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，且＞0,則數(shù)歹Ub,=Ma「q(”eN，)也是等

比數(shù)列”.類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論.

解：類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是：若數(shù)列｛凡｝是等差數(shù)列，則

數(shù)列",=也是等差數(shù)列.

n

證明如下：

n(n-\)d

nax+----------,

設(shè)等差數(shù)列｛”“｝的公差為a,則瓦=%"2%=----------Z—=q+色(〃-1),

nn2

所以數(shù)列物,,｝是以q為首項，g為公差的等差數(shù)列.

19.已知〃>b>c,且〃+b+c=O,求證：————<>/3.

a

證明：因為〃>b>c,且〃+/?+c=0,

所以。>0,c<0,要證明原不等式成立，只需證明J一—ac<&r,

即證b2-ac<3a\從而只需證明(a+c>-ac<3a2,

即(a-c)(2a+c)>0,

因為〃-c>0,2a+c=a+c+a=a-b>0f

所以(〃-C)(2Q+C)>0成立，故原不等式成立.

20.用三段論方法證明：+J/+c2+，02+〃2N6(a+b+c).

證明：因為所以2(/+/)/+/+2"(此處省略了大前提),

所以“2+/2孝心+可曰(a+b)(兩次省略了大前提，小前提)，

同理，y/b2+c2^-—(b+c),>Jc2+a2>—(c+a).

22

三式相加得\la2+b2+y/b2+c2+\lc2+a22應(yīng)(a+b+c).

(省略了大前提，小前提)

21.由下列不等式：1>—,1+-+->1,1+-+-+??-+->—,!+-+-+-??+—>2.…,

22323722315

你能得到一個怎樣的?般不等式？并加以證明.

解：根據(jù)給出的幾個不等式可以猜想第〃個不等式，即一般不等式為：

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

(1)當(dāng)”=1時，\>-,猜想成立；

2

(2)假設(shè)當(dāng)〃=%時，猜想成立，即1+1+』+…+——>人，

2324-12

則當(dāng)〃=?+1時，

,111111kli1k2kk+\

232*-12*2?+12M-122*2k+12t+l-l22*+,2

,即當(dāng)〃=G+1時，猜想也正確，所以對任意的“eNL不等式成立.

2