中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)突破訓(xùn)練專題17 二次函數(shù)中幾何存在性的問題（重點(diǎn)突圍）(原卷版)

專題17二次函數(shù)中幾何存在性的問題【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一二次函數(shù)中構(gòu)成等腰三角形存在性問題】 1【考向二二次函數(shù)中構(gòu)成直角三角形存在性問題】 8【考向三二次函數(shù)中構(gòu)成三角形相似存在性問題】 16【考向四二次函數(shù)中構(gòu)成矩形存在性問題】 23【考向五二次函數(shù)中構(gòu)成菱形存在性問題】 33【考向六二次函數(shù)中構(gòu)成正方形存在性問題】 42【直擊中考】【考向一二次函數(shù)中構(gòu)成等腰三角形存在性問題】例題：（2022秋·青海西寧·九年級(jí)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求拋物線的解析式；(2)求拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)(3)在坐標(biāo)軸是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0．使得SKIPIF1<0是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·陜西商洛·九年級(jí)校考期末）如圖，已知拋物線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；(2)若SKIPIF1<0為拋物線上一點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，是否存在以SKIPIF1<0為底的等腰SKIPIF1<0？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（2022秋·廣西南寧·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)SKIPIF1<0的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)以及這個(gè)最小周長(zhǎng)；(3)在直線l上是否存在點(diǎn)M，使SKIPIF1<0為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【考向二二次函數(shù)中構(gòu)成直角三角形存在性問題】例題：（2022秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求該拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·山東棗莊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線SKIPIF1<0與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線SKIPIF1<0，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．(1)求出點(diǎn)A點(diǎn)、點(diǎn)D的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(2)P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使SKIPIF1<0是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（2023秋·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線SKIPIF1<0的頂點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，并與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是對(duì)稱軸與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為SKIPIF1<0．(1)求拋物線的解析式；(2)連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，判斷SKIPIF1<0是什么特殊三角形，并說明理由；(3)在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0為以SKIPIF1<0為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)SKIPIF1<0坐標(biāo)；若不存在，說明理由．3．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）拋物線SKIPIF1<0與x軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，與y軸交于點(diǎn)C，連接SKIPIF1<0．點(diǎn)P是線段SKIPIF1<0下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交SKIPIF1<0于M，交x軸于N．(1)求該拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)C作SKIPIF1<0于點(diǎn)H，SKIPIF1<0，①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②連接SKIPIF1<0，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得SKIPIF1<0為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【考向三二次函數(shù)中構(gòu)成三角形相似存在性問題】例題：（2022秋·廣西百色·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和坐標(biāo)原點(diǎn)SKIPIF1<0，頂點(diǎn)為SKIPIF1<0．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求證：SKIPIF1<0是直角三角形；(3)若點(diǎn)SKIPIF1<0是拋物線上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸，垂足為SKIPIF1<0，是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與SKIPIF1<0相似？若存在，求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·湖南株洲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以D為頂點(diǎn)的拋物線SKIPIF1<0交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線SKIPIF1<0的表達(dá)式為SKIPIF1<0．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在直線SKIPIF1<0上存在一點(diǎn)P，使SKIPIF1<0的值最小，求此最小值；(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與SKIPIF1<0相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線SKIPIF1<0與x軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)A的直線與拋物線相交于點(diǎn)C，與拋物線對(duì)稱軸DF交于點(diǎn)E，SKIPIF1<0．(1)求該拋物線解析式；(2)在對(duì)稱軸SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)A、E、M為頂點(diǎn)的三角形與SKIPIF1<0相似，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)點(diǎn)P是線段SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線SKIPIF1<0軸交拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)度最大時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)與SKIPIF1<0的最大值．【考向四二次函數(shù)中構(gòu)成矩形存在性問題】例題：（2023秋·貴州遵義·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知拋物線與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0.(1)求拋物線解析式；(2)如圖①，若點(diǎn)SKIPIF1<0是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0長(zhǎng)的最大值(3)如圖②，若點(diǎn)SKIPIF1<0是拋物線上另一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為頂點(diǎn)，且以SKIPIF1<0為邊的矩形，若存在，求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖北黃岡·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線SKIPIF1<0與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．(1)求直線SKIPIF1<0的解析式；(2)如圖，直線SKIPIF1<0上方的拋物線上有一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作SKIPIF1<0于點(diǎn)G，求線段SKIPIF1<0的最大值；(3)點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以SKIPIF1<0為邊的矩形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．2．（2023秋·廣東江門·九年級(jí)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線SKIPIF1<0交x軸于SKIPIF1<0、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸為SKIPIF1<0，(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，過點(diǎn)C作SKIPIF1<0交x軸于點(diǎn)Q，連接SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，將拋物線SKIPIF1<0向右平移經(jīng)過點(diǎn)Q，得到新拋物線，點(diǎn)E在新拋物線的對(duì)稱軸上，是否在平面內(nèi)存在一點(diǎn)F，使得以A、P、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【考向五二次函數(shù)中構(gòu)成菱形存在性問題】例題：（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市廣全學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，拋物線SKIPIF1<0與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；拋物線的函數(shù)表達(dá)式為______；(2)點(diǎn)D是SKIPIF1<0上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、O重合），過點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交SKIPIF1<0于點(diǎn)F，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)G，在（2）的條件下，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M、N，使以A、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·廣東汕頭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖：已知直線SKIPIF1<0與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)B，且與x軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求該拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，四邊形SKIPIF1<0的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；(3)若點(diǎn)P在平面內(nèi)，點(diǎn)Q在直線SKIPIF1<0上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P使得以O(shè)，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，直線SKIPIF1<0與拋物線在第一象限交于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線上，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直接寫n的取值范圍；(3)連接SKIPIF1<0，點(diǎn)Q是直線SKIPIF1<0上不與A、B重合的點(diǎn)，若SKIPIF1<0，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(4)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)H，平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、H、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【考向六二次函數(shù)中構(gòu)成正方形存在性問題】例題：（2022秋·遼寧撫順·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)是SKIPIF1<0(1)求直線SKIPIF1<0及拋物線的解析式；(2)C為拋物線上的一點(diǎn)，SKIPIF1<0的面積為3，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)P在拋物線上，Q在直線SKIPIF1<0上，M在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)以A，P，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，直接