小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何教學(xué)探究版

圖形與幾何教學(xué)探究

忠州四小吳娟

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，明確提

出數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分

析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。為了適應(yīng)時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，

數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。

圖形與幾何主要研究現(xiàn)實世界中的物體和幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)

系及其變換，讓學(xué)生掌握相應(yīng)的基礎(chǔ)知識和基本技能,學(xué)會解決簡單的實際問題，

豐富對現(xiàn)實空間及圖形的認(rèn)識，更好地認(rèn)識和理解人類的生存空間，發(fā)展形象思

維，培養(yǎng)空間觀念和創(chuàng)新意識。

一、圖形與幾何在小學(xué)數(shù)學(xué)中的意義

《標(biāo)準(zhǔn)》對傳統(tǒng)的幾何內(nèi)容進(jìn)行了較大幅度的改革，設(shè)置了“圖形與幾何”

的領(lǐng)域，主要分為四個部分：圖形的認(rèn)識、測量、圖形與變換、圖形與位置。學(xué)

習(xí)和應(yīng)用相應(yīng)的圖形與幾何的有關(guān)知識和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，對于學(xué)生更好地認(rèn)識、

理解生活空間，更好地生存和發(fā)展有著重要的現(xiàn)實意義。

1、培養(yǎng)學(xué)生初步的空間觀念。發(fā)展學(xué)生的空間觀念是《標(biāo)準(zhǔn)》中的一個重

要目標(biāo)，也是圖形與幾何學(xué)習(xí)的核心目標(biāo)之一。學(xué)生空間觀念的形成是建立在觀

察、感知、操作、思考、想像等的基礎(chǔ)上，特別是對于低年級的學(xué)生，實際觀察

和操作是發(fā)展空間觀念的必備環(huán)節(jié)。

2、提高學(xué)生運用知識解決簡單實際問題的能力，增強應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。幾

何知識來源于生產(chǎn)勞動，在生活、生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。

3、有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)學(xué)生形成科學(xué)精神和科學(xué)態(tài)度。

在拼一拼、量一量等大量的實踐活動中，可以使學(xué)生體驗研究數(shù)學(xué)的樂趣，積累

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，逐漸形成科學(xué)精神和科學(xué)態(tài)度。

4、培養(yǎng)和提高學(xué)生的審美情趣，發(fā)展數(shù)學(xué)直覺?！稑?biāo)準(zhǔn)》把數(shù)學(xué)定義為理

性的藝術(shù)。數(shù)學(xué)不僅有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維，而且有利于學(xué)生的創(chuàng)造才能的

發(fā)展。

二、圖形與幾何教學(xué)的目標(biāo)

圖形與幾何主要涉及現(xiàn)實世界中的物體、幾何體和平面圖形的形狀、大小、

位置關(guān)系及其變換，它是人們更好地認(rèn)識和描述生活空間并進(jìn)行交流的重要工

具。要掌握好這一部分的標(biāo)準(zhǔn)，必須引起對如下幾個方面的重視：第一，重視學(xué)

生實際生活經(jīng)驗對幾何概念的形成；第二，發(fā)揮幾何圖形本身的作用，以幫助學(xué)

生正確形成和理解幾何概念；第三，及時將所學(xué)概念納入已有系統(tǒng)，促使學(xué)生形

成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；第四，設(shè)計新的解法、一方面要注意結(jié)果的正確性，另一方面

要注意其根據(jù)的條理性。

三、圖形與幾何的教與學(xué)

1.教師的角色定位（決定課的設(shè)計和組織）

2.學(xué)生學(xué)法指導(dǎo)一一看（觀察）、思（尋求解決之路）、議（與同學(xué)探討、辯解）、

做（動手實踐）、說（獲、惑）。

3.現(xiàn)代信息技術(shù)的運用。

四、圖形與幾何的教學(xué)原則

1.提供現(xiàn)實情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

圖形與幾何的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)從學(xué)生熟悉的生活環(huán)境出發(fā)，小學(xué)生盡管具備了

一定的生活經(jīng)驗，但他們對周圍的各種事物、現(xiàn)象有很強的好奇心。所以在教學(xué)

中，應(yīng)抓住學(xué)生的好奇心，根據(jù)教材的特點，結(jié)合學(xué)生的生活實際，把生活經(jīng)驗

數(shù)學(xué)化，把數(shù)學(xué)問題生活化。如以教室為情境，讓學(xué)生認(rèn)位置；以學(xué)生熟悉的搭

積木為情境，認(rèn)識長方體、正方體、圓柱和球等。讓學(xué)生在這樣的情境中主動地

學(xué)習(xí)。

2.注重學(xué)生獨立思考、自主探索、合作交流，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變

《標(biāo)準(zhǔn)》中提出，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要

方式。圖形與幾何的教學(xué)內(nèi)容上設(shè)計了很多這方面的活動。如“你說我擺”、“觀

察與測量”、“有趣的圖形”、“動手做游戲”等，在合作中進(jìn)行學(xué)習(xí)，體驗合作學(xué)

習(xí)的必要性和樂趣。同時在相互交流中，不斷培養(yǎng)學(xué)生的參與意識，通過與他人

的交流，感受不同的思維方式和思維過程，學(xué)會用不同的方式思考問題，嘗試不

同的探索方式，不斷提高思維水平。在教學(xué)中，應(yīng)為學(xué)生提供合作和交流的機會,

不應(yīng)簡單地、機械地讓學(xué)生模仿、記憶教師和書本上的語言。在教學(xué)中還要注意

在操作過程中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，把操作與數(shù)學(xué)思考結(jié)合起來。如在學(xué)習(xí)長方形

和正方形的面積之后，提出：“你能和同學(xué)一起完成下面的測量和計算嗎?①計算

《中國少年報》的面積；②計算教室地面的面積；③你還能計算什么面的面積？”

3.注重各部分教學(xué)內(nèi)容的互相滲透，有機結(jié)合

圖形與幾何的四個部分：圖形的認(rèn)識、測量、圖形與變換、圖形與位置不

是孤立存在的，在教學(xué)中應(yīng)注意互相滲透。如《標(biāo)準(zhǔn)》中指出的“描述物體的相

互位置”、“描述物體所在的方向又如“周長”一課，結(jié)合圖形的認(rèn)識和測量

等知識來計算三角形、平行四邊形、長方形和正方形等圖形的周長。

4.加強直接感知，發(fā)展空間觀念，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

空間觀念是創(chuàng)新精神所需的基本要素之一，所以《標(biāo)準(zhǔn)》把空間觀念作為

義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心概念之一，把建立初步的空間觀念作為數(shù)學(xué)方

面的一個重要目標(biāo)。如“位置與順序”一課，結(jié)合生動有趣的情境或活動，讓學(xué)

生體會前、后、上、下、左、右的位置與順序，會用前、后、上、下、左、右描

述物體的相對位置，建立初步的空間觀念。又如'‘認(rèn)識物體”一課中的練習(xí)動手

搭出你喜歡的東西，使學(xué)生的想像力和創(chuàng)造性得到自由發(fā)揮，并能感受復(fù)雜物體

的形狀與簡單幾何體之間的聯(lián)系。

5.關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，不斷反思教學(xué)設(shè)計、教學(xué)過程，更好地促進(jìn)教

《標(biāo)準(zhǔn)》明確提出要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中所表現(xiàn)

出來的情感與態(tài)度，所以教師應(yīng)重視學(xué)生知識的形成過程。如在“觀察與測量”

一課中，組織學(xué)生測量課桌的長度，他們可能不用標(biāo)準(zhǔn)的測量工具，而是用鉛筆、

繩子……作為測量工具，于是學(xué)生體會到統(tǒng)一測量單位的必要性。教師不僅要關(guān)

注測量的結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生是否積極參與活動，能否采用不同的測量方法。又

如，一位教師在第一次上“平移與旋轉(zhuǎn)”這一課時，用多媒體顯示課本上的圖：

火車與直升機的運動，并問學(xué)生，它們是怎樣運動的？學(xué)生回答：火車是直著向

前走的；車輪帶動車走；火車是靠燃料推動走的等。這時教師慌了，不知如何引

導(dǎo)下去。課后這位教師反思自己的教學(xué)設(shè)計，盡量排除非本質(zhì)的干擾，突出概念

的本質(zhì)屬性，于是重新設(shè)計了教學(xué)內(nèi)容。這次多媒體顯示：纜車、升降電梯、風(fēng)

車和吊扇，學(xué)生觀察。老師問：它們的運動都相同嗎？學(xué)生答：不同。師：你們

能把它們分分類嗎?生：纜車、升降電梯的運動為一類，因為它們都是平平地直

走；而風(fēng)車和吊扇又是一類，因為它們是在固定地旋轉(zhuǎn)。這次改進(jìn)，使學(xué)生很快

地進(jìn)入了對平移與旋轉(zhuǎn)的感知當(dāng)中。

6.運用現(xiàn)代科技手段，創(chuàng)設(shè)動態(tài)情境，優(yōu)化教學(xué)效果

在幾何知識教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)剡\用多媒體，讓“靜”的知識“動”起來。通

過直觀的圖像、鮮艷的色彩和逼真的音響，刺激學(xué)生的多種感官，創(chuàng)設(shè)動態(tài)的教

學(xué)情境，促使學(xué)生積極思維、大膽想像、優(yōu)化教學(xué)效果。

7.注意教學(xué)中，滲透思想品德教育

新課程非常注意對學(xué)生進(jìn)行潛移默化的思想教育，而不是直白的說教。如“左

右”一課中，滲透走路要靠右側(cè)通行，上課舉右手發(fā)言。“認(rèn)識圖形”中，有一

個十字路口的場景，滲透讓學(xué)生遵守交通規(guī)則。這些內(nèi)容通過小學(xué)生熟悉的生活

場景，使學(xué)生受到了思想品德教育，培養(yǎng)良好的公民素質(zhì)。

五、圖形與幾何的教學(xué)注意些什么。

（一）、圖形與幾何的教學(xué)應(yīng)凸顯現(xiàn)實性

弗賴登塔爾說過：“數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實，高于現(xiàn)實，用于現(xiàn)實”。學(xué)生年齡雖

小，但在生活中積累了一定的生活經(jīng)驗，形成了不少的數(shù)學(xué)表象，教師在教學(xué)中

應(yīng)利用學(xué)生己有的生活經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生把課堂中所學(xué)知識和方法應(yīng)用于生活實際

中，讓學(xué)生運用所學(xué)知識，解決生活問題，學(xué)以致用。這樣既可以加深對數(shù)學(xué)知

識的理解，激發(fā)學(xué)生將頭腦中已有知識“再加工”，又能讓學(xué)生切實體驗到生活

中處處有數(shù)學(xué)，同時也鍛煉了學(xué)生的思維，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力。

如教學(xué)“圓的認(rèn)識”一課時，在學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)掌握了圓的基本特征后，緊

接著創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的投籃游戲，提出了“玩投籃游戲時同學(xué)們應(yīng)站成什么隊型？

為什么？”這樣一個問題讓學(xué)生思考，學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗和學(xué)到的新知，回答：

“站成圓形，因為這樣公平，每個人離籃筐的距離相等?！苯又謫枺骸败囕啚槭?/p>

么都要做成圓形而不是三角形、正方形、橢圓形呢？”學(xué)生結(jié)合圓心到圓上的距

離相等的知識推理出：用圓形做車輪，車子行駛時平穩(wěn)，而三角形、正方形、橢

圓形的中心到邊上的距離不等，車子行駛時不平穩(wěn)的結(jié)論。把學(xué)生生活中所熟悉

的事例作為數(shù)學(xué)素材，緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實際，反映學(xué)生身邊數(shù)學(xué)，使學(xué)生感

到親切、自然、有趣，增強了學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心，學(xué)會運用數(shù)

學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決現(xiàn)實生活中的問題。

（二）、圖形與幾何的教學(xué)應(yīng)注重操作性

《新課標(biāo)》突出了將“過程”作為數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一部分，非常注重“讓

學(xué)生在觀察、操作活動中獲得直觀的經(jīng)驗，在豐富多彩的探索活動中經(jīng)歷過程與

體驗實例”，強調(diào)了數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，強調(diào)了對數(shù)學(xué)知識的自主建構(gòu)。

“空間觀念的形成，只靠觀察是不夠的，教師還必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作實驗

活動,讓他們自己比一比、折一折、剪一剪、拼一拼、畫一畫”。學(xué)生或許會相

信你所告訴他們的,但他們更愿意自己去經(jīng)歷,去實踐,因為他們希望自己是一個

發(fā)現(xiàn)者、探索者,更希望自己是一個成功者。所以，教師要為學(xué)生提供一切創(chuàng)造探

索的機會。如教學(xué)“體積和體積單位”時，為了讓學(xué)生更好地感受1立方米的大

小,我用3根1米長的鐵絲借助墻角搭建了一個1立方米的空間,讓學(xué)生蹲到里面

感受一下大小,鉆進(jìn)去兩個學(xué)生,孩子說里面空間還很大,最后里面容納了六七名

學(xué)生，學(xué)生在體驗中自然感受到1立方米的大小。1立方米的空間大約能容納六

七名學(xué)生的情境將深深地在孩子的心里扎根,幫助他們形成了關(guān)于1立方米的表

象。

再如教學(xué)《角的度量》的時候，角的度量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)對學(xué)生來說是個

難點。因為這部分內(nèi)容數(shù)學(xué)概念多，（如中心點、零刻度線、內(nèi)刻度線、外刻度

線都是一些抽象的純數(shù)學(xué)語言）知識盲點多，幾乎沒有舊知識作鋪墊，操作程序

復(fù)雜：頂點和中心點重合，零刻度線和角的一邊重合，看另一邊在量角器上的刻

度，還要分清內(nèi)外刻度，（尤其是反向旋轉(zhuǎn)的和不同方位的角）。

要找到解決難點的策略，必須分析造成難點的原因.我認(rèn)為學(xué)生之所以分

不清內(nèi)外圈,找不對數(shù)的方向，原因是把角看作是靜止的圖形而非動態(tài)的過程，他

們將角的兩邊孤立地量度，以為像量線段，看鐘表一樣，只要把一邊對準(zhǔn)0度，另

一條指著幾就讀幾.如果學(xué)生能把靜態(tài)的角想象成從0度開始，慢慢打開,而度數(shù)

隨之增加的動態(tài)過程,我想問題就能迎刃而解了.

由此,我認(rèn)為應(yīng)采取〃變靜態(tài)為動態(tài)〃的教學(xué)策略，并通過三個層次的活動來

實現(xiàn).具體實施如下：

活動一:伸展運動.我?guī)е鴮W(xué)生把兩手臂伸開，當(dāng)作角的兩條邊,把身體當(dāng)作

角的頂點.他們跟著我從兩臂重合開始,一臂不動，另一臂慢慢展開，并一起讀：0

度，1度,2度,3度,4度,5度，10度,20度……到90度時停下來感受一下.然后繼

續(xù)：100度，110度……180度,……，360度.然后我引導(dǎo)說:我們可以這樣想象,所

有的角都是從。度慢慢張開的.

這個活動學(xué)生很感興趣，通過自己的肢體語言感受到角從0度張開的過程.

雖然所指度數(shù)并不精確,但為后面在量角器上想象角的動態(tài)變化奠定了最直觀的

基礎(chǔ).

活動二:穿針引線.剛才的肢體動作只是粗線條的感受，而第二個活動則開始

進(jìn)入精細(xì)化的認(rèn)識了.學(xué)生已經(jīng)在課前預(yù)習(xí)了量角器的外部特征,匯報后我拿出

一張白紙,在上面畫出一條射線，再用一根帶黑線的針從射線的端點處穿出.這樣,

紙上的射線和穿出來的黑線就能形成動態(tài)的角了.我把量角器擺在上方,在實物

投影中大大地演示出來.從0度開始，師問：”這時角的邊所對應(yīng)的刻度有兩個：0

度和180度，該讀哪一個往下數(shù)的時候數(shù)內(nèi)圈還是外圈“學(xué)生很聰明，立即回

答說〃讀0度,該讀外圈.〃隨著老師緩慢地拉動針線,學(xué)生從外圈0度開始,也逐一

讀出了相應(yīng)的數(shù)據(jù),一直讀到180度.接著,我又換了一個方向，從另一邊的0度開

始,這回學(xué)生反應(yīng)可快了，''讀內(nèi)圈，因為這次的0度在里面!”……

學(xué)生在動態(tài)中進(jìn)一步感受到角的度數(shù)的變化過程，并明白了當(dāng)選擇不同方向

為0度時,讀數(shù)方向也隨之改變的原理.這一活動為學(xué)生度量靜止的角奠定了表

象基礎(chǔ).

活動三:筆尖指路.這一活動則是測量完全靜止的角T,也是本節(jié)課最終要達(dá)

到的目標(biāo).我在實物投影中呈現(xiàn)了一個完整的角，提出問題:"這個固定的角，你能

想象出它是怎樣展開的嗎”學(xué)生有兩種意見，一種是把右面的邊視為0度，慢慢

展開;另一種是把左面的邊視為0度而慢慢展開，同學(xué)們認(rèn)為都是可以的.于是按

不同的展開方向,我們共同確定了0度所在的圈，并從0度開始,用筆尖順著數(shù)據(jù)

增加的方向慢慢移動，邊移動邊讀出整十，整五的數(shù)，直到接近角的另一條邊,將

度數(shù)準(zhǔn)確讀出.

結(jié)束了三個活動后，我問學(xué)生:量角的時候，要特別注意什么學(xué)生回答說:〃

一定要從0度開始順著數(shù)下去."是的,這正是量角的關(guān)鍵,他們學(xué)會了.聰明的孩

子掌握原理后很快就能找到最接近整十，整五的刻度再進(jìn)行加減；學(xué)習(xí)比較困難

的學(xué)生則乖乖的從0開始，順著方向?qū)⒖梢姷亩葦?shù)一一讀出.雖然速度會慢了些，

但方法掌握了，相信熟練后就會快起來.

（三）、圖形與幾何的教學(xué)應(yīng)重視探究性

著名數(shù)學(xué)家波利亞說過：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)。

因為這種發(fā)現(xiàn)，理解最深，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系?！苯處煙o法代

替學(xué)生自己的思考，更代替不了幾十個差異的學(xué)生的思維。我們應(yīng)該讓每個學(xué)生

根據(jù)自己的體驗，用自己的思維方式自由地、開放地去探究、發(fā)現(xiàn)，去再創(chuàng)造有

關(guān)的數(shù)學(xué)知識的過程。使學(xué)生不僅在于獲得數(shù)學(xué)知識，更在于讓學(xué)生在探究的過

程中學(xué)習(xí)科學(xué)探究的方法，從而增強學(xué)生的自主意識，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)

造能力。

教師應(yīng)從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的知識背景出發(fā)，向?qū)W生提供充分的數(shù)學(xué)

活動和數(shù)學(xué)交流的機會，鼓勵學(xué)生動手操作、動手實踐，幫助他們在自主探索的

過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能、基本的數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣

泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，在操作實踐中發(fā)展空間觀念。如教學(xué)”軸對稱圖形”時，

為了讓學(xué)生判斷哪些基本的平面圖形是軸對稱圖形,我組織學(xué)生借助課前準(zhǔn)備的

學(xué)具（長方形、平行四邊形、梯形等基本的平面圖形），以小組合作的方式,通過動

手操作，找出其中的軸對稱圖形,并畫出其對稱軸。這樣學(xué)生通過折一折、比一比、

畫一畫，很輕松地就判斷出其中的軸對稱圖形，并畫出了相應(yīng)的對稱軸。在判斷平

行四邊形是否是軸對稱圖形時，學(xué)生出現(xiàn)了爭議,我再次組織學(xué)生借助手中的平

行四邊形折一折。再次操作之后，一個學(xué)生說：“把這種普通的平行四邊形無論怎

樣折，兩邊不能完全重合，所以這樣的平行四邊形不是軸對稱圖形！”另一個學(xué)生

馬上說：“我手里的平行四邊形沿著兩條對角線對折，兩邊能完全重合,所以這個

平行四邊形是軸對稱圖形！”真有騎虎難下之勢，我馬上借題發(fā)揮：“大家快看看

后一個平行四邊形有沒有什么特殊的地方呢？“學(xué)生通過觀察和比較發(fā)現(xiàn)這個平

行四邊形四條邊都相等,我適時告訴學(xué)生這樣的平行四邊形是菱形。這時馬上有

學(xué)生站起來發(fā)言:“一般的平行四邊形不是軸對稱圖形，而有些特殊的平行四邊形

是軸對稱圖形，比如菱形！”還有學(xué)生繼續(xù)補充：“還有長方形和正方形,它們都是

特殊的平行四邊形,也都是軸對稱圖形！”學(xué)生的實踐、探究和發(fā)現(xiàn)一浪高過一浪,

學(xué)生的思維碰撞出了火花!我想這樣對于知識的提煉和升華皆源于先前的動手操

作和自主探究。沒有這樣的操作和探究,學(xué)生就不會輕松地理解知識,學(xué)生就不會

對知識有如此的深化和提升，更不會有思維的撞擊和成功的體驗！

四、圖形與幾何的教學(xué)應(yīng)注意把握數(shù)形結(jié)合。

《圖形的放大與縮小》是新舊教材《比例》這一內(nèi)容的最大不同之處。它是

屬于空間與圖形領(lǐng)域中圖形與變換方面的內(nèi)容，比例的知識屬于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域。

新教材將《圖形的放大與縮小》納入到比例單元中，將兩條線交織在一起。我認(rèn)

為主要是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，使知識形成和發(fā)展的基礎(chǔ)更加扎實。就本課而言

“從簡單圖形開始，借助實物或計算機演示，再讓學(xué)生動手操作，由此充分體驗

圖形的相似是指圖形運動后，大小發(fā)生了變化，但形狀不變，前后圖形是相似的。

圖形的放大與縮小，學(xué)生具有一定的生活經(jīng)驗，有自己的樸素認(rèn)識。但是，

這一認(rèn)識是感性的、概括的、模糊的，只能是基于自身經(jīng)驗的理解，不能清楚地

用數(shù)學(xué)的語言描繪變化的關(guān)系。而數(shù)