淺析數(shù)學(xué)分析一致連續(xù)性

一引入“一致性”的意義數(shù)學(xué)分析教材中有不少概念，如函數(shù)的連續(xù)性與一直連續(xù)性、函數(shù)列的收斂性與一致收斂性，初學(xué)者很容易混淆，因而成為“數(shù)學(xué)分析”中學(xué)習(xí)的一個難點所在。數(shù)學(xué)分析中的三個“一致性”(即一致有界,一致連續(xù),一致收斂)的概念對數(shù)學(xué)根底知識的學(xué)習(xí)很重要。弄清函數(shù)的一致連續(xù)性的概念和掌握判斷函數(shù)一致連續(xù)的方法無疑是學(xué)好函數(shù)一致連續(xù)性理論的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)分析教材只給出一致連續(xù)的概念和判斷函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)的G·康托定理,內(nèi)容篇幅少,為了使初學(xué)者對函數(shù)一致連續(xù)性的理論有正確的理解和全面的掌握,作為教材內(nèi)容的適當(dāng)擴展和補充顯然，一致連續(xù)要比連續(xù)條件強。但在數(shù)學(xué)分析教科書中，僅給出一致連續(xù)的定義以及利用定義證明函數(shù)f〔x〕在某區(qū)間上一致連續(xù)的數(shù)學(xué)方法，呈現(xiàn)了函數(shù)一致連續(xù)完美的邏輯結(jié)果，但學(xué)生對定義特別是其中δ的很難理解。一致連續(xù)是一個很重要的概念,在微積分學(xué)以及其他學(xué)科中常常用到,而且函數(shù)列的一致連續(xù)性和一致收斂又有著密切關(guān)系。在研究函數(shù)列的收斂問題中,常常要用到函數(shù)列與函數(shù)之間的收斂、一致連續(xù)性、一致收斂的關(guān)系。數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)一致連續(xù)性、函數(shù)列一致有界性、函數(shù)列一致收斂性、函數(shù)項級數(shù)一致收斂性、含參變量無窮積分一致收斂性等“一致性”概念是學(xué)習(xí)上的難點,因此,牢固掌握這些概念及與之有關(guān)的理論,對打好分析根底,培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力都有著重要的意義。對函數(shù)列的極限函數(shù)、函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)以及含參變量積分性質(zhì)的討論,常常需要討論其一致收斂性,而函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性可歸結(jié)成局部和函數(shù)列的一致收斂性的研究,含參變量無窮積分的一致收斂性,又可歸結(jié)成函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性的研究,故本文著重討論函數(shù)一致連續(xù)性和函數(shù)列一致收斂性重要概念。函數(shù)一致連續(xù)的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一個難點，證明某一個函數(shù)是否具有一致連續(xù)性讓許多同學(xué)更是無從下手。為了解決這一難點，化抽象為簡單，給出一致連續(xù)性的幾種等價形式，能幫助同學(xué)易于接受。函數(shù)一致連續(xù)的幾何意義數(shù)學(xué)分析是一門非常抽象的學(xué)科，有極強的邏輯性和嚴(yán)密性，表達(dá)在：能用簡明的數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確的表述用冗長的文學(xué)語言也不一定能定量的事物開展過程。這也是初學(xué)者無法理解分析中定義的原因。而幾何意義將是數(shù)學(xué)分析課程入門的一引導(dǎo)者，它向?qū)W生展示了數(shù)學(xué)分析中最根本的思想方法，有利于學(xué)生對抽象概念的理解，能更好地開展學(xué)生的思維能力。本文通過揭示一致連續(xù)與一致收斂概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，導(dǎo)出了利用連續(xù)性判定一致收斂的方法。此方法對于通常的初等函數(shù)及函數(shù)列一致收斂與非一致收放的判定非常有效，且很簡便，可說是一目了然。它不僅限于在指一致連續(xù)與一致收斂定區(qū)間上的討論，還便于作全面的研究。通過對函數(shù)及函數(shù)列的一致連續(xù)的定義的對照對函數(shù)列的一致收斂與一致連續(xù)問題進行了討論,通過這種討論使我們清晰的看到函數(shù)列的一致連續(xù)問題不僅和函數(shù)列本身有關(guān)而且和極限函數(shù)有著密切的關(guān)系。探討了一致連續(xù)和一致收斂的關(guān)系,并在有界區(qū)間上給出了一致連續(xù)和一致收斂的等價關(guān)系。掌握這些關(guān)系為今后研究連續(xù)、收斂問題提供了更多的依據(jù)。二對數(shù)學(xué)分析中一致連續(xù)的概念的理解一致連續(xù)是從函數(shù)連續(xù)的概念派生出來的，是指存在一個微小變化的界限，如果函數(shù)定義域內(nèi)的任意兩點間的距離不超過這個界限，那么這兩點對應(yīng)的函數(shù)值之差就能到達(dá)任意小。函數(shù)一致連續(xù)的概念一直是《數(shù)學(xué)分析》學(xué)習(xí)中的難點，在多年的教學(xué)實踐中，深感學(xué)生對函數(shù)一致連續(xù)的概念掌握的不是很好，經(jīng)常聽到學(xué)生有這樣的疑問：函數(shù)連續(xù)和一致連續(xù)究竟有什么區(qū)別？本文談的就是在教學(xué)中如何讓學(xué)生較快地理解函數(shù)一致連續(xù)的概念。1從連續(xù)的概念引出一致連續(xù)的概念函數(shù)的一致連續(xù)性是函數(shù)的重要特征，它標(biāo)志著一個連續(xù)函數(shù)的變化速度有無“突變”。對于函數(shù)一致連續(xù)來說，不僅要求函數(shù)在區(qū)間上的每一點保持連續(xù)，還進一步要求它在區(qū)間上所有點鄰近有大體上均勻的變化趨勢。也就是說：對于任給的正數(shù)ε，要求存在一個與x無關(guān)的正數(shù)δ，使對自變量的任意2個值x'，x"，只要它們的距離︳x'-x"︳＜δ，對應(yīng)的函數(shù)值︳f〔x'〕-f〔x"〕︳＜ε，。顯然，一致連續(xù)要比連續(xù)條件強。但在數(shù)學(xué)分析教科書中，僅給出一致連續(xù)的定義以及利用定義證明函數(shù)f〔x〕在某區(qū)間上一致連續(xù)的數(shù)學(xué)方法，呈現(xiàn)了函數(shù)一致連續(xù)完美的邏輯結(jié)果，但學(xué)生對定義特別是其中δ的很難理解，那么我們在上課時就不宜照本宣科，需要把概念中所隱含的知識逐步解釋清楚，才可以幫助學(xué)生較快地理解一致連續(xù)的概念。下面我們從函數(shù)f〔x〕在區(qū)間I上連續(xù)的定義出發(fā)，通過2個例子，快速建立函數(shù)f〔x〕在區(qū)間I上一致連續(xù)的定義。定義1〔函數(shù)f〔x〕在區(qū)間I上連續(xù)〕設(shè)f〔x〕為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，假設(shè)對ε＞0，對于每一點x∈I，都存在相應(yīng)δ=δ〔ε，x〕＞0，只要x'∈I，且︳x-x'︳＜δ，就有︳f〔x〕-f〔x'〕︳＜ε，那么稱函數(shù)f〔x〕在區(qū)間I上連續(xù)。給出以下2個例子。例1考查函數(shù)f〔x〕=在區(qū)間〔0，1］上的連續(xù)性。解對∈〔0，1］，因為x=＞0，那么存在鄰域U〔，δ'〕，使得x∈U〔，δ'〕，有x＞，所以有︳-︳=＜=2。對ε＞0，取δ=min，就有︳-︳＜ε。這里δ與有關(guān)，有時特記為δ〔ε，〕。注意本例中不存在可在區(qū)間〔0，1］上通用的δ，即不存在最小的〔正數(shù)〕δ。強調(diào)：的位置不同，δ的取值也隨之產(chǎn)生變化。例2考查函數(shù)f〔x〕=在區(qū)間上［c，+∞〕〔c＞0〕的連續(xù)性。解對∈［c，+∞〕〔c＞0〕，存在鄰域U〔，δ'〕，使得x∈U〔，δ'〕時，有︳-︳=<。對ε＞0，取δ=ε，就有︳-︳＜ε。這里可取得最小的，也就是可通用的δ=ε，該δ卻與無關(guān)，可記為δ〔ε〕。比擬例1中δ與例2中δ的不同，引出較函數(shù)f〔x〕在區(qū)間I上連續(xù)的概念條件更強的函數(shù)f〔x〕在區(qū)間I上一致連續(xù)的概念。定義2〔一致連續(xù)〕設(shè)〔fx〕為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，假設(shè)對ε＞0，存在δ〔＞0〕，使得對任何x'，x"∈I，只要︳x'-x"︳＜δ，就有︳f〔x'〕-f〔x"〕︳＜ε，那么稱函數(shù)f〔x〕在區(qū)間I上一致連續(xù)。連續(xù)概念中δ與一致連續(xù)概念中的δ不同，通過具體的例子來說明，就更加直觀，對初學(xué)的學(xué)生來說，更容易接受。通過這樣的2個例子引出函數(shù)f〔x〕在區(qū)間I上一致連續(xù)的概念，可使學(xué)生在剛接觸到一致連續(xù)時，就對其中的δ有一種直觀的感受。這樣學(xué)生對δ的取法就比擬清楚，可以迅速讓學(xué)生理解一致連續(xù)的概念。2利用函數(shù)一致連續(xù)的概念證明函數(shù)一致連續(xù)為了進一步加深學(xué)生對函數(shù)一致連續(xù)概念的理解和記憶，隨即提出用定義驗證一致連續(xù)的方法：對ε＞0，確證δ〔＞0〕存在。為此，從不失真地放大︳f〔x'〕-f〔x"〕︳這個式子入手，使在放大后的式子中，除因子︳x'-x"︳之外，其余局部中不含有x'和x"，然后使所得式子︳f〔x'〕-f〔x"〕︳＜ε，從中解出︳x'-x"︳.例3驗證函數(shù)f〔x〕=sin在區(qū)間〔c，1〕〔0＜c＜1〕內(nèi)一致連續(xù)。證明因為︳sin-sin︳=2︳sin︳︳cos︳≤≤所以對ε＞0，取δ=ε，使得對任何x'，x"∈〔c，1〕，只要︳x'-x"︳＜δ，就有︳sin1x'-sin1x"︳＜ε。3函數(shù)不一致連續(xù)的概念下面證明例1中的函數(shù)f〔x〕=在區(qū)間〔1，0］上不一致連續(xù)。找不到可在區(qū)間〔0，1］上通用的δ，即不存在最小的δ〔正數(shù)〕。先給出函數(shù)f〔x〕在區(qū)間I上不一致連續(xù)的定義。定義3存在某個ε0，無論δ是怎么樣小的正數(shù)，在I上總有兩點x'和x"，雖然滿足︳x'-x"︳＜0，卻有︳f〔x'〕-f〔x"〕︳＞ε。證明取ε0=1，對δ〔＜1〕，取x'=min｛δ，12｝與x"=，便有︳x'-x"︳=≤＜δ，但=︳-︳=≥2＞1=。因此也可以說函數(shù)f〔x〕在區(qū)間I上連續(xù)，存在一個集合A=﹛δx︳x∈I﹜，如果當(dāng)集合A中存在一個最小的δ時，那么f〔x〕就是I上一致連續(xù)，而f〔x〕在區(qū)間I上連續(xù)那么只要求存在集合A就可以了。三一致收斂概念1函數(shù)列一致收斂的定義設(shè)S1(x),S2(x),?,Sn(x),?是一列定義在同一數(shù)集X上的函數(shù),稱為定義在X上的函數(shù)列.設(shè){un(x)}稱為定義在X上的函數(shù)列,表達(dá)式u1(x)+u2(x)+?+un(x)+?,x∈X稱為定義在X上的函數(shù)項級數(shù),簡記為un(x)或un(x).設(shè)數(shù)集X為函數(shù)項級數(shù)un(x)的收斂域,那么對每個x∈X,記S(x)=un(x),稱S(x)為函數(shù)項級數(shù)un(x)的和函數(shù).定義i設(shè)有函數(shù)列{Sn(x)},假設(shè)對任給的ε>0,存在只依賴于ε的正整數(shù)N(ε),當(dāng)n>N(ε)時,不等式︱Sn(x)-S(x)︱<ε對X上一切x成立,那么稱{Sn(x)}在X上一致收斂于是s〔x〕.一致收斂的定義還可以用下面的方式來表達(dá):定義ii設(shè)‖sn-s‖=|Sn(x)-S(x)|,假設(shè)‖sn-s‖=0,就稱Sn(x)在X上一致收斂于S(x).定義2＞0，N，當(dāng)時，對一切，都有．這時稱函數(shù)列在上一致收斂于，記作．一致收斂與逐點收斂之間的區(qū)別：定義2中的只依賴于，它適用于一切；而定義1中的極限式(1)假設(shè)用陳述方式來表示時，其中的既與有關(guān)，又與中的考察點有關(guān)．定義設(shè)函數(shù)項級數(shù)的局部和函數(shù)列為．如果，那么稱在上一致收斂于．由定義2與定義易知：●假設(shè),那么．●假設(shè)或在上一致收斂，，那么它們在上必一致收斂．●當(dāng)把數(shù)列看作一個特殊的函數(shù)序列時，如果收斂，那么可認(rèn)為它在上一致收斂．●當(dāng)把數(shù)項級數(shù)看作一個特殊的函數(shù)項級數(shù)時,如果收斂，那么可認(rèn)為它在上一致收斂．●又假設(shè)，那么同樣可以認(rèn)為．把逐點收斂〔即數(shù)列或數(shù)項級數(shù)收斂〕的柯西準(zhǔn)那么推廣為一致收斂的柯西準(zhǔn)那么，即為以下兩個定理．定理在上一致收斂的充要條件是：，當(dāng)時，對一切和一切都有．定理5.1'在上一致收斂的充要條件是：，當(dāng)時，對一切和一切都有．有關(guān)定義2、定義以及柯西條件的否認(rèn)說法，分別示于相關(guān)知識．例5討論函數(shù)列分別在和上的一致收斂性．解首先，對每一固定的，恒有，即在上處處收斂于．(i)當(dāng)時，，，當(dāng)時，對一切，都有．由于上述只依賴于，依據(jù)定義2，證得，．(ii)當(dāng)時，由解出．由此可見既依賴，又依賴，故，．四對函數(shù)一致連續(xù)性的幾點討論弄清函數(shù)的一致連續(xù)性的概念和掌握判斷函數(shù)一致連續(xù)的方法無疑是學(xué)好函數(shù)一致連續(xù)性理論的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)分析教材只給出一致連續(xù)的概念和判斷函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)的G·康托定理,內(nèi)容篇幅少,為了使初學(xué)者對函數(shù)一致連續(xù)性的理論有正確的理解和全面的掌握,作為教材內(nèi)容的適當(dāng)擴展和補充,本文做以下幾點討論:1關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)的概念定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I有定義,假設(shè)Pε>0,vδ>0,x1,x2∈I:|x1-x2|<δ,有|f(x1)-f(x2)|<ε,稱函數(shù)f(x)在I一致連續(xù)。對函數(shù)的一致連續(xù)性概念的掌握,應(yīng)注意以下三個方面的問題:(1)要注意函數(shù)在區(qū)間的連續(xù)性與一致連續(xù)性的區(qū)別和聯(lián)系。比擬函數(shù)在區(qū)間的連續(xù)性和一致連續(xù)性定義可知:前者的δ不僅與ε有關(guān),而且還與點x0有關(guān),即對于不同的x0,一般來說δ是不同的,這說明只要函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù),函數(shù)就在區(qū)間連續(xù);后者的δ僅與ε有關(guān),與x0無關(guān),即對不同的x0,δ是相同的。這說明函數(shù)在區(qū)間的一致連續(xù)性,不僅要求函數(shù)在這個區(qū)間的每一點都連續(xù),而且要求函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)是“一致”的(即連續(xù)可對一點來講,而且對于某一點x0,δ取決于x0和ε,而一致連續(xù)必須以區(qū)間為對象,δ只取決于ε,與點x0的值無關(guān))。在區(qū)間I一致連續(xù)的函數(shù)在這個區(qū)間一定是連續(xù)的,事實上,由一致連續(xù)性定義將x1固定,令x2變化,即知函數(shù)f(x)在x1連續(xù),又x1是I的任意一點,從而函數(shù)f(x)在I連續(xù)。但在區(qū)間I連續(xù)的函數(shù)在這區(qū)間上不一定一致連續(xù),例如f(x)=1/x在區(qū)間(0,1)就是如此。(2)函數(shù)一致連續(xù)的實質(zhì),就是當(dāng)這個區(qū)間的任意兩個彼此充分靠近的點上的值的差,就絕對值來說,可以任意小,即x1,x2∈I,當(dāng)|x1-x2|<δ時,就有|f(x1)-f(x2)|<ε.(3)要注意函數(shù)一致連續(xù)的否認(rèn)表達(dá)。一致連續(xù)的否認(rèn)就是非一致連續(xù),即設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I有定義,假設(shè)ε0>0,δ>0,x1,x2∈I:|x1-x2|<δ,有|f(x1)-f(x2)|≥ε0,那么稱函數(shù)f(x)在I非一致連續(xù)?？偟膩碚f,函數(shù)的連續(xù)性反映了函數(shù)的局部性質(zhì),而函數(shù)的一致連續(xù)性那么反映了在整個區(qū)間上的整體性質(zhì)。二者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系。2關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)的條件根據(jù)函數(shù)一致連續(xù)性定義可以判別函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)性,這種判別方法關(guān)鍵在于找出對于區(qū)間上的點可以共用的δ,但對某些函數(shù)而言找這樣的δ并非易事。因此有必要去探討判別函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)的簡便方法。由一致連續(xù)定義自然地得到函數(shù)連續(xù)是函數(shù)一致連續(xù)的必要條件,但不是充分條件,那么連續(xù)函數(shù)在區(qū)間還應(yīng)滿足什么條件才能使函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)呢?G·康托定理告訴我們:函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上一致連續(xù)的充分必要條件是f(x)在[a,b]上連續(xù)。所以在閉區(qū)間[a,b]連續(xù)的函數(shù)必一致連續(xù),在一定條件下G·康托定理也可以推廣到有界的開區(qū)間和無界的區(qū)間。阻礙由區(qū)間連續(xù)性轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間一致連續(xù)性有兩種情況:(1)區(qū)間有界但非閉,這時開的端點可能成為破壞一致連續(xù)性的點;(2)區(qū)間的一個端點為無窮或兩個端點為無窮,這時,函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處也可能破壞一致連續(xù)性。這時只要我們對于破壞一致連續(xù)性的開的端點或無窮遠(yuǎn)點附加一定的限制條件,函數(shù)就一致連續(xù)了。因此在數(shù)學(xué)分析教材的根底上補充以下定理和推論。定理1函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)一致連續(xù)的充分必要條件是f(x)在(a,b)連續(xù),且f(x)與f(x)都存在。證明:必要性()假設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)一致連續(xù),那么對ε>0,δ>0,x1,x2∈(a,b)且|x1-x2|<δ時,有|f(x1)-f(x2)|<ε,此時對端點a,當(dāng)x1,x2滿足0<x1-a<δ/2,0<x2-a<δ/2時,就有|x1-x2|≤|x1-a|+|x2-a|<δ,于是|f(x1)-f(x2)|<ε.由柯西收斂準(zhǔn)那么知f(x)存在，同理可證f(x)也存在,從而f(x)在(a,b)連續(xù),且f(x)與f(x)都存在。充分性()假設(shè)f(x)在(a,b)連續(xù),且f(x)與f(x)都存在,補充定義f(a)=f(x),f(b)=f(x),這樣f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),從而f(x)在[a,b]上一致連續(xù),故f(x)在(a,b)內(nèi)一致連續(xù)。根據(jù)定理1容易得出以下推論:推論1函數(shù)f(x)在[a,b)內(nèi)一致連續(xù)f(x)在[a,b)連續(xù)且f(x)存在。推論2函數(shù)f(x)在(a,b]內(nèi)一致連續(xù)Zf(x)在(a,b]連續(xù)且f(x)存在。定理2假設(shè)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)連續(xù),且f(x)和f(x)都存在,那么f(x)在(-∞,+∞)上一致連續(xù)。證明:ε>0,δ1>0,由f(x)=A,b>0,當(dāng)x>b時,有|f(x)-A|<ε/2,從而當(dāng)x1,x2>b且|x1-x2|<δ1時,有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)-A|+|f(x2)-A|<ε由此可知f(x)在[b,+∞)上一致連續(xù)。同理可證當(dāng)|x1-x2|<δ2時,有|f(x1)-f(x2)|<ε,即知f(x)在(-∞,a]上一致連續(xù)。又f(x)在[a,b]上連續(xù),因此δ3>0當(dāng)|x1-x2|<δ3時有|f(x1)-f(x2)|<ε,故f(x)在[a,b]上一致連續(xù)。取δ=min{δ1,δ2,δ3},當(dāng)|x1-x2|<δ時便有|f(x1)-f(x2)|<ε即f(x)在(-∞,+∞)上一致連續(xù)。由定理2容易得出以下推論:推論1函數(shù)f(x)在(a,+∞)內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是f(x)在(a,+∞)內(nèi)連續(xù),且f(x)與f(x)都存在。推論2函數(shù)f(x)在[a,+∞)內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是f(x)在[a,+∞)內(nèi)連續(xù)且f(x)存在。推論3函數(shù)f(x)在(-∞,b)內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是f(x)在(-∞,a)內(nèi)連續(xù)且f(x)與f(x)都存在。推論4函數(shù)f(x)在(-∞,b]內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是f(x)在(-∞,b]內(nèi)連續(xù)且f(x)存在。以上的定理及推論提供了判斷函數(shù)一致連續(xù)性簡單而有效的方法。例1,以下函數(shù)在指定區(qū)間上是否一致連續(xù)?(1)f(x)=,x∈(0,1);(2)f(x)=1/(1+),x∈(0,+∞);(3)f(x)=sinx/x,x∈(0,π)解:(1)顯然f(x)=在(0,1)內(nèi)連續(xù),且=0,x3=1即=0與x3=1都存在故f(x)在(0,1)一致連續(xù)。(2)顯然f(x)=1/(1+)在(0,+∞)內(nèi)連續(xù),且f(x)=[1/(1+x2)]=1f(x)=[1/(1+x2)]=0故f(x)=1/1+在(0,+∞)內(nèi)一致連續(xù)。(3)f(x)=[sinx/x]=1f(x)=[sinx/x]=0因此f(x)在(0,π)內(nèi)一致連續(xù)。對于任意區(qū)間,也有以下結(jié)論函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)的充分必要條件是對區(qū)間上I任意兩個數(shù)列{xn}與{yn}當(dāng)(xn–yn)=0時,有[f(xn)-f(yn)]=0.由此可見,判斷函數(shù)一致連續(xù)的方法是多種多樣的,只要我們靈活多變,才能做到事半功倍,在教學(xué)中恰當(dāng)?shù)厝ヒ龑?dǎo)學(xué)生去思考去運用,學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力必將有效地得到提高。3證明函數(shù)非一致連續(xù)的簡便方法根據(jù)函數(shù)的非一致連續(xù)定義可以證明函數(shù)在區(qū)間上的非一致連續(xù)性。例2證明函數(shù)f(x)=在R非一致連續(xù)。證明:=1/2,δ>0(n>),x′=ln(n+1),x″=lnn∈R:|x′-x″|=|ln(n+1)–lnn|=ln(1+1/n)<ln=δ,有|f(x′)-f(x″)|=|(n+1)-n|=1>1/2=所以f(x)=在R非一致連續(xù)。利用定義證明函數(shù)f(x)在I非一致連續(xù)的關(guān)鍵在于確定>0,找出x′,x”∈I使得|f(x′)-f(x”)|≥,而做到這一點,對于某些函數(shù)來說并非易事。根據(jù)函數(shù)的一致連續(xù)性的充要條件,容易得出證明函數(shù)在區(qū)間I非一致連續(xù)的較簡便的兩個充分判別法。(1)連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)非一致連續(xù)的充分條件是f(a+0)和f(b-0)至少有一個不存在。(2)連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間I非一致連續(xù)的充分條件是在區(qū)間I上存在兩個數(shù)列{xn}、{yn},使得(xn–yn)=0,但[f(xn)-f(yn)]≠0現(xiàn)在利用判別法(2)證明例2:證明:取xn=ln(n+1),yn=lnn∈R,且(xn–yn)=(ln(n+1)–lnn)=ln(1+)=0但[f(xn)-f(yn)]=(-)=(n+1-n)=1≠0所以由判別法(2)知f(x)=ex在R非一致連續(xù)。利用這兩個判別法證明函數(shù)f(x)在區(qū)間上非一致連續(xù)性的優(yōu)點是顯而易見的:不用直接確定>0找x1,x2∈I滿足|f(x1)-f(x2)|≥,而只須觀察f(a+0)和f(b-0)的存在性或找出兩個數(shù)列{xn}和{yn}滿足判別的條件即可。例3證明以下函數(shù)在所示區(qū)間內(nèi)非一致連續(xù)f(x)=cos,x∈(0,1)證明:因為cos不存在,所以f(x)在(0,1)內(nèi)不一致連續(xù)。五關(guān)于函數(shù)列的一致連續(xù)性的研究一、關(guān)于一致性的幾個定義一致連續(xù)是一個很重要的概念,在微積分學(xué)以及其他學(xué)科中常常用到,而且函數(shù)列的一致連續(xù)性和一致收斂又有著密切關(guān)系。在研究函數(shù)列的收斂問題中,常常要用到函數(shù)列與函數(shù)之間的收斂、一致連續(xù)性、一致收斂的關(guān)系。本文就從這里人手展開討論,對于函數(shù)的一致連續(xù)性我們知道有如下定義定義1:函數(shù)f(x)在數(shù)集E上一致連續(xù)是指:對Pε>0,存在δ>0,使得當(dāng):x1,x2∈E,且|x1-x2|<δ時,有|f(x1)-f(x2)|<ε。函數(shù)的一致連續(xù)性定義使我們考慮問題角度從局部化問題轉(zhuǎn)入了整體問題。如:“有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是一致連續(xù)的”。在研究函數(shù)的整體性質(zhì)時,一致連續(xù)顯的特別有用。例如:黎曼積分存在時,有這樣的命題如下:命題假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,且至多具有有限多個點不連續(xù)點,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。特別是:函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)時,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。此命題的證明中,函數(shù)的一致連續(xù)性起著非常重要的作用。在實變函數(shù)中有名的盧津定理,給出了連續(xù)函數(shù)和可測函數(shù)之間的關(guān)系,說明用連續(xù)函數(shù)可以“逼近”可測函數(shù),從而可以用比擬熟悉的連續(xù)函數(shù),去把握比擬抽象的可測函數(shù),并在某些場合可以適當(dāng)?shù)匕芽蓽y函數(shù)轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)。因而連續(xù)、一致連續(xù)性的許多等價命題和定理,為研究實際問題提供了依據(jù)。對于函數(shù)列{fn(x)}的一致連續(xù)性要比函數(shù)f(x)的一致連續(xù)性復(fù)雜,因為它不只是涉及到一個函數(shù),而是要涉及到一個函數(shù)列{fn(x)},其定義如下:定義2設(shè)函數(shù)列{fn(x)}在數(shù)集E上有定義,假設(shè)對任意給定ε>0,總存在δ>0,使得當(dāng):x1,x2∈E,且|x1-x2|<δ時,對一切的n∈N,都有|fn(x1)-fn(x2)|<ε,那么稱函數(shù)列{fn(x)}在數(shù)集E上一致連續(xù)。函數(shù)列{fn(x)}在E上一致收斂于f(x)又有定義如下:定義3設(shè)函數(shù)列{fn(x)}與函數(shù)f(x)均在數(shù)集E上有定義,假設(shè)對任意ε>0,總存在某個自然數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,對一切x∈E,都有|{fn(x)}-f(x)|<ε,那么稱函數(shù)列{fn(x)}在數(shù)集ε上一致收斂于f(x)。有了函數(shù)與函數(shù)列的一致收斂與一致連續(xù)的定義,關(guān)于{fn(x)}與f(x)一致性有如下命題:命題1.假設(shè)函數(shù)列{fn(x)}在數(shù)集E上一致收斂于f(x),且,n∈N,{fn(x)}在E上一致連續(xù),那么極限函數(shù)f(x)在E上一致連續(xù)。這個命題給出了函數(shù)列與極限函數(shù)的一致連續(xù)、一致收斂之間的關(guān)系。用定義1,定義3就可以證明此命題。證明如下:我們知道函數(shù)列{fn(x)}在E上一致收斂于f(x),所以對Pε∈>0,存在N∈N,使得當(dāng)n>N,有|{fn(x)}-f(x)|<(x1,x2∈E),同時有|fn(x1)-fn(x1)|<和|fn(x2)-fn(x2)|<(x1,x2∈E)成立。取定n>N,我們考察fn(x)在E上也是一致連續(xù)的。對上述ε>0,vδ>0,使得當(dāng)(x1,x2∈E),|x1-x2|<δ時,就有|fn(x1)-fn(x2)|<于是只要x1,x2∈E時,當(dāng)|x1-x2|<δ,有:|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)-fn(x1)|+|fn(x1)-fn(x2)|+|fn(x2)-f(x2)|≤++=成立。故f(x)在E上一致連續(xù)性得以證明。例如:函數(shù)列{(1-x)}在[0,1]上一致收斂于0,對任意自然數(shù)n,(1-x)與0均在[0,1]上連續(xù)。命題2假設(shè)函數(shù)列{fn(x)}在數(shù)集E上一致連續(xù),fn(x)=f(x),那么極限函數(shù)f(x)在E上一致連續(xù)。同樣,我們可以由定義1,定義2,證明此命題。這個命題給出了函數(shù)列{fn(x)}一致連續(xù)性的一個判別法。假設(shè)函數(shù)列{fn(x)}在數(shù)集E上逐點收斂于f(x),而函數(shù)f(x)在E上不一致連續(xù),那么函數(shù)列{fn(x)}在數(shù)集E上是非一致連續(xù)的。例如:函數(shù)列{xn}在[0,1]就是如此。二、函數(shù)列一致性和連續(xù)性定理:命題3假設(shè)函數(shù)列{fn(x)}在區(qū)間I上一致收斂于f(x),且每一項fn(x)都在I上連續(xù),那么極限函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)。注1:假設(shè)各項為連續(xù)函數(shù)的函數(shù)列在區(qū)間上其極限函數(shù)f(x)不連續(xù)。那么此函數(shù)列在區(qū)間上不一致收斂。如:{}的各項在[-1,1]都連續(xù),但極限函數(shù)f(x)=,在x=1時不連續(xù),從而推得{}的在[-1,1]不一致收斂。注2:由連續(xù)函數(shù)的定理可得之逆命題不成立:即:假設(shè)函數(shù)列{fn(x)}在區(qū)間I上一致收斂于f(x),且f(x)連續(xù),那么N,當(dāng)n>N時,函數(shù)列{fn(x)}皆連續(xù)?這是不成立的。因為:fn(x)=D(x)處處不連續(xù),但fn(x)=0=f(x)處處連續(xù),且有|fn(x)-0|≤知收斂為一致收斂。注3:如下逆命題也不成立:即:假設(shè)函數(shù)列{fn(x)}在區(qū)間I上收斂于f(x),fn(x)與f(x)均連續(xù),那么收斂為一致收斂。這是不可能的。例如:fn=在(0,1)單調(diào)趨于0,但不一致收斂。上述命題3將條件適當(dāng)?shù)母淖円部梢缘玫叫碌拿},例如:命題3在區(qū)間上成立同時在數(shù)集E上也成立,因此有如下命題:命題3′假設(shè)函數(shù)列{fn(x)}在數(shù)集E上一致收斂于f(x),且每一項fn(x)都在數(shù)集E上連續(xù),那么極限函數(shù)f(x)在數(shù)集E上連續(xù)。當(dāng)然,我們也可以把函數(shù)列{fn(x)}在E上一致收斂于f(x)的條件適當(dāng)?shù)臏p弱,又得到下面的命題:命題3″假設(shè)函數(shù)列{fn(x)}在數(shù)集E上內(nèi)閉一致收斂于f(x),且每一項fn(x)都在數(shù)集E上連續(xù),那么極限函數(shù)f(x)在數(shù)集E上連續(xù)。進一步可得到下面的命題。命題4假設(shè)函數(shù)列{fn(x)}在區(qū)間I上一致收斂于f(x),且fn(x)在區(qū)間I上都是一致連續(xù),且fn(x)與f(x)均存在,那么極限函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)。(其中I=(a,b))從命題4可以看出,命題4實際上等價命題1。三、連續(xù)與一致收斂Dini定理設(shè)函數(shù)列{fn(x)}在區(qū)間[a,b]上收斂于連續(xù)函數(shù)f(x),對x∈[a,b]都有fn(x)≤{fn+1(x)}或fn(x)>fn+1(x)成立,且每個fn(x)在[a,b]上連續(xù),那么函數(shù)列{fn(x)}在區(qū)間[a,b]上一致收斂。Dini定理給出了函數(shù)列{fn(x)}在閉區(qū)間[a,b]上一致收斂的充分條件。因此可以判別函數(shù)列的一致收斂性。例如:fn(x)=在[a,b]上,fn(x)=n(-1)在[1,10]上,如果將Dini定理定義在數(shù)集上我們又可以得到下面的命題。命題:設(shè)函數(shù)列{fn(x)}在數(shù)集E上收斂于連續(xù)函數(shù)f(x),又存在自然數(shù)N,當(dāng)n>N,對x∈E都有fn(x)≤fn+1(x)或fn(x)>fn+1(x)成立,且每個fn(x)在數(shù)集E上連續(xù),那么函數(shù)列{fn(x)}在數(shù)集E上內(nèi)閉一致收斂于f(x)。六一致連續(xù)的幾個等價命題及其應(yīng)用函數(shù)一致連續(xù)的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一個難點，證明某一個函數(shù)是否具有一致連續(xù)性讓許多同學(xué)更是無從下手。為了解決這一難點，化抽象為簡單，筆者在教學(xué)過程中給出一致連續(xù)性的幾種等價形式，能幫助同學(xué)易于接受。一致連續(xù)定義：設(shè)函數(shù)〔〕在區(qū)間I〔開、閉、半開都可〕上有定義，假設(shè)對任給正數(shù)ε，總存在某一個正數(shù)δ＝δ〔ε〕，只要，屬于I，且︳－︳＜δ，便有︳〔〕－〔〕︳＜ε，那么稱〔〕在區(qū)間Ｉ上一致連續(xù)。定理可以證明下述四個命題和一致連續(xù)定義是相互等價的：〔1〕假設(shè)對任給正數(shù)ε，總存在某一個正數(shù)k，只要，屬于I，且︳x′－x″︳＜δ，且滿足︳︳＞k，〔≠〕便有︳〔〕－〔〕︳＜ε〔δ＝δ〔ε〕，k=k〔δ〕〕?！?〕對區(qū)間Ｉ中滿足〔-〕=0的任何兩個數(shù)列{}，{}，〔〔〕-〔〕〕=0?！?〕對區(qū)間I中的任何cauchy列{}，{〔〕}也是cauchy列。〔4〕〔x〕在區(qū)間Ｉ＝〔a，b〕內(nèi)連續(xù)，〔a+0〕及〔b-0〕存在且連續(xù)。證明：一致連續(xù)定義命題〔1〕。因為原命題正確，其逆否命題也一定正確，二者是等價的。因此可以用它們的逆否命題來證明。一致連續(xù)定義的逆否命題是：對任給正數(shù)ε，存在某一個正數(shù)δ＝δ〔ε〕，使得對任意，屬于Ｉ，如果︳〔〕－〔〕︳≥ε，就有︳-︳≥δ。命題〔1〕的逆否命題是：對任意正數(shù)ε，存在某一個正數(shù)k，使得對任意，屬于Ｉ，如果︳〔〕－〔〕︳≥ε，就有︳︳≤k。如果由一致連續(xù)定義的逆否命題能得到命題〔1〕的逆否命題，那么命題〔1〕得證。現(xiàn)在證明這個結(jié)論。由于︳-︳≥δ，故存在正整數(shù)k，使得kδ≤︳-︳＜〔k+1〕δ。不妨設(shè)＜，將〔，〕進行〔k+1〕等分，記為〔，〕，〔，〕…〔，〕，其中＝，＝。由上不等式知︳－︳=＜δ，故有︳〔〕－〔〕︳＜ε?！?1，2，…，k+1〕，從而︳︳≤＜≤。根據(jù)定義的逆否命題式知，假設(shè)︳－︳≥δ，那么︳〔〕－〔〕︳≥ε。如果取k=［］＋１，由上述推論知：對任何，屬于Ｉ，當(dāng)︳〔〕－〔〕︳≥ε時，必有︳︳≤≤k。即證明了命題〔1〕。命題〔1〕命題〔2〕利用反證法。設(shè)有數(shù)列{}，{}均屬于I，且〔-〕＝０，但〔〔〕-〔〕〕≠0，即存在某個ε＞0，對任何自然數(shù)j，都有某個＞j，使得︳〔〕－〔〕︳≥ε〔a〕當(dāng)j=1，2，3，…時，得到數(shù)列｛－｝，它是數(shù)列｛－｝的一子列，故〔－〕＝0。由〔1〕知，對任給正數(shù)ε，總存在某一個正數(shù)k，只要，屬于Ｉ，當(dāng)︳︳＞k，〔x′≠x″〕時，有︳〔〕－〔〕︳＜ε。又由〔－〕＝0知，對ε>0，存在有N>0，當(dāng)j>N時，有︳－︳＜故當(dāng)j>k時，由上式及〔a〕式知︳︳＞=k。所以由〔1〕知︳〔〕－〔〕︳＜ε，但這與〔a〕式矛盾，故必有〔〔〕-〔〕〕＝0。命題〔2〕命題〔3〕利用反證法，設(shè){}為區(qū)間I中的某一cauchy列，但{〔〕}不是cauchy列，因此，有某個ε＞０，對任意自然數(shù)k，總存在有>>k及相應(yīng)在{〔〕}中的兩項〔〕，〔〕，使得︳〔〕-〔〕︳≥ε〔b〕當(dāng)k=1，2，3，…時，可得到{}的兩個子列{}，{}，由于{}收斂，所以{}，{}也收斂，且收斂于同一極限，因此〔－〕＝０，由〔2〕知，〔〔〕-〔〕〕=0，但這與(b)式矛盾，故{〔〕}必為cauchy列。命題〔3〕命題〔4〕首先證明〔〕在〔a，b〕內(nèi)連續(xù)，任取∈〔a，b〕，又設(shè){，n}是〔a，b〕內(nèi)任一收斂于的數(shù)列，令Yn=即{}：，，，，…，，，…。那么＝，由題設(shè)知〔〕存在。因此由子列定理知{〔〕}，{〔〕}均收斂于相同的極限，從而〔〕=〔〕=〔〕=〔〕＝〔〕又因為〔〕存在，故由收斂數(shù)列的子列定理有：〔〕=〔〕。所以〔〕＝〔〕，由收斂于x0的數(shù)列{}的任意性，根據(jù)歸結(jié)原理知〔〕＝〔〕，這就是說〔〕在∈〔a，b〕處連續(xù)。又由∈〔a，b〕的任意性知〔〕在〔a，b〕內(nèi)連續(xù)。再證〔a+0〕存在且有限。設(shè){}，{}，為〔a，b〕內(nèi)均收斂于a的任意兩數(shù)列，令=k=1，2，…。那么＝０，從而〔〕存在，所以〔〕=〔〕。又因為〔〕及〔〕也都存在，故〔〕=〔〕=〔〕，〔〕=〔〕=〔〕。從而有〔〕＝〔〕，由歸結(jié)原理知極限〔〕存在且有限，其值為〔a+0〕，同理可證〔b-0〕存在且有限。命題〔4〕一致連續(xù)定義由于〔〕在區(qū)間Ｉ＝〔a，b〕上連續(xù)，且極限〔a+0〕，〔b-0〕存在，因此可補充定義〔a〕=〔a+0〕，〔b〕=〔b-0〕，可得函數(shù)：Ｆ〔〕=那么稱Ｆ〔〕為〔〕在閉區(qū)間[a，b]上的延拓，Ｆ〔〕在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)且一致連續(xù)，即對任意ε＞0，存在有δ＞0，使得只要，∈[a，b]，且︳-︳＜δ，便有︳F〔〕－F〔〕︳＜ε，從而只要，屬于I=〔a，b〕，且︳-︳＜δ，便有︳〔〕－〔〕︳＜ε。本定理實際給出了函數(shù)一致連續(xù)的四個充要條件，因此應(yīng)用上述等價命題可以證明函數(shù)是一致連續(xù)的或不是一致連續(xù)的，且往往比擬簡單。例證明函數(shù)〔〕=在任一有限區(qū)間〔-a，a〕〔a>0〕內(nèi)一致連續(xù)。證明設(shè){}為〔-a，a〕中的任意cauchy列，因此，對任意ε>0，存在N>0，當(dāng)n>m>N>0時有︳-︳＜從而︳〔〕－〔〕︳=︳︳=︳-︳︳︳＜.=ε故{〔〕}也是cauchy列，所以由〔1〕與〔4〕等價知，〔〕＝在任一有限區(qū)間〔-a，a〕〔a>0〕內(nèi)都一致連續(xù)。七函數(shù)列一致收斂性的推廣1預(yù)備知識定義1設(shè){(x)}是實數(shù)集E上的實值函數(shù)列，假設(shè)對任意ε>0，存在δ>0，當(dāng)x∈E，y∈E時，有︳f(x)?f(y)︳<ε〔n=1,2,…〕，那么稱〔〕在E上同等連續(xù)．定義2設(shè)(X,d)是量度量空間，ε是任意正數(shù)，Y?X，假設(shè)任給x∈X，至少存在一個點y∈Y，使d(x,y)<ε，那么稱Y為(X,d)的ε-網(wǎng)，假設(shè)Y是有限的，那么稱Y為(X,d)的有限ε-網(wǎng)．定理1假設(shè)E為緊實數(shù)集，{(x)}是E上一致收斂的連續(xù)函數(shù)列，那么{(x)}在E上同等連續(xù)．顯然，函數(shù)列的同等連續(xù)性推不出函數(shù)列的一致收斂性。2主要結(jié)果定理2假設(shè)函數(shù)列{(x)}在實數(shù)集E上同等連續(xù)，對任意的δ≥0，都存在有限δ-網(wǎng)﹛y1，y2，…yk﹜，函數(shù)列{(x)}在﹛y1，y2，…yk﹜上收斂，那么{(x)}在E上一致收斂．證明因{(x)}在E上同等連續(xù)，對任意ε>0都存在δ>0，取x,y∈E，且︳x?y︳<δ時，有︳(x)?(y)︳<〔n=1,2,…〕．由條件對δ>0，存在有限δ-網(wǎng)﹛y1，y2，…yk﹜，{(x)}收斂，對每個i(i=1,2,L,k)，都存在ni，當(dāng)m,n>ni時，有︳(yi)?(yi)︳<取=max﹛﹜于是m,n>時，對每個i(i=1,2,…k)，有︳(yi)?(yi)︳<，任取x∈E，有一個i，x∈U(yi,)，于是當(dāng)m,n>時，有︳(x)?(x)︳=︳(x)?(yi)+(yi)?(yi)+(yi)?(x)︳≤︳(x)?(yi)︳+︳(yi)?(yi)︳+︳(yi)?(x)︳<ε證畢．推論1函數(shù)列{(x)}在緊實數(shù)集E上同等連續(xù)，{(x)}在E上處處收斂，那么{(x)}在E上一致收斂．推論2E為緊實數(shù)集，E1是E的稠子集，{(x)}在E上同等連續(xù)，在E1上處處收斂，那么{(x)}在E上一致收斂．事實上，因為{(x)}在E上同等連續(xù)，對任意ε>0，都存在δ>0，當(dāng)︳x?y︳<δ，x,y∈E時，︳f(x)?f(y)︳<ε/3〔n=1,2,…〕．由于1E稠密于E，﹛U(x,)﹜是E的開覆蓋及E為緊集，存在有限開覆蓋﹛U(x1,),…U(xk,)﹜，而{(x)}在{x1,…,xk}收斂，由定理2即證．定理3E為緊實數(shù)集，{(x)}在E上連續(xù)，在E的稠子集E0上同等連續(xù)且處處收斂，那么{(x)}在E上一致收斂．證明只須證{(x)}在E上同等連續(xù)，由于{(x)}在E0上同等連續(xù)，對任意ε>0，都存在δ>0，0x,y∈E，當(dāng)︳x?y︳<δ/3時，有︳fn(x)?fn(y)︳<ε．取x′,y′∈E，且︳x′?y′︳<δ/3，因E0在E中稠，存在E0中的數(shù)列{xn},{yn}，使得xn→x′,yn→y′．由于{fn(x)}n在E上連續(xù)，所以對于任意i〔i=1,2,…〕，有fi(xn)→fi(x′)，fi(yn)→fi(y′)，從而︳fi(x′)?fi(y”)︳≤︳fi(xn)?fi(yn)︳≤ε〔當(dāng)n充分大時，︳xn-yn︳<〕．證畢．定義3E為實數(shù)集，{(x)}為E上的函數(shù)列，且處處收斂于f(x)，如果對任意的ε>0及每個自然數(shù)N，都存在E的有限δ－網(wǎng){x1,…,xk}及k個大于N的自然數(shù)n1,…,nk，使︳f(x)?f(x)︳<ε〔xU〔，〕E〕，稱{(x)}＊一致收斂于f(x)．定理4如果{(x)}在實數(shù)集E上＊一致收斂于f(x)，且對于充分大的n，fn(x)在E上連續(xù)，那么f(x)在E上連續(xù)．證明任給一個x0∈E，因〔〕=〔〕對任給的ε>0，存在自然數(shù)N，n>N時，︳〔〕-〔〕︳＜，而{(x)}在E上＊一致收斂于f(x)，所以對上述的ε>0及N，存在有限δ?網(wǎng){x1，…，xk}及k個大于N的自然數(shù)n1，…nk，使︳f(x)?f(x)︳<ε，〔xU〔，〕E〕設(shè)U〔，〕E，那么︳f()-()︳<ε，，由于f(x)的連續(xù)性，存在δ′>0，xU〔，〕時︳f(x)-f()︳<ε，，不妨使U〔，〕U〔，〕，于是x∈U〔，〕時，有︳f〔x〕-f()︳=︳f〔x〕-f(x)+f(x)-f()+f()-f()︳=︳f〔x〕-f(x)|+︳f(x)-f()︳+︳f()-f()︳<3ε證畢．定理5{(x)}在[a,b]上＊一致收斂于f(x)，存在自然數(shù)N，n>N時，fn(x)在[a,b]上可積，那么f(x)在[a,b]上可積．證明對任意的ε>0及自然數(shù)N，都存在有限δ-網(wǎng){x1,…,xk}及k個大于N的自然數(shù)n1,…,nk，有︳f(x)?f(x)︳<ε/[4(ba)]，xU〔，〕[a,b]顯然，可找出k個閉區(qū)間覆蓋[a,b]，且每個閉區(qū)間含于某一個U〔，〕(i=1,2,…,k)中，不妨設(shè)第i個閉區(qū)間是[α,β]，f(x)在[α,β]上可積且︳f(x)?f(x)︳<ε/[4(ba)]，給[α,β]一個分法T，當(dāng)T的模小于δ′時，＜,表示f(x)在[,]上的振幅，即=f(x)-f(x)=Mk-mk，顯然f(x)-ε/[4(b-a)]<f(x)<f(x)+ε/[4(b-a)]，從而有mk-ε/[4(b-a)]<fx+Mk+ε/[4(b-a)]．設(shè)kΩ為f(x)在[,]上的振幅，那么≤+ε/[2(b-a)]，因而≤+ε/[2(b-a)]≤,故f(x)在[α,β]上可積，由積分的可加性，f(x)在[a,b]上也可積．證明必要性：假設(shè)(0)=(0)，對β∈V，作向量β-Aβ，因A(β－Aβ)=Aβ－β=Aβ－Aβ=0，所以β－Aβ∈(0)＝(0)，那么有B(β-Aβ)=0，即Bβ=BAβ，亦即BA=B，類似可得AB=A．充分性：由AB=A,BA=B可得，α∈(0)，由Bα=(BA)α=B(Aα)=0，所以α∈(0)，從而(0)(0)，類似可得(0)(0)，因而有(0)＝(0)．證畢．八一致連續(xù)性的幾點注記數(shù)學(xué)分析中的三個“一致性”(即一致有界,一致連續(xù),一致收斂)的概念很重要,本文就“一致連續(xù)性”進行剖析。為了表達(dá)的方便和具有直觀性起見,只討論一元實值函數(shù)的情形,相應(yīng)的結(jié)果可以推廣到多元實值函數(shù)和復(fù)函數(shù),甚至矢量值函數(shù)和在任意度量空間中取值的函數(shù)上去。定義1設(shè)I是一個區(qū)間(它可以是開的、半開的、閉的,也可以是無界的),函數(shù)f:I→R,如果對任意給定的＞0總存在一個>0,使得但凡x1,x2∈I且︳x1-x2︳<時,恒有︳f(x1)-f(x2)︳<,這時稱f在區(qū)間I上是一致連續(xù)的。定理2設(shè)IR,函數(shù)f:I→R,函數(shù)f在I上一致連續(xù)性的充分必要條件是:對任何滿足條件(xn-yn)=0的序列{xn},{yn},I都有(f(xn)-f(yn))=0由此得出f在I上不是一致連續(xù)的:當(dāng)且只當(dāng)存在一個0>0,對每一個n∈N都可以在I中找到兩點,記為sn和tn,使得雖然有︳sn—tn︳＜,但是︳f(sn)-f(tn)︳≥0。注意函數(shù)f在區(qū)間I上“連續(xù)”和“一致連續(xù)”的重大差異,很顯然的是函數(shù)f在區(qū)間I上的一致連續(xù)性蘊涵著f在I上的連續(xù)性,但是反之未必成立,以下兩例幫助我們理解和弄清這種差異的產(chǎn)生。例1函數(shù)x,x,sinx在[0,+∞)上是一致連續(xù)的。例2函數(shù),n=2,3,4?在[0,∞)上是不一致連續(xù)的。定理3假設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),那么f(x)在[a,b]上一致連續(xù)。命題4f(x)在有限區(qū)間I上一致連續(xù)的充要條件為:任意給定>0,都可將I分成有限多個小區(qū)間,使得f(x)在每個小區(qū)間上任意兩點的函數(shù)值之差都小于。注假設(shè)I為無限區(qū)間,那么命題不真,如例2定理5假設(shè)函數(shù)f(x)在[a,+∞)上連續(xù),且y=f(x)有漸近線y=cx+d,即(f(x)-cx-d)=0,那么f(x)在[a,+∞)上一致連續(xù)。推論1假設(shè)f(x)在(-∞,b)上連續(xù),且y=f(x)有漸近線y=cx+d,那么f(x)在(-∞,b)上一致連續(xù)推論2假設(shè)f(x)在[a,+∞)或(-∞,a]上連續(xù),且f(x)=d,或f(x)=d(d為常數(shù)),那么f(x)在[a,+∞)或(-∞,a]上一致連續(xù)。定理6設(shè)函數(shù)f在區(qū)間I(有限或無限)上滿足條件:對任何x1,x2∈I,都有:︳f(x1)-f(x2)︳≤k︳x1-x2︳(其中k為正常數(shù)),即f在I上滿足Lipschity條件,那么f在I上一致連續(xù)。注:假設(shè)f在I上是凸函數(shù)(即對x1,x2∈I,x1<x2,0<<1,皆有f(x1+(1-)x2)≤f(x1)+(1-)f(x2)),那么f(x)滿足定理6的條件,從而f在I上一致連續(xù)。定理7假設(shè)f(x)是區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù),且f′(x)在I上有界,那么f(x)在I上一致連續(xù)。定理8假設(shè)函數(shù)f在有限區(qū)間(a,b)內(nèi)一致連續(xù),那么f(x)在(a,b)內(nèi)有界。如:f(x)=lnx和g(x)=在(0,1)內(nèi)都不一致連續(xù)。注:假設(shè)將有限區(qū)間改為無窮區(qū)間,那么命題不真如:f(x)=x+sinx在(-∞,+∞)內(nèi)無界,但一致連續(xù)定理9假設(shè)函數(shù)f在有限開區(qū)間(a,b)內(nèi)一致續(xù),那么f(x)與f(x)必存在。注:假設(shè)(a,b)為無窮區(qū)間,那么命題不真如:f(x)=sinx在(-∞,+∞)上一致連續(xù),但sinx與sinx都不存在定理10假設(shè)f(x)在有限開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且存在f(a+0)及f(b-0),那么f(x)在(a,b)內(nèi)一致連續(xù)。注:f(x)=在(0,)內(nèi)一致連續(xù)定理11假設(shè)函數(shù)f(x)在有窮或無窮區(qū)間(a,b)內(nèi)有界、單調(diào)、連續(xù),那么f(x)在(a,b)內(nèi)一致連續(xù)。定理12假設(shè)f(x)在有窮或無窮區(qū)間I上一致連續(xù),有窮或無窮區(qū)間I0I,那么f(x)在I0上一致連續(xù)。推論假設(shè)f(x)在I0上不一致連續(xù),那么f(x)在I(I0)上不一致連續(xù)。定理13假設(shè)f(x)在[a,b]及[b,c]上都一致連續(xù),那么f(x)在[a,c]上一致連續(xù)注:由f(x)在[a,b)及(b,c]上都一致連續(xù),推不出f(x)在[a,b)∪(b,c]上一致連續(xù)。如:f(x)=︳︳在I1=(-1,0)與I2=(0,1)內(nèi)都一致連續(xù),但在I1∪I2內(nèi)不一致連續(xù)。定理14假設(shè)f(x)在開區(qū)間Ii(i=1,2,3,…k)內(nèi)都一致連續(xù),其中任何一個區(qū)間不是另一個的子區(qū)間,且Ii=(a,b),那么f(x)在(a,b)內(nèi)一致連續(xù)。定理15假設(shè)f(x)和g(x)都在有限區(qū)間I內(nèi)一致連續(xù),那么(1)f(x)+g(x)在有限區(qū)間I內(nèi)一致連續(xù);(2)f(x)·g(x)在有限區(qū)間I內(nèi)一致連續(xù)。注1:假設(shè)將有限區(qū)間換成無限區(qū)間,那么(1)真,但(2)不真。如:f(x)=x,g(x)=sinx都在(-∞,+∞)內(nèi)一致連續(xù),但是f(x)·g(x)=x·sinx在(-∞,+∞)內(nèi)不一致連續(xù)。注2:由f(x)和g(x)(g(x)≠0)都在有限區(qū)間I內(nèi)一致連續(xù),推不出在有限區(qū)間I內(nèi)一致連續(xù)。如:f(x)=1,g(x)=x都在(0,1)內(nèi)一致連續(xù),但是=在(0,1)內(nèi)不一致連續(xù)。推論假設(shè)fi(x)(i=1,2,3,….,k)都在開區(qū)間(a,b)內(nèi)一致連續(xù),那么(1)fi(x)在開區(qū)間(a,b)(有限或無限)內(nèi)一致連續(xù),(2)fi(x)在有限開區(qū)間(a,b)內(nèi)一致連續(xù)。關(guān)于復(fù)合函數(shù)的一致連續(xù)性我們有如下的結(jié)論:定理16一致連續(xù)的一致連續(xù)函數(shù)是一致連續(xù)的注1:一致連續(xù)的連續(xù)函數(shù)不一定是一致連續(xù)的注2:連續(xù)的一致連續(xù)函數(shù)不一定是一致連續(xù)的綜上所述,我們一方面可看出函數(shù)一致連續(xù)的實質(zhì),另一方面又可得出一些判斷函數(shù)是否一致連續(xù)的方法。為了加深理解函數(shù)一致連續(xù)性的本質(zhì),特別以以下兩例作為此文的結(jié)束語。例3:函數(shù)f(x)在[0,+∞)上一致連續(xù),且對任何x∈[0,1],有f(x+n)=0(n∈N),證明:f(x)=0由于f(x)在[0,+∞)上一致連續(xù),故對任何>0,存在>0,但凡x,y∈[0,+∞)且︳x-y︳<時,便有︳f(x)-f(y)︳<取定自然數(shù)k充分大使得<,作xi=,i=0,1,2,?,k,也就是說x0,x1,?,xk將[0,1]分成k個小區(qū)間,每個小區(qū)間的長度小于;對任何的x≥1,這時x-[x]∈[0,1),必有i∈{0,1,2,?,k},使得xi滿足︳x-[x]-xi︳<;對每一個xi,由于f(xi+n)=0,因此存在自然數(shù)N,但凡n>N時,有︳f(xi+n)︳<,i=0,1,2,?,k;于是,當(dāng)x≥N+1時,︳f(x)︳=︳f(xi+[x])+f(x)-f(xi+[x])︳≤︳f(xi+[x])︳+︳f(x)-f(xi+[x])︳<+=。這樣f(x)=0。例4證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)的充分必要條件是:對任意的>0,存在自然數(shù)N,使得當(dāng)x,y∈I,x≠y,且︳︳>N時,恒有︳f(x)-f(y)︳<E。證明:必要性設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù),對任意給定的>0,存在>0,只要x,y∈I使得︳x-y︳≤便有︳f(x)-f(y)︳<;現(xiàn)在取自然數(shù)N>,I中的x,y適合x>y且滿足︳︳>N(1)如果︳f(x)-f(y)︳≥,那么必有x-y>,令k=【】,這時1≤k=【】≤<2·-1,于是︳f(x)-f(y)︳≤︳f(y)-f(y+)︳+︳f(y+)-f(y+2)︳+?+︳f(y+k)-f(x)︳<(k+1)≤2··<N·(x-0)這與(1)式矛盾!這說明,一旦(1)式成立,必然有︳f(x)-f(y)︳<。充分性設(shè)對任意給定的>0,存在自然數(shù)N,使得只要x,y∈I,x≠y且滿足︳︳>N,便有︳f(x)-f(y)︳<;取=,假設(shè)︳x-y︳<時,有︳f(x)-f(y)︳≥,于是︳︳=>N=這時必有︳f(x)-f(y)︳<。得出矛盾!證畢。九關(guān)于一致連續(xù)性的幾個問題函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)列的一致收斂性問題往往是數(shù)學(xué)分析中的重點，又是難點，初學(xué)者不易掌握，關(guān)于函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間I上一致收斂于和函數(shù)與函數(shù)列在區(qū)間I上一致收斂于極限函數(shù)的分析定義見【1】，函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性與其局部和函數(shù)列{}的一致收斂性是等價的，冪級數(shù)作為特殊的函數(shù)項級數(shù)有其特殊性質(zhì)。證明它們一致收斂的常用方法是：在和函數(shù)或極限函數(shù)可以求出的情況下，可以用定義。利用余項的一致收斂性：在區(qū)間I上一致收斂的充要條件是=在I一致收斂于0，即=0；在I上一致收斂于德充要條件是=0.利用Cauchy準(zhǔn)那么〔函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)列均可用〕。利用函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的M判別法〔Weierstrass判別法〕。利用函數(shù)項級數(shù)一致收斂的Dimchlet判別法和Abel判別法。利用結(jié)論：如果函數(shù)列在【a，b】上收斂于，且每一在【a，b】上滿足Lipschitz條件，即存在M＞0，使得≤M，，【a，b】，n=1，2，…，那么在【a，b】上一致收斂于。利用結(jié)論：如果可微函數(shù)列在【a，b】上收斂于，且在【a，b】一致有界，那么在【a，b】上一致收斂于。利用Dili定理〔函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)列均可用〕。利用結(jié)論：設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑R＞0，那么當(dāng)〔或〕收斂時，在【0，R】〔或【-R，0】〕上一致收斂；在【-R，R】內(nèi)一致收斂當(dāng)且僅當(dāng)在【-R，R】內(nèi)一致收斂。以上證明都比擬簡單，我們只證明6、7.對于任意＞0，取=，那么當(dāng)＜時，＜，n=1，2，…。取自然數(shù)＞，令，=1，2，…，，那么由于，故存在N，當(dāng)m，n＞N時，＜，=1，2，…，。對任意必有，使≤＜。由Cauchy準(zhǔn)那么，一致收斂，6得證。當(dāng)一致有界時，由Lagrange定理可看出，每一在【a，b】上滿足Lipschitz條件。故由6直接得到7.注1方法2實質(zhì)上是用求極限的方法把一致收斂性問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列極限的問題。注2Cauchy準(zhǔn)那么和M判別法是較為實用和方便的一致收斂判別法，一般優(yōu)先考慮使用，如果能用M判別法判定一致收斂，那么必是絕對收斂的，故M判別法對條件收斂的函數(shù)項的數(shù)失效。注3函數(shù)項級數(shù)一致收斂的M判別法不能直接推廣到函數(shù)列上去，由條件=，，︱︱≤〔n=1，2，…〕且數(shù)列{}收斂不能推出{}在I上一致收斂。十關(guān)于函數(shù)列一致收斂性的一點注記1引言設(shè)f1(x),f2(x),…fn(x),…是一列定義在同一數(shù)集I上的函數(shù),稱為定義在I上的函數(shù)列.設(shè){un(x)}是定義在數(shù)集I上的一個函數(shù)列,表達(dá)式u1(x)+u2(x)+?+un(x)+?,x∈I稱為定義在I上的函數(shù)項級數(shù),簡記為un(x).設(shè)數(shù)集I為函數(shù)項級數(shù)un(x)的收斂域,那么對每個x∈I,記S(x)=un(x),稱S(x)為函數(shù)項級數(shù)un(x)的和函數(shù).定義1設(shè)函數(shù)列{fn(x)}與函數(shù)f(x)定義在同一數(shù)集I上,假設(shè)對任給的正數(shù)ε總存在某一自然數(shù)N使得當(dāng)n>N時,對一切x∈I,都有|fn(x)-f(x)|<ε,那么稱函數(shù)列{fn(x)}在I上一致收斂于f(x).定義2設(shè){Sn(x)}是函數(shù)項級數(shù)un(x)的局部和函數(shù)列,假設(shè){Sn(x)}在數(shù)集I上一致收斂于函數(shù)S(x),那么稱函數(shù)項級數(shù)un(x)在I上一致收斂于S(x)。Dini定理函數(shù)列{fn(x)}在[a,b]上收斂于連續(xù)f(x),每個fn(x)在[a,b]上連續(xù),且對任意x∈[a,b],數(shù)列{fn(x)}單調(diào),那么{fn(x)}在[a,b]上一致收斂.函數(shù)列(函數(shù)項級數(shù))一致收斂性的判別方法很多,本文用定義給出一個有用的結(jié)論,使得對函數(shù)列(函數(shù)項級數(shù))一致收斂性的判別簡單化.2主要結(jié)果定理1設(shè)函數(shù)列{fn(x)}滿足(1)fn(x)收斂于連續(xù)函數(shù)f(x)(2)對于任意n∈N,fn(x)為[a,b]上的單調(diào)函數(shù)那么fn(x)在[a,b]上一致收斂f(x).證明由fn(x)收斂于f(x),且f(x)為[a,b]上的連續(xù)函數(shù),那么f(x)在[a,b]上一致連續(xù),在[a,b]上任取m-1個點,a=x0<x1<?<xm-1<xm=b。使得它們把[a,b]分割成m個小區(qū)間△i=[xi-1,xi]且f(x)在△i上的振幅小于由fn(x)收斂于f(x),那么對于任意xi(i=0,1,2,?,m),對于任意ε>0,存在Ni,取N=max{N0,N1,?,Nm},當(dāng)n>N時,有|fn(xi)-f(xi)|<(對于任意i=0,1,?,m)又由fn(x)為[a,b]上的單調(diào)函數(shù),那么有|fn(x)-f(x)|≤max{|fn(xi-1-f(x)|,fn(xi)-f(x)},x∈△i當(dāng)n>N時,對于任意x∈[a,b],存在△i,使得x∈△i,有|fn(xi)-f(x)|≤|fn(xi)-f(xi)|+|f(xi)-f(x)|<+=ε1同理|fn(xi-1)-f(x)|<ε,故|fn(x)-f(x)|<ε對任意的x∈[a,b]都成立.故fn(x)在[a,b]上一致收斂于f(x).注:定理1與Dini定理的區(qū)別在于定理1的條件是函數(shù)單調(diào),Dini定理的條件那么是數(shù)列單調(diào).對于函數(shù)項級數(shù)un(x),我們也有類似的結(jié)果(證明與定理1類似,略)定理1′設(shè)un(x)在[a,b]上連續(xù)且滿足:(1)uk(x)在[a,b]收斂于連續(xù)函數(shù)s(x);(2)對于任意n∈N,函數(shù)un(x)在[a,b]上單調(diào),那么un(x)在[a,b]上一致收斂.例試討論函數(shù)序列fn(x)=n〔〕在區(qū)間[1,a]上的一致收斂性.解當(dāng)1≤x≤a時,fn(x)=〔〕=n(-1)=lnx而lnx在[a,b]上連續(xù),因為對于任意n∈N,fn(x)在[a,b]上為單調(diào)函數(shù)1由定理1可得fn(x)在[1,a]上一致收斂.由例題我們可以看出用定理1來判別一致收斂性十分簡便.3結(jié)束語本文主要是通過定義給出一個新的判別法,結(jié)合Dini定理我們會發(fā)現(xiàn),只要fn(x)收斂于連續(xù)函數(shù)f(x),不管是函數(shù)單調(diào)還是數(shù)列單調(diào),fn(x)在[a,b]上都一致收斂于f(x),故對于判別函數(shù)列(函數(shù)項級數(shù))一致收斂性非常有用。十一數(shù)學(xué)分析中“一致收斂”概念的推廣及其應(yīng)用熟知,函數(shù)項級數(shù)Σun(x)的一致收斂性是保證其和函數(shù)具有連續(xù)性、可微性、可積性的重要條件,但又只是充分條件,對含參量無窮積分f(x,y)同樣如此〔1〕.由于一致收斂條件較苛刻,因此考慮各種形式的推廣是數(shù)學(xué)分析中一個饒有興趣的問題.本文引入函數(shù)項級數(shù)和含參量無窮積分次一致收斂的概念,并以此概念為根底,推廣了數(shù)學(xué)分析中的有關(guān)結(jié)論.設(shè)函數(shù)項級數(shù)與含參量非正常積分分別為:un(x)=u1(x)+u2(x)+?+un(x)+?(1)I(x)=f(x,y)dy,x∈〔a,b〕(2)函數(shù)項級數(shù)(1)的局部和記為Sn(x)=uk(x),n=1,2,3,?定義1設(shè)un(x)定義于區(qū)間I,假設(shè)對任意ε>0及自然數(shù)m,存在有限個開區(qū)間I1,I2,?,Ij覆蓋了I,存在一組大于m的自然數(shù)Ni,使得n≥Ni,x∈Ii∩I,i=1,2,?,j,有︳rn(x)︳=un(x)<ε那么稱級數(shù)(1)在I上次一致收斂.定義2設(shè)含參量非正常積分(2)定義于I,假設(shè)對任意ε>0及m≥c,存在有限個開區(qū)間I1,I2,?,Ij覆蓋了I,存在一組大于m的數(shù)Ni,使n≥Ni,x∈Ii∩I,i=1,2,?,j,有︳f(x,y)dy-f(x,y)dy︳<ε那么稱含參量非正常積分(2)在I上次一致收斂.注:由定義可知:一致收斂次一致收斂逐點收斂.例如,級數(shù)Σ在(0,1)非一致收斂,但由定理1可知級數(shù)是次一致收斂的,因為其和函數(shù)在(0,1)連續(xù).定理1〔2〕設(shè)un(x)在I上連續(xù),且(1)的和函數(shù)是f(x),那么f(x)在I上連續(xù)的充要條件是:級數(shù)(1)在I上次一致收斂.定理2設(shè)f(x,y)為〔a,b〕×〔c,+∞)上的連續(xù)函數(shù),那么含參量非正常積分(2)定義的函數(shù)I(x)在〔a,b〕上連續(xù)的充要條件是含參量非正常積分(2)在〔a,b〕上次一致收斂.證明必要性:設(shè)I(x)在〔a,b〕上連續(xù),x0∈〔a,b〕,對任意的ε>0,存在δ1>0,當(dāng)|x-x0|<δ1時,有|I(x)-I(x0)|=︳f(x,y)dy-f(x0,y)dy︳<,又因f(x,y)dy在〔a,b〕上收斂,所以對任意的m≥c,存在N0>m,當(dāng)n>N0時︳f(x0,y)dy-f(x0,y)dy︳<由于f(x,y)在〔a,b〕×〔c,+∞)上連續(xù),所以f(x,y)dy在〔a,b〕上也連續(xù),故存在0<δ<δ1,當(dāng)|x-x0|<δ時,有︳f(x,y)dy-f(x0,y)dy︳<,于是︳f(x,y)dy-f(x,y)dy︳≤︳f(x,y)dy-f(x0,y)dy︳+︳f(x0,y)dy-f(x,y)dy︳+︳f(x0,y)dy-f(x0,y)dy︳<ε這說明對任意x0∈〔a,b〕,存在x0的鄰域Ix0,當(dāng)x∈Ix0時,有︳f(x,y)dy-f(x,y)dy︳<ε當(dāng)x0取遍〔a,b〕,所得開區(qū)間族{Ix}覆蓋了〔a.