高中數(shù)學(xué)選擇性必修三課件第七章 隨機(jī)變量及其分布章末復(fù)習(xí)課(1)(人教A版)_第1頁
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章末復(fù)習(xí)課第七章隨機(jī)變量及其分布一、條件概率與全概率公式二、離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差三、正態(tài)分布與二項(xiàng)分布、超幾何分布的綜合應(yīng)用內(nèi)容索引知識網(wǎng)絡(luò)隨堂演練知識網(wǎng)絡(luò)一、條件概率與全概率公式2.掌握條件概率與全概率運(yùn)算,重點(diǎn)提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).例1采購員要購買10個一包的電器元件.他的采購方法是:從一包中隨機(jī)抽查3個,如果這3個元件都是好的,他才買下這一包.假定含有4個次品的包數(shù)占30%,而其余包中各含1個次品.求:(1)采購員拒絕購買的概率;解設(shè)B1=“取到的是含4個次品的包”,B2=“取到的是含1個次品的包”,由全概率公式得到(2)在采購員拒絕購買的條件下,抽中的一包中含有4個次品的概率.(2)在采購員拒絕購買的條件下,抽中的一包中含有4個次品的概率.反思感悟條件概率的計(jì)算要注意以下三點(diǎn):(1)明白是在誰的條件下,計(jì)算誰的概率.(2)明確P(A),P(B|A)以及P(AB)三者間的關(guān)系,實(shí)現(xiàn)三者間的互化.√解析記事件A為“第1球投進(jìn)”,事件B為“第2球投進(jìn)”,由全概率公式可得二、離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差1.均值和方差都是隨機(jī)變量的重要的數(shù)字特征,方差是建立在均值的基礎(chǔ)之上,它表明了隨機(jī)變量所取的值相對于它的均值的集中與離散程度,二者的聯(lián)系密切,在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中的應(yīng)用比較廣泛.2.掌握離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差,重點(diǎn)提升邏輯推理與運(yùn)算的核心素養(yǎng).1.均值和方差都是隨機(jī)變量的重要的數(shù)字特征,方差是建立在均值的基礎(chǔ)之上,它表明了隨機(jī)變量所取的值相對于它的均值的集中與離散程度,二者的聯(lián)系密切,在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中的應(yīng)用比較廣泛.2.掌握離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差,重點(diǎn)提升邏輯推理與運(yùn)算的核心素養(yǎng).角度1二項(xiàng)分布的均值、方差例2某廠有4臺大型機(jī)器,在一個月中,一臺機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障,且每臺機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的,出現(xiàn)故障時需1名工人進(jìn)行維修,每臺機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為

.(1)問該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺機(jī)器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進(jìn)行維修的概率不小于90%?解設(shè)“機(jī)器出現(xiàn)故障”為事件A,故X的分布列為設(shè)該廠有n名工人,則“每臺機(jī)器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進(jìn)行維修”為X≤n,X=0,X=1,X=2,…,X=n,這n+1個互斥事件的和事件,則(2)已知1名工人每月只有維修1臺機(jī)器的能力,每月需支付給每位工人1萬元的工資,每臺機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修,能使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤,否則將不產(chǎn)生利潤.若該廠現(xiàn)有2名工人,求該廠每月獲利的均值.解設(shè)該廠獲利為Y萬元,則Y的所有可能取值為18,13,8,故Y的分布列為角度2超幾何分布的均值、方差例3某學(xué)院為了調(diào)查本校學(xué)生2021年4月“健康上網(wǎng)”(健康上網(wǎng)是指每天上網(wǎng)不超過兩個小時)的天數(shù)情況,隨機(jī)抽取了40名本校學(xué)生,統(tǒng)計(jì)他們在該月30天內(nèi)健康上網(wǎng)的天數(shù),并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組:[0,5],(5,10],(10,15],…,(25,30],由此畫出樣本的頻率分布直方圖,如圖所示.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求這40名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù);解由圖可知,健康上網(wǎng)天數(shù)未超過20天的頻率為(0.01+0.02+0.03+0.09)×5=0.15×5=0.75,所以健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的學(xué)生人數(shù)是40×(1-0.75)=40×0.25=10.(2)現(xiàn)從這40名學(xué)生中任取2名,設(shè)Y為取出的2名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù),求Y的分布列及均值E(Y).解隨機(jī)變量Y的所有可能取值為0,1,2,且Y服從超幾何分布.所以Y的分布列為反思感悟求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義,寫出X可能的全部取值.(2)求X取每個值的概率或求出函數(shù)P(X=k).(3)寫出X的分布列.(4)由分布列和均值的定義求出E(X).(5)由方差的定義,求D(X),若X~B(n,p),則可直接利用公式求,E(X)=np,D(X)=np(1-p).跟蹤訓(xùn)練2

(1)設(shè)X服從兩點(diǎn)分布,分布列為

,其中p∈(0,1),則A.E(X)=p,D(X)=p3B.E(X)=p,D(X)=p2C.E(X)=q,D(X)=q2D.E(X)=1-p,D(X)=p-p2X01Ppq√解析X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=q=1-p,D(X)=p(1-p)=p-p2.(2)(多選)在一個袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個黑球,4個白球,現(xiàn)從中任取4個小球,設(shè)取出的4個小球中白球的個數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是√B.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布C.隨機(jī)變量X服從超幾何分布√√解析由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布,故B錯誤,C正確;隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,4,三、正態(tài)分布與二項(xiàng)分布、超幾何分布的綜合應(yīng)用解答正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題,關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化,同時注意以下兩點(diǎn):(1)注意“3σ”原則,記住正態(tài)總體在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率.(2)注意數(shù)形結(jié)合.由于正態(tài)分布密度曲線具有完美的對稱性,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想,因此運(yùn)用對稱性和結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點(diǎn)問題.例4某市為了解本市1萬名小學(xué)生的普通話水平,在全市范圍內(nèi)進(jìn)行了普通話測試,測試后對每個小學(xué)生的普通話測試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)總體(這1萬名小學(xué)生普通話測試成績)服從正態(tài)分布N(69,49).(1)從這1萬名小學(xué)生中任意抽取1名小學(xué)生,求這名小學(xué)生的普通話測試成績在(62,90)內(nèi)的概率;解因?yàn)閷W(xué)生的普通話測試成績Y服從正態(tài)分布N(69,49),所以μ=69,σ=7,(2)現(xiàn)在從總體中隨機(jī)抽取12名小學(xué)生的普通話測試成績,對應(yīng)的數(shù)據(jù)如下:50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.從這12個數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取4個,記X表示大于總體平均分的個數(shù),求X的方差.參考數(shù)據(jù):若Y~N(μ,σ2),則P(μ-σ<Y<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<Y<μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ<Y<μ+3σ)=0.9973.解因?yàn)榭傮w平均分為μ=69,所以這12個數(shù)據(jù)中大于總體平均分的有3個,所以X的可能取值為0,1,2,3,反思感悟利用正態(tài)曲線解決實(shí)際性問題時常利用其對稱性解題,并注意借助[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]三個區(qū)間內(nèi)的概率值求解,并注意正態(tài)曲線與頻率分布直方圖的結(jié)合.跟蹤訓(xùn)練3為提高城市居民生活幸福感,某城市公交公司大力確保公交車的準(zhǔn)點(diǎn)率,減少居民侯車時間,為此,該公司對某站臺乘客的候車時間進(jìn)行統(tǒng)計(jì).乘客候車時間受公交車準(zhǔn)點(diǎn)率、交通擁堵情況、節(jié)假日人流量增大等情況影響.在公交車準(zhǔn)點(diǎn)率正常、交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的情況下,乘客候車時間X滿足正態(tài)分布N(μ,σ2).在公交車準(zhǔn)點(diǎn)率正常、交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的情況下,調(diào)查了大量乘客的候車時間,經(jīng)過統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)在直方圖各組中,以該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組的各個值,試估計(jì)μ,σ2的值;解μ=0.1×2+0.2×6+0.4×10+0.2×14+0.1×18=10,σ2=s2=2×(82×0.1+42×0.2)+(10-10)2×0.4=19.2.(2)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,發(fā)生概率低于千分之三的事件叫小概率事件,一般認(rèn)為,在正常情況下,一次試驗(yàn)中,小概率事件是不能發(fā)生的.在交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的某天,隨機(jī)調(diào)查了該站的10名乘客的候車時間,發(fā)現(xiàn)其中有3名乘客候車時間超過15分鐘,試判斷該天公交車準(zhǔn)點(diǎn)率是否正常,說明理由.解μ+σ=10+4.38=14.38,設(shè)“3名乘客候車時間超過15分鐘”的事件為A,故該天公交車準(zhǔn)點(diǎn)率正常.隨堂演練1.設(shè)X~N(10,0.8),則D(2X+1)等于A.1.6B.3.2C.6.4D.12.81234√解析∵X~N(10,0.8),∴D(X)=0.8,∴D(2X+1)=4D(X)=3.2.2.甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽,采取五局三勝制(不考慮平局,先贏得三場的人為獲勝者,比賽結(jié)束).根據(jù)前期的統(tǒng)計(jì)分析,得到甲在和乙的第一場比賽中,取勝的概率為0.5,受心理方面的影響,前一場比賽結(jié)果會對甲的下一場比賽產(chǎn)生影響,如果甲在某一場比賽中取勝,則下一場取勝率提高0.1,反之,降低0.1.則甲以3∶1取得勝利的概率為A.0.162B.0.18C.0.168D.0.174√1234解析設(shè)甲在第一、二、三、四局比賽中獲勝分別為事件A1,A2,A3,A4,1234∴甲以3∶1取得勝利的概率為=0.5×0.6×0.3×0.6+0.5×0.4×0.5×0.6+0.5×0.4×0.5×0.6=0.174.3.在一個質(zhì)地均勻的小正方體的六個面中,三個面標(biāo)0,兩個面標(biāo)1,一個面標(biāo)2,將這個小正方體連續(xù)擲兩次,若向上的數(shù)字的乘積為偶數(shù),則該乘積為非零偶數(shù)的概率為1234√解析兩次數(shù)字乘積為偶數(shù),可先考慮其反面——只需兩次均出現(xiàn)1向上,123412344.一個盒子中有大小、形狀完全相同的m個紅球和6個黃球.從盒中每次隨機(jī)取出一個球,記下顏色后放回,共取5次,設(shè)取到紅球的個數(shù)為X,若E(X)=

,則m的值為______.14備用工具&資料解析兩次數(shù)字乘積為偶數(shù),可先考慮其反面——只需兩次均出現(xiàn)1向上,1234解析設(shè)甲在第一、二、三、四局比賽中獲勝分別為事件A1,A2,A3,A4,1234∴甲以3∶1取得勝利的概率為=0.5×

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