中職高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(全國適用)專題三十二平面向量的綜合應(yīng)用(原卷版+解析)

專題三十二平面向量的綜合應(yīng)用思維導(dǎo)圖知識要點知識要點1．向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、長度、夾角等問題．a(chǎn)＝(，)，b＝(，)．(1)證明線段平行或點共線問題，常用共線向量定理：a∥b(b≠0)?a＝λb?－＝0.(2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)：a⊥b?a·b＝0?＝0(a，b均為非零向量).2．向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點題型．解答此類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、向量模、向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外，還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識．求夾角問題，利用夾角公式：cosθ＝(θ為a與b的夾角)．3．向量在解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述．它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識來解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體．已知點A(，)，B(，)．(1)求距離問題，用兩點間的距離公式：(2)求中點，用中點公式：線段AB的中點坐標(biāo)為典例解析典例解析【例1】在△ABO中，，AD與BC相交于點M，設(shè)＝a，＝b.試用a和b表示向量【變式訓(xùn)練1】設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，D為AB的中點，且＝0，則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為()A．3B．4C．5D．6【例2】已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝，求證：a⊥b；(2)設(shè)c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．【變式訓(xùn)練2】關(guān)于平面向量a，b，c，有下列三個命題：①若a·b＝a·c，則b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，則k＝－3；③非零向量a和b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為60°.其中真命題的序號為________．(寫出所有真命題的序號)【例3】已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|的值．【變式訓(xùn)練3】已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a＝(1，2)，b＝(－2，4)，c＝(－2，m)．(1)若a∥(b＋c)，求|c|；(2)若(ka＋b)⊥(2a－b)，求k的值．【例4】如圖所示，已知＝(0，2)，＝(2，0)，D，E分別是AC，BC邊上的中點，且點D的坐標(biāo)為(－1，0)．求：(1)點E的坐標(biāo)；(2)的值；(3)夾角〈〉的大?。咀兪接?xùn)練4】已知△ABC的三個頂點分別為A(6，3)，B(9，3)，C(3，6)，求和∠BAC的度數(shù)．高考鏈接高考鏈接1．(四川省2017年)已知平面向量a＝(1，m)，b＝(－2，1)且a⊥b，則m＝________.2．(四川省2015年)已知向量a＝(2，3)，b＝(2，－10)．(1)求2a＋b；(2)求證：a⊥(2a＋b)．3．(四川省2016年)已知向量a＝，b＝，且ab.同步精練同步精練選擇題一、選擇題1．已知向量a＝(3，1)，b＝(－2，5)，則3a－2b等于()A．(13，－7)B．(5，－7)C．(5，13)D．(13，13)2．若a，b是向量，則“a＝b”是“|a|＝|b|”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．已知向量a＝(－1，2)，若|b|＝，且a⊥b，則b的坐標(biāo)是()A．(－1，2)或(1，－2)B．(－1，2)或(2，1)C．(－2，－1)或(2，1)D．(1，－2)或(2，1)4．a(chǎn)＝(1，2)，b＝(x，1)，m＝a＋2b，n＝2a－b且m⊥n，則x＝()A．2B.C.D．5．設(shè)非零向量a與b的方向相反，那么下面給出的命題中，正確的個數(shù)是()①a＋b＝0;②a－b的方向與a的方向一致；③a＋b的方向與a的方向一致；④若a＋b的方向與b一致，則|a|<|b|.A．1B．2C．3D．46．設(shè)向量a＝(2，1)，b＝(2，3)．若向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線，則λ＝________.7．在△ABC中，有命題①；②；③若，則△ABC為等腰三角形；④若>0，則△ABC為銳角三角形．上述命題正確的是_______．8．若向量＝－4i＋3j，＝－i－2j，則＝________.9．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝30°，則(2a＋b)·b＝________.10．設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝，|a－b|＝，則求a·b的值．

11．如圖△ABC中，AD是BC邊的中線，∠BAC＝120°，且(1)求△ABC的面積；(2)若AB＝5，求AD的長．12．已知A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．(1)求證⊥；(2)若四邊形ABCD是矩形，試確定點C的坐標(biāo)，并求該矩形的兩對角線所成的銳角的余弦值．13．已知向量a，b是非零向量，且滿足|a|＝2，(a－b)·(a＋b)＝1.(1)求；(2)若a·b＝－，求a與b的夾角θ.專題三十二平面向量的綜合應(yīng)用思維導(dǎo)圖知識要點知識要點1．向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、長度、夾角等問題．a(chǎn)＝(，)，b＝(，)．(1)證明線段平行或點共線問題，常用共線向量定理：a∥b(b≠0)?a＝λb?－＝0.(2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)：a⊥b?a·b＝0?＝0(a，b均為非零向量).2．向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點題型．解答此類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、向量模、向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外，還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識．求夾角問題，利用夾角公式：cosθ＝(θ為a與b的夾角)．3．向量在解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述．它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識來解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體．已知點A(，)，B(，)．(1)求距離問題，用兩點間的距離公式：(2)求中點，用中點公式：線段AB的中點坐標(biāo)為典例解析典例解析【例1】如圖所示，在△ABO中，，AD與BC相交于點M，設(shè)＝a，＝b.試用a和b表示向量答案：解：設(shè)＝m＋n，則＝m＋n－＝(m－1)＋n＝－＋又∵A，M，D三點共線，∴共線．∴存在實數(shù)t，使得，即(m－1)＋n＝t∴(m－1)＋n＝－t＋t.∴消去t得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①又∵＝m＋n－＝＋n＝－＝－＋又∵C，M，B三點共線，∴共線．∴存在實數(shù)t1，使得＝t1，∴＋n＝t1，∴消去t1得4m＋n＝1.②由①②得m＝，n＝，∴＝＋.【變式訓(xùn)練1】設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，D為AB的中點，且＝0，則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為(B)A．3B．4C．5D．6【提示】∵D為AB的中點,則又∴∴O為CD的中點,又∵D為AB中點，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，則＝4.【例2】已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝，求證：a⊥b；(2)設(shè)c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．答案：(1)證明：由題意得|－|2＝2，即(－)2＝·－2·＋·＝2.又2＝2＝||2＝||2＝1，∴2－2＝2，即·＝0.故⊥.【思路點撥】(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．【變式訓(xùn)練2】關(guān)于平面向量a，b，c，有下列三個命題：①若a·b＝a·c，則b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，則k＝－3；③非零向量a和b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為60°.其中真命題的序號為___②_____．(寫出所有真命題的序號)【提示】①a·b＝a·c時，a·(b－c)＝0，∴a⊥(b－c)，不一定有b＝c，錯誤；②a＝(1，k)，b＝(－2，6)，由a∥b知，1×6－(－2k)＝0，∴k＝－3，正確；③非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則三向量a，b，a－b構(gòu)成正三角形．由向量加法的平行四邊形法則知，a＋b平分∠BAC，∴a＋b與a的夾角為30°，錯誤．【例3】已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|的值．答案：解：(1)若a⊥b，則a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，整理得－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.【思路點撥】已知兩向量垂直就是利用其數(shù)量積為零列出方程，通過解方程求出其中的參數(shù)值．在計算數(shù)量積時要注意方法的選擇：一種方法是把互相垂直的兩個向量的坐標(biāo)求出來，再計算數(shù)量積；另一種方法是根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算法則進(jìn)行整體計算，把這個數(shù)量積的計算化歸為基本的向量數(shù)量積的計算．【變式訓(xùn)練3】已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a＝(1，2)，b＝(－2，4)，c＝(－2，m)．(1)若a∥(b＋c)，求|c|；(2)若(ka＋b)⊥(2a－b)，求k的值．解：(1)∵b＝(－2，4)，c＝(－2，m)，∴b＋c＝(－4，4＋m)；∵a∥(b＋c)，∴－8－(4＋m)＝0，∴m＝－12，∴c＝(－2，－12)，∴即|c|＝(2)由已知ka＋b＝(k－2，2k＋4)，2a－b＝(4，0)，∴4(k－2)＝0，∴k＝2.【例4】如圖所示，已知＝(0，2)，＝(2，0)，D，E分別是AC，BC邊上的中點，且點D的坐標(biāo)為(－1，0)．求：(1)點E的坐標(biāo)；(2)的值；(3)夾角〈〉的大小．答案：(1)∵D，E分別是AC，BC邊上的中點，∴[(2，0)－(0，2)]＝(1，－1)，又，且點D的坐標(biāo)為(－1，0)，∴＝(1，－1)＋(－1，0)＝(0，－1)，即點E的坐標(biāo)為(0，－1)．(2)由(1)知＝(0，－1)－(0，2)＝(0，－3)，∴(3)由(1)知，∴cos〈〉＝故〈〉的大小為45°.【變式訓(xùn)練4】已知△ABC的三個頂點分別為A(6，3)，B(9，3)，C(3，6)，求和∠BAC的度數(shù)．答案：解：∵＝(9，3)－(6，3)＝(3，0)，＝(3，6)－(6，3)＝(－3，3)，且∴＝(3，0)×(－3，3)＝3×(－3)＋0×3＝－9.cos∠BAC＝又∵0<〈〉<π，∠BAC＝135°.高考鏈接高考鏈接1．(四川省2017年)已知平面向量a＝(1，m)，b＝(－2，1)且a⊥b，則m＝____2____.【提示】由a⊥b得1×(－2)＋m×1＝0，解得m＝2.2．(四川省2015年)已知向量a＝(2，3)，b＝(2，－10)．(1)求2a＋b；(2)求證：a⊥(2a＋b)．解：(1)由題意知，a＝(2，3)，b＝(2，－10)，則2a＋b＝2(2，3)＋(2，－10)＝(6，－4)．(2)由(1)可知，a·(2a＋b)＝2×6＋3×(－4)＝0，所以a⊥(2a＋b)．3．(四川省2016年)已知向量a＝，b＝，且ab.(1)求sinθ；(2)若0＜θ＜，求sin－cos(π－θ)．解：(1)由題意知，∵a＝，b＝，且ab.∴3×(－1)＋sin×10cos＝0，即，5sinθ＝3，∴sinθ＝(2)若0＜θ＜，則cosθ＝∴sin－cos(π－θ)＝＋cosθ＝2cosθ＋sinθ＝2×同步精練同步精練選擇題一、選擇題1．已知向量a＝(3，1)，b＝(－2，5)，則3a－2b等于(A)A．(13，－7)B．(5，－7)C．(5，13)D．(13，13)2．若a，b是向量，則“a＝b”是“|a|＝|b|”的(A)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．已知向量a＝(－1，2)，若|b|＝，且a⊥b，則b的坐標(biāo)是(C)A．(－1，2)或(1，－2)B．(－1，2)或(2，1)C．(－2，－1)或(2，1)D．(1，－2)或(2，1)4．a(chǎn)＝(1，2)，b＝(x，1)，m＝a＋2b，n＝2a－b且m⊥n，則x＝(D)A．2B.C.D．【提示】∵a＝(1，2)，b＝(x，1)，∴m＝a＋2b＝(1＋2x，4)，n＝2a－b＝(2－x，3)，又∵m⊥n，∴m·n＝(1＋2x)×(2－x)＋3×4＝0，解得x＝－2或x＝，故選D.5．設(shè)非零向量a與b的方向相反，那么下面給出的命題中，正確的個數(shù)是(B)①a＋b＝0;②a－b的方向與a的方向一致；③a＋b的方向與a的方向一致；④若a＋b的方向與b一致，則|a|<|b|.A．1B．2C．3D．46．設(shè)向量a＝(2，1)，b＝(2，3)．若向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線，則λ＝________.【提示】λa＋b＝λ(2，1)＋(2，3)＝(2λ＋2，λ＋3)，λa＋b與c共線，(2λ＋2)·(－7)＝(λ＋3)·(－4)，－14λ－14＝－4λ－12，－10λ＝2，λ＝7．在△ABC中，有命題①；②；③若，則△ABC為等腰三角形；④若>0，則△ABC為銳角三角形．上述命題正確的是__②③______．【提示】①，故①項錯誤；②，故②正確；③，則，即△ABC為等腰三角形，故③正確；④cosA>0，則cosA>0，∠A是銳角，但不能確定∠B，∠C是否是銳角，因此不能判定△ABC是否是銳角三角形，故④錯誤．8．若向量＝－4i＋3j，＝－i－2j，則＝________.9．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝30°，則(2a＋b)·b＝________.【提示】(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×2×3×cos30°＋32＝10．設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝，|a－b|＝，則求a·b的值．解：由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，兩式相減，得a·b＝1.11．如圖△ABC中，AD是BC邊的中線，