導(dǎo)數(shù)的幾何意義及四則運(yùn)算

復(fù)習(xí)1.點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義函數(shù)的改變量與自變量改變量的比值，特點(diǎn)：當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)的極限.如：要是存在，等于12.導(dǎo)函數(shù)定義3.點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系即點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值.4.主要用來討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)的可導(dǎo)問題.作用：5.求導(dǎo)公式2四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：是y=f(x)在點(diǎn)處切線的斜率.即切線斜率若切線傾角為則可導(dǎo)一定有切線切線不垂直于x軸.32.可導(dǎo)的幾何意義：y=f(x)在x0處可導(dǎo),即曲線y=f(x)在(x0,f(x0))存在不垂直于x軸的切線.答案：不一定.如：3.應(yīng)用切線方程法線方程在不可導(dǎo)，但有切線.在不可導(dǎo)，也無切線問題：如果y=f(x)不可導(dǎo)，是否沒有切線呢？44.例題例1在點(diǎn)M(1,1)處的切線方程求等邊雙曲線1xy=解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為即即和法線方程.5例2問曲線上哪一點(diǎn)處的切線與直線平行？解已知直線的斜率根據(jù)兩條直線平行的條件，所求切線的斜率也等于3.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，的導(dǎo)數(shù)由題意得：則得：于是曲線上點(diǎn)平行.處的切線與直線6五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理：凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).證注意:即：不連續(xù)一定不可導(dǎo).該定理的逆定理不成立.但逆否命題成立.即：連續(xù)不一定可導(dǎo).如：在處連續(xù)而不可導(dǎo).7在處可導(dǎo)在處連續(xù)，在處的極限一定存在，即存在.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系是：可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)，必不可導(dǎo).不連續(xù)8例3解在x=0的連續(xù)性與可導(dǎo)性.在處不可導(dǎo).9六、物理意義：非均勻變化量的瞬時(shí)變化率.變速直線運(yùn)動(dòng):位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度.交流電路:電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度.非均勻的物體:質(zhì)量對(duì)長度(面積,體積)的導(dǎo)數(shù)為物體的線(面,體)密度.101.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率;2.函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);3.求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù).4.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).連續(xù)直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.小結(jié)不連續(xù)一定不可導(dǎo).應(yīng)用在求切線，法線方程等.11一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理1設(shè)函數(shù)及都在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為則處可導(dǎo)，也在證即：其中為常數(shù).§2-4求導(dǎo)法則12若則若則若則例1已知求解13例2已知求解例3已知求解表明：次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)是次多項(xiàng)式.14且其導(dǎo)數(shù)為則有處可導(dǎo)，在為常數(shù)，也可簡寫為證明（略）定理2設(shè)函數(shù)都在點(diǎn)處可導(dǎo)，15定理3處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為設(shè)函數(shù)及都在點(diǎn)則處可導(dǎo)，也在證16由已知知，在點(diǎn)可導(dǎo)，必在點(diǎn)連續(xù).所以17例4求的導(dǎo)數(shù)解推廣：18定理4且其導(dǎo)數(shù)為則處可導(dǎo)，在也可簡寫為特殊地：若u=1,(其中)且設(shè)函數(shù)及都在點(diǎn)處可導(dǎo)，19同理可得例5解即20同理可得即例6解如：是否有呢？證說明：對(duì)于負(fù)整數(shù)也是成立的.21二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理且內(nèi)也單調(diào)、連續(xù)且可導(dǎo)，有如果函數(shù)在某區(qū)間I內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，y那么它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間Ix證于是有任取給一個(gè)增量且由的單調(diào)性可知，連續(xù)，又知即即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).22解同理可得例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).在內(nèi)單調(diào)可導(dǎo).且23小結(jié)注意2:求導(dǎo)法則的成立是有條件的.注意3:注意1:分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)