高考數(shù)學(xué)大題精做專題03數(shù)列求和問(wèn)題(第二篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第二篇數(shù)列與不等式【解析版】專題03數(shù)列求和問(wèn)題類型對(duì)應(yīng)典例錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和典例1分組求和法求數(shù)列的和典例2裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和典例3分組+錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和典例4并項(xiàng)求和法求數(shù)列的和典例5分組+裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和典例6倒序相加法求數(shù)列的和典例7【典例1】【福建省福州市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)】等差數(shù)列的公差為2,分別等于等比數(shù)列的第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，第4項(xiàng).（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前2020項(xiàng)的和．【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)題意同時(shí)利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前2020項(xiàng)的和.【典例2】【河南省三門峽市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列中，，對(duì)任意正整數(shù)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)及公比q的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求數(shù)列前n項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)與的關(guān)系即可求出；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，利用等比數(shù)列的定義列式，與題目條件，比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)即可求出，即說(shuō)明存在這樣的實(shí)數(shù)；（3）由（2）可以求出，所以根據(jù)分組求和法和分類討論法即可求出．【典例3】【福建省南平市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第一次綜合質(zhì)量檢查】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【思路引導(dǎo)】（1）利用臨差法得到，再根據(jù)求得，從而求得數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）由題意得，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【典例4】【山東省日照市2019-2020學(xué)年上學(xué)期期末】已知數(shù)列的首項(xiàng)為2，為其前項(xiàng)和，且（1）若，，成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)雙曲線的離心率為，且，求.【思路引導(dǎo)】（1）先由遞推式求得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，然后結(jié)合已知條件求數(shù)列通項(xiàng)即可；（2）由雙曲線的離心率為求出公比，再結(jié)合分組求和及錯(cuò)位相減法求和即可得解.【典例5】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，對(duì)任意，它的前項(xiàng)和滿足，并且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)與的關(guān)系，利用臨差法得到，知公差為3；再由代入遞推關(guān)系求；（2）觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，相鄰兩項(xiàng)的和有規(guī)律，故采用并項(xiàng)求和法，求其前項(xiàng)和.【典例6】【2020屆湖南省益陽(yáng)市高三上學(xué)期期末】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.（1）求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）利用臨差法將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化成，同時(shí)驗(yàn)證，從而證明數(shù)列為等比數(shù)列，再利用通項(xiàng)公式求得；（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得，再用等比數(shù)列求和及裂項(xiàng)相消法求和，可求得?！镜淅?】【湖南省五市十校2019-2020學(xué)年上學(xué)期期中】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，函數(shù)對(duì)任意的都有，數(shù)列滿足….（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【思路引導(dǎo)】由求，根據(jù)得，再有得即可求出的通項(xiàng)公式；由，根據(jù)倒序相加法可求.【針對(duì)訓(xùn)練】1.【山東省聊城市2019-2020學(xué)年上學(xué)期期末】已知等差數(shù)列，，前項(xiàng)和為，各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）在空間直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，存在一系列的點(diǎn)，，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2.【2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題】已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是等比數(shù)列的前項(xiàng).(1)求;(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.3.【2020屆山東省濟(jì)寧市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】已知等差數(shù)列滿足,前7項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.4.【2020屆湖北省黃岡市高三上學(xué)期期末】已知數(shù)列滿足，，，2，.求數(shù)列的通項(xiàng)；設(shè)，求．5.【2020屆安徽省六安市省示范高中高三1月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】記為等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，且為遞增數(shù)列.已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)之和.6.【云南省楚雄州2019-2020學(xué)年上學(xué)期期末】已知數(shù)列為等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，，.數(shù)列為等比數(shù)列，且，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.7.【2020屆廣東省華南師大附中、實(shí)驗(yàn)中學(xué)、廣雅中學(xué)、深圳中學(xué)高三上學(xué)期期末聯(lián)考】在等比數(shù)列中，公比為，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)總有，數(shù)列滿足分別求數(shù)列、的通項(xiàng)公式.9.【天津市十二重點(diǎn)中學(xué)2019屆高三下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考（一)】設(shè)數(shù)列滿足，且點(diǎn)在直線上，數(shù)列滿足：，．（1）數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第二篇數(shù)列與不等式【解析版】專題03數(shù)列求和問(wèn)題類型對(duì)應(yīng)典例錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和典例1分組求和法求數(shù)列的和典例2裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和典例3分組+錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和典例4并項(xiàng)求和法求數(shù)列的和典例5分組+裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和典例6倒序相加法求數(shù)列的和典例7【典例1】【福建省福州市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)】等差數(shù)列的公差為2,分別等于等比數(shù)列的第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，第4項(xiàng).（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前2020項(xiàng)的和．【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)題意同時(shí)利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前2020項(xiàng)的和.解：(1)依題意得:，所以，所以解得設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以又(2)由（1）知，因?yàn)棰佼?dāng)時(shí),②由①②得，，即，又當(dāng)時(shí)，不滿足上式，.數(shù)列的前2020項(xiàng)的和設(shè)③，則④，由③④得：，所以，所以.【典例2】【河南省三門峽市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列中，，對(duì)任意正整數(shù)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)及公比q的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求數(shù)列前n項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)與的關(guān)系即可求出；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，利用等比數(shù)列的定義列式，與題目條件，比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)即可求出，即說(shuō)明存在這樣的實(shí)數(shù)；（3）由（2）可以求出，所以根據(jù)分組求和法和分類討論法即可求出．解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列中，，對(duì)任意正整數(shù)，.可得，且，由假設(shè)可得，即，則，可得，可得存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是公比的等比數(shù)列；（3）由（2）可得，則，則前n項(xiàng)和當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則（）．【典例3】【福建省南平市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第一次綜合質(zhì)量檢查】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【思路引導(dǎo)】（1）利用臨差法得到，再根據(jù)求得，從而求得數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）由題意得，再利用裂項(xiàng)相消法求和.解：（1）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，,因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以滿足式，所以，即，因此等比數(shù)列的首項(xiàng)為1,公比為2,所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，則,即，所以,所以.【典例4】【山東省日照市2019-2020學(xué)年上學(xué)期期末】已知數(shù)列的首項(xiàng)為2，為其前項(xiàng)和，且（1）若，，成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)雙曲線的離心率為，且，求.【思路引導(dǎo)】（1）先由遞推式求得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，然后結(jié)合已知條件求數(shù)列通項(xiàng)即可；（2）由雙曲線的離心率為求出公比，再結(jié)合分組求和及錯(cuò)位相減法求和即可得解.解：解：（1）由已知，，則，兩式相減得到，.又由得到，故對(duì)所有都成立.所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.由，，成等差數(shù)列，可得，所以故.所以.（2）由（1）可知，，所以雙曲線的離心率.由，得（舍負(fù)）.所以，記①②①-②得所以.所以.【典例5】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，對(duì)任意，它的前項(xiàng)和滿足，并且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)與的關(guān)系，利用臨差法得到，知公差為3；再由代入遞推關(guān)系求；（2）觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，相鄰兩項(xiàng)的和有規(guī)律，故采用并項(xiàng)求和法，求其前項(xiàng)和.解：（1）對(duì)任意，有，①當(dāng)時(shí)，有，解得或.當(dāng)時(shí)，有.②①-②并整理得.而數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不成立，舍去.，.（2）.【典例6】【2020屆湖南省益陽(yáng)市高三上學(xué)期期末】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.（1）求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）利用臨差法將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化成，同時(shí)驗(yàn)證，從而證明數(shù)列為等比數(shù)列，再利用通項(xiàng)公式求得；（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得，再用等比數(shù)列求和及裂項(xiàng)相消法求和，可求得。解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，整理得，又因?yàn)?，，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以（2），，.【典例7】【湖南省五市十校2019-2020學(xué)年上學(xué)期期中】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，函數(shù)對(duì)任意的都有，數(shù)列滿足….（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【思路引導(dǎo)】由求，根據(jù)得，再有得即可求出的通項(xiàng)公式；由，根據(jù)倒序相加法可求.解：（1）即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，即是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，.，.….….①+②，得，（2），….①…②①－②得…即.【針對(duì)訓(xùn)練】1.【山東省聊城市2019-2020學(xué)年上學(xué)期期末】已知等差數(shù)列，，前項(xiàng)和為，各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）在空間直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，存在一系列的點(diǎn)，，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】(1)由列出方程求出q，即可求得的通項(xiàng)公式，由，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求出，從而求得d，最后得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)由可得，將和的通項(xiàng)公式代入上式求出的通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減法即可求出.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，的公比為，∵，∴，得，（舍），因?yàn)椋?∵，∴，解得，又，∴，∴.（2）由（1）得，.∵，∴，∴.，①①式等號(hào)兩邊同乘以，得，②①-②得.∴.2.【2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題】已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是等比數(shù)列的前項(xiàng).(1)求;(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）首先設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，根據(jù)條件建立關(guān)于的方程組，再求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，數(shù)列是等比數(shù)列，按等比數(shù)列求和，數(shù)列按照裂項(xiàng)相消法求和.解:(1)設(shè)數(shù)列的公差為，由題意知:①又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，，，又因?yàn)椋?②由①②得，所以，，，，.(2)因?yàn)椋运詳?shù)列的前項(xiàng)和.3.【2020屆山東省濟(jì)寧市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】已知等差數(shù)列滿足,前7項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）利用等差數(shù)列公式計(jì)算得到答案.（2）裂項(xiàng)得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由可知,前7項(xiàng)和.,解得..(2)前項(xiàng)和.4.【2020屆湖北省黃岡市高三上學(xué)期期末】已知數(shù)列滿足，，，2，.求數(shù)列的通項(xiàng)；設(shè)，求．【思路引導(dǎo)】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式推出，通過(guò)當(dāng)n為奇數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)，，分別求解通項(xiàng)公式；化簡(jiǎn)，然后求解數(shù)列的和即可．解：，，2，，，，3，得，，當(dāng)n為奇數(shù)，，當(dāng)n為偶數(shù)，所以；，．5.【2020屆安徽省六安市省示范高中高三1月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】記為等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，且為遞增數(shù)列.已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)之和.【思路引導(dǎo)】（1）由題可得，，即可求出和，結(jié)合為遞增數(shù)列，可求得通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合（1）可得到，利用裂項(xiàng)相消法可求出前項(xiàng)之和.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得或，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，所以只有符合題意，故；（2）由題意，，∴.6.【云南省楚雄州2019-2020學(xué)年上學(xué)期期末】已知數(shù)列為等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，，.數(shù)列為等比數(shù)列，且，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，將已知條件轉(zhuǎn)化為的方程組，求解，可得到；由已知可得，，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，，數(shù)列的前項(xiàng)和分成兩部分，其中用裂項(xiàng)相消求和，用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求和，二者相加，即可求出結(jié)論.解：(1)設(shè)公差為，則由，，得解得所以.設(shè)的公比，又因?yàn)?，，所以，，?(2)由(1)可知，則.數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，故.7.【2020屆廣東省華南師大附中、實(shí)驗(yàn)中學(xué)、廣雅中學(xué)、深圳中學(xué)高三上學(xué)期期末聯(lián)考】在等比數(shù)列中，公比為，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（Ⅰ）因?yàn)楣葹榈牡缺葦?shù)列中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)成立.此時(shí)公比，，所以.（Ⅱ）因?yàn)?，所以，∴，?故數(shù)列的前項(xiàng)和.8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)總有，數(shù)列滿足分別求數(shù)列、的通項(xiàng)公式.解：