人教B版必修第二冊4 .2 .3 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像

4.2.3對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像

新SB因（教師獨具內(nèi)容）

課程標(biāo)準(zhǔn)：了解對數(shù)函數(shù)的概念，能用描點法或借助計算工具畫出具體對

數(shù)函數(shù)的圖像，并通過圖像了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.

教學(xué)重點：對數(shù)函數(shù)的概念、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì).

教學(xué)難點：運用對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決相關(guān)問題.

核心概念掌握

?

-知識導(dǎo)學(xué)-

知識點一對數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=log,x稱為以對數(shù)函數(shù)，其中畫且是常數(shù),Eg>0且畫

2中1.

知識點二對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

定義EJjz=logax(a>0且aWl)

底數(shù)頤〉1畫0—

JV1

圖像

11

定義域網(wǎng)(0,+op)

值域一R

單調(diào)性一增函數(shù)回減函數(shù)

共點性一圖像通過點（1通），即log“l(fā)=0

1—(0,1)時,zG(0,l)時，

函數(shù)值yG-(—8,0)；E](o,+8)；

特點N一口，+8)時,xG[1,+8)時，

yG⑩[0,+°°)?一\(一8,0]

函數(shù)y=log*與y=logu的圖像關(guān)于坡型對稱

對稱性1a

新知拓展

1.對對數(shù)函數(shù)定義的理解

同指數(shù)函數(shù)一樣，對數(shù)函數(shù)仍然采用形式定義，例如y=21og2X,j=log2%2

等都不是對數(shù)函數(shù)，只有y=logax(a>0且aWl)才是.

(1)觀察圖像，注意變化規(guī)律

①上下比較：在直線x=l的右側(cè)，。>1時，a越大，圖像向右越靠近x軸，

0<a<l時，a越小，圖像向右越靠近x軸.

②左右比較：比較圖像與y=l的交點，交點的橫坐標(biāo)越大，對應(yīng)的對數(shù)函

數(shù)的底數(shù)越大.

(2)對于對數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)的助記口訣

對數(shù)增減有思路，函數(shù)圖像看底數(shù).底數(shù)只能大于0,等于1來也不行.底

數(shù)若是大于1,圖像逐漸往上升；底數(shù)0到1之間，圖像逐漸往下降.無論函數(shù)

增和減，圖像都過(1,0)點.

2.函數(shù)v=logflx(a>0且aWl)的底數(shù)變化對圖像位置的影響

了評價自測

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(Dynlogir2與y=logC都不是對數(shù)函數(shù).()

(2)對數(shù)函數(shù)的圖像一定在y軸右側(cè).()

⑶當(dāng)0<a<l時，若x>l,則y=log“x的函數(shù)值都大于零.()

答案(1)V(2)V(3)X

2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)

(1)函數(shù)y=(次-4a+4)logax是對數(shù)函數(shù)，則a=.

(2)對數(shù)函數(shù)火x)=log〃x的圖像過點(2,1),則五8)=.

(3)若對數(shù)函數(shù)y=log(-2。)%,x@(0,+8)是增函數(shù)，則a的取值范圍為

答案(1)3(2)3(3)(—8,0)

核心素養(yǎng)形成

題型一對數(shù)函數(shù)的概念

例1已知下列函數(shù)：

(Dy=log|(—x)(x<0);

②y=2Iog4(才-1)殳>1)；

③y=ln1r(x>0)；

@j=log(az+a)x(x>0,a是常數(shù)).

其中，是對數(shù)函數(shù)的是（只填序號）.

［解析］對于①，真數(shù)是一龍，故①不是對數(shù)函數(shù)；對于②，210g4（尤一1）的系

數(shù)為2,而不是1,且真數(shù)是X—1,不是x,故②不是對數(shù)函數(shù)；對于③，Inx

故③是對數(shù)函數(shù)；對于④，底數(shù)2T當(dāng)

的系數(shù)為1,真數(shù)是x,

a=—；時，底數(shù)小于0,故④不是對數(shù)函數(shù).

［答案］③

金版點睛判斷函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的條件

判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)必須是形如y=log〃x（a>0且aWl）的形式，即必須

滿足以下條件：

（1）系數(shù)為L

（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù).

（3）對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.

.跟蹤訓(xùn)練1

若某對數(shù)函數(shù)的圖像過點（4,2）,則該對數(shù)函數(shù)的解析式為（）

A.y=log2X

B.y=21og4X

C.y=logzx或y=21og4^v

D.不確定

答案A

解析設(shè)對數(shù)函數(shù)的解析式為y=logax（a>0且aWl）,由題意可知log°4=2,

.?./=4,：.a=2....該對數(shù)函數(shù)的解析式為y=log2%.

題型二與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域問題

例2求下列函數(shù)的定義域：

1

⑴Llog2(x-1)；

(2)y=、lg(x—3)；

(3)y=log2(16-4x)；

(4)y=log(A-i)(3-x).

\x-1>0,

［解］(1)要使函數(shù)有意義，需A,，、一c解得x>l且x#2.

llog2(X—1)^:0,

二函數(shù)y=]0g2(；_])的定義域是{x|x>l且xW2}.

x—3>0,

(2)要使函數(shù)有意義，需<

Jg(X—3)20,

x—3>0,

即解得x>4.

%—3^1,

二所求函數(shù)的定義域是{x|x24}.

(3)要使函數(shù)有意義，需16—4、>0,解得x<2.

二所求函數(shù)的定義域是{小<2}.

C3一x>0,

(4)要使函數(shù)有意義，需上一1>0,解得l<x<3且xW2.

1%—1W1,

，所求函數(shù)的定義域是{x[l<x<3且x#2}.

金版點睛求函數(shù)的定義域應(yīng)考慮的幾種情況

求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)的解析式有意義的自變量的取值范圍.經(jīng)?？?/p>

慮的幾種情況：①^1中;(x)WO;②2也福(“CN*)中八%)20；③log/x)(a>0,且

aWl)中火》)>0；④10環(huán)劉：4>0)中五》)>0且Hx)Wl；⑤及叨°中Hx)W0；⑥求抽象

函數(shù)或復(fù)合函數(shù)的定義域，需正確理解函數(shù)的符號及其定義域的含義.

「跟蹤訓(xùn)練2

求下列函數(shù)的定義域：

(l)y=Vlg^+lg(5—3x)；

________]

⑵，[logo.5(4x-3)-

Clgx^O,

解（1）要使函數(shù)有意義，需｛x>0，

15—3x>0,

.*/5Kq.

卜可，3

I.原函數(shù)的定義域為1,1）.

3

（2）由題意得logo.5（4x—3）>0,可得0<4元一3<1,即3<4%<4,解得彳<X<1.所以

原函數(shù)的定義域為俘，“

題型三對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

例3⑴如圖所示的曲線是對數(shù)函數(shù)y=logd,y=logbx,y=logcx,y=logdx

的圖像，則a,b,c,d,1,0的大小關(guān)系為（）

A.a>b>l>d>c>0

B.b>a>l>c>d>Q

C.a>b>l>c>d>0

D.b>a>l>d>c>0

（2）函數(shù)尸108“國+1（0<。<1）的圖像大致為（）

［解析］⑴由題圖可知函數(shù)y=logaX,y=log〃x的底數(shù)a>l,b>l,函數(shù)尸

logcx,y=log。的底數(shù)0<c<l,0<d<l.過點（0,1）作平行于x軸的直線/（圖略），則直

線/與四條曲線交點的橫坐標(biāo)從左向右依次為c,d,a,b,顯然Z?>a>l>d>c>0.

故選D.

(2)函數(shù)為偶函數(shù)，在(0,+8)上為減函數(shù)，在(一8,0)上為增函數(shù)，故可

排除選項B,C,又》=±1時y=l,故選A.

［答案］(1)D(2)A

金版點睛根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像判斷底數(shù)大小的方法

作直線y=l與所給圖像相交，交點的橫坐標(biāo)即為對數(shù)的底數(shù)，依據(jù)在第一

象限內(nèi)，自左向右，圖像對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的大小.

■跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知。>0且aWl,則函數(shù)與y=loga(—X)的圖像可能是()

(2)函數(shù)y=loga(x+l)—2(a>0且的圖像恒過點.

答案(1)B(2)(0,-2)

解析(1)解法一：若0<。<1,則函數(shù)y=爐的圖像下降且過點(0,1),而函數(shù)

y=log4一x)的圖像上升且過點(一1,0),以上圖像均不符合.

若a>l,則函數(shù)丁="的圖像上升且過點(0,1),而函數(shù)y=loga(—x)的圖像下

降且過點(一1,0),只有B中圖像符合.

解法二：首先指數(shù)函數(shù)y=戶的圖像只可能在x軸上方，函數(shù)y=loga(一x)

的圖像只可能在y軸左方，從而排除A,C；再看單調(diào)性，y="Vy=loga(一x)

的單調(diào)性正好相反，排除D.只有B中圖像符合.

解法三：如果注意到y(tǒng)=loga(—x)的圖像關(guān)于y軸的對稱圖像為y=log”，又

y=logG與y=爐互為反函數(shù)(圖像關(guān)于直線y=x對稱)，則可直接確定選B.

(2)因為函數(shù)y=logax(a>0且aWl)的圖像恒過點(1,0),則令x+l=l,得x

=0,此時y=loga(x+l)—2=—2,所以函數(shù)y=loga(x+l)—2(a>0且aWl)的圖

像恒過點(0,-2).

題型四對數(shù)值的大小比較

例4比較下列各組中兩個值的大小：

(l)31og45,21og23；

(2)log30.2,log40.2；

(3)log3兀，logjrS；

01

(4)logo.20.1,0.2.

［解］(1),/31og45=log4125,21og23=log29=log481,且函數(shù)y=logM在(0,+

8)上是增函數(shù)，又125>81,.,.31og45>21og23.

⑵??.0>logo.23>logo.24,.??武鏟舟彳

即Iog30.2<log40.2.

(3)、,函數(shù)y=log3X在(0,+8)上是增函數(shù)，且兀>3,/.Iog37i>log33=l.

同理，1=log以>1(^3,所以log3兀>logz3.

(4);?函數(shù)y=Iogo.2X在(0,+8)上是減函數(shù),且0.K0.2,...logoM.lXogozO/

=1.

..?函數(shù)丁=02》在R上是減函數(shù)，且0<0.1,

.,.0.201<0.2°=1.

01

.,.logo.20.1>0.2.

金版點睛比較對數(shù)值大小的常用方法

(1)比較同底的兩個對數(shù)值的大小，常利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

(2)比較不同底數(shù)的兩個對數(shù)值的大小，常用以下兩種方法：①先利用對數(shù)

換底公式化為同底的對數(shù)，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大??；②在同一象限內(nèi)

利用對數(shù)函數(shù)圖像的位置關(guān)系比較大小.

(3)比較底數(shù)與真數(shù)都不同的兩個對數(shù)值的大小，常借助中間量(如1,0,-1

等).

(4)比較多個對數(shù)值的大小，則應(yīng)先根據(jù)每個數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，以及它們與中

間量“0”和“1”的大小情況進(jìn)行分組，再比較各組內(nèi)的對數(shù)值的大小即可.

(5)比較含參數(shù)的兩個對數(shù)值的大小，要注意對底數(shù)是否大于1進(jìn)行分類討

論，有時也要注意挖掘所給對數(shù)值的隱含條件.例如：比較log。。?一6+1)與logj

的大小時，要注意隱含條件：廿一6+1=0一3)2+|■三

「跟蹤訓(xùn)練4

比較下列各組對數(shù)值的大小:

(l)log11.5,log11.6；

(2)log2l.9,log23.2；

(3)log79,log|4;

(4)logu3,loga10(a>0且。聲1).

解

(1)Vj/=log|在(0,+8)上單調(diào)遞減，L5<1.6,

/.log11.5>log11.6.

(2)???)=log2］在(。，+8)上單調(diào)遞增J.9V3.2,

Iog21.9<log23.2.

(3)Vlog79>0,log14<0,log79>log|4.

(4)當(dāng)a>l時，y=logqZ在(0,+8)上單調(diào)遞增，

loga3<loga10.

當(dāng)0Va<l時，y=loga］在(0,+8)上單調(diào)遞減，

Aloga3>loga10.

題型五解簡單的對數(shù)不等式

例5解不等式：

(l)log2(2x+3)2log2(5x—6)；

(2)log?(x—4)—logtz(2x—1)>0(6/>0且〃W1).

C2x+3>0,

［解］(1)原不等式等價于，5x—6>0,

〔2x+325x—6,

解得

所以不等式的解集為｛7

(2)原不等式化為loga(x-4)>loga(2x—1).

Cx-4>0,

當(dāng)a>l時，不等式等價于，2x—1>0,

4>2x—1,

解得x?0.

fx—4>0,

當(dāng)0<a<l時，不等式等價于｛2x-l>0,

1X—4<2x—1,

解得x>4.

綜上可知，當(dāng)a>l時，解集為0;當(dāng)0<a<l時，解集為｛x|x>4｝.

金版點睛

解對數(shù)不等式時應(yīng)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為關(guān)于真數(shù)的不等式，求解時

應(yīng)注意原對數(shù)式的真數(shù)大于0的條件.常見對數(shù)不等式的類型如下：

|?>0,

log&)>log"g(x)">l,)Jg(x)>0,

g)>g(x).

|?>0,

log^x)<log?g(x)0<<3<1,){g(x)>0,

g)>g(x).

■跟蹤訓(xùn)練5

已知火x)=lg(x+1),若0勺Q—2x)—求％的取值范圍.

解因為?x)=lg(x+1),所以火1—2x)—/(x)=lg(2~2x)—lg(x+1).

[2—2x>0,

由1?,c得一1<%<L

x+1>0,

由0<lg(2—2x)—lg(x+l)=lg-^<1,

2一2x

得1<肅尸。

因為尤+1>0,所以尤+1<2—2x<10(x+1),

21

所以一）<%<?

-1<x<1,

/日21

由,21得一]<%<,

一『,

所以x的取值范圍是（一|,

題型六與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題

例6求函數(shù)八x）=logo_4（8—2x—%2）的單調(diào)區(qū)間，并說明在每一個區(qū)間上的

單調(diào)性.

［解］由8—2x—『>0得函數(shù)兀0的定義域是（一4,2）,

令M=8—2x—f=—（x+1）2+9,

可知當(dāng)X?（—4,—1］時，M為增函數(shù)，

X?［—1,2）時，M為減函數(shù)，

*.'/（?）=log0.4M在U>0上是減函數(shù)，

函數(shù)段）=logo.4（8—2x-%2）的單調(diào)區(qū)間是（一是-1］,［—1,2）,且在（一4,

—1］上是減函數(shù)，在［—1,2）上是增函數(shù).

金版點睛有關(guān)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性問題的求解思路

(1)特別注意要在M(X)>0所確定的定義域上來討論復(fù)合函數(shù)y(X)=logaM(X)的

單調(diào)性.

(2)對于形如y(x)=logaM(x)(a>0且aWl)的一類復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，有a>\時

與函數(shù)M(X)的單調(diào)性相同，0<a<l時與函數(shù)M(X)的單調(diào)性相反.

(3)求復(fù)合函數(shù)/(x)=logag(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟：

①求1%)的定義域；②將函數(shù)?v)=logag(x)分解成M=g(x),y(M)=logaM兩個

函數(shù)；③在五X)的定義域上求M的單調(diào)區(qū)間并判斷五X)的單調(diào)性；④利用同一區(qū)

間上“同增(減)則於)增,異增減則於)減”得出結(jié)論.

■跟蹤訓(xùn)練6

函數(shù)y=log2(—/+2x+3)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

答案［1,3)

解析函數(shù)的定義域為(-1,3),原函數(shù)可看作由y=log2f,/=-X2+2X+3

復(fù)合而成，其中函數(shù)y=log2/是增函數(shù)，/=—f+2x+3在區(qū)間［1,3)上是減函數(shù),

所以原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為［1,3).

題型七有關(guān)對數(shù)函數(shù)的值域與最值問題

例7求下列函數(shù)的值域：

(l)y=log2(x2+4)；

(2)y=log}(3+2%—%2).

［解］(l)y=log2a2+4)的定義域是R.

因為f+424,所以

所以y=log2(x2+4)的值域為［2,+°°).

(2)設(shè)M=3+2X—/=—(x—1)2+4W4.

因為M>0,所以0<MW4.

又v=log)〃在(0,十8)上為減函數(shù)，

所以log±u>log14=—2,

所以y=log9(3+2/—?一)的值域為［―2,+8).

金版點睛有關(guān)對數(shù)函數(shù)的值域的求法

(1)求對數(shù)函數(shù)或與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域(最值)，關(guān)鍵是根據(jù)單調(diào)

性求解，若需換元，需考慮新元的取值范圍.

(2)對于形如y=log/x)(a>0且aWl)的復(fù)合函數(shù)，其值域的求解步驟如下：

①分解成y=logaM,兩個函數(shù)；

②求人x)的定義域；

③求M的取值范圍；

④利用y=logoM的單調(diào)性求解.

「跟蹤訓(xùn)練7

(1)函數(shù)Hx)=〃+loga(x+l)在［0,1］上的最大值與最小值之和為a,則a的值

為()

11

A，B.2C.2D.4

(2)求函數(shù)y=log2(2—x)+log2(x+2)的值域.

答案(1)B(2)見解析

解析(1)當(dāng)0<a<l時，因為y=(/在［0,1］上為減函數(shù)，y=log“(x+l)在［0,1］

上也是減函數(shù)，所以兀X)在［0,1］上為減函數(shù),所以1X)max=A0)=l，兀)1抽=/(1)

=tz+loga2,于是l+a+log02=a,解得a=；；同理，當(dāng)時，危)在［0,1］上為

增函數(shù)，所以兀￥)11儂(=/(1)=。+10802,人%)?加=/(0)=1,于是l+a+log02=a,解

得a=；,與a>l矛盾.綜上，a=g.

(2—x>0,

(2)要使函數(shù)有意義應(yīng)滿足4所以一2<x<2,又y=log2(2—力+

x+2>0,

log2(x+2)

=log2[(2—x)(x+2)]=log2(4—f),xG(—2,2),

令U=4—^(—2<X<2),則當(dāng)X=0時，Mmax=4,

得M?(0,4],又因為y=log2M是增函數(shù)，所以ymax=2,即函數(shù)的值域為(一

8,2].

隨堂水平達(dá)標(biāo)

1.函數(shù)而0=￡+坨(1+力的定義域是()

1.V

A.(一8,—1)B.(1,+°0)

C.(―1,1)U(1,+°°)D.(一8,+8)

答案C