教育統(tǒng)計(jì)學(xué)第九章-卡方檢驗(yàn)

第九章

χ2檢驗(yàn)—計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)的分析方法一、χ2

檢驗(yàn)的意義二、χ2

檢驗(yàn)的基本公式三、配合度檢驗(yàn)四、獨(dú)立性檢驗(yàn)五、品質(zhì)相關(guān)χ2檢驗(yàn)的意義1、χ2檢驗(yàn)方法能同時(shí)檢驗(yàn)一個(gè)因素兩項(xiàng)或多項(xiàng)分類的實(shí)際觀察數(shù)與某理論次數(shù)分布是否相一致的問(wèn)題，或說(shuō)有無(wú)顯著差異的問(wèn)題。2、χ2檢驗(yàn)方法還能用于檢驗(yàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上因素各有多項(xiàng)分類之間是否有關(guān)聯(lián)或是否具有獨(dú)立性的問(wèn)題。χ2檢驗(yàn)的基本公式式中fo為實(shí)際觀察次數(shù)，即實(shí)計(jì)數(shù)；

fe為理論次數(shù)χ2檢驗(yàn)的基本公式根據(jù)1899年統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜推導(dǎo)的配合適度的理論公式，即：實(shí)際觀察次數(shù)（fo）與某理論次數(shù)（fe，又稱期望次數(shù)）之差的平方再除以理論次數(shù)乃是一個(gè)與χ2分布非常近似的次數(shù)分布。當(dāng)fe越大（fe>=5），接近的越好。Fo與fe相差越大，χ2越大。Fo與fe相差的越小，χ2值也小。因此，它能夠用來(lái)表示fo與fe相差的程度，同時(shí)，它也具備與χ2分布相同的一些特點(diǎn)：fo與fe之差的平方再除以fe的值，隨自由度而變化，變化的趨勢(shì)與χ2分布一樣。關(guān)于χ2分布一、χ2分布的直觀意義二、χ2分布的特點(diǎn)三、χ2分布表的編制與使用一、χ2分布的直觀意義從一個(gè)服從正態(tài)分布的總體中，每次隨機(jī)抽取容量為n的樣本，將n個(gè)隨機(jī)變量X1，X2，……Xn分別平方，即可得到X12，X22，……Xn2，然后計(jì)算，這樣可抽取無(wú)限多個(gè)容量為n的樣本，可求得無(wú)限多個(gè)，也可計(jì)算其標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)及其平方及n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的平方和，那么，這無(wú)限多個(gè)n個(gè)隨機(jī)變量X的平方和或標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的平方和的分布，就是χ2分布。χ2分布的表達(dá)式χ2分布的表達(dá)式1、若正態(tài)總體的平均數(shù)已知，則或此時(shí)自由度為n。2、若正態(tài)總體的平均數(shù)未知，則用樣本平均數(shù)作為總體平均數(shù)的估計(jì)值：此時(shí)自由度為n-1。返回二、χ2分布的特點(diǎn)1、χ2分布是一個(gè)正偏態(tài)分布。隨自由度的不同，其分布曲線的形狀不同，自由度越小，分布越偏斜，自由度很大時(shí)，接近正態(tài)分布。當(dāng)df∞時(shí)，χ2分布即為正態(tài)分布?？梢?jiàn)，χ2分布是一族分布，正態(tài)分布是其中一特例。2、χ2值都是正值。3、χ2分布的和也是χ2分布其自由度為即χ2分布具有可加性。4、χ2分布的平均值和方差：如果df>2，這時(shí)χ2分布的平均數(shù)：μχ2

=df

方差：σ2χ2

=2df5、χ2分布是連續(xù)型分布，但有些離散型的分布也近似χ2分布（χ2檢驗(yàn)就是利用這一特點(diǎn)而來(lái)。）返回三、χ2分布表的編制與使用χ2分布表是根據(jù)χ2分布函數(shù)計(jì)算出來(lái)的，χ2分布曲線下的面積都是1。但隨自由度不同，同一χ2值以下或以上所含面積與總面積之比率不同。故一般χ2表，要列出自由度、及某一χ2值以上χ2分布曲線下的概率。見(jiàn)卡方值表?？ǚ街当恚罕淼淖罅袨樽杂啥?，表的最上一行是概率值，即不同自由度時(shí)，某χ2以上的概率。表中所列為不同自由度及概率下的χ2值。例如：當(dāng)df=1時(shí)，在χ2=0.02以上的概率為90%，那么在其以下的概率為1-0.90=0.10。它的意思是從一個(gè)正態(tài)分布總體中，每次隨機(jī)抽取容量為1（μ已知）或容量為2（μ未知）的樣本，計(jì)算Z2或∑Z2，這無(wú)限多個(gè)Z2的分布即為χ2分布。其χ2值有90%的可能（或90%的樣本）比0.02大，同時(shí)有10%的可能比0.02小。χ2分布的應(yīng)用：返回關(guān)于配合度檢驗(yàn)一、它主要用于實(shí)際觀察次數(shù)與某理論次數(shù)是否有差別的分析。它適用于一個(gè)因素多項(xiàng)分類的計(jì)數(shù)資料。二、配合度檢驗(yàn)的一般問(wèn)題:(1)統(tǒng)計(jì)假設(shè)：Ho：fo=feH1:fo≠fe

(2)應(yīng)用基本公式計(jì)算χ2值，若計(jì)算的χ

2值大于表中的χ

20.05或χ

20.01值，就拒絕Ho，推論fo與fe之間差異顯著。若χ

2值小于χ

20.05或χ

20.01值，則接受Ho，認(rèn)為fo與fe之間差異不顯著。

(3)自由度的確定：通常為資料的分類或分組的數(shù)目，減去計(jì)算理論次數(shù)時(shí)所用統(tǒng)計(jì)量的個(gè)數(shù)。關(guān)于連續(xù)性校正當(dāng)卡方檢驗(yàn)用于計(jì)數(shù)資料時(shí)，所計(jì)算出的卡方值實(shí)際上是非連續(xù)性的，尤其當(dāng)自由度=1，理論次數(shù)小于5時(shí)，其離散性更明顯，而卡方分布本質(zhì)上是連續(xù)性隨機(jī)變量的分布形式，因此，當(dāng)df=1，fe<5時(shí)，必須對(duì)連續(xù)性進(jìn)行修正。Yates連續(xù)性校正公式：配合度檢驗(yàn)的應(yīng)用舉例（一）

——檢驗(yàn)無(wú)差假說(shuō)隨機(jī)抽取60名學(xué)生，問(wèn)他們高中要不要文理分科，回答贊成的39人，反對(duì)的21人，問(wèn)對(duì)分科的意見(jiàn)能否說(shuō)有顯著差異？配合度檢驗(yàn)的應(yīng)用舉例（二）某項(xiàng)民意測(cè)驗(yàn)，答案有同意、不置可否、不同意三種，調(diào)查結(jié)果如下表：同意不置可否不同意

24人12人12人問(wèn)：三種意見(jiàn)的人數(shù)是否有顯著不同？配合度檢驗(yàn)的應(yīng)用舉例（三）

——檢驗(yàn)假設(shè)分布的概率某班學(xué)生50人，體檢結(jié)果按一定標(biāo)準(zhǔn)劃分為甲、乙、丙三類。各類人數(shù)分別為甲16人，乙24人，丙10人。問(wèn)：該班學(xué)生的身體狀況是否符合正態(tài)分布？假設(shè)-3σ--+3σ間包含了全體數(shù)據(jù),則若將全體數(shù)據(jù)分成等距的三類,每一類占的比率分別應(yīng)為:甲:0.15866乙:0.68268丙:0.15866,因此三類的理論次數(shù)分別為:8人,34人,8人.配合度檢驗(yàn)的應(yīng)用舉例（四）

——檢驗(yàn)假設(shè)分布的概率某校長(zhǎng)的經(jīng)驗(yàn)：高中生升學(xué)的男女比例為2：1，今年的升學(xué)情況是男生85人，女生35人，問(wèn)今年升學(xué)的男女生比例是否符合該校長(zhǎng)的經(jīng)驗(yàn)？配合度檢驗(yàn)的應(yīng)用舉例（五）

——連續(xù)變量分布的吻合性檢驗(yàn)(139.9;7.5)分?jǐn)?shù)(1)各組限的Z值

(2)平均值至各組限間的面積(3)各組的正態(tài)面積(4)各組理論頻數(shù)(fe)(5)實(shí)際頻數(shù)(f0)(6)f0-fe(7)(f0-fe)2(8)(f0-fe)2/fe(9)-∞122-126-130-134-138-142-146-150-154-158-+∞-∞-2.39-1.85-1.32-0.79-0.250.280.811.351.882.41--2.95)+∞0.50000.49160.46780.40660.28520.09870.11030.29100.41150.46990.49200.49840.50000.00840.02380.06120.12140.18650.20900.18070.12050.05840.02210.00640.00161.0082.8567.34414.56822.38025.08021.68414.4607.0082.6520.7680.1920413910223320116411101.792-4.568-0.3807.920-1.684-3.4600.3803.21120.8670.14462.7262.83611.9720.1440.2861.4320.0062.5010.1310.8280.014總和1.0000120.00120χ2=5.198獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用舉例（一）

某校對(duì)學(xué)生的課外活動(dòng)內(nèi)容進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表：?jiǎn)栃詣e與課外活動(dòng)內(nèi)容的選擇是否有關(guān)?

體育 文娛 閱讀 男生21 1123

女生6729 554221(15.3)11(10.2)23(29.5)6(11.7)7(7.8)29(22.5)獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用舉例（二）

——四格表（2×2）獨(dú)立性檢驗(yàn)之一（一）獨(dú)立樣本的四格表公式：

2=N（AD-BC）2/(A+B)(C+D)(A+C)(B+D)

df=1

因素A

因分類1分類2

素分類1ABB分類2CD

例：今隨機(jī)抽取90人，按男女不同性別進(jìn)行分類，將學(xué)生成績(jī)分為中等以上及中等以下兩類。結(jié)果如下表。問(wèn)男女生在學(xué)業(yè)水平上是否有關(guān)聯(lián)？學(xué)業(yè)水平因素

性中等以上中等以下別男2317

因女2822

素一、所謂相關(guān)樣本，指同一組被試在前后兩次實(shí)驗(yàn)或調(diào)查中的兩個(gè)項(xiàng)目相同，這時(shí)前后兩次結(jié)果則相互影響，而不獨(dú)立。這樣的四格表稱為相關(guān)的四格表。二、相關(guān)樣本四格表

2檢驗(yàn)公式為：

2=（A-D）2/（A+D）

式中，A、D為四格表中兩次實(shí)驗(yàn)或調(diào)查中分類項(xiàng)目不同的那兩個(gè)格的襯計(jì)次數(shù)。詳見(jiàn)下頁(yè)例。獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用舉例（三）

——四格表獨(dú)立性檢驗(yàn)之二：相關(guān)樣本四格表

2檢驗(yàn)——四格表（2×2）獨(dú)立性檢驗(yàn)之二（二）相關(guān)樣本例：對(duì)100名學(xué)生先后測(cè)驗(yàn)兩次，結(jié)果整理成下表：

測(cè)驗(yàn)一錯(cuò)對(duì)測(cè)對(duì)555

驗(yàn)二錯(cuò)2515問(wèn)：兩次測(cè)驗(yàn)結(jié)果在對(duì)錯(cuò)上差異是否顯著？

理論次數(shù)小于5時(shí)，四格表

2的近似校正（1）獨(dú)立的四格表：

2=N（AD-BC-N/2）2/（A+B）（C+D）（A+C）（B+D）（2）相關(guān)的四格表：

2=（