八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第一章　勾股定理 單元測(cè)試卷（北師版 2024年秋）

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章勾股定理單元測(cè)試卷（北師版2024年秋）八年級(jí)數(shù)學(xué)上(BS版)時(shí)間：90分鐘滿分：120分一、選擇題(每題3分，共30分)1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a2＝5，b2＝12，則c2的值為()A．13 B．17 C．7 D．1692.(2024重慶江津區(qū)期末)已知△ABC的三邊分別是a，b，c，下列條件中不能判斷△ABC為直角三角形的是()A．a(chǎn)2＋b2＝c2 B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5C．∠A＝∠C－∠B D．a(chǎn)＝8，b＝15，c＝173.（教材P7習(xí)題T2變式)歷史上對(duì)勾股定理的一種驗(yàn)證方法采用了如圖所示的圖形，其中兩個(gè)全等直角三角形的邊AE，EB在一條直線上，驗(yàn)證勾股定理用到的面積相等的關(guān)系式是()A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDEC．S四邊形CDAE＝S四邊形CDEB D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四邊形ABCD4．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在AB上且BE＝1，F(xiàn)為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則△BFE周長(zhǎng)的最小值為()A．5 B．6 C．7 D．85.（2023日照)已知直角三角形的三邊a，b，c滿足c＞a＞b，分別以a，b，c為邊作三個(gè)正方形，把兩個(gè)較小的正方形放置在最大正方形內(nèi)，如圖，設(shè)三個(gè)正方形無(wú)重疊部分的面積為S1，均重疊部分的面積為S2，則()A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1，S2大小無(wú)法確定6.（2023天津)如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于eq\f(1,2)AC的長(zhǎng)為半徑作弧(弧所在圓的半徑都相等)，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，直線MN分別與邊BC，AC相交于點(diǎn)D，E，連接AD.若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，則AB的長(zhǎng)為()A．9 B．8 C．7 D．67.（2023瀘州)《九章算術(shù)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾股數(shù)a，b，c的計(jì)算公式：a＝eq\f(1,2)(m2－n2)，b＝mn，c＝eq\f(1,2)(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)．下列四組勾股數(shù)中，不能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出的是()A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，258.（新考向數(shù)學(xué)文化）《九章算術(shù)》中記載：今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)、短．橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出．問(wèn)戶高、廣、斜各幾何？譯文是：今有門，不知其高、寬，有竿，不知其長(zhǎng)、短．橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等．問(wèn)門高、寬、對(duì)角線長(zhǎng)分別是多少？若設(shè)門對(duì)角線長(zhǎng)為x尺，則可列方程為()A．2x2＝(x－4)2＋(x－2)2 B．x2＝(x－4)2＋(x－2)2C．x2＝(x－4)2＋22 D．x2＝42＋(x－2)29．如圖，某超市為了吸引顧客，在超市門口離地高4.5m的墻上，裝有一個(gè)由傳感器控制的門鈴A，人只要移至該門口4m及4m以內(nèi)時(shí)，門鈴就會(huì)自動(dòng)發(fā)出語(yǔ)音“歡迎光臨”．一個(gè)身高1.5m的學(xué)生剛走到D處，門鈴恰好自動(dòng)響起，則該學(xué)生頭頂C到門鈴A的距離為()(第9題)A．7m B．6m C．5m D．4m10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F，則CF的長(zhǎng)是()A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.5二、填空題(每題3分，共24分)11．如圖，AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，那么AC＝________．12．已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足關(guān)系式(a2－c2－b2)2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c－b))＝0，則△ABC的形狀為_(kāi)___________________．13.（2023東營(yíng))一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為_(kāi)_______km.14.如圖所示的象棋盤中，各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重復(fù)路線，按照“馬走日”的規(guī)則，走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最短距離的平方為_(kāi)_______．(第14題)15.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分別以AC，BC為直徑向外作半圓，半圓形的面積分別記為S1，S2，則S1＋S2的值為_(kāi)_______．(第15題)(第16題)16．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在線段DE上的點(diǎn)F處，則BE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．17.（新情境環(huán)境保護(hù)）如圖，這是某路口處草坪的一角，當(dāng)行走路線是A→C→B時(shí)，有人為了抄近道而避開(kāi)路的拐角∠ACB(∠ACB＝90°)，于是在草坪內(nèi)走出了一條捷徑AB.某學(xué)習(xí)實(shí)踐小組通過(guò)測(cè)量可知，AC的長(zhǎng)為6米，BC的長(zhǎng)為8米，為了提醒居民愛(ài)護(hù)草坪，他們想在A，B處設(shè)立“踏破青白可惜，多行數(shù)步無(wú)妨”的提示牌，則提示牌上的“多行數(shù)步”是指多行________米．(第17題)18.“勾股樹(shù)”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊為邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程所畫出來(lái)的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹(shù)而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹(shù)、第二代勾股樹(shù)、第三代勾股樹(shù)，按照勾股樹(shù)的作圖原理作圖，則第六代勾股樹(shù)中正方形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．三、解答題(每題11分，共66分)19.（2024合肥蜀山區(qū)期末)如圖所示，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為單位1的網(wǎng)格中，△ABC是格點(diǎn)圖形，求△ABC中AB邊上的高．20．某消防部隊(duì)進(jìn)行消防演練．在模擬演練現(xiàn)場(chǎng)，有一建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)后，發(fā)現(xiàn)離建筑物的水平距離最近為12m，如圖，即AD＝BC＝12m，此時(shí)建筑物中距地面12.8m高的P處有一被困人員需要救援．已知消防車的車身高AB是3.8m，問(wèn)此消防車的云梯至少應(yīng)伸長(zhǎng)多少米？21.（新視角新定義題）定義：如圖，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．(1)已知點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝5，MN＝13，BN＝12，則點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)已知點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB＝12，AM＝5，求BN的長(zhǎng)．22.（2024開(kāi)封龍亭區(qū)期末)如圖，一工廠位于點(diǎn)C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB＝AC，由于某種原因從工廠C到取水點(diǎn)A的路受阻，為了取水更方便，工廠新建一個(gè)取水點(diǎn)H(點(diǎn)A，H，B在一條直線上)，并新修一條路CH，測(cè)得CB＝2.5km，CH＝2km，BH＝1.5km.(1)CH是否為從工廠C到河邊最近的一條路(即CH與AB是否垂直)？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)求AC的長(zhǎng)．23.（教材P15習(xí)題T4變式)如圖，長(zhǎng)方體的底面(正方形)邊長(zhǎng)為3cm，高為5cm.若一只螞蟻從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)四個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)點(diǎn)B，求螞蟻爬行的最短路徑有多長(zhǎng)．24．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，DC＝5cm，在DC上存在一點(diǎn)E，沿直線AE把△AED折疊，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上，設(shè)落點(diǎn)為F.若△ABF的面積為30cm2，求△ADE的面積．

答案一、1.B2.B3.D4．B點(diǎn)撥：如圖，連接ED交AC于點(diǎn)F.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱．所以BF＝DF.所以△BFE的周長(zhǎng)＝BF＋EF＋BE＝DE＋BE，此時(shí)△BFE的周長(zhǎng)最小．根據(jù)勾股定理易求得DE＝5，所以△BFE的周長(zhǎng)最小為DE＋BE＝5＋1＝6.5．C點(diǎn)撥：因?yàn)橹苯侨切蔚娜卆，b，c滿足c＞a＞b，所以該直角三角形的斜邊為c，所以c2＝a2＋b2，即c2－a2－b2＝0.所以S1＝c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc，因?yàn)镾2＝b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc，所以S1＝S2.6．D點(diǎn)撥：由題意得MN是AC的垂直平分線，所以AC＝2AE＝8，DA＝DC，所以∠DAC＝∠C.因?yàn)锽D＝CD，所以BD＝AD，所以∠B＝∠BAD，因?yàn)椤螧＋∠BAD＋∠C＋∠DAC＝180°，所以2∠BAD＋2∠DAC＝180°.所以∠BAD＋∠DAC＝90°，即∠BAC＝90°.在Rt△ABC中，BC＝BD＋CD＝2AD＝10，所以AB2＝BC2－AC2＝102－82＝62，所以AB＝6.7．C點(diǎn)撥：因?yàn)楫?dāng)m＝3，n＝1時(shí)，a＝eq\f(1,2)(m2－n2)＝eq\f(1,2)×(32－12)＝4，b＝mn＝3×1＝3，c＝eq\f(1,2)(m2＋n2)＝eq\f(1,2)×(32＋12)＝5，所以選項(xiàng)A不符合題意；因?yàn)楫?dāng)m＝5，n＝1時(shí)，a＝eq\f(1,2)(m2－n2)＝eq\f(1,2)×(52－12)＝12，b＝mn＝5×1＝5，c＝eq\f(1,2)(m2＋n2)＝eq\f(1,2)×(52＋12)＝13，所以選項(xiàng)B不符合題意；因?yàn)楫?dāng)m＝7，n＝1時(shí)，a＝eq\f(1,2)(m2－n2)＝eq\f(1,2)×(72－12)＝24，b＝mn＝7×1＝7，c＝eq\f(1,2)(m2＋n2)＝eq\f(1,2)×(72＋12)＝25，所以選項(xiàng)D不符合題意；因?yàn)闆](méi)有符合條件的m，n使a，b，c各為6，8，10，所以選項(xiàng)C符合題意，故選C.8．B9.C10．A點(diǎn)撥：如圖，連接DF，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.所以AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝52，所以AB＝5.因?yàn)锳D＝AC＝3，AF⊥CD，所以CE＝DE，BD＝AB－AD＝2，所以CF＝DF.在△ADF和△ACF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AC，,DF＝CF，,AF＝AF，))所以△ADF≌△ACF(SSS)，所以∠ADF＝∠ACF＝90°，所以∠BDF＝90°.設(shè)CF＝DF＝x，則BF＝4－x.在Rt△BDF中，由勾股定理得DF2＋BD2＝BF2，即x2＋22＝(4－x)2，解得x＝1.5，所以CF＝1.5.二、11.1212.等腰直角三角形13．5014.215.2π16.417.418．127點(diǎn)撥：因?yàn)榈谝淮垂蓸?shù)中正方形有1＋2＝3(個(gè))，第二代勾股樹(shù)中正方形有1＋2＋22＝7(個(gè))，第三代勾股樹(shù)中正方形有1＋2＋22＋23＝15(個(gè))，……所以第六代勾股樹(shù)中正方形有1＋2＋22＋23＋24＋25＋26＝127(個(gè))．三、19.解：設(shè)AB邊上的高為h，因?yàn)锳B2＝32＋42＝52，所以AB＝5，所以eq\f(1,2)×5h＝eq\f(1,2)×3×3，解得h＝eq\f(9,5)，即AB邊上的高是eq\f(9,5).20．解：由題意知PC＝12.8m，CD＝AB＝3.8m，所以PD＝PC－CD＝12.8－3.8＝9(m)．在Rt△ADP中，AP2＝AD2＋PD2，所以AP2＝122＋92.所以AP＝15m.故此消防車的云梯至少應(yīng)伸長(zhǎng)15m.21．解：(1)是．理由如下：因?yàn)锳M2＋BN2＝52＋122＝169，MN2＝132＝169，所以AM2＋BN2＝MN2.所以以AM，MN，NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形．故點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．(2)設(shè)BN＝x，則MN＝AB－AM－BN＝7－x，①當(dāng)MN為最長(zhǎng)線段時(shí)，MN2＝AM2＋BN2，即(7－x)2＝x2＋25，解得x＝eq\f(12,7)；②當(dāng)BN為最長(zhǎng)線段時(shí)，BN2＝AM2＋MN2，即x2＝25＋(7－x)2，解得x＝eq\f(37,7).綜上所述，BN的長(zhǎng)為eq\f(12,7)或eq\f(37,7).22．解：(1)CH是從工廠C到河邊最近的一條路．理由如下：在△CHB中，因?yàn)镃H2＋BH2＝22＋1.52＝6.25，BC2＝2.52＝6.25，所以CH2＋BH2＝BC2，所以△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°，所以CH與AB垂直，即CH是從工廠C到河邊最近的一條路；(2)設(shè)AC＝xkm，則AB＝AC＝xkm.因?yàn)椤螩HB＝90°，所以∠CHA＝90°.在Rt△ACH中，AH＝(x－1.5)km，CH＝2km，由勾股定理得AC2＝AH2＋CH2，所以x2＝(x－1.5)2＋22，解這個(gè)方程，得x＝eq\f(25,12).所以AC的長(zhǎng)為eq\f(25,12)km.23．解：將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)如圖所示，連接AB′.因?yàn)樵赗t△AA′B′中，AA′＝12cm，A′B′＝5cm，所以AB′2＝AA′2＋A′B′2＝169.所以AB′＝13cm.所以螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為13cm.24．解：由折疊可知AD＝AF，DE＝EF.由S△ABF＝eq\f(