高一數(shù)學(xué)人教A版必修1教學(xué)課件3.1.2用二分法求方程的近似解

人教A版必修一第三章

第1節(jié)函數(shù)與方程3.1.2用二分法求方程的近似解3.1函數(shù)與方程3.1.2用二分法求方程的近似解1.通過具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法.2.會(huì)用二分法求一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)近似值.從而求得方程的近似解.學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)導(dǎo)復(fù)習(xí)思考：1.函數(shù)的零點(diǎn)2.零點(diǎn)存在的判定

對(duì)于方程（1），可以利用一元二次方程的求根公式求解,但對(duì)于方程(2)，我們卻沒有公式可用來求解.思考問題：

請(qǐng)同學(xué)們觀察下面的兩個(gè)方程，說一說你會(huì)用什么方法來求解方程.

1.二分法的概念對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且

的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間

，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)

，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，可用二分法來求

.f(a)·f(b)<0一分為二逐步逼近零點(diǎn)方程的近似解思2.用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟(1)確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證

，給定精確度ε；(2)求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)

；(3)計(jì)算f(c)；①若f(c)＝0，則

；②若f(a)·f(c)<0，則令b＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈

)；③若f(c)·f(b)<0，則令a＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈

).f(a)·f(b)<0c就是函數(shù)的零點(diǎn)c(a，c)(c，b)(4)判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)(2)～(4).一元二次方程可用判別式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.但對(duì)于一般的方程，雖然可用零點(diǎn)存在性定理判定根的存在性，而沒有公式求根，如何求得方程的根？探究點(diǎn)一二分法的概念思考1上節(jié)課，我們已經(jīng)知道f(x)＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi)，如何縮小零點(diǎn)所在區(qū)間(2,3)的范圍？

答

①取區(qū)間(2,3)的中點(diǎn)2.5.②計(jì)算f(2.5)的值，用計(jì)算器算得f(2.5)≈－0.084.因?yàn)閒(2.5)·f(3)<0，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5,3)內(nèi).思考2如何進(jìn)一步的縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間？答

再取區(qū)間(2.5,3)的中點(diǎn)2.75，用計(jì)算器算得f(2.75)≈0.512.因?yàn)閒(2.5)·f(2.75)＜0，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5,2.75)內(nèi).這樣一來，零點(diǎn)所在的范圍越來越小了.思考3若給定精確度0.3，如何選取近似值？

答

當(dāng)精確度為0.3時(shí)，由于|2.75－2.5|＝0.25＜0.3，所以可以將x＝2.5作為函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)近似值，當(dāng)然區(qū)間[2.5,2.75]內(nèi)的任意一個(gè)值都是函數(shù)零點(diǎn)的近似值，常取區(qū)間的端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值.小結(jié)二分法的定義：對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.探究點(diǎn)二二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟思考1

對(duì)下列圖象中的函數(shù)，能否用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值？為什么？答不能.因?yàn)椴淮嬖谝粋€(gè)區(qū)間[a，b]，使f(a)·f(b)<0.不變號(hào)零點(diǎn)思考2通過對(duì)函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)近似值的探索過程，你能總結(jié)用二分法求一般函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟嗎？答

用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的基本步驟：1.確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)·f(b)<0，給定精確度ε；2.求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；3.計(jì)算f(c)：(1)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若f(a)·f(c)<0，則令b＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)<0，則令a＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b))；4.判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟2～4.周而復(fù)始怎么辦?精確度上來判斷.定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看.同號(hào)去，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間.口訣探究點(diǎn)三用二分法求方程的近似解思考如何把求方程的近似解化歸為求函數(shù)的零點(diǎn)？答對(duì)于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通過移項(xiàng)轉(zhuǎn)化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟求解.

例1借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解.(精確度0.1)解原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)＝2x＋3x－7的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下：議觀察圖或表可知f(1)·f(2)＜0，說明這個(gè)函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)x0.取區(qū)間(1,2)的中點(diǎn)x1＝1.5，用計(jì)算器算得f(1.5)≈0.33.因?yàn)閒(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5).再取區(qū)間(1,1.5)的中點(diǎn)x2＝1.25，用計(jì)算器算得f(1.25)≈－0.87.因?yàn)閒(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5).同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.4375).由于|1.375－1.4375|＝0.0625＜0.1，所以，原方程的近似解可取為1.4375.反思與感悟用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是初始區(qū)間的選取，符合條件(包括零點(diǎn))，又要使其長(zhǎng)度盡量??；二是進(jìn)行精確度的判斷，以決定是停止計(jì)算還是繼續(xù)計(jì)算.跟蹤訓(xùn)練1用二分法求函數(shù)f(x)＝x3－x－1在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn).(精確度0.01)解經(jīng)試算f(1)<0，f(1.5)>0，所以函數(shù)在[1,1.5]內(nèi)存在零點(diǎn)x0.取(1,1.5)的中點(diǎn)x1＝1.25，經(jīng)計(jì)算f(1.25)<0，因?yàn)閒(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5).如果繼續(xù)下去，如下表：因?yàn)閨1.328125－1.3203125|＝0.0078125<0.01，所以函數(shù)f(x)＝x3－x－1精確度為0.01的一個(gè)近似零點(diǎn)可取為1.328125.例2求方程x2＝2x＋1的一個(gè)近似解.(精確度0.1)解設(shè)f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，∴在區(qū)間(2,3)內(nèi)，方程x2－2x－1＝0有根，記為x0.取2與3的中點(diǎn)2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2與2.5的中點(diǎn)2.25，∵f(2.25)＝－0.4375<0，∴2.25<x0<2.5；如此繼續(xù)下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0?x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.4375)>0?x0∈(2.375,2.4375)，∵|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2＝2x＋1的一個(gè)精確度為0.1的近似解可取為2.4375.反思與感悟“二分法”與判定函數(shù)零點(diǎn)的定義密切相關(guān)，只有滿足函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)且在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)才能應(yīng)用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練2借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，用二分法求方程x＝3－lgx在區(qū)間(2,3)內(nèi)的近似解.(精確度0.1)解原方程即x＋lgx－3＝0，令f(x)＝x＋lgx－3，用計(jì)算器可算得f(2)≈－0.70，f(3)≈0.48，于是f(2)·f(3)＜0，所以，這個(gè)方程在區(qū)間(2,3)內(nèi)有一個(gè)解.下面用二分法求方程x＝3－lgx在區(qū)間(2,3)內(nèi)的近似解.取區(qū)間(2,3)的中點(diǎn)x1＝2.5，用計(jì)算器可算得f(2.5)≈－0.10.因?yàn)閒(2.5)·f(3)＜0，所以x0∈(2.5,3).再取區(qū)間(2.5,3)的中點(diǎn)x2＝2.75，用計(jì)算器可算得f(2.75)≈0.19.因?yàn)閒(2.5)·f(2.75)＜0，所以x0∈(2.5,2.75).同理可得x0∈(2.5,2.625)，x0∈(2.5625,2.625).由于|2.625－2.5625|＝0.0625＜0.1，所以原方程的近似解可取為2.5625.1.下面關(guān)于二分法的敘述，正確的是(

)A.用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值B.用二分法求方程的近似解時(shí)，可以精確到小數(shù)點(diǎn)后的任一位C.二分法無規(guī)律可循D.只有在求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)才用二分法展解析只有函數(shù)的圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷且在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)，才可以用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值，故A錯(cuò)；二分法有規(guī)律可循，可以通過計(jì)算機(jī)來進(jìn)行，故C錯(cuò)；求方程的近似解也可以用二分法，故D錯(cuò).答案B2.觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點(diǎn)的是(

)解析由圖象可知A中零點(diǎn)左側(cè)與右側(cè)的函數(shù)符號(hào)不同，故可用二分法求零點(diǎn).答案A3.設(shè)f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根落在區(qū)間(

)A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)C.(1.5,2) D.不能確定解析∵f(1.5)·f(1.25)＜0，∴方程的根落在區(qū)間(1.25,1.5)內(nèi).B4.若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個(gè)近似根為________.(精確度0.1)解析因f(1.375)·f(1.4375)<0，且由表知|1.4375－1.375|＝0.0625<0.1，所以方程x3＋x2－2x－2＝0的一個(gè)近似根為1.4375.答案1.4375(不唯一)1.二分就是