湖北省武漢市2024-2025學年高二數學上學期期中試題含解析

Page22湖北省武漢市2024-2025學年高二數學上學期期中試題考試時間：120分鐘試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若直線的方向向量是，則直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率與傾斜角，方向向量的關系求解，【詳解】由題意得直線的斜率為，則直線的傾斜角是，故選：C2.直線，，若，則的值為（）A B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】依據兩直線垂直可得出關于的等式，即可得解.【詳解】因為，則，解得或.故選：D.3.在下列四個命題中，正確的是（）A.若直線的傾斜角越大，則直線斜率越大B.過點的直線方程都可以表示為：C.經過兩個不同的點，的直線方程都可以表示為：D.經過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】C【解析】【分析】依據直線傾斜角和斜率的關系，以及點斜式，兩點式，截距式方程的適用范圍，對每個選項進行逐一分析，即可推斷和選擇.【詳解】對A：當直線的傾斜角時，傾斜角越大，斜率越大；當時，不存在斜率；當時，傾斜角越大，斜率越大，故A錯誤；對B：當直線斜率不存在時，不行以用表示，故B錯誤；對C：經過隨意兩個不同的點，的直線，當斜率等于零時，，，方程為，能用方程表示；當直線的斜率不存在時，，，方程為，能用方程表示，故C正確，對D：經過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為，，故D錯誤.故選：C.4.已知直線上動點，過點向圓引切線，則切線長的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據切線長，半徑以及圓心到點的距離的關系，求得圓心到直線的距離，再求切線長距離的最小值即可.【詳解】圓，其圓心為，半徑，則到直線的距離；設切線長為，則，若最小，則取得最小值，明顯最小值為，故的最小值為，即切線長的最小值為.故選：A.5.已知分別為橢圓的左、右焦點，是橢圓E上一動點，G點是三角形的重心，則點G的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設，利用三角形的重心坐標公式可得，將其代入可得結果.【詳解】分別為橢圓的左、右焦點，設，G點是三角形的重心則，得，又是橢圓E上一動點，，即，又G點是三角形的重心，所以點G的軌跡方程為故選：B6.已知橢圓，點關于直線的對稱點落在橢圓C上，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得點關于直線的對稱點的坐標，依據點的坐標滿意橢圓方程，整理化簡求得，再結合離心率計算公式求解即可.【詳解】易知點關于直線的對稱點為，依據題意可得：，故可得或，又，故；則離心率.故選：D.7.過橢圓左焦點作傾斜角為的直線，與橢圓交于、兩點，其中為線段的中點，線段的長為，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設、、，利用點差法，化簡可得，結合已知條件可得，將其代入上式化簡可求得結果.詳解】設、、，由題意得，，兩式相減，得，因為為線段的中點，且直線的傾斜角為，所以．因為，直線的傾斜角為，，易知點在其次象限，則，，所以，所以，得，所以，即，所以．故選：D.8.已知過定點的直線與圓C：相交于A，B兩點，當線段的長為整數時，全部滿意條件直線的條數為（）A.11 B.20 C.21 D.22【答案】C【解析】【分析】先求出的范圍，找到為整數的條數即可.【詳解】由已知圓，得所以圓心為，半徑，且設定點為，易知在圓內，當與垂直時，，最小為當經過點時，此時最大為故，即又因為，，的長為整數所以當時，直線的條數各為兩條，當時，直線的條數為一條，共條.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.對于曲線，下面說法正確的是（）A.若，曲線C的長軸長為4B.若曲線是橢圓，則的取值范圍是C.若曲線是焦點在軸上的雙曲線，則的取值范圍是D.若曲線是橢圓且離心率為，則的值為或【答案】ACD【解析】【分析】依據雙曲線、橢圓的學問對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】曲線，A選項，，，則，A選項正確.B選項，若曲線橢圓，則，解得且，所以B選項錯誤.C選項，若曲線是焦點在軸上的雙曲線，則，解得，C選項正確.D選項，曲線是橢圓且離心率為，，由B選項的分析可知且，當時，橢圓焦點在軸上，，解得；當時，橢圓焦點在軸上，，解得，所以的值為或，D選項正確.故選：ACD10.已知兩圓方程為與，則下列說法正確的是（）A.若兩圓外切，則B.若兩圓公共弦所在的直線方程為，則C.若兩圓的公共弦長為，則D.若兩圓在交點處的切線相互垂直，則【答案】AB【解析】【分析】依據圓與圓的位置關系對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】設圓為圓，圓的圓心為，半徑.設圓為圓，圓的圓心為，半徑..A選項，若兩圓外切，則，A選項正確.B選項，由兩式相減并化簡得，則，此時，滿意兩圓相交，B選項正確.C選項，由兩式相減并化簡得，到直線的距離為，所以，即，則解得或，C選項錯誤.D選項，若兩圓在交點處的切線相互垂直，設交點為，依據圓的幾何性質可知，所以，D選項錯誤.故選：AB11.已知兩點的距離為定值，平面內一動點，記的內角的對邊分別為，面積為，下面說法正確的是（）A.若，則最大值為2B.若，則最大值為C.若，則最大值為D.若，則最大值為1【答案】BC【解析】【分析】設點坐標，依據條件分別求出動點的軌跡方程，再由三角形ABC的面積，轉化為由軌跡方程求的最大值即可得解.【詳解】設，動點，對A，，即，化簡可得C的軌跡方程，所以三角形ABC的面積，即C點為時，三角形ABC面積最大，故A錯誤；對B，由題意可得，化簡可得C的軌跡方程，所以，即C點為時，三角形ABC面積最大，故B正確；對C，由知，動點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓（除去長軸上的兩個頂點），橢圓方程為，三角形ABC的面積，即當C運動到短軸端點時，三角形面積最大，故C正確；對于D，由題意，化簡可得C的軌跡方程，三角形ABC的面積，由雙曲線中的范圍知，三角形ABC的面積的最大值為，故D錯誤.故選：BC12.已知分別為橢圓左、右焦點，下列說法正確的是（）A.若點的坐標為，P是橢圓上一動點，則線段長度的最小值為B.若橢圓上恰有6個不同的點，使得為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是C.若圓的方程為，橢圓上存在點P，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，使得，則橢圓E的離心率的取值范圍是D.若點的坐標為，橢圓上存在點P使得，則橢圓的離心率的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】A選項，設出，，則，表達出，分與兩種狀況，得到不同狀況下的線段長度的最小值，A錯誤；B選項，先得到上下頂點能夠使得為等腰三角形，再數形結合得到為圓心，為半徑作圓，只能交橢圓與不同于上下頂點的兩點，列出不等式組，求出答案；C選項，分與兩種狀況，第一種狀況成立，其次種狀況下得到P點與上頂點或下頂點重合時，最大，數形結合列出不等式，最終求出離心率的取值范圍；D選項，設，，則，表達出，問題轉化為在上有解問題，數形結合得到，求出離心率的取值范圍.【詳解】設，，則，，，若，此時，，此時當時，取得最小值，最小值為，線段長度的最小值為；若，此時，，此時當時，取得最小值，最小值為，線段長度的最小值為，綜上：A錯誤；如圖，橢圓左右頂點為，上下頂點為，明顯上下頂點能夠使得為等腰三角形，要想橢圓上恰有6個不同的點，使得為等腰三角形，以為圓心，為半徑作圓，只能交橢圓與不同于上下頂點的兩點，則要滿意，且，即，解得：，且，故橢圓的離心率的取值范圍是，B正確；若，此時與橢圓有公共點，故存在點P，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，使得，此時，即；若，即時，如圖所示：連接OP，OB，明顯，，則，因為在上單調遞增，要想最大，只需最大，故當最小時，滿意要求，故P點與上頂點或下頂點重合時，最大，故當時滿意要求，所以，即，所以，解得：，所以，綜上：若圓的方程為，橢圓上存在點P，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，使得，則橢圓E的離心率的取值范圍是，C正確；設，，則，橢圓上存在點P使得，即在上有解，即在上有解，令，留意到，，故只需滿意，由①得：，由②得：或，綜上：則橢圓的離心率的取值范圍是，D正確.故選：BCD【點睛】離心率時橢圓的重要幾何性質，是高考重點考察的學問點，這類問題一般有兩類，一是依據肯定的條件求橢圓的離心率，另一類是依據題目條件求解離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點都是建立關于的等式或不等式，并且依據化為的等式或不等式，求出離心率或離心率的范圍，再求解橢圓離心率取值范圍時常用的方法有：一、借助平面幾何圖形中的不等關系；二、利用函數的值域求解范圍；三、依據橢圓自身性質或基本不等式求解范圍等.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知雙曲線的一條漸近線為，一個焦點為，則______.【答案】【解析】【分析】依據漸近線、焦點以及求得.【詳解】依題意雙曲線的漸近線，由焦點得，由，解得.故答案為：14.寫出訪得關于的方程組無解的一個的值為______.（寫出一個即可）【答案】，3，（寫出一個即可）【解析】【分析】依據方程組無解，探討其中一方程無解、兩方程表示的直線平行、一方程表示直線過，另一方程表示直線不過該點的狀況得解.【詳解】明顯，當時，不表示直線，無解，故方程組無解；當時，由方程組可看作求兩直線（）與的交點，則方程組無解，即直線無交點，若兩直線平行，則，解得.若兩直線不平行時，過點，即，解得或，此時，不過點，方程組無解.綜上，的取值為.故答案為：，3，（寫出一個即可）15.已知橢圓的右焦點F，P是橢圓E上的一個動點，點坐標是，則的最大值是______.【答案】13【解析】【分析】設橢圓左焦點，依據橢圓的定義將轉化為，結合圖形的幾何性質，即可求得答案.【詳解】由可知，，設橢圓左焦點，則，當且僅當，，共線時且當在的延長線上時等號成立．的最大值為，故答案為：.16.已知直線與圓C：相交于A，B兩點，O為坐標原點，若四點共圓，則的值為______.【答案】4【解析】【分析】設出所在圓的圓心以及圓方程，依據圓心坐標滿意的垂直平分線，結合直線為圓與圓的相交線直線，比較系數，即可求得結果.【詳解】設所在圓的圓心為，則圓方程為；又的中點坐標為，，故垂直平分線的斜率，則的垂直平分線所在方程為：，即，故；因為直線為圓與圓的相交弦，故兩圓方程作差可得：，即，又直線方程為，則，解得.故答案：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.直線過點，且傾斜角比直線的傾斜角大.（1）求直線的方程；（2）若直線與直線平行，且距離為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）和.【解析】【分析】（1）設直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則由題意可得，再利用兩角和的正切公式可求出，即可得直線的斜率，從而可求出直線的方程；（2）由題意可設直線的方程為，再利用兩平行線間的距離公式列方程求解即可.【小問1詳解】設直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則題意得，所以，所以直線的方程為，即，【小問2詳解】由題意可設直線的方程為，因為直線與直線的距離為，所以，解得或，所以直線的方程為和.18.已知三點都在圓上.（1）試求圓C的方程；（2）若斜率為的直線與圓交于不同兩點，且以為直徑的圓恰好過點，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）依據已知條件求得圓心和半徑，從而求得圓的方程.（2）設出直線的方程，依據“以為直徑的圓恰好過點”求得到直線的距離，結合點到直線的距離公式求得直線的方程.【小問1詳解】由題意知三點，，構成的是以PQ為斜邊的直角三角形，所以覆蓋它且面積最小的圓是的外接圓，故圓心是線段PQ的中點，半徑，所以圓C的方程是.【小問2詳解】設直線l的方程是：，即，因為以為直徑的圓恰好過點，，所以圓心C到直線l的距離是，即解得：.所以直線l的方程是：或.19.已知圓.（1）求過點且與圓相切的直線方程；（2）已知點．則在圓上是否存在點，使得？若存在，求點的個數，若不存在，說明理由．【答案】（1）或；（2）存在，點P的個數為2,理由見解析【解析】【分析】（1）由點到直線的距離公式列式求解，（2）由題意列式得軌跡方程，由圓和圓的位置關系求解，【小問1詳解】由題意圓C：，圓心，半徑，1）當直線l的斜率不存在時，直線l：，符合題意；2）當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：即，則圓心C到直線l的距離，解得，所以直線l的方程為即綜上，直線l的方程為或；【小問2詳解】假設圓C上存在點P，設，則C：，又，即，P的軌跡是圓心為，半徑為3的圓.因為，所以圓C：與圓相交，所以點P的個數為220.如圖，四棱錐的底面為菱形，，底面，分別是線段的中點，是線段上的一點（1）若是線段的中點，試證明平面；（2）已知直線與平面所成角為.①若和的面積分別記為，試求的值；②求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）①；②【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定即可證明.（2）①利用向量法和三角形面積公式即可求得的值，②利用等體積法即可求得體積.【小問1詳解】∵，分別為線段，，∴，又∵，∴，面PAD，面PAD，∴面PAD.【小問2詳解】分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，，，，，，，，，，設平面AEF的法向量，則，所以，取，設，則則，整理得，解得或（舍去)，①②∵，且21.已知橢圓：的離心率為，點在橢圓上，為其左焦點，過的直線與橢圓交于兩點.（1）求橢圓的標準方程；（2）試求△面積的最大值以及此時直線的方程.【答案】（1）；（2）最大值為，此時直線l的方程.【解析】【分析】（1）依據已知條件，列出滿意的等量關系，求得，則橢圓方程得解；（2）對直線的斜率進行探討，在斜率存在時，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，結合韋達定理求得弦長和點到直線的距離，即可表達出三角形面積關于參數的函數關系，進而求函數的最大值即可.【小問1詳解】依據題意可得：，，又，解得，，，故橢圓的標準方程為：.【小問2詳解】①當直線l斜率為零時，明顯不滿意題意；②直線l的斜率不為零，設其方程為：，聯(lián)立橢圓方程：可得：，設A，B的坐標分別為，，則，，，點O到直線AB的距離，，令，則，故對函數，，易知在單調遞增，在單調遞減，故，當且僅當，即時取得等號；故△面積的最大值為，此時直線l的方程.下證：在單調遞增.