2025屆新高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題40概率中的單調(diào)性與最值問題教師版

專題40概率中的單調(diào)性與最值問題一、題型選講題型一、概率中的單調(diào)性問題例1、【2024年高考浙江卷】設(shè)0＜a＜1，則隨機(jī)變量X的分布列是則當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時(shí)，A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】D【解析】方法1：由分布列得，則，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先減小后增大．故選D．方法2：則，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先減小后增大．故選D．例2、【2024年高考浙江卷】設(shè)，隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012P則當(dāng)p在（0，1）內(nèi)增大時(shí)，A．D（ξ）減小 B．D（ξ）增大C．D（ξ）先減小后增大 D．D（ξ）先增大后減小【答案】D【解析】∵E(ξ)=0×1-p2+1×12+2×p2=p+1例3、【2024年高考山東】（多選題）信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X全部可能的取值為，且，定義X的信息熵.A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機(jī)變量Y全部可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)【答案】AC【解析】對于A選項(xiàng)，若，則，所以，所以A選項(xiàng)正確.對于B選項(xiàng)，若，則，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩者相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于C選項(xiàng)，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項(xiàng)正確.對于D選項(xiàng)，若，隨機(jī)變量的全部可能的取值為，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC題型二、概率中的最值問題例4、（2024·浙江溫州中學(xué)高三3月月考）隨機(jī)變量的可能值有1，2，3，且，，則的最大值為（）A． B． C． D．1【答案】D【解析】隨機(jī)變量的可能值有1，2，3，且，，可得：，由，可得所以．，當(dāng)時(shí)，的最大值為1．故選：D．例5、（2024屆浙江省杭州市其次中學(xué)高三3月月考）隨機(jī)變量的分布列如下：-101其中，，成等差數(shù)列，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，成等差?shù)列，，.則的最大值為例6、（2024屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初）已知，兩個(gè)不透亮盒中各有形態(tài)、大小都相同的紅球、白球若干個(gè)，A盒中有個(gè)紅球與個(gè)白球，盒中有個(gè)紅球與個(gè)白球（），若從，盒中各取一個(gè)球，表示所取的2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則當(dāng)取到最大值時(shí)，的值為（）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【解析】可能值為，，，，分布列為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.故選:B.例7、（2024·浙江省溫州市新力氣聯(lián)盟高三上期末）隨機(jī)變量的分布列如下：123其中，，成等差數(shù)列，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，成等差?shù)列，∴，∵，∴，，∴，則，當(dāng)時(shí)取等號．則的最大值為.故選：D.例8、（2024屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）某公司打算投產(chǎn)一種新產(chǎn)品，經(jīng)測算，已知每年生產(chǎn)萬件的該種產(chǎn)品所須要的總成本（萬元），依據(jù)產(chǎn)品尺寸，產(chǎn)品的品質(zhì)可能出現(xiàn)優(yōu)、中、差三種狀況，隨機(jī)抽取了1000件產(chǎn)品測量尺寸，尺寸分別在，，，，，，（單位：）中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到的頻率分布直方圖如圖所示.產(chǎn)品的品質(zhì)狀況和相應(yīng)的價(jià)格（元/件）與年產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系如下表所示.產(chǎn)品品質(zhì)立品尺寸的范圍價(jià)格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式優(yōu)中差以頻率作為概率解決如下問題：（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)產(chǎn)量確定時(shí)，設(shè)不同品質(zhì)的產(chǎn)品價(jià)格為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列；（3）估計(jì)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，該公司年利潤最大，并求出最大值.【答案】（1）；（2）見解析（3）年產(chǎn)量時(shí)，該公司年利潤取得最大值，最大利潤為138萬.【解析】（1）由題意得，解得；（2）當(dāng)產(chǎn)品品質(zhì)為優(yōu)時(shí)頻率為，此時(shí)價(jià)格為；當(dāng)產(chǎn)品品質(zhì)為中時(shí)頻率為，此時(shí)價(jià)格為；當(dāng)產(chǎn)品品質(zhì)為差時(shí)頻率為，此時(shí)價(jià)格為；以頻率作為概率，可得隨機(jī)變量的分布列為：0.50.20.3（3）設(shè)公司年利潤為，則整理得，明顯當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，∴當(dāng)年產(chǎn)量時(shí)，取得最大值.估計(jì)當(dāng)年產(chǎn)量時(shí)，該公司年利潤取得最大值，最大利潤為138萬.二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、【2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】某群體中的每位成員運(yùn)用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中運(yùn)用移動支付的人數(shù)，，，則A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3【答案】B【解析】∵，∴或，，，可知，故．故選B．2、（2024屆浙江省“山水聯(lián)盟”高三下學(xué)期開學(xué)）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如下表所示123已知，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，的改變狀況（）A．先增大再減小 B．先減小再增大C．增大 D．減小【答案】D【解析】由分布列的性質(zhì)可得.，.當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，減?。蔬x：.3、（2024屆浙江省臺州市溫嶺中學(xué)3月模擬）已知，隨機(jī)變量，的分布列如表所示，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】，，，由，所以，故選：B.4、（2024屆浙江省杭州市高三3月模擬）已知隨機(jī)變量ξ滿意P(ξ=0)=x，P(ξ=1)=1-x，若則（）A．E(ξ)隨著x的增大而增大，D(ξ)隨著x的增大而增大B．E(ξ)隨著x的增大而減小，D(ξ)隨著x的增大而增大C．E(ξ)隨著x的增大而減小，D(ξ)隨著x的增大而減小D．E(ξ)隨著x的增大而增大，D(ξ)隨著x的增大而減小【答案】B【解析】依題意，在區(qū)間上是減函數(shù).，留意到函數(shù)的開口向下，對稱軸為，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，也即在區(qū)間上是增函數(shù).故選：B5、（2024·浙江學(xué)軍中學(xué)高三3月月考）已知a，b為實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X，Y的分布列如下：X-101Y-101PPabc若，隨機(jī)變量滿意，其中隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則取值范圍的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，，所以，即，又，故，所以，又隨機(jī)變量的可能取值為-1，0，1，則，，，列出隨機(jī)變量的分布列如下：-101P所以.故選：B.6、（2024屆浙江省十校聯(lián)盟高三下學(xué)期開學(xué)）設(shè)，相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，的分布列如下表：-11-11則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（）A．減小，增大 B．減小，減小C．增大，增大 D．增大，減小【答案】D【解析】，，，，，，，當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，增大，減小，故選：D．7、（2024·浙江溫州中學(xué)3月高考模擬）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差對全部都成立，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值,又對全部成立,所以,解得,故選:D.8、（2